历届高等数学竞赛真题
历届高等数学竞赛真题
一、极限
1、n n n n n !
2lim ?∞→ 2、)2cos 2cos 2(cos lim 2n
n x x x ??∞→ 3、)sin ln arctan(lim x x x x ?-+∞
→ 4、5
20
)sin(lim
x
dt xt x x ?
→
5、 1
10
1lim
21
arctan
t
t t te
te t
π→+- 6、0tan(sin )sin(tan )lim tan sin t x x x x →-- 7、))
1()1(1
2
211
11
(
lim 2
2
2
2
2
--+-+
+-++
-+∞
→n n n n n n
8、设10tan(tan )sin(sin )tan (sin )lim 0a a x x x b z x x -→??
--=????
，且0b ≠，求常数,a b 9、设)(1
lim
)(2212N n x bx
ax x x f n n n ∈+++=-∞
→，求a 、b 的值，使与)(lim 1
x f x →)(lim 1
x f x -→都存在.
10
、lim
n →∞
a 为常数。
11、(
)()
2
00cos 2lim tan 1
x t
x x e tdt x x x →----? 12、∑=∞→++n k n k n k
n 12lim
13、设0,0>>b a ，求x
x x x b
a b a 1
110)(lim ++++→
14、?+
∞
→n n dx x
n
1
)1
1ln(1
lim
15、x e e x x x 3sin )
1()1sin(lim 4sin 0---+
→ 16、)12
2121
2(
lim 21
n
n n n n
n
n
n
n +
+++++∞
→ 17、0)1(lim 33=---∞→b ax x x ，求b a ,
18、设)(x f 在12=x 邻域内可导，0)(lim 12
=→x f x ，998)(lim /
12
=→x f x ，求
3
12
12
12
)
12(])([lim
x dt
du u f t x t
x -?
?→
19、设b a <<0，求t
t
x dx x a bx 11
00
))]1([(lim ?
-+→
20、设函数??
?
??=≠≠+-++=1
22,1)
2)(1()(4x x x x x b ax x x f 在1=x 处连续，求b a ,
21、设n n n x x x x x ?=
==++1221,2,1，求n n x ∞
→lim
22、x
x x x )21(lim 1
+∞→ 23、 n n n n 1
)!(1lim ∞→
24、设0)
()1(lim 321
0≠=++-+→d x
cx bx a x x
x ，求d c b a ,,, 25、设01>x ，n
n
n x x a x ++=
+11，求n n x ∞→lim
26、n
n n n
n n n ln )ln ln (lim -+∞→
27、))
ln(11(lim 3
2
3
4
2
3
4
x
e x x x x x x x x x x +?
+++-+++++∞→ 28、已知数列{}n x ，满足1lim()0n n n x x +→∞
-=，证明：lim
0n
n x n
→∞=
29、已知10=x ，13014x x =
+，41312+=x x ，…，4
1
3
1+=+n n x x ，…. 求证：（1）数列}{n x 收敛；（2）}{n x 的极限值a 是方程0144=-+x x 的唯一正根 二、导数和微分
1、求x x y +-=11的n 阶导数
2、1
1arccos 22+-=x x y ，求/
y
3、)1()1)(1)(1(2842n
x x x x y ++++= ，求1/|=x y
4、设x y y x arctan
ln
22=+，当0,1==y x 时，求dx
dy 5、设dt t y x x ?=sec csc 2arctan ，求dx
dy
6、设???
?
???+==??--t t u du
u y du e x 021
40)1(2，求22,dx y d dx dy 7、)(x f 和)(x g 互为连续的反函数，3
2
)0(,1)0(/
-
==g f ，求)1(/g 8、设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上可导，且0)()(==b f a f ，证明 （1）存在),(b a ∈ξ，使0)()(/=+ξξξf f （2）存在),(b a ∈η，使0)()(/=+ηηηf f
9、设函数)(x f 在),0[+∞上可导，且2
1)(0x
x
x f +≤
≤，证明存在0>ξ，使2
22
/
)
1(1)(ξξξ+-=f 10、求点（0，4）到抛物线10
2
x y =的最短距离
11、设)(x f 在],0[π上连续，在),0(π上可导，证明至少存在一点),0(πξ∈使得
ξξξcot )()(/?-=f f
12、设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0,(0)(0)0f f f '''>==，t 是曲线()y f x =上点
(,())x f x 处的切线在x 轴的截距，求0()
lim
()
x xf t tf x →
13、设()f x 在()1,1-内有()0f x ''<，且0
()sin lim
2x f x x
x
→-=，证明在()1,1-内有
()3f x x ≤.
