证明2、3复习讲义
中考复习——证明㈡ 证明㈢
一、复习知识要点：
1、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
2、三角形全等的判定方法：⑴一般三角形全等的判定方法：①SSS ；②SAS ；③ASA ；④AAS 。 ⑵直角三角形全等的判定方法：①SSS ；②SAS ；③ASA ；④AAS ；⑤HL 。
3、特殊三角形的性质和判定 5、线段的垂直平分线的定理及其逆定理：⑴定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 ⑵逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
⑶相关定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 6、角平分线的定理及其逆定理：⑴定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 ⑵逆定理：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这条角的平分线上。 ⑶相关定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 7、尺规作图： ⑴只允许使用没有刻度的直尺和圆规进行的作图称为尺规作图。
⑵基本作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③经过一点作已知直线的垂线；④平分已知角；⑤作线段的垂直平分线。
8
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10、一些定理和推论：
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
推论：夹在两平行线间的平行线段相等。
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
11、一些思想方法：
⑴方程思想：运用方程思想将一个几何问题化为一个方程的求解问题。
⑵化归思想方法：解四边形问题时，常通过辅助线把四边形问题转化归为三角形问题来解决。梯形问题化为三角形、平行四边形来解决。
⑶分解图形法:复杂的图形都是由简单的基本图形组成，故可将复杂图形分解成几个基本图形，从而使问题简单化。
⑷构造图形法：当直接证明题目有困难时，常通过添加辅助线构造基本图形以达到解题的目的。
⑵梯形问题中作辅助线的常用方法(基本图形)
A
B C
D
E
F
⑶菱形的面积公式：S=两条对角线积的一半。 二、典型例题：
例1如图，以正方形ABCD 的DC 边为一边向外作一个等边三角形，①求证：△ABE 是等腰三角形 ②求∠BAE 的度数
例2等边三角形ABC 中，D 是三角形内一点，DA = DB ，BE = AB ，∠CBD = ∠EBD，求∠E 的度数；
例3 已知：如图，在□ABCD 中，AB = 4，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠EAF = 60 ，AF = 33． 求：⑴AD 与BC 的距离； ⑵S □ABCD ； ⑶AD 的长．
例4 已知，如图△ABC 中，AD ⊥BC 于D 点，∠B=2∠C ，求证：CD=AB+BD 。
例5 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 是BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为点E ，BF//AC 交CE 的延长线
于点F ．求证：AC=2BF ．
三、巩固练习：㈠填空题：
1、如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是 度。
2、若等腰三角形的底角等于顶角的一半，则此三角形是 三角形。
3、如右上图，直线l 1,l 2,l 3表示三条交叉公路，现要修建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可以建造的地址有 个。
4、若直角三角形中两边的长分别是3cm 和5cm,则斜边上的中线长是 cm 。
5、等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是 。
6、如果三角形有两边的长分别为5a ，3a ，则第三边x 必须满足的条件是 ；
7、在等腰三角形ABC 中，AB=AC=5，BC=6，D 是BC 上一点，作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE+DF= ．
9、直角三角形两锐角的平分线相交所成的锐角等于 。
A
B
C
D
E
D
F
E
C
B
A
C
B
F
G
A P B
D
E
C
10、如图中Rt △ABC 中，斜边BC 上的高线AD=5cm ，斜边BC 上的中线AE=6cm ， 则△ABC 的面积为 。
11、以长为1、2、2 、5、3，中的三条线段为边长可以构成 个直角三角形． 12、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则其顶角的度数为 度。 13、如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿AD 对折， 点C 落在C /
的位置，如果BC=2，则BC ′= 。
14、在△ABC 中，∠A=50°，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 与D ， 则∠DBC 的度数为 。
15、.判定一个四边形是正方形主要有两种方法，一是先证明它是矩形，然后证明 ， 二是先证明它是一个菱形，再证明 。 16、请写出等腰梯形ABCD(AB ∥CD)特有．．而一般梯形不具有的三个特征： ； ； 。 17、菱形的对角线长分别为6cm 和8cm ，则此菱形的面积为________，周长为________. 18、在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，若△ABC 的周长为30 cm ， 则△DCE 的周长为__________
19、如图，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C ．AE ＝AF ，给出下列结论：①∠1=∠2； ②BE=CF ；③△ACN ≌△ABM ；④CD ＝DN 。其中正确的结论是 。 （注：将你认为正确的结论都填上．）
20、已知菱形的周长为40cm ，两个相邻角度数比为1∶2，则较短的对角线长为 。
21、顺次连接四边形各边中点所得的图形是 ；顺次连接梯形各边的中点所得的图形是 ； 顺次连接等腰梯形各边中点所得的图形是 ；顺次连接平行四边形各边中点所得的图形是 ； 顺次连接矩形各边中点所得的图形是 ；顺次连接菱形各边中点所得的图形是 ；
顺次连接正方形各边中点所得的图形是 ；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是 。 22、如右下图，在ΔABC 中，BC=5 cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线， 且PD ∥AB ，PE ∥AC ，则ΔPDE 的周长是___________ cm.
