数图结合规律

数图结合规律

【教学目标】

1、在观察、操作、推理等活动中，发现事物中隐含的规律。

2、能发现发现稍复杂的排列规律，能自己确定简单的排列规律。

3、感受数学与生活的联系，增强数学应用意识。

【教学重点】

能发现发现稍复杂的排列规律，能自己确定简单的排列规律。【教学难点】

在观察、操作、推理等活动中，发现事物中隐含的规律。

【教学准备】

挂图，学具卡片。

【学习方式】

小组合作、交流研讨、动手操作

【教学过程】

人教版小学三年级数学第16讲 数阵图(一)

第16讲数阵图(一) 在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。 那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图： 左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。 上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。

例1把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。 同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。 分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以 (1+2+3+4+5)+重叠数=9+9， 重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。 重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。 例2把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

(完整版)4年级有趣的数阵图

4年级有趣的数阵图 相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”,背上有美妙的图案，史称“洛书”。 这个图案用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方，也就是将 1～9这九个数字填在方格中，使每横行、每竖列和对角线的3个 数的和都相等。 幻方经过演变就得到我们即将要学习的数阵图，他们的解题 思路基本一样，接下来我们就一起看看数阵图吧！ 例1：把1～5这五个自然数，分别填入下图中的五个圆圈内，使相交成十字的两条直线上三个数之和都等于9。 我发现一条直线上三个数相加时，端 点四个数只加一次，中间的数加了两 次。 不论那5个数填在哪里，从整体来看，5个数都加了1 次，其中有1个数还多加了一次，得到了2个和，也 就是6个数相加等于2×9=18。 说得对，我们把多加一次的那个数用括号或 者字母表示，就可以得到一个等式。 解答数阵图的关键是重叠数，所以填数阵时，一般优先考虑重叠数。可以把这个数位用括号或字母表示，列出等式，再根据条件解 答出来。

把1～7这七个数分别填入图中七个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都是12。 例2：将从1～10填入各○中，使每条线上的数字和相等，你有几种填法？ 我发现一条直线上四个数相加时，中间的数 加了三次，其他的三个数只加一次。而且， 和前面不一样的地方是：没有告诉我们直线 上的和是多少。 和上题一样，不论这10个数怎么填，所有的数都加了 一次，其中还有1个数多加了2次，它们的总和等 于3条直线上数字的和，我们同样可以列出一个等式。

例3：把1～9这九个数分别填入下图中九个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都相等，你有几种填法？ 将1～9这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。(至少找出两种本质上不同的填法 ) 例4：把5～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六个○内，使每条边上三个○内数的和都是24。 中间的三个数只加一次，三个角上的数都加了二次，有三个数要设字母吗？ 按照前面学习的方法，先列出一个等式，再考虑三个未知的数吧。

数与图的完美结合—浅析差分约束系统

数与图的完美结合 -------浅析差分约束系统 华中师大一附中冯威 [摘要] 在面对多种多样的问题时，我们经常会碰到这样的情况：往往我们能够根据题目题面意思来建立一些简单的模型，但却面对这些模型无从下手。这时我们应该意识到，也许能够将这种模型与其他的模型之间搭起一座桥梁，使我们能够用更简单直接的方式解决它。这里我们介绍一种方法，它很好地将某些特殊的不等式组与图相联结，让复杂的问题简单化，将难处理的问题用我们所熟知的方法去解决，它便是差分约束系统。这里我们着重介绍差分约束系统的原理和其需要掌握的bellman-ford算法。然后通过zju1508和zju1420两道题目解析差分约束系统在信息学题目中的应用，并逐渐归纳解决这类问题的思考方向。 [目录] ◆关键字 (2) ◆Bellman-ford算法 (2) ◇算法简单介绍 (2) ◇算法具体流程 (2) ◇例题一ZJU2008 (4) ◆差分约束系统 (5) ◇例题二ZJU1508 (5) ◇线性程序设计 (7) ◇差分约束系统 (7) ◇例题三ZJU1420 (8) ◆结语 (9) ◆附录 (9)

[关键字] 差分约束系统、不等式、单元最短路径、转化 [正文] 在分析差分约束系统之前，我们首先介绍一个解决单元最短路径问题的Bellman Ford算法，它的应用十分广泛，在差分约束系统中更充当着重要的角色。 Bellman-ford 算法 算法简单介绍 这个算法能在更一般的情况下解决最短路的问题。何谓一般，一般在该算法下边的权值可以为负，可以运用该算法求有向图的单元最长路径或者最短路径。我们这里仅以最短路径为例。 Bellman ford 类似于Dijkstra算法，对每一个节点v∈V，逐步减小从起点s到终点v最短路的估计量dist[v]直到其达到真正的最短路径值mindist[v]。Bellman-ford算法同时返回一个布尔值，如果不存在从源结点可达的负权回路，算法返回布尔值TRUE，反之返回FALSE。 算法具体流程 1．枚举每条边(u,v)∈E（G）。 2．对枚举到的边进行一次更新操作。 3．回到步骤1，此过程重复n-1次，以确定没有更可以优化的情况。 4．枚举每条边（u，v）若仍然存在可以更新的边，则说明有向图中出现了负权回路，于是返回布尔值FALSE。 5．返回布尔值TRUE。 注：这里的更新操作是一种松弛技术，以单元最短路径为例这个操作就是保证 dist[v]<=dist[u]+w[u,v]，即if dist[v]>dist[u]+w[u,v] then dist[v]=dist[u]+w[u,v]，如果是最长路径则是保证dist[v]>=dist[u]+w[u,v]。 定义一个有向图G=（V，E），w（u，v）表示由结点u到v的边的权值。 伪代码如下：