14、试问：方程22
(3)x e x x -
=-总共有几个实根.
15、(
)[])1()(lim lim --=-+∞
→∞
→x f x f a
x a x x x x ，则=a 。
16、设函数)(x y y =是由0333=-+axy y x （0>a ）确定，则=+∞
→x
y
x lim 。 17、设()f x 在区间(,)-∞+∞连续，01()() d (>0), ()() d 2x a
x x a
F x f t t a
G x f t t a +-=
=??, 试解答下列问题：（1）用()G x 表示()F x ；（2）求()F x '；（3）求证：0lim ()()a F x f x →==；
（4）设()f x 在[],x a x a -+内的最大值和最小值分别是M m 、,求证：()()F x f x M m -≤-. 18、设ξ为()arctan f x x =在[ 0, ]b 上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 2
2
0lim
b b ξ→=
19、设
()1tan
1x f x arc x
-=+，求()0n
f 。 20、已知函数
()f x 在[]0,1上三阶可导，且()01f =-，()10f =，()00f '=，
试证至少存在一点
()
0,1ξ∈，使
()()()
22
113!
x x f x x f ξ-'''=-++，
()0,1x ∈
21、已知
)x (f 在],[20上二次连续可微,01=)(f ,证明M )x (f 3
1
20≤?
其中
]
,[x m a x
M 20∈=
)x (f ''. 22、求证方程0=++x cos q p x 有且只有一个实数根,其中常数q ,p 满足10< 23、设a 为实数，?? ???≤>-?-=1 0111cos ) 1(1)(x x x x x f a ，在1=x 处可导，求a 的范围 24、设n n m n dx x d x f )1()(-=，n m ,是正整数，求)1(f 25、设x x x f tan )(1997 =，求)0()1997(f 26、求方程2 ax e x =有几个实根 27、设x x x x y +=，求/y 三、积分 1、 ? 230 )arcsin(cos πdx x 2、? +) 1(28x x dx 3、 ? -+a x a x dx 0 2 2 （0>a ） 4、 dx x x x ? +- 2 1 2 )1sin()11( 5、? ++dx d cx b ax n )()(（1,0,-≠≠c b a ）6、 dx x x ? sec 7、 dx x x f x a a )1()11(12+- ? 8、dx xe x x x x ?++)1(cos 1sin 9、 dx x x x ? ++--42 ) 3ln()9ln() 9ln( 10、0 ln(sin )x x dx π ? 11、 ? --e e e e dx x x x | |ln | |ln ln ln 12、 2 cos 2004 x dx x x π ππ+-+? 13、 ?+dx x x 66cos sin 1 14、?-422|9|dx x x 15、 dx x x e x ? +10 3 )(2 15、? + dx x x x cos sin ) 4cos(π 16、 dx x x x x ? +π0 4sin 1|cos sin | 17、dx x x ?∞+++02 2) 1)(1(1 18、)(/ x f 连续，求dx x xf x f ? +)]()([/ 19、设)(x f y =，且? += y dt t x 0 2411 ，证明04 33=-dx dy dx y d 20、当b a ,满足什么条件时，dx x x b ax x ?++++) 1()1(222（1）无反正切函数（2）无对数函数 21、设)(x f 为连续函数，且? +=b a tdt t x f x g cos )()(，求)(/x g 22、求证 ?<+-<10326 421π x x dx 23、设?+=101)(21)(x f dt tx f ，求)(x f 24、设)(x f 为连续函数，证明 dx x b a f dx x b x a f )sin (2)sin cos (20 22 22? ?-+=+ππ π 25设非负函数()f x 在[]0,1上连续，且单调上升，[]0,1,()t y f x ∈=与直线(1)y f =及 x t =围成图形的面积为1()S t ，()y f x =与直线(0)y f =及x t =围成图形的面积为2()S t .⑴ 证明：存在唯一的(0,1)t ∈,使得12()()S t S t =.⑵ t 取何值时两部分面积之 和取最小值？ 26、设函数()f x 在[]0,1连续且非负，证明01 max ()n x f x ≤≤=. 