23、已知：在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD,AD=3cm,BC=7cm, 则梯形的高是 cm 。
24、如右图，在RtΔABC,∠ACB=900,∠A ＜∠B ，CM 是斜边AB 的中线， 将ΔACM 沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处，若CD 恰好与AB 垂直， 则∠A 等于 度.
25、如右图，菱形ABCD 的对角线的长分别为2和5，P 是对角线AC 上任一点 （点P 不与点A 、C 重合），且PE ∥BC 交AB 于E ，PF ∥CD 交AD 于F ， 则阴影部分的面积是_______.
26、如右图，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30° 后得到的正方形EFCG ，EF 交AD 与点H
，那么DH 的长为___________．
㈣解答或证明题：
1、已知，如图，O 是⊿ABC 的∠ABC、∠ACB 的角平分线的交点，OD∥AB 交BC 于D ，OE∥AC 交BC 于E ，若BC = 10 cm ，求⊿ODE 的周长。
D
2、已知，如图⊿ABC 中，∠ACB 的平分线交AB 于E ，∠ACB 的补角∠ACD EG∥BC 交AC 于F ，EF 会与FG 相等吗？为什么？
3、已知：在□ABCD 中，AM = CN ，BF = DE ．求证：MN 、EF 互相平分．
4、△ABC 中，中线BE 、CF 相交于O ，M 是BO 的中点，N 是CO 的中点， 求证：四边形MNEF 是平行四边形。
5、如图，△ABC 中，E 是BC 边上的中点，DE ⊥BC 于E ，交∠BAC 的平分线AD 于
过D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，试证明：BM ＝CN ．
7、在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，且BD ＝CE ． 求证：DM ＝EM ．
8、如图，梯形ABCD
中，AB ∥CD
，点E 在BC 上，且AE 、DE 分别平分∠BAD 和∠ADC 。 求证：BE=EC
。
9、如图，在□ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ、ＢＤ相交于Ｏ点，ＢＤ＝2ＡＤ，Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是ＯＣ、ＯＤ、ＡＢ的中点． 求证： （1）ＢＥ⊥ＡＣ； （2）ＥＧ＝ＥＦ．
N
B A
B
C
D M N E
F
2.2命题与证明
2.2 命题与证明 2.2.1 定义、命题、证明（ 1）（第 6 课时）教学目标1、知识与技能：了解命题、定义的含义；对命题的概念有正确的理解。会区分命题的条件和结论。 重点与难点 1 、重点：找出命题的条件（题设）和结论。 2 、难点：命题概念的理解。 教学过程 一、复习引入 教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于 180 度”，“等腰三角形两底角相等”等。根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确。 1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； 2、两直线平行，同位角相等； 3、同旁内角相等，两直线平行； 4、平行四边形的对角线相等； 5、直角都相等。 二、探究新知 （一）命题、真命题与假命题 学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子 1、2、5 是正确的，句子 3、 4 水错误的。像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题。 教师：在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果 .. ，那么..... ”的形式。用“如果”开始的部分就是题设，而用“那 么”开始的部分就是结论。例如，在命题 1 中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论。 有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果... ， 那么..... ”的形式，就可以分清它的题设和结论了。例如，命题 5 可写 成“如果两个角是直角，那么这两个角相等。”
(二)实例讲解 1 、教师提出问题 1(例 1 )：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果... ，那么 .... ”的形式，并分别指出命题的题设和结 论。 学生回答后，教师总结：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形” 。这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形” 。 2 、教师提出问题 2 ：把下列命题写成“如果，那么...... ”的形式，并说出它们的条件和结论。 (1)对顶角相等； (2)如果 a> b,b > c, 那么 a=c； ( 3)菱形的四条边都相等； ( 4)全等三角形的面积相等。学生小组交流后回答，学生回答后，教师给出答案。( 1)条件：如果两个角是对顶角；结论：那么这两个角相等 ( 2)条件：如果 a> b,b > c ；结论：那么 a=c。 ( 3)条件：如果一个四边形是菱形；结论：那么这个四边形的四条边相等。对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个命题叫逆命题。 说出上题的逆命题，并讨论。 三、随堂练习 P52 练习 1、2、3。 四、总结 1、什么叫命题？什么叫互逆命题？ 2、命题都可以写成“如果，那么...... ”的形式。 五、布置作业 P58习题A组1、2。 教学后记：