圆设计及思维导图精编版

圆设计及思维导图 集团企业公司编码：（LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-ITT289-

主题单元设计

学习活动设计（针对该专题所选择的活动形式及过程）一、创设生活情境、导入新课。 1、欣赏，走进圆的世界。 2、借助实物画圆 3、师：以往同学们在画图时都用的是尺子，今天你为什么不用尺子画圆呢(尺子边是直的，不好画圆) 二、动手操作、认识各部分名称。 1、画圆 2、观察、认识圆的各部分名称。 让学生自读课本例2，了解圆的各部分名称 ②认识圆的圆心。 ③认识圆的半径。。 三、合作探究，学习特征。 1、谈话：刚才我们通过学习知道了圆的各部分名称，那么圆有什么特征呢请同学们在纸上任意画一个圆，并将它剪下来。画一画，量一量，折一折手中的圆形纸片，看看有什么发现 2、学生自主探究。课件出示讨论题: ①在同一个圆里有多少条半径多少条直径 ②在同一个圆里半径的长度都相等吗直径的呢 ③在同一个圆里半径和直径有什么关系？ ④圆是轴对称图形吗它有几条对称轴 3、合作交流： ①用画、折的方法来验证半径、直径有无数条。 ②用画、折的方法来验证半径、直径相等。③通过测量和推理的方法验证直径是半径的2倍，并让学生理解用字母表示直径与半径的关系。④通过把圆沿不同方向对折来理解圆是轴对称图形，有无数条对称轴。 (四)、实践运用，反馈内化。 我们知道了圆的画法，名称，特征，请同学们运用今天的知识解决几个问题。 1、你认为下面的说法对吗（课件展示） ①圆的直径是半径的2倍。 ②圆有无数条对称轴。 ③半径3厘米的圆比直径4厘米的圆小。 ④画直径是6厘米的圆时，圆规两脚之间的距离为3厘米。 五、运用新知、解决实际问题。 圆的特征在生活中得到广泛的应用。车轮为什么做成圆形车轴为什么要安放在圆心（课件展示） 六、总结评价、拓展延伸。

数与式知识点总结

一、实数、二次根式的有关概念 1. 为了表示具有 的量我们引进负数。 2. 和分数统称为有理数， 叫无理数，有理数和无理数统称为 。 3. 整数可分为 和负整数。分数可分为 。有理数也可分为：正有理数、 和 。0既不是 ，也不是 。 4. 规定了 、 和 的直线叫做数轴。 5. 只有 不同的两个数称为相反数。绝对值最小的数是 ，互为相反数的两数的和为 ，在数轴上表示互为相反数的两个点位于原点的 ，且到 的距离 。 6. 在数轴上，表示数a 的点与 的距离叫做数a 的绝对值。 ︱a ︱＝ _____________________________ 7. 等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，记作 ，其中a 是 。正数a 的正的平方根叫做a 的 ；一个正数的平方根有 个，它们是 ，0的平方根和算术平方根都是 ，负数 。求 的运算叫做开平方。（a>0）。 8. 如果一个数的 等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，求 的运算叫做开立方。 9、二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。 10、二次根式的性质： （1）2)(a = （a 0） （2）2a =a = _____________________________ （3）ab = · （a ≥0,b ≥0）; (4)b a = （a ≥0,b ≥0）. 11、最简二次根式要满足以下两个条件：（1）被开方数的因数是 数，因式是 式；（2）被开方数中不含能开得尽方的 数或 式。 12、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数 ，这几个二次根式叫做同类二次根式。 二、实数、二次根式的运算 1、有理数的加减乘除、乘方、开方的法则分别是什么？ ①有理数的加法：同号两数相加，取与 相同的符号，并把 相加；绝对值不相等的异号两数相加，取

小学数学 数阵图(一).教师版

1. 了解数阵图的种类 2. 学会一些解决数阵图的解题方法 3. 能够解决和数论相关的数阵图问题 . 一、数阵图定义及分类： 1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵 图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用． 模块一、封闭型数阵图 【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。 【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-1-3-1.数阵图

【答案】 【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且 数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？ （） 【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式： （2）h g f e d c b a a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3） a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28， d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8. 又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8 若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，

