不等式典型练习题可修改.docx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明
一、选择题（题型注释）
1．下列各式中，最小值等于２的是（ ）
A ．x
y y x + B ．4
1422++
+x x C ．θθtan 1tan +
D ．x x -+22 2．下列说法中，正确的是 ( )
A ．当x ＞0且x ≠1时，1lg 2lg x x
+≥ B ．当x ＞02
C
．当x ≥2时，x+1
x 的最小值为2
D ．当0＜x ≤2时，x-1
x 无最大值
3．下列说法中，正确的是( )
A ．当x ＞0且x ≠1时，1lg 2lg x x +≥
B ．当x ＞02
C ．当x ≥2时，
x+1x 的最小值为2 D ．当0＜x ≤2时，x-1x
无最大值 4．已知，，且，则的最大值是( ) A ．3 B ．3.5 C ．4 D ．4.5
5．下列不等式正确的是
（A ）212x x +≥- （B 4
(0)x ≥> （C ）
12x x +≥ （D ）1sin 2()sin x x k x
π+≥≠ 6．已知2a b +=，则33a b +的最小值是 （ ）
A ．
B ．6
C ．2
D ．x y +∈R 115x y x y
+++=x y +
7．若1()2
f x x x =+
-(2)x >在x n =处取得最小值，则n =（ ） A. 52 B. 3 C. 72 D. 4 8．已知正数x 、y 满足811x y
+=，则2x y +的最小值是 （ ） Ａ．18 Ｂ．16 C ．8 D ．10
9．设x 、y 为正数，则()???
? ??++y x y x 41 的最小值为（ ）
A. 6
B. 9
C. 12
D. 15
10．若则的最小值是 （ ）
A ．2
B ．
C ．3
D ． 11．设x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值是（ ）
（A ）
32
（B ）
（C ）
－2 （D ）2
12．已知正实数,a b ,且1=+b a ，则b a 42+的最小值为 ( ) A.246+ B.224- C.326+ D.5
13．已知0a >，0b >，2a b +=，则14y a b =
+的最小值是 A ．72 B ．4 C ．92
D ．5 14．若正数,a b 满足
315a b
+=，则34a b +的最小值是（ ） A ．285 B ．245 C ．6 D ．5
,1a >1a 1a -+a 1
a a 2-
第II 卷（非选择题）
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二、填空题（题型注释）
15．若正实数,x y 满足26xy x y =++，则xy 的最小值是 ___ ___．
16．已知x ＞0，则
的最大值为________________________．
三、解答题（题型注释）
17．解不等式：|x ＋1|>3.
18．解不等式：x ＋|2x －1|＜3.
19．（1）解不等式
（2）求函数)21,0(,2192∈-+=x x x y 的最小值 20．已知不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x|x ＜1，或x ＞b}．
(1)求a ，b ；
(2)解不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0(c ∈R)．
21．已知数列的前项和为，且2n n S n +=2.
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若*)(,1211
N n a a a b n n n n ∈-+=+求数列}{n b 的前n 项和n S . 22．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}1{+n S 是公比为2的等比数列，2a 是1a 和3a 的等比中项.
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）求数列{}n na 的前n 项和n T .
23．在数列{}n a 中，1=1a ，且满足-1-=n n a a n 1n （）
>. （Ⅰ）求23a a ，及数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1,n n
b a =求数列{}n b 的前n 项和n S . 411
x x ≤--{}n a n n S
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：对于A ，y x
可正可负，所以当0y x >时，2x y y x +≥，当0y x <时，2x y y x +≤-，
所以x y y x +没有最小值；对于B ，设t =，则2t ≥=，所以由1y t t
=+在[2,)+∞单调递增可知，2t =时取得最小值
52；对于C ，与选项A 类似，11|tan ||tan |2tan |tan |θθθθ+
=+≥，所以1tan 2tan θθ+≥或1tan 2tan θθ+≤-，所以1
tan tan θθ
+没有最小值；对于D ，222x x -+≥=，当且仅当22x x -=即0x =时取得等号；综上可知，D 选项正确.
考点：基本不等式的应用.