不等式证明方法讲义.doc
学习必备欢迎下载 不等式的证明方法 一、比较法 1. 求证： x2 + 3 > 3 x 证：∵ (x2 + 3) 3x = x2 3x ( 3 ) 2 ( 3 )2 3 (x 3 ) 2 3 0 2 2 2 4 ∴x2 + 3 > 3 x 2. 已知 a, b, m 都是正数，并且 a < b，求证：a m a b m b a m a b(a m) a( b m) m(b a) 证： m b b(b m) b(b m) b ∵ a,b,m 都是正数，并且a
相似三角形的判定及证明技巧讲义
- 1 - / 4 相似三角形（三） 知识点（一）：相似三角形的证明技巧 1.相似三角形的基本图形 2.相似三角形判定定理（3条） 3.相似三角形的具体解题方法 1.“三点定形法”：即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。 例1、已知:如图△ABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:AE?AB=AC?AF.（判断“横定”还是“竖定”？） 例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。 分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（“横定”还是“竖定”？） 练习1.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。 求证：CD2=DE·DF。
A D E F B C
2.过渡法（或叫代换法） 有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明． (1)等量过渡法（等线段代换法） 遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。 例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的 延长线于E．求证：DE2＝BE·CE． - 2 - / 4 (2)等比过渡法（等比代换法） 当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代
高中数学全套讲义 选修1-2 证明方法中档 学生版
目录 目录 (1) 考点一分析法和综合法 (2) 课后综合巩固练习 (3)
考点一分析法和综合法 1．分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．用Q表示要证明的结论，则分析法可表示为： [Q?P1]→[P1?P2]→[P2?P3]→…→[得到一个明显的成立条件]． 2．综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可表示为： [P?Q1]→[Q1?Q2]→[Q2?Q3]→…→[Q n?Q]． 3．分析法和综合法的区别 综合法证明是“由因导果”，分析法证明是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述． 1．（2019春?滁州期末）只要证1020 +， 5，只要证：2125 <．这种证明方法是() A．反证法B．分析法C．综合法D．间接证法 2．（2018春?未央区校级期中）可选择的方法有以下几种，其中最合理的是() A．综合法B．分析法C．比较法D．归纳法3．（2018春?湖北期中）以下是解决数学问题的思维过程的流程图：
在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( ) A ．①-分析法，②-反证法 B ．①-分析法，②-综合法 C ．①-综合法，②-反证法 D ．①-综合法，②-分析法 4．（2018春?龙华区校级期中）已知函数()|sin |f x x =的图象与直线(0)y kx k =>有且仅有三 个交点，交点的横坐标的最大值为α，2 1,34cos A B sin sin ααααα +==+令．则( ) A ．A B > B ．A B < C ．A B = D ．A 与B 的大小不确定 课后综合巩固练习 5．（2018春?龙岗区期末）分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a b c >>，且 0a b c ++=””索的因应是( ) A ．0a b -> B ．0a c -> C ．()()0a b a c --> D ．()()0a b a c --< 6．（2017春?菏泽期中）命题：“对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=”的证明过程：“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos2θθθθθθθθθ-=-+=-=”应用了( ) A ．分析法 B ．综合法 C ．综合法与分析法结合使用 D ．演绎法 7．（2016?石景山区一模）德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整 数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即)2 n ；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即31)n +，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注:1可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为( ) A ．4 B ．6 C ．32 D ．128 8．（2016春?邹平县校级期中）若a b c >>，则使11k a b b c a c +---恒成立的最大的正整数