四年级数学数阵图(二)例题讲解

第17讲数阵图（二） 例1在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。 解：由上一讲例4知中间方格中的数为7。再设右下角的数为x，然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21，如下图所示填上各数（含x）。 因为九个数都不大于12，由16－x≤12知4≤x，由x+2≤12知x≤10，即4≤x≤10。考虑到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。经验证，当x＝6或8时，九个数中均有两个数相同，不合题意；当x＝4 或10时可得两个解（见下图）。这两个解实际上一样，只是方向不同而已。

例2将九个数填入右图的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有

证明：设中心数为d。由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d。由此计算出第一行中间的数为2d——b，右下角的数为2d-c（见下图）。 根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到 3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c）， 3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c， d——c＋b＝d——a＋c， 2c＝a＋b， a＋b

c＝2。 值得注意的是，这个结论对于a和b并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同。 例3在下页右上图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。 解：由上一讲例4知，中心数为90÷3＝30；由本讲例2知，右上角的数为（23＋57）÷2＝40（见左下图）。其它数依次可填（见右下图）。 例4在右图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等。

设计与工艺完美结合成就经典画册《朝元图》

设计与工艺完美结合成就经典画册《朝元图》 永乐宫三清殿《朝元图》大型经典画册（如图1所示），荣获了2013年第六届金光印艺大奖书籍装帧设计金奖和评委会特别推荐奖。这一画册由北京雅昌彩色印刷有限公司（以下简称“雅昌”）印制。 总体来看，《朝元图》画册内容资料珍贵，是中国及世界绘画史上重要的艺术瑰宝；装帧设计独特，具有中国气派的风格和特征；印制技术精湛，忠实再现了壁画艺术的特点；装帧加工精致，用料考究，出类拔萃。金光印艺大奖评委会一致认为，这是一部具有国际先进水平的珍世佳作。 阅读《朝元图》画册，会不自觉地被永乐宫壁画的高超画技和独特风格所震慑，被设计的中国气派之美、印制精湛之美、装帧形制之美、材质古朴之美所吸引。该画册主要体现出了以下4大亮点。 内容资料珍贵 永乐宫是一座闻名世界的道教宫观，位于山西省芮城，以精美绝伦的壁画艺术闻名天下。壁画题材丰富，画技高超，既继承了唐宋以来优秀的绘画技法，又融合了元代的绘画特点，形成了永乐宫壁画的独特风格。它不仅是中国绘画史上的重要杰作，也是世界绘画史上的罕见巨制。

在永乐宫各殿中以主殿三清殿《朝元图》壁画最为精彩，描绘了道教神仙朝拜的盛况。画中有8位身高3米的主神，围绕主神绘有金童、玉女、星宿、力士等290尊道仙人物，场面壮观，气势恢弘。壁画中的诸神形象生动，线条疏密有致，刚柔相济，颜色采用矿物质天然颜料，艳而不俗，历时近700年不褪色，充分体现了传统中国绘画的特点，实为中国古代壁画中的扛鼎之作。 画册对三清殿《朝元图》进行了一次整体性、专题性的发掘汇编集成，具有历史价值、艺术价值和收藏价值。 装帧设计独特 《朝元图》画册设计庄重大气、深厚质朴，充满力量感，彰显中国气派和风格，有中华文化之美，极具震撼力。 设计师以“新设计论”为理念，将书籍形态的外在观赏美与内在阅读美相结合，根据永乐宫壁画的特点，将书籍设计成豪华精装大四开画册，充分展示了永乐宫壁画的宏伟。该画册装帧设计的独特性主要体现在以下3点。 （1）封面以满版实地“中国红”为基调，稳重典雅，其巧妙的设计象征永乐宫大门，门上用门钉、木牙签穿带锁书，给读者一种亲手打开大门进入时光隧道的感觉，使读者带着崇敬的心情来欣赏精美绝伦的壁画艺术，体现出一种现场的真实感。 （2）画册整体设计简洁质朴，省去了不必要的装饰，

新人教版小学六年级数学上册圆的认识单元知识结构框架

新人教版小学六年级数学上册圆的理解单元知识结构框架 在各个学段中，《课程标准》安排了“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四个学习领域。 在空间与图形方面，本册教材安排了《位置》、《圆》两个单元。在《圆》这个单元中，通过对曲线图形——圆的特征和相关知识的探索与学习，初步理解研究曲线图形的基本方法，促动学生空间观点的进一步发展。下面，我将从以下几个方面来谈我对这个单元教材的理解和我的主要教学策略：（出示课件） 一、课标要求： 关于圆，在第一学段（1—3年级）的要求是： 1．会辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。 2．能用简单的语言描述它的特征。初步了解它是轴对称图形。 3．能对简单图形实行分类并会用各种平面图形拼图。 在本学段，即第二学段（4—6年级）的要求是： 1．通过观察、操作，理解圆，掌握圆的特征，会用圆规画圆； 2．知道圆是轴对称图形，进一步理解轴对称图形，能使用平移、轴对称和旋转设计简单的图案。

