武汉艺术生文化课华英艺考高三百日提百分：湖北岳口高中2012届高考模拟数学(理)试题 1

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岳口高中2012届高考模拟数学（理）试题一

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数31i

i

--等于（ ）

A ．i 21+ B.12i - C.i +2 D.i -2

2．函数()34x f x x =+的零点所在的区间是（ ） A ．（一2，一1） B ．（一1，0）

C ．（0，1）

D ．（1，2）

3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知85=a ，63=S ，则710S S -的值是 （ ） A ．24 B ．36 C ．48 D ．72 4．若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出四个函数：

()x x f 2

1log

2=，()()2log

2

2+=x x f ，

2

2

3log

)(）（x x f =，()x x f 2log

)(2

4=. 则“同形”

函数是( ) A ．()x f 1与()x f 2

B ．()x f 2与()x f 3

C ．()x f 1与()x f 4

D ．()x f 2与()x f 4

5.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm 2)为（ ）

A ．48＋12 2

B ．48＋24 2

C ．36＋12 2

D ．36＋24 2

6．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则ξ

E 为 ( )

A ．1

B ．5.1

C ．2

D ．5.2

7．设随机变量()2~1,5X N ，且()()02P X P X a ≤=>-，则实数a 的值为 （ ） A ． 4 B ． 6 C ． 8 D ．10

8. 函数c o s ()(0,0)y x ω?ω?π

=+><<为奇函数，该函数的部分图像如图所示，A 、B 分别为

最高点与最低点，且||AB =2 （ ） A.2

π

=

x

B.2

π

=

x C.2x =

D.1x =

A ．66条

B ．72条

C ．74条

D ．78条

10. 设F 1、F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 21的左、右焦点，c ＝a 2－b 2

，若直线x ＝a 2c

上存在点P ，使线段

PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是 A.????0，22 B. ???

?0，33 C.????22，1 D. ????33，1 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25

分。把答案填在题中横线上．

11．5

21??? ?

?

+x x 展开式中4x 的系数为 (用数字作答).

12．已知程序框图如右，则输出的i = ．

13．已知实数y x ,满足0,1,2210.x y x y ≥??

≤??-+≤?

若目标函数

y ax z +=()0≠a 取得最小值时的最优解有无数个，

则实数a 的

值为_____．

14. 对一切实数x ，不等式x 2

＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取

值范围是 .

15. 在△OAB 中，O 为坐标原点，A (1，cos θ)，B (sin θ，1) θ∈????0，π

2，则△OAB 的面积达到最大

值时，θ＝ .

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（ 12分）已知函数n m x f ?=)(, 其中)cos 3,cos (sin x x x m ωωω+=，

)sin 2,sin (cos x x x n ωωω-=，其中 ,0>ω若)(x f 相邻两对称轴间的距离不小于.

2π

（1）求ω的取值范围；

开始

1

S =结束3

i =100?

S ≥i

输出2

i i =+*S S i

=是

否

（2）在ABC ?中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，3,3=+=c b a ，

当ω最大时，,1)(=A f 求ABC ?的面积。

17．（ 12分）已知函数3

)(+=

x x x f ，数列{}n a 满足11=a ，))((1++∈=N n a f a n n

（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 满足++=?=

+211,32

1b b S a a b n n

n n n …+n b ，求n S .

18.（12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平

行四边形，22==AD AB ，3=

BD ，PD ⊥底面

ABCD .

(1)证明：平面⊥PBC 平面PBD ；

(2)若1=PD ，求AP 与平面PBC 所成角θ的正弦值.

19.（12分）甲、乙两名同学在5次英语口语测试中的成绩统计如下面的茎叶图所示.

（1）现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从统计学角度，你认为派哪位学生参加更合适，请说明理由；

（2）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次英语口语竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望ξE .

20.（13分）已知双曲线:

C 222

2

1x y a

b

-

=(0,0)a b >>与圆

22:3O x y +=相切，过C 的左焦点

O 相切．

6 5

3 0 3 5 7

6

4 7

甲 乙

7.

8 9

（1）求双曲线C 的方程；

（2）P 是圆O 上在第一象限内的点，过P 且与圆O 相切的直线l 与C 的右支交于A 、B 两点，

AOB ?的面积为l 的方程．

21.（14分）已知函数()1(0,)x

f x e a x a e =-->为自然对数的底数.

（1）求函数()f x 的最小值；

（2）若()f x ≥0对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值；

（3）在（2）的条件下，证明：121()()()()(*)

1

n n n n

n n e

n n n

n

n e -++???++<∈-N 其中

安徽高考模拟数学（理）试题一参考答案 CBCDA BADBD. 10 9 1- 2-≥a

2

π

16．解：（1）x x x x n m x f ωωωωsin cos 32sin cos )(22?+-=?= )6

2s i n (22s i n 32c o s π

ωωω+

=+

=x x x .