三角形的证明讲义
小巨人学科教师辅导讲义
D C B A F E 121、等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，则周长为 ____ 。 2、如图在△ABC 中，AB = AC ，AD ⊥AC ，∠BAC = 100°。求：∠1、∠B 的度数。 3、如图，已知∠D =∠C ，∠A =∠B ，且AE = BF 。求证：AD = BC 。 4、如图，在△ABC 中，D 为AC 上一点，并且AB = AD ，DB = DC ，若∠ C = 29°，求∠A 。 5.如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 是BC 边上的中点，且DE ⊥AB ，DF ⊥ AC 。 求证：∠1 =∠2。 总结一下： 1、等腰三角形性质定理： （简称“等边对等角”）； 2、推论（三线合一）： 第二篇章 1、 如图，E 是△ABC 内的一点，AB = AC ，连接AE 、BE 、CE ，且BE = CE ，延长AE ，交BC 边于点D 。求证：AD ⊥BC 。 2、已知：如图，点D,E 在三角形ABC 的边BC 上,AD=AE,AB=AC,求证：BD=CE 3、已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C,求证：AB=AC （提示：构造两个全等三角形证明） 归纳：1、有两个角相等的三角形是______三角形。（简称“等角对等边”） 推理格式：∵∠B=∠C,∴___________(等角对等边) 2、反证法证明问题的一般步骤： 从结论的 _ 出发，先假设命题的结论 __ ，然后推出与定义、公理、已证定理或已知条件相 __ 的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为 ____ 。 1、用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。 2.如图，在△ABC 中，AB = AC ，DE ∥BC ，求证：△ADE 是等腰三角形。 321A B C D A B C D E F D C B A C B A E A B C D
命题与证明练习题1及答案教学文稿
命题与证明练习题1 及答案
精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 命题与证明 一、填空 1.把命题“三边对应相等的两个三角形全等”写成“如果……,那么……”的形式是________________________________________________________________________. 2.命题“如果2 2 a b = ,那么a b =”的逆命题是________________________________. 3.命题“三个角对应相等的两个三角形全等” 是一个______命题(填“真”或“假”). 4.如图,已知梯形ABCD 中, AD ∥BC, AD ＝3, AB ＝CD ＝4, BC ＝7,则∠B ＝_______. 5.用反证法证明“b 1∥b 2”时,应先假设_________. 6.如图,在ΔABC 中,边AB 的垂直平分线交AC 于E, ΔABC 与ΔBEC 的周长分别为24和14,则AB ＝________. 7.若平行四边形的两邻边的长分别为16和20, 两长边间的距离为8,则两短边的距离为__________. 8.如图,在ΔABC 中,∠ABC ＝∠ACB ＝72°, BD 、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线,它们的交点为F,则图中等腰三角形有______个. 二、选择题 1.下列语句中,不是命题的是（ ） A.直角都等于90° B.面积相等的两个三角形全等 C.互补的两个角不相等 D.作线段AB 2.下列命题是真命题的是（ ） A.两个等腰三角形全等 B.等腰三角形底边中点到两腰距离相等 C.同位角相等 D.两边和一角对应相等的两个三角形全等 3.下列条件中能得到平行线的是（ ） ①邻补角的角平分线；②平行线内错角的角平分线；③平行线同位角的平分线； ④平行线同旁内角的角平分线. A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ④ 4.下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A.两直线平行同位角相等 B.对顶角相等 C.若a b =,则22a b = D.若(1)1a x a +>+,则1x > 5.三角形中,到三边距离相等的点是（ ） A.三条高的交点 B.三边的中垂线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条中线的交点 6.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.面积相等 7.△ABC 的三边长,,a b c 满足关系式()()()0a b b c c a ---=，则这个三角形一定是（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.无法确定 8.如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，若EB 的长为1， EC 的长为2，那么正方形ABCD 的面积是（ ） 35三、解答题（每题8分,共32分） 1.判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,请举一个反例说明. （1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. （2）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形. 2.如图, BD ∥AC,且BD ＝1 2 AC, E 为AC 中点,求证:BC ＝DE.