3．探索并掌握圆的周长和面积公式，能够准确计算圆的周长和面积。4．经历从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题的过程，体会圆的知识在生活中的广泛应用，初步形成综合使用数学知识解决问题的水平。 圆是一种曲线图形，它同直线图形有不同的特点。在本册之前各册教材出现的平面图形都是直线图形。所以“圆”的教学是学生系统理解曲线图形特征的开始。在低年级的教学中虽然也出现过圆，但仅仅直观的理解，比如： 人教版一年级上册第四、五单元《理解物体和图形》《分类》，初步理解圆并能够对基本图形实行分类。 一年级下册第三单元《图形的拼组》，尝试用不同的立体图形或平面图形实行设计和拼组。 二年级上册第五单元《观察物体》，初步了解圆是轴对称图形，并知道它有无数条对称轴。 本册的第四单元《圆》，要理解圆的基本特征，会画圆，会计算圆的周长和面积并会灵活应用这些知识解决实际问题。从学习直线图形到学习曲线图形，不论是内容本身、还是研究问题的方法，都有所变化，教材通过对圆的研究，使学生初步理解研究曲线图形的基本方法，同时，也渗透了曲线图形与直线图形的内在联系。在这个单元里，教材还利用学生已有的对轴对称图形的初步理解探讨圆的轴对称特点，给出轴对称图形

小学数学《数阵图》练习题(含答案)

小学数学《数阵图》练习题（含答案） 课前复习 1.在下面的○里填上适当的数，使每条线上的三个数之和都是16. 【答案】 【答案】 2.在空格内填入适当的数，使得每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18. 【答案】 3. 在空格内填上适当的数，使得图中每行、每列及两对角线上四个数的和都是6 4. 【答案】 在神奇的数学王国里，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷.它就是数阵.到底什么是数阵呢?我们先观察下面2个图： 在空格内填上适当的数，使得图中每行、每列及两条对角线上三个数的和都是15.

认真观察，你发现每个图中的数字有什么特点？ 左上图有两条直线，每条直线上都有 3个数字，它们的和都分别等于15；而右上图，将l～9九个数字排成三行、三列，每一行、每一列、每一斜行上的3个数字的和都等于15. 数阵就是用数(一般指自然数)按一定的要求和规律，组成特定的形状或布成特定的阵势.它一般分为辐射型(左上图)和封闭型(右上图).要把一些数字按一定的规则填入图形中，有没有巧妙的方法来填呢?今天这节课我们就一起来学习. 辐射型数阵图 【例1】把1，2，3，4，5这5个数分别填入图中的圆圈内，使得横行3个数的和与竖列3个数的和都等于10. 【分析】横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数a被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次.因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于10，所以(1+2+3+4+5)+a= 10×2，a=5.剩下4个数中每两个数之和应该等于5，，1+4=2+3。 【例2】把4～8这五个数填入图中(已填入6)，使两条直线上的三个数之和相等. 【分析】方法一：把6除外，还剩4，5，7，8，这四个数，在这四个数中4+8=5+7，这样可以填出答案。方法二：与例1不同之处是已知“重叠数”为6，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数.可以先求出这个“和k”.(4+5+6+7+8)+6=k×2.K=18。

四年级数学数阵图讲解(一)

四年级数学数阵图讲解（一） 我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵.其解题的关键在于“重叠数”。本讲和下一讲.我们学习三阶方阵.就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图.解题的关键仍然是“重叠数”。我们先从一道典型的例题开始。 例1把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中.使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。 分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几。我们可以这样去想：因为1～9这九个数字之和是45.正好是三个横行数字之和.所以每一横行的数字之和等于45÷3=15。也就是说.每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15。 在1～9这九个数字中.三个不同的数相加等于15的有： 9＋5＋1.9＋4＋2.8＋6＋1.8＋5＋2. 8＋4＋3.7＋6＋2.7＋5＋3.6＋5＋4。 因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。 因为中心方格中的数既在一个横行中.又在一个竖列中.还在两对角线上.所以它应同时出现在上述的四个算式中.只有5符合条件.因此应将5填在中心方格中。同理.四个角上的数既在一个横行中.又在一个竖列中.还在一条对角线上.所以它应同时出现在上述的三个算式中.符合条件的有2.4.6.8.因此应将2.4.6.8填在四个角的方格中.同时应保证对角线两数的和相等。经试验.有下面八种不同填法：