2．B
【解析】
试题分析：当01x <<时，lg 0x <，所以1
lg lg 0x x +<，故A 不正确；
当x ＞02
=，=即1x =时取""=。故B 正确；
当x ≥2时，12x x +≥=，当且仅当1x x
=即1x =±时取""=，但因[)12,x =±?+∞，所以C 不正确； 因为()f x x =在(]0,2上单调递增，1()g x x
=-在(]0,2上单调递增，所以函数1()h x x x
=-在(]0,2上单调递增，所以max 13()(2)222h x h ==-=。故D 不正确。 考点：1基本不等式；2函数单调性求最值。
3．B
【解析】
试题分析：当01x <<时，lg 0x <，所以1
lg lg 0x x +<，故A 不正确；
当x ＞02
=，=即1x =时取""=。故B 正确；
当x ≥2时，12x x +≥=，当且仅当1x x
=即1x =±时取""=，但因[)12,x =±?+∞，所以C 不正确；
因为()f x x =在(]0,2上单调递增，1()g x x =-
在(]0,2上单调递增，所以函数1()h x x x =-在(]0,2上单调递增，所以max 13()(2)222
h x h ==-=。故D 不正确。 考点：1基本不等式；2函数单调性求最值。
4．C
【解析】；
试题分析：由已知511=+++y x y x 得到：()4
,52y x xy xy y x y x +≤=+++ ()y x xy y x y x xy +≥++≥∴4,41254≤+++∴y
x y x 设t y x =+,即54≤+
t t ,得到0452≤+-t t ,解得41≤≤t ,所以y x +的最大值是4. 考点：利用基本不等式求最值
5．A
【解析】
试题分析：∵2212(1)0x x x ++=+≥，∴A 222x
x +≥=∴B 错误；
考点：基本不等式．
6．B
【解析】
试题分析：因为2a b +=,故336a b +≥===.
考点：基本不等式的运用，考查学生的基本运算能力．
7．B
【解析】
试题分析：由11()(2)2422f x x x x x =+=-++≥--，当且仅当 1202
x x -=>-即3x =时，取得等号，故选B.
考点：均值不等式
8．A 【解析】
试题分析：根据题意 ，由于正数x 、y 满足811x y +=，且可知2x y +=（2x y +）（81x y +）
=17+16y 1018x x y +≥+=，当x=4y 时取得等号，故可知2x y +的最小值是18， 考点：均值不等式
点评：主要是考查了均值不等式的求解最值的运用，属于基础题。
9．B
【解析】
试题分析：()???
? ??++y x y x 4
14559y x x y =++≥+=，当且仅当4y x x y =即2y x =时等号成立，所以最小值为9
考点：均值不等式
点评：利用均值不等式a b +≥求最值时要注意其成立的条件：,a b 都是正数，当和为定值时，乘积取最值，当乘积为定值时，和取最值，最后验证等号成立的条件a b =是否满足
10．C
【解析】
试题分析：根据题意，由于则可以变形
为1a-1+112131a +≥=+=- ，故可知当a=2时等号成立故选C. 考点：基本不等式
点评：本题考查基本不等式的性质与运用，正确运用公式要求“一正、二定、三相等”，解题时要注意把握和或积为定值这一条件
11．C
【解析】
试题分析：因为x ＞0，y ＞0，所以22()(
)2x y xy x y +=-+≤，解不等式可得x ＋y 的最小值是
－2.
考点：本小题主要考查基本不等式的变形应用和二次不等式的求解.
点评：应用基本不等式及其变形公式时，要注意一正二定三相等三个条件缺一不可.
12．A
【解析】
试题分析：因为，正实数,a b ,且1=+b a ， 所以，b
a 42+=≥+++=++
b a a b b a b a 4242)42)((246+，故选A 。 考点：均值定理的应用。
点评：简单题，应用均值定理，要注意“一正，二定，三相等”，缺一不可。
13．C
【解析】
试题分析：根据题意，由于0a >，0b >，2a b +=，则,1a >1
a 1a -+
141141419()()(5)(52222
b a y a b a b a b a b =+=++=++≥+=，当且仅当a=2b 时取得最小值，故可知答案为C.
考点：均值不等式
点评：主要是考查了均值不等式的求解最值，属于基础题。
14．D
【解析】
试题分析：因为，正数,a b 满足315a b
+=，所以，34a b +
=131112311()(34)(13)(132555555
b a a b a b a b ++=++≥+=?=，34a b +的最小值是5，故选D 。
考点：本题主要考查均值定理的应用。
点评：简单题，应用均值定理，应注意“一正，二定，三相等”，缺一不可，并注意创造应用定理的条件。
15．18
【解析】
试题分析：因为,x y
是正实数，所民由基本不等式得，266xy x y =++≥
，设0t =>，
则260t --≥，
即(0t t +-≥，所
以t ≥，所以218xy t =≥，所以xy 的最小值是18.
考点：基本不等式、一元二次不等式.
16．2
【解析】
试题分析：根据题意，由于x ＞0
，则24x 4=22x+x x ≤+x=2时取得等号，故可知函数的最大值为2。
考点：均值不等式
点评：主要是考查了基本不等式求解最值的运用，属于中档题。
17．(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
【解析】由|x ＋1|＞3得x ＋1＜－3或x ＋1＞3，解得x ＜－4或x ＞2.所以解集为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
18．{x |－2＜x ＜43
}
【解析】原不等式可化为210(21)3x x x ≥???－，＋－＜或210(21) 3.x x x ???－＜，－－
＜ 解得12≤x ＜43或－2＜x ＜12
. 所以不等式的解集是{x |－2＜x ＜
43}． 19．（1）{}113|<≤-≥x x x 或
（2）25
【解析】
试题分析：（1）解：
11310)3)(1)(1(01)1)(3(01)1(41142<≤-≥??