推理与证明讲义
1．1 归纳推理 【学习要求】 1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理． 2．了解归纳推理在数学发展中的作用． 【学法指导】 一，基础知识回顾： 归纳是推理常用的思维方法，其结论不一定正确，但具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养 1．归纳推理定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理． 2．归纳推理的思维过程大致是实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论． 3．归纳推理具有如下的特点：(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般 的推理；(2)由归纳推理得到的结论不一定 正确；(3)归纳推理是一种具有创造性的推理． 二，问题探究 探究点一：归纳推理的定义 例1：在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断——张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？ 答：根据一个或几个已知的命题得出另一个新的命题的思维过程就叫作推理． 变式迁移1：观察下面两个推理，回答后面的两个问题：(1)哥德巴赫猜想：6＝3＋3 8＝3＋5 10＝5＋5 12＝5＋7 14＝7＋7 16＝5＋11…… 1 000＝29＋971 1 002＝139＋863……猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和．(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．回答 ①以上两个推理在思维方式上有什么共同特点？②其结论一定正确吗？ 答：①共同特点：部分推出整体，个别推出一般．(这种推理称为归纳推理) ②其结论不一定正确． 小结 归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)． 探究点二：归纳推理在数列中的应用 例2：在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，n ∈N *，猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理由． 解：在{a n }中，a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25 ，…，所以猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.这个猜想是正确的，证明如下：因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，所以1a n ＋1 ＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12 ，所以数列??????1a n 是以1a 1＝1为首项，12为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋(n －1)×12＝12n ＋12，所以通项公式a n ＝2n ＋1 变式迁移2：已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…) (1)求a 2，a 3，a 4，a 5； (2)归纳猜想通项公式a n . 解：(1)当n ＝1时，知a 1＝1，由a n ＋1＝2a n ＋1得a 2＝3， a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31. (2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1， a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1，可归纳猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)．
第一章三角形的证明复习资料
精品文档 《第1章三角形的证明》复习资料 知识点： 一、全等三角形的判定及性质 性质：全等三角形对应角相等、对应边相等 判定：①判定一般三角形全等：（SSS、SAS、ASA、AAS）. ②判定直角三角形全等独有的方法：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，即HL 二. 等腰三角形 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）． 推论：等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边上的高互相重合（即“三线合 一”）． 等边三角形的性质及判定定理 性质：等边三角形的三个角都相等，每个角都等于 60°；等边三角形是轴对图形，有 3 条对称轴. 判定：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形. 三.直角三角形 1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 222a?bc。tp://w ww.xk =、b、c，则如果直角三角形的两直角边长和斜边分别为为a222a?bc，那么这个=a、b、c满足关系勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长三角形是直角三角形。常见的勾股数有：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17 2.含30°的直角三角形的边的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半. 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 四. 线段的垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 精品文档． 精品文档 . 垂直平分线上判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的 . 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等角平分线五. 的距离相等；角两边性质：角平分线上的点到 . 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上
数学八年级下命题与证明复习测试题(答案)
命题与证明 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列语句中，属于命题的是（）． （A）直线AB和CD垂直吗（B）过线段AB的中点C画AB的垂线 （C）同旁内角不互补，两直线不平行（D）连结A，B两点 2．下列命题中，属于假命题的是（） （A）若a⊥c，b⊥c，则a⊥b （B）若a∥b，b∥c，则a∥c （C）若a⊥c，b⊥c，则a∥b （D）若a⊥c，b∥a，则b⊥c 3．下列四个命题中，属于真命题的是（）． （A）互补的两角必有一条公共边（B）同旁内角互补 （C）同位角不相等，两直线不平行（D）一个角的补角大于这个角 4．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（）． （A）垂直（B）两条直线 （C）同一条直线（D）两条直线垂直于同一条直线 5．已知△ABC的三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形是（）． （A）锐角三角形（B）直角三角形 （C）钝角三角形（D）等腰三角形 6．若三角形的三个外角的度数之比为2：3：4，则与之对应的三个内角的度数之比为（）．（A）4：3：2 （B）3：2：4 （C）5：3：1 （D）3：1：5 7．若等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角为（）． （A）55°（B）70°（C）55°或70°（D）以上答案都不对 8．如图1，点D，E分别是AB，AC上的点，连结BE，CD．若∠B=∠C，则∠AEB与∠ADC的大小关系是（）． （A）∠AEB>∠ADC （B）∠AEB=∠ADC;（C）∠AEB<∠ADC （D）不能确定 (1) (2) (3) 9．如图2，在锐角△ABC中，CD和BE分别是AB和AC边上的高，且CD和BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）． （A）150°（B）130°（C）120°（D）100° 10．如图3，如果AB∥CD，那么角α，β，γ之间的关 系式为（）． （A）α+β+γ=360°（B）α-β+γ=180°; （C）α+β+γ=180°（D）α+β-γ=180° 二、填空题（每空格1分，共20分） 11．如图，∠A+∠D=180°（已知），