上面的八个图.都可以通过一个图的旋转和翻转得到。例如.第一行的后三个图.依次由第一个图顺时针旋转90°.180°.270°得到。又如.第二行的各图.都是由它上面的图沿竖轴翻转得到。所以.这八个图本质上是相同的.可以看作是一种填法。 例1中的数阵图.我国古代称为“纵横图”、“九宫算”。一般地.将九个不同的数填在3×3（三行三列）的方格中.如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等.那么这样的图称为三阶幻方。 在例1中如果只要求任一横行及任一竖列的三数之和相等.而不要求两条对角线上的三数之和也相等.则解不唯一.这是因为在例1的解中.任意交换两行或两列的位置.不影响每行或每列的三数之和.故仍然是解。 例2用11.13.15.17.19.21.23.25.27编制成一个三阶幻方。 分析与解：给出的九个数形成一个等差数列.对照例1.1～9也是一个等差数列。不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数.即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数.即13.17.21.25.而且对角 两数的和相等.即13＋25=17＋21；余下各数就不难填写了（见右图）。 与幻方相反的问题是反幻方。将九个数填入3×3（三行三列）的九个方格中.使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同.这样填好后的图称为三阶反幻方。 例3将前9个自然数填入右图的9个方格中.使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同.并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻。 分析与解：题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.所以这9个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线。经试验有下图所示的三种情况：

让图片与文字完美[结合图片详细分析]

让图片与文字完美[结合图片详细分析] 你在设计中经常会遇到这样的问题：你的图片与你的文字都占据了相同的空间。你可能经常采用的一个解决的办法是虚化图片，让文字突出，但这样做却会使到一张生动的图片失色。有没有更好的解决办法？当然有。你可以试着将图片的一部分消除，让它成为一个设计元素。而一个羽化的边缘可以使到图片与页面柔和过渡，使画面显得协调。 图 1 图 2 图1的处理方式虽然保留了图片的生动鲜艳特色，但却令文字难以卒读。 图2采用淡化背景的方式来突出文字，却使到图片失色，显得缺乏生气。

图 3 无疑，图3的方式既保留了原图的特色，而且也使到文字与图片更加协调。 在哪里动手？ 这引出了另一个问题，在图片上哪里动手最理想？你必须记住的是怎样使文字及图片成为两个协调的元素。 图 4

图4左，边缘虽然经羽化处理，但因为文字的影响，使左边的页边距不但变大，而且使图片产生一个很明显的边缘。 图4右是一个更好的解决办法，将羽化的图片放在右边，而且要注意一点的是，羽化的边缘并不是平整的，而是自然地跟着文字形成的参差不齐的左边缘变化形成一个弧形羽化边缘（最终效果见图3）。 解决不相配的图形 图 5 在图5中，一张水平放着的图片与垂直的空间并不相配。解决的办法就是沿着图片中的自然边缘，用其边缘淡化使它与空间变得更协调。 在上面的右图中，背景慢慢淡出，让人感觉到图片与空间本是一个整体，这样处理也使看的人更容易将注意力放到水牛上。而装饰性的字体的颜色采用了底部的草的颜色，使整个画面散发出一种质朴的气息。整个画面自然协调，是一个非常成功的设计。 创造一个图片标题

图 6 在图6中，天空中呼啸而过的飞机可以使它成为吸引眼睛的一个元素，而且以良好的视觉效果引出下面的广告文字。 飞机的机身与图片羽化边缘相协调，加强了飞机的动感。不象原图中（图6右上）深蓝色的矩形，可留意羽化的边缘部分是如何对整个页面产生了一种非常合适的气氛的。 突出重点 其实对图片的边缘修饰可以有很多种形状。在这张图中，椭圆形的淡化边缘是逐渐过渡到黑色，而不是象上述几个是过渡到白色的。这可以使到整个画面产生一种焦点效应，使人们的注意力更容易集中在我们想表达的对象上。

初中数学知识点框架图

第一部分《数与式》知识点 定义：有理数和无理数统称实数 分类有理数：整数与分数 类无理数：常见类型（开方开不尽的数、与有关的数、无限不循环小数） 法则：加、减、乘、除、乘方、开方 实数运算 运算定律：交换律、结合律、分配律 相关概念数轴（比较大小八相反数、倒数（负倒数）科学记数法 有效数字、平方根与算术平方根、立方根、非负式子a 2,a,ya ） 八*单项式：系数与次数 分类 多项式：次数与项数 加减法则：加减法、去括号 分式的定义：分母中含可变字母 分式分式有意义的条件：分母不为零 分式值为零的条件：分子为零，分母不为零 分式的性质：a 冬卫;a 2（通分与约分的根据） b b m b b m 通分、约分，加、减、乘、除 分式的运算和“+治先化简再求值（整式与分式的通分、符号变化） 简求 整体代换求值 定义：式子? a （a >0叫二次根式二次根式的意义即被开方数大于等于1 二次根式的性质（孑a; 了爲0。）） 最简二次根式（分解质因数法化简） 二次根式二次根式的相关概念同 类二次根式及合并同类二次根式 分母有理化（“单项式与多项式’型） 加减法：先化最简，再合并同类二次根式 二次根式的运算 一一—書 a 乘除法::a Vb ^―;（结果化简） 定义：（与整式乘法过程相反，分解要彻底） 提取公因式法： （注意系数与相冋字母，要提彻底） 分解因式、、土公式法平方差公式：2 2b2 （a b ）（a b ） 2 方法 元全平方公式：a 2ab b （a b ） 十字相乘法：x 2 （a b ）x ab （x a ）（x b ） 分组分解法：（对称分组与不对称分组） 整式 幕的运算 m n m a ;a m m 、n mn m m. m /a 、m a 0 ；(a ) a ,(ab) a b ;(匸) 而；a b b 1a a P 单项式; 单项式; 单项式 单项式 先乘方开方，再乘除，最后算加减；同级运算自左至右顺序计算; 乘法公式平方差公式：（a b ）（a b ） a 2 b 2 完全平方公式：（a b ）2 a 2 2ab b 2 乘法运算 混合运算: 单项式 多项式 多项式；多项式多项式 单项式 括号优先 实数 （添括号）法则、合并同类项 数与式 分式