0>ω,∴函数)(x f 的周期ω

πω

π=

=

22T ，由题意可知

2

2π

≥

T ，即

2

2π

ω

π

≥

，解得

10≤<ω，即ω的取值范围是{}10|≤<ωω.6分

（2）由（1）可知ω的最大值为1，

)62sin(2)(π

+

=∴x x f ，1)(=A f ，

21)6

2sin(=

+

∴π

A ，

而1326

6

6

A π

π

π<+

<

，

ππ

6

56

2=

+

∴A ，

3π

=

∴A ， 由余弦定理知

A bc c b a cos 22

2

2

-+=，2

2

b c bc 3,b c 3∴+-=+=又，.联立解得2=bc ，

23

sin 2

1=

=

∴?A bc S ABC 。 ……12分

17.（1）.1313

1

1+=

∴

+=

++n

n n n n a a a a a 由已知： ………2分

1

32,3

232113232112

3211),2

11(32

111

1

1

-=

∴?=+∴

??????+∴=

+

+=+∴-+n

n n n

n n

n a a a a a a 为公比的等比数列，

为首项，为以数列并且

1

1

122

1

1

23

11(2)3131(31)(3

1)

1

1

1

111.

3131

31

3

1

2

3

1

n n

n n

n n

n n n

n n b S b b b ++++?=

=-

----∴=+++=

-

++

-

=

-

----- 18. (2)如图，分别以

…………6分

……………9分

12分

DA 、DB 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系则)0,0,1(A ，)0,3,

0(B ，)1,0,0(P ，

)0,3,

1(-C )1,0,1(-=AP ，)0,0,1(-=BC ，)1,3,0(-=BP …… 8分 设平面PBC 的法向量

为n ),1,(z x = 由????

?=?=?0

0BP n BC n 可得??

?=

=3

0z x ，∴)3,1,0(=n …10分

4

6sin =

?=

n

AP n

AP θ (12)

19解：（1）6.855

93

90868574=++++=

甲x

6.855

97

87858376=++++=

乙x …………2分

])6.8593()6.8590()6.8586()6.8585()6.8574[(5

12

2222-+-+-+-+-=甲

DX =

84.4120.2095

1=?

]

)6.8597()6.8587()6.8585()6.8583()6.8576[(5

12

2

2

2

2

-+-+-+-+-=乙

DX 24.462.2315

1=?=……4分乙

甲

DX

DX

<，甲的水平更稳定，所以派甲去； 6分（2）高于80

分的频率为5

4，故每次成绩高于80分的概率5

4=

p 。

ξ取值为0,1,2,3，)5

4

,3(~B ξ。……8分 125

1)5

1

()5

4

()0(3

3=

==C P ξ；

12512)51()54()1(2113===C P ξ125

48)51()54()2(1223===C P ξ；

64)1()4()3(0

333===C P ξ

5

12543=

?

==np E ξ. …13分

12分

20.解：（1）∵双曲线C 与圆O 相切，∴

a =

……2分

由过C

O 相切，得2c =，进而1b =

故双曲线C 的方程为

2

2

13

x

y -= ……………5分

（2）设直线l ：m kx y +=，)0,0(>

2

+=

k m

d ，由3d =2233m k =+……7分

由22

13

y kx m x y =+??

?-=?? 得222(31)6330k x km x m -+++= ○

* 则122

631

km x x k +=--， 2

122

3331

m x x k +=

- …9分

122

1x x k

AB -?+=

=212

122

4)(1x x x x k

-+?

+

=222

2

2

2

2

3612(1)1(31)

31

k m

m k k k ++-

--=22

2

2

2

2

2

36(33)12(34)1(31)

31

k k k k k k +++-

--又AOB ?的面积1322

2

S O P AB =

?=

=，∴6AB =11分

由

2

2

431631

k k +=- 解得1-=k ，6m =*式0>? ∴直线l 的方程为6y x =-+

13分21.解：（1）由题意0,()x

a f x e a

'>=-，由

()0

x

f x e a '=-=得ln x a =. 当(,l n )x a ∈-∞时, ()0f x '<；当(l n ,)x a ∈+∞时，()0f x '>.

∴()f x 在(,l n )a -∞单调递减，在(l n ,)a +∞单调递增.即()f x 在ln x a =处取得极小值，且为最

小值，其最小值为l n (l n )l n 1l n 1.

a f a e a a a a a =--=-- …5分

（2）()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，即在x ∈R 上，m i n ()0f x ≥. 由（1），设()l n 1.

g a aa a =--，所以()0g a ≥. 由()1l n1l n 0

g a a a '=--=-=得1a =. 易知()g a 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，∴ ()g a 在1a =处取得最大值，而(1)0g =.因此()0g a ≥的解为1a =，∴1a =

（3）由（2）知，对任意实数x 均有1x e x --≥0

，即1x x e +≤. 令k x n

=-

(*,0,1,2,3,1)

n k n ∈=-N …,，则01k n

k e

n

-

<-≤.

∴ (1)()k

n n k n k e e n

- --=≤.

∴ (1)(2)21

121()()()()1

n n n n n n n n e e ee n n

n

n

-------+++++++++≤ (11)

11111n

e e e e e ----=<=---.