证明(三)经典讲义
证明（三）主要知识点： 一、三角形 按角分 三角形 按边分 二、四边形 1. 知识结构如下图 （1）弄清定义及四边形之间关系图1： （2）四边形之间关系图2： 四边形 正方形 两腰相等 有一个角是直角 直角梯形 平行四边形 矩形菱形 正 方 形 等腰梯形直角梯形 梯形 四边形 直角三角形 钝角三角形 三条边都不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形（正三角形） 1
2、几种特殊的四边形的性质和判定： 2
3 3、一些定理和推论： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 推论：夹在两平行线间的平行线段相等。 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 4、一些思想方法： ⑴方程思想：运用方程思想将一个几何问题化为一个方程的求解问题。 ⑵化归思想方法：解四边形问题时，常通过辅助线把四边形问题转化归为三角形问题来解决。梯形问题化为三角形、平行四边形来解决。 ⑶分解图形法:复杂的图形都是由简单的基本图形组成，故可将复杂图形分解成几个基本图形，从而使问题简单化。 ⑷构造图形法：当直接证明题目有困难时，常通过添加辅助线构造基本图形以达到解题的目的。 ⑸解证明题的基本方法：①从已知条件出发探索解题途径的综合法；②从结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直至已知条件的分析法；③两头凑的方法，就是综合运用以上两种方法找到证明的思路（又叫分析—综合法）。 ⑹转化思想：就是将复杂问题转化，分解为简单的问题，或将陌生的问题转化成熟悉的问题来处理的一种思想。 5、注意： ⑴四边形中基本图形 ⑵梯形问题中作辅助线的常用方法(基本图形 ) ⑶菱形的面积公式：S=两条对角线积的一半。
相似三角形详细讲义
知识梳理 相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”． 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注意： ①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易 找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对 应边成比例． 相似三角形的基本定理 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原 三角形相似． 定理的基本图形： 用数学语言表述是：
BC DE // ， ADE ∽ABC ． 相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ． (2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ． (3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ． 三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似） 6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下： （1）（AD ）2=BD ·DC ， （2）（AB ）2=BD ·BC ， （3）（AC ）2=CD ·BC 。 证明：在 △BAD 与△ACD 中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC ，又∵∠ BDA=∠ADC=90°，∴△BAD ∽△ACD 相似，∴ AD/BD ＝CD/AD ，即 （AD ）2=BD ·DC 。其余类似可证。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得： （AB ）2+（AC ）2=BD ·BC+CD ·BC =（BD+CD)·BC=（BC ）2， 即 （AB ）2+（AC ）2=（BC ）2。 这就是勾股定理的结论。 判断相似三角形的几条思路： 1 条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理 2 条件中如果有一对等角，可再找一对等角（用判定1）或再找夹边成比例。（用判定2）3条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等（直角可以直接得出相似）4条件中若有一对直角，可考虑在找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例。5条件中若
命题与证明练习题1及答案
命题与证明 一、填空 1.把命题“三边对应相等的两个三角形全等”写成“如果……,那么……”的形式是________________________________________________________________________. 2.命题“如果2 2 a b = ,那么a b =”的逆命题是________________________________. 3.命题“三个角对应相等的两个三角形全等” 是一个______命题(填“真”或“假”). 4.如图,已知梯形ABCD 中, AD ∥BC, AD ＝3, AB ＝CD ＝4, BC ＝7,则∠B ＝_______. 5.用反证法证明“b 1∥b 2”时,应先假设_________. 6.如图,在ΔABC 中,边AB 的垂直平分线交AC 于E, ΔABC 与ΔBEC 的周长分别为24和14,则AB ＝________. 7.若平行四边形的两邻边的长分别为16和20, 两长边间的距离为8,则两短边的距离为__________. 8.如图,在ΔABC 中,∠ABC ＝∠ACB ＝72°, BD 、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线,它们的交点为F,则图中等腰三角形有______个. 二、选择题 1.下列语句中,不是命题的是（ ） A.直角都等于90° B.面积相等的两个三角形全等 C.互补的两个角不相等 D.作线段AB 2.下列命题是真命题的是（ ） A.两个等腰三角形全等 B.等腰三角形底边中点到两腰距离相等 C.同位角相等 D.两边和一角对应相等的两个三角形全等 3.下列条件中能得到平行线的是（ ） ①邻补角的角平分线；②平行线内错角的角平分线；③平行线同位角的平分线； ④平行线同旁内角的角平分线. A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ④ 4.下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A.两直线平行同位角相等 B.对顶角相等 C.若a b =,则22a b = D.若(1)1a x a +>+,则1x > 5.三角形中,到三边距离相等的点是（ ） A.三条高的交点 B.三边的中垂线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条中线的交点 6.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.面积相等 7.△ABC 的三边长,,a b c 满足关系式()()()0a b b c c a ---=，则这个三角形一定是（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.无法确定 8.如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，若EB 的长为1， EC 的长为2，那么正方形ABCD 的面积是（ ） 三、解答题（每题8分,共32分） 1.判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,请举一个反例说明. （1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. （2）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形. 2.如图, BD ∥AC,且BD ＝1 2 AC, E 为AC 中点,求证:BC ＝DE.