数学与艺术的完美结合

数学与艺术的完美结合 （电气工程学院电自032班刘安东） 美，是人性的追求，是人类进步的一大动力，艺术是美的表达式，数学是美的语言，数学追求美，也创造美。 数学是什么？抽象的思辨，严密的推理，逻辑的论证，精确的计算，总揽全局而又步步为营的思维方式，构造起号称为“思维的体操”的数学大厦的宏基。艺术是什么？浮想联翩，潇洒不羁，蔑视规律跳跃的思维弥漫出若即若离的艺术图景。我们不禁要问：数学是不是真的与艺术美无缘呢？此二者看似水火不容，但任何事物都是辨证同一的。既然数学与艺术有矛盾，自然也有内在蕴涵的统一。 一、数学抽象与艺术抽象 抽象是人们认识世界的一种方式之一。抽象于数学如同大脑于人一样重要。从对事物多寡的判断，诞生了自然数的概念，从对自然景物形状的辨别，出现了丈量学等等。把原因抽象为自变量，把事物间普遍联系抽象为函数关系，把结果抽象为函数值，函数的概念由此而生。 数学的抽象与艺术的抽象是从不同的侧面观察事物，数学强调定量分析，而艺术偏重定性的感知。人的认识过程应是这两者的交替上升，从而变的更近。同时，艺术形象与生活原型在似与不似之间，使艺术有着普遍性和恒久性。数学的普遍性和恒久性也如此，公式不会百分百吻合于实际，但修正后，可在误差允许的范围内逼近。 二、智慧的迷宫——幻方 在欧洲曾经流过一个古老的数学游戏叫“幻方”。这个游戏是：给定1，2，…，2 的方阵，并使每一行、每一列、每一条对n这些数字，要求把它们排列成n n 角线上的n个数字之和都相等。我们把这样的方阵叫做n 阶幻方。 幻方可大量应用与美术设计，1900年西方建筑学家C F布拉顿发现幻方的对称性相当丰富，他采用幻方组成许多美丽的图案，他把图案中的那些线条称为“魔线”， 并应用于轻工业品、封面包装设 计中。德国著名版画家A丢勒 的著名雕刻作品《Melancholia》 是流芳千古的佳作，体现了艺术美与理性美的和谐 组合，其中幻方最后一行中间的两个数就是制作时间：1514。

圆的认识知识结构图

《圆的认识》单元知识点 1、圆的认识 (1) 直径是圆中所有线段中最长的一条。 (2) 半径和直径的关系：同一个圆里，直径是半径的两倍，半径 是直径的一半。 (3) 在同一个圆里，有无数条半径，所有半径的长度都相等。 (4) 在同一个圆里，有无数条直径，所有直径的长度都相等。 (5) 画圆时，圆规针尖固定的一点是圆心，圆规两脚之间距离是 半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小 、知识结构图 广 圆各部分名称(圆心、直径、半径) 圆的认识 < 圆的画法、对称轴 圆的周长 圆 的 认 识 r 推导过程(渗透转化思想) 圆的面积 2 . . 2 圆面积=n r X r= n r 。即：S=n r 与圆相关的计算 二、核心知识点 半圆的周长、面积计算 圆的周长=圆周率x 直径=圆周率x 半 径 X 2 (C =n d 或 C = 2 n r ) 组合图形求面积

(6) 圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径所在的 直线 (7) 正方形里最大的圆：圆心是对角线交点，半径是正方形边长 的一半。 (8) 长方形里最大的圆：圆心是对角线交点，半径是长方形宽的一半。 2、圆的周长 (1) 圆周率：任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母n表示。n是一个无限不循环小数，n~ 3.14。 (2) 圆的周长二圆周率X直径二圆周率x半径X 2 (C=n d或C= 2 (3) 半圆的周长二圆周长的一半+直径(C半圆二n d宁2+ d, C半圆二n r + 2r (4)常用数据(略，自己背诵) (5)同一个圆里，圆的周长是直径的n倍，圆的周长是半径的2 n倍。 3、圆的面积 (1) 圆面积公式的推导过程 把圆分成若干等份，剪开后，拼成了一个近似的长方形。长方形 的面积与圆的面积相等；长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于 圆的半径。 因为：长方形面积二长X宽，所以：圆面积二n r X r= n r2。即：S=n r2。