??≠≥--+?≥-+-?≤---?-≤-x x x x x x x x x x x x x 或此不等式的解集为{}113|<≤-≥x x x 或
（2）252)21(4212913)212)(21924(21924≥-?+-?+=-+-+=-+=
x
x x x x x x x x x y ， 当且仅当51=x 等号成立。 考点：分式不等式，函数最值
点评：主要是考查了函数的最值以及不等式的求解，属于中档题。
20．（1）12a b =??=?
（2）当c ＞2时，解集为{x|2＜x ＜c}；当c ＜2时，解集为{x|c ＜x ＜2}；当c ＝2时，解集为?
【解析】
试题分析：解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x|x ＜1，或x ＞b}，
所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b ＞1. 由根与系数的关系，得312
1b a b a ?+=?????=??
解得12a b =??=? 6分
(2)不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0，即x 2
－(2＋c)x ＋2c ＜0，即(x －2)(x －c)＜0. ①当c ＞2时，不等式(x －2)(x －c)＜0的解集为{x|2＜x ＜c}；
②当c ＜2时，不等式(x －2)(x －c)＜0的解集为{x|c ＜x ＜2}；
③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c)＜0的解集为?.
∴当c ＞2时，不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0的解集为{x|2＜x ＜c}；
当c ＜2时，不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0的解集为{x|c ＜x ＜2}；
当c ＝2时，不等式ax 2
－(ac ＋b)x ＋bc ＜0的解集为?. 12分
考点：二次不等式的解集
点评：主要是考查了二次不等式的求解，属于基础题。 21．(1)n a n =;(2)2111
n
n . 【解析】 试题分析：（1）由2n n S n +=2得)1()1(2221-+-=≥-n n S n n 时两式相减得n a n =； （2）根据111121()(21)1n
n n n b a n a a n n ，再利用分组求和即可求出
结果.
试题解析：解：（1）由2n n S n +=2.)1()1(2221-+-=≥-n n S n n 时 2分 ∴n S S a n n n 22221=-=-∴n a n =（2≥n ） 4分
又1=n 时，11=a 适合上式。∴n a n = 6分 )12()1
11(12)1(1121)2(1-++-=-++=-+=+n n n n n n a a a b n n n n 8分 )1231()]1
11()4131()3121()211[(-+++++-++-+-+-=∴n n n S n 10分 1
1111122+-+=++-=n n n n 12分 考点：1.通项公式和前n 项和的关系；2.数列求和.
22．（1）12-=n n a ;（2）12)1(+-=n n n T .
【解析】
试题分析：（1）先根据等比数列公式求出n S 与n 的关系式，然后利用n S 与n a 的递推关系求出1a ，从而再求出n a .（2）根据数列通项公式的特点用错位相减法求数列前n 项和. 试题解析：（1）解：∵}1{+n S 是公比为2的等比数列，
∴11112)1(2)1(1--?+=?+=+n n n a S S . 1分
∴12)1(11-?+=-n n a S .
从而11122+=-=a S S a ，221233+=-=a S S a . 3分
∵2a 是1a 和3a 的等比中项
∴)22()1(112
1+?=+a a a ，解得=1a 1或11-=a . 4分
当11-=a 时，11+S 0=，}1{+n S 不是等比数列， 5分
∴=1a 1.
∴12-=n n S . 6分
当2n ≥时，112--=-=n n n n S S a . 7分
∵11=a 符合12-=n n a ，
∴12-=n n a . 8分
（2）解：∵12-?=n n n na ，
∴1212232211-?++?+?+?=n n n T . ① 9分
n n n T 22322212321?++?+?+?= .② 10分
①-②得n n n n T 2222112?-++++=-- 11分 n n
n 22
121?---= 12分 12)1(-?-=n n . 13分
∴12)1(+-=n n n T . 14分
考点：1、n S 与n a 的递推关系的应用，2、错位相减法求数列前n 项和.
23．（1）(1)=2n n n a +；（2）21
n n S n =+。 【解析】
试题分析：（1）
21213232112211223336(1)()()()(1)212n n n n n a a a a a a a a n n a a a a a a a a n n ----=∴=+=-=∴=+=+=-+-+
+-+=+-+++= 数列{}n a 的通项公式(1)=
2
n n n a + （2）
1212112()(1)1
11111122(1)2(1)223111n n n n a n n n n n S n n n n ===-++∴==-+-++-=-=+++b b +b +
+b 考点：等差数列的求和公式，“累差法”，“裂项相消法”。
点评：中档题，本题首先利用“累差法”，确定得到数列的特征，得到数列的通项公式。数列的求和立足于“公式法”，应当注意到“分组求和法”“裂项相消法”“错位相减法”，均是高考考查的重要求和方法。