四边形证明(讲义及答案)
四边形证明（讲义） 知识点睛 菱形 精讲精练 1.如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接 CD．求证：四边形ABCD是菱形． O A E B C F D 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°．AG∥CD，交BC于点G，E，F分别为AG， CD的中点，连接DE，FG，DG． （1）求证：四边形DEGF是平行四边形； （2）当点G是BC的中点时，求证：四边形ABGD是矩形． 3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，O为AB的中点，连接DO并延长至点 E，使OE=DO，连接AE，BE． （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？请说明理由． O E D C B A A D F E B G C
4. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，点F 在 DE 上，且AF =CE =AE ． （1）求证：四边形ACEF 是平行四边形； （2）当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？请说明理由． F E D C B A 5. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延 长线于点F ，连接CF ．若 AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论． F E D C B 6. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且AE =AF ． （1）求证：BE =DF ； （2）连接AC ，交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM =OA ，连接EM ，FM ，则四边形AEMF 是什么特殊四边形？请证明你的结论． M O F E D C B A
北师版八年级数学下册第一章三角形的证明易错题进阶辅导讲义
北师版八年级数学下册第一章三角形的证明易 错题进阶辅导讲义 北师版八年级数学下册第一章三角形的证明易错题进阶辅导讲义1 【第一阶梯】 【专题一】等腰三角形的内角 题目 1．（2021秋?农安县期末）等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是（） A．50° B．50°或65° C．80° D．65° 2．（2021秋?平南县期末）等腰三角形的一个角为50°，则它的底角为（） A．50° B．65° C．50°或65° D．80° 3．（2021秋?昆山市校级期末）已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（） A．80° B．20° C．80°或20° D．不能确定 4．（2021秋?连城县期末）等腰三角形的一个角为40°，则它的顶角为．【专题二】等腰三角形的边的 题目
5．（2021秋?太仓市期末）如果等腰三角形两边长是5cm和2cm，那么它的周长是（） A．7cm B．9cm C．9cm或12cm D．12cm 6．（2021秋?顺义区期末）若等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为（） A．22 B．17 C．13 D．17或22 7．（2021春?洛宁县期末）等腰三角形两边长分别为5和7，则它的周长是（） A．19 B．11 C．17 D．17或19 8．（2021秋?余干县期末）如果等腰三角形两边长是9cm和4cm，那么它的周长是（） A．17cm B．22cm C．17或22cm D．无法确定 9．（2021春?道里区期末）如果等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（） A．20cm B．16cm C．20cm或16cm D．12cm 10．（2021秋?如东县期末）已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为2，则它的周长等于（） A．8 B．7 C．8或5 D．8或7
命题与证明的知识点总复习含答案解析
命题与证明的知识点总复习含答案解析 一、选择题 1．下列命题属于真命题的是（） A．同旁内角相等，两直线平行B．相等的角是对顶角 C．平行于同一条直线的两条直线平行D．同位角相等 【答案】C 【解析】 【分析】 要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项． 【详解】 A、同旁内角互补，两直线平行，是假命题； B、相等的角不一定是对顶角，是假命题； C、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题； D、两直线平行，同位角相等，是假命题； 故选C． 【点睛】 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 2．下列命题是真命题的是（） A．内错角相等 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．相等的角是对顶角 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】 命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假，正确的命题为真命题，错误的命题为假命题． 【详解】 A、内错角相等，是假命题，故此选项不合题意； B、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，故此选项符合题意； C、相等的角是对顶角，是假命题，故此选项不合题意； D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了命题与定理，关键是掌握要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论
立体几何平行证明问题讲义教师