《数与式》知识点

第一部分《数与式》知识点 第二部分《方程与不等式》知识点 第三部分《函数与图象》知识点 第四部分《图形与几何》知识要点

?????????????点在圆外：d ＞r 点与圆的三种位置关系点在圆上：d ＝r 点在圆内：d ＜r 弓形计算：（弦、弦心距、半径、拱高）之间的关系圆的轴对称性定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分线所对的弧在同圆或等圆中，两条弧、两条弦、两个圆心角、两个圆周角、五组量的关系：两条弦心距中有一组量相等，则其余的各组两也分别圆的中心对称性圆009090AB CD P PA PA PC PD..??????????????????=????????相等.同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；圆周角与圆心角半圆（或直径）所对的圆周角是；的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆.相交线定理：圆中两弦、相交于点，则圆中两条平行弦所夹的弧相等相离：d ＞r 直线和圆的三种位置关系相切：d ＝r(距离法）相交：d ＜r 性质：圆的切线垂直圆的切线直线和圆的位置关系2PA PB PO APB PA PC PD.???????????????=????????于过切点的直径（或半径）判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.弦切角：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 切线长定理：如图，=，平分∠切割线定理：如图，外心与内心：相离：外离（d ＞R+r ），内含（d ＜R-r ）圆和圆的位置关系相切：外切（d=R+r ），内切（d=R-r ）相交：R-r ＜d ＜R+r ）圆的有关计算22n n 2360180n 1S 36021S 2(2S l r r r l r r l rl r l r rl πππππππ?????????????????????????????????????????????==?????==????????=??=?????=+??? 弧长弧长侧全弧长公式：扇形面积公式：圆锥的侧面积：为底面圆的半径，为母线）圆锥的全面积： 第五部分《图形的变化》知识点

四年级数学巧填数阵图

巧填数阵图 课前练习： 1、用0、 2、5、8、9可以组成多少个不同数字的三位数 2、大小两个正方形对应边的距离为4厘米，两个正方形之间的部分面积为160平方 厘米，求小正方形的面积 3、在420为的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行1分钟10秒相遇，如果背向而行30秒相遇，已知甲比乙快，求甲乙的速度 4、哥哥和弟弟在同一所学校读书,哥哥每分钟走80米,弟弟每分钟走50米,有一天,弟弟先走12分钟,哥哥才出发,当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校,问他们家离学校有多远 学习新知 例1、把1—7这七个数分别填入下图的圆圈中，使得每条边上的三个数的和都等于12。

例2、把数字1——8分别地填入下图中的小圆圈内，使每个圆上的五个数的和都等于20。 例3、将1—6这六个数填入图中的圆圈中，要求四条直线上的数字之和都等于10，那么a是多少 例4、下图中有5个圆，它们相交后分成9个区域，现在两个区域里已经填上了11与7，请在另外的七个区域里分别填入2、3、4、5、6、9、10这七个数，使每个圈内的和都等于17。 课堂练习

1、把1—7这七个数分别填入下图的圆圈中，使得每条边上的三个数的和都等于14。 2、把数字1—8分别填入下图中的小圆圈内，使得每个圆上五个数的和都等于22。 3、把5—14这十个自然数分别填入下图中的圆圈中，使每个大圆上的六个数的和等 于55，求a+b等于多少 例1、4、下图中有5个圆，它们相交后分成9个区域，现在两个区域里已经填上了10与6，请在另外的七个区域里分别填入2、3、4、5、6、 7、9这七个数，使每个圈内的和都等于15。

数学与多媒体的完美结合

数学与多媒体的完美结合 时间：2008-4-29 浏览次数：509 作者：市三中彭… 数学与多媒体的有机结合 新余三中彭琼 338025 [摘要]：阐述了多媒体技术如何与数学课程整合教学 [关键字]：数学，多媒体，教学方式 陈至立同志曾经提出，教育技术的发展将对我国教育观念和教育过程的改革产生深刻的影响，是教育教学改革的制高点。它阐明教育技术的运用对新时间教育教学改革将产生深远的影响。 我国教育技术专家学者经过长期研究与实践，总结提出现代教育技术的含义：教育技术是在先进的教育思想和教育理论的指导下，充分利用信息技术，通过对教学过程和教学资料的设计、开发、利用许价和管理，以实现教学过程优化的理论与实践。在初中数学教学中，合理地应用多媒体技术辅助教学，可以充分调动学生的学习兴趣，减少“离教”现象，为激发学生的创造思维创设情境，增强学生获取知识的主体性，优化初中数学教学的课堂效率。使课堂教学真正做到“反璞归真、深入浅出”的效果。 每个学生都有分析、解决问题的创造的潜能，关键是教师要为学生提供对于学生来说具有应用价值的、与生活实际密切联系的教学内容，促进学生的这种发展。这就要求我们的数学教学活动，要与学生的生

活紧密结合，把生活中的问题，转化为数学问题。只有这样，才能使他们感受到数学与现实生活的联系，体会到数学的魅力与价值，增强学好数学的信心。而学生在解决数学问题过程中，学会数学知识与方法。进而运用数学知识和方法，去解决生活中的问题，在解决实际问题的过程中，又进一步发展了应用数学意识、提高了解决实际问题的能力。在教学过程中若能借助多媒体教学，可增强学生的兴趣，同时让学生看到数学的巨大魅力。如在讲授圆的切线时，（观察与思考）问题（1）下雨天，转动着的雨伞上的雨滴是顺着伞的什么方向飞出去的？问题（2）砂轮转动时，火花是顺着什么方向飞出去的？这是两个关于切线的十分形象的生活事例。课堂教学中运用多媒体，可形象的再现雨滴和火花的飞溅情况。当动画播放之后，所有同学都被吸引了，然后引导学生把实物图抽象成几何图形再去研究切线如何识别。多媒体教学进入课堂，可使抽象的概念具体化、形象化，尤其是计算机能进行动态的演示，弥补了传统教学方式在直观感、立体感和动态感等方面的不足，利用这个特点可处理其他教学手段难以处理的问题，并能引起学生的兴趣，增强他们的直观印象，为教师化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率和教学效果提供了一种现代化的教学手段。 多媒体是一种值得提倡的做法。教育部在《基础教育课程改革纲要》中提出：“大力推进信息技术在教学过程中的应用，充分发挥信息技术的优势，为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具”。它为全面普及信息技术指出了明确的方向，开拓了更加宽广的前程。从学校现代教育技术层面上看：数字化、网络化、智能化

圆的知识点结构图

圆 圆的相关性质 圆的 相关证明 圆的相关计算 1．圆的定义（不是圆面 是曲线）： 1．点与圆的位置关系：（1）d ＞ r ? 点在圆外； 1．正多边形与圆： 圆的表示方法： （2）d ＝ r ? 点在圆上； 正多边形：中心 中心角 半径 边心距 圆的两要素：（同心圆 等圆 同圆） Eg7： （3）d ＜ r ? 点在圆内； 圆： 圆心 圆心角 半径 弦心距 2．弦（直径）：??? 定义：证明直径是圆中最长的弦 Eg1： 2．过已知点作圆：一点无数；两点无数； 2．弧长：180 n R l π=； 3．弧：{??????? 定义：分类：劣弧：半圆：优弧：表示方法： 等弧： 三点共不共线：???三角形外接圆（外心及位置）确条件：： 定圆的 3．扇形：2n 1=.3602R s lR π= Eg14： *** 弓形认识： 3．圆与圆的位置关系：相离（0交点），相切（1交点），相交（2交点）； 4．圆锥：侧面积：=s lr π侧 4．垂径定理：?????圆的轴对称性：垂径定理： 垂径定理的推论： Eg2：Eg3： 0d r d=r r d r d=r d r R R R R R R ≤---+++K K K K 644444444444744444444444 8＜＜＜＞内含 内切 相交 外切 外离 全面积：2=s lr r ππ+全 5．圆心角： Eg4： Eg8：Eg9：Eg10： 360.l n r = （弧、弦、弦心距与圆心角之间的关系） 4．直线与圆的位置关系：

6．圆周角：?????定义：定理及证明：推论： Eg5： d r d r d r ???????? ＞相离（0交点）；＝相切（1交点）；＜相交（2交点）. Eg11： “弧所对圆周角”与“弦所对圆周角” 切线性质：切线判定：3个 圆内接四边形： Eg6： 方法：连半径证垂直；作垂直证半径。 Eg12： 5． 切线长：2a+b-c r=r=. 2S C ???????概念： 定理：三角形内切圆（内心）半径：； Eg13： 1．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AM 平分∠BAC 交⊙O 于点M ，AD ⊥BC 于D ． 求证：∠MAO =∠MAD ．

趣味数学—数阵图与幻方

三年级奥数 --数阵图与幻方 知识框架 一、数阵图定义及分类： 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用． 三、幻方起源： 幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：

9 8 7 6 5 4 3 2 1 我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们． 四、幻方定义： 幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33 ?的数阵称作三阶幻方，44 ?的数阵称作四阶幻方，55 ?的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样， 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13 4 14 15 1 6 129 7 8105 11 3216 。 五、解决这幻方常用的方法： ⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往 下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样． ⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和：所有数的和÷行数（或列数） ②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2． 六、数独简介： 数独前身为“九宫格”，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简单的九个数字不能重复。 中国古籍《易经》中的“九宫图”也源于此，故称“洛书九宫图”。而“九宫”之名也因《易经》在中华文化发展史上的重要地位而保存、沿用至今。 1783年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发明了一种当时称作“拉丁方块”（Latin Square）的游戏，这个