立体几何平行证明问题讲义 （一）平行的问题 一“线线平行”与“线面平行”的转化问题 （一）中位线法：当直线上没有中点，平面内有一个中点的时候，（如例1求证：PB//平面AEC P 、B 为顶点，平面AEC 内E 为中点）采用中位线法。 具体做法：如例1,平面AEC 的三个顶点，除中点E 夕卜，取AC 的中点0,连接EQ 再 确定由直线 PB 和中点E 、O D 确定的 PBD （连接 PBD 的第三边BD ），在 PBD 中，E0为 PB 的中位线。a 【习题巩固一】 1. （2011天津文）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，0为AC 中点 M 为PD 中点.（I ）证明：PB//平面ACM ; 规范写法： a//b,a ,b , b// 例1如图，在底面为平行四边形的四棱锥 求证：PB//平面AEC ； P ABCD 中，点E 是PD 的中点 . 例2三棱柱ABC ABiG 中，D 为AB 边中点。求证: AG // 平面 CDB ,; b A B 1 B A C B
21. （2013年高考课标U卷（文））如图,直三棱柱ABC-ABG中,D是AB的中点.（1）证明 BC// 平面A i CD; 2. （2011 四川文）如图，在直三棱柱ABC —A1B1C1 中，/ BAC=90° AB=AC=AA i=1 ,延长A i C i 至点P,使C1P = A1C1，连接AP交棱CC1于D . 求证：PB1//平面 BDA1； （二）平行四边形法：当直线上有一个中点（如例1证明：FO//平面CDE ；O为中点）采用平行四边形法。 具体做法：FO先与E连接（原因是ECD的三个顶点E、C D中只有E与已知平行条件EF//BC有关）,再与ECD的另两个顶点CD的中点M相连，构成平行四边形FOE（原因是EF//OM, EF=OM,从而FO//EM。 规范写法（如图）： EF//GH,EF GH , EFGH 是平行四边形EH//FG,EH ,FG , EH // 例1【天津高考】如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱EF〃〔BC . （1）证明：FO//平面CDE ; 2
初二三角形的证明培优同步讲义
学科教师辅导讲义 体系搭建 一、知识梳理 1、等腰三角形的性质定理 （1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS） （2）等腰三角形的两底角相等。即等边对等角。 （3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。即三线合一。 （4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。 2、等腰三角形的判定定理
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。 （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。 （3）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 3、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形的性质和判定方法 定理：直角三角形的两个锐角互余。 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。 5、勾股定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 6、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 7、逆命题、逆定理 互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。 8、斜边、直角边定理 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。 9、线段垂直平分线的性质定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 10、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理） 定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 11、三角形三条边的垂直平分线的性质 性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。 12、角平分线的性质定理：定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 13、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）：定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 14、三角形三内角的角平分线性质：性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
人教版八年级上册全等三角形证明过程训练(讲义及答案)
全等三角形证明过程训练（讲义） ? 课前预习 1. 判定三角形全等的方法有______，______，______，______． 要证三角形全等需要找_____组条件，其中必须有_____． 2. 在做几何题时，我们往往借助对图形的标注来梳理信息，进而把条件直观化， 请学习下图中的标注． ①如图1，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ． ②如图2，在四边形ABCD 中，连接BD ，∠ABD =∠CDB ，∠ADB =∠CBD ，∠A =∠C ． ③如图3，在四边形ABCD 中，连接AC ，BD 相交于点O ，AO =OC ，BO =DO ． D C B A × ×A B C D O A B C D 图1 图2 图3 3. 数学推理中，有理有据地思考和表达是一项基本的数学素养，请走通思路后， 完整书写过程． 如图是一个易拉罐的纵截面示意图，易拉罐的上下底面互相平行（AB ∥CD ），用吸管吸饮料时，若∠1=110°，求∠2的度数． 321 D C B A
? 知识点睛 1. 直角三角形全等的判定定理：_________________________． 2. 已知：如图，在△ABC 与△A′B′C′中，∠C =∠C′=90°，AB =A′B′，AC =A′C′． 求证：△ABC ≌△A′B′C′． C' B'A' C B A 证明：如图， 在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中 AB A'B' AC A'C' =?? =?（已知）（已知） ∴Rt △ABC ≌Rt △A′B′C′（HL ） ? 精讲精练 1. 如图，AC =AD ，∠C ，∠D 是直角，将上述条件标注在图中，则___________ ≌___________，从而BC ________BD ．
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