27、设D 是曲线22y x x =-与x 轴围成的平面图形，直线1y x =<把D 分成1D 和2D 两 部分，若1D 的面积1S 与2D 的面积2S 之比1217S S ===，求平面图形1D 的周长以及1D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 28、设1shx shy ?=，计算积分 ydx +∞? . 29、以yoz 坐标上的平面曲线段()y f z =（0z h ≤≤）绕z 轴旋转所构成的旋转曲面和 xoy 坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积为316()cm π，如果以33(/)cm s 的速度把 水注入容器内，水表面的面积的2(/)cm s π增大，试求曲线()y f x =的方程. 30、设0, 2x π??∈???? 时，有2 ()sec 2sin 3sin (1)sin n n du x x x x n x dx ?=++++. 31、设2)1arcsin()(-='x x f 及0)0(=f ，求 ?1 )(dx x f . 32、求曲线x xe y -=（0≥x ）绕x 轴旋转一周延伸到无穷远的旋转体体积 33、设函数)(x f 在] ,[a a -（0>a ）上连续，在0=x 可导，且0)0(≠'f . （1）求证：) ,0(a x ∈?，)1 ,0(∈θ，等式 )] () ( [ )( )( 0 x f x f x dt t f dt t f x x θθ--=+??-成立. （2）求极限θ+ →0 lim x . 34、设][)(x x x f -=（][x 表示不超过x 的最大整数），求极限?+∞→x x dx x f x 0 )(1lim 35、求c ，使 ? =++b a c x c x 0)cos()(，其中a b > 36、设函数)(x f 在b x a ≤≤上连续，且0)(>x f ，设dt t f dt t f x g x b x a ? ? +=1) (1)()( （1）2)(/≥x g （2）)(x g 在],[b a 内恰有一根 37、设)()(x f x F 是的一个原函数，且1)0(=F x x f x F 2cos )()(,=，求dx x f ? π |)(|. 38、设x y x y =-2)(，求 ?-dx y x 31 39、设)(x f 在],[ππ-上连续，且?-++= ππ xdx x f x x x f sin )(cos 1)(2，求)(x f 40、设 ? 20 sin ln π xdx 41、?+= 1 1)(2 1 )(x f dx ax f ，求)(x f 42、设函数)(x f 满足1)1(=f ，且对1≥x 时，有) (1 )(2 2x f x x f += '，证明： （1）)(lim x f x ∞ →存在，（2）4 π 1)(lim + ≤∞ →x f x 。 四、级数 1、判别级数的敛散性 （1）∑∞ =12 n n n ； (2) ∑∞ =-12 43n n n n （3） 1n ∞ =，其中0α >为常数 （4）π2tan )1(21 +-∑∞ =n n n 2、求和函数 （1）∑∞ =02n n x !n n （2）∑ ∞=04)! 4(n n n x （3）∑∞ =++0)34)(14(1n n n （4）n n k n k ])321(21[lim 1∑=∞→++ （5）∑∞ =+-0 13)1(n n n 3、求收敛域 （1）∑∞ =++1)(n n n x n x n （2）∑∞ =-1n nx n e x 4、已知级数 ∑∞ =1 n n u 的一般项n u 与前n 项的和n s 有如下关系： n n n n u s u s -=222 （2≥n ） ，且21=u ，求级数=∑∞ =1 n n u 5、设∑∞ ==1 2)(n n n x x f （10≤≤x ），则=-?+-+)1ln( ln )1()(x x x f x f 。 6、设211)(x x x f --=，)0(!1) (n n f n a =，证明级数∑∞ =++02 1n n n n a a a 收敛，并求其和。 7、设 ∑ ∞ =0 n n n x a 在1=x 处收敛，则 ∑ ∞ =-+0 )1(1n n n x n a 在0=x 处（ D ） (A) 绝对收敛； (B) 条件收敛； (C) 发散； (D) 收敛性与a n 有关. 8、设幂级数 n n n a x ∞ =∑, 当1n >时2 (1) n n a n n a -=-，且014, 1a a ==; （1）求幂级数0 n n n a x ∞ =∑的和函数()S x ；（2）求和函数()S x 的极值 .. 9、求函数21 ()nx n f x e ∞ -==的定义域，并证明()f x 在定义域内有界. 10、级数 ∑∞ =++1 )2() 1(ln n b a n n n ，问b a ,为何值时级数收敛 五、解析几何 1、求两直线???+==12x z x y 和???=+=x z x y 3 之间的最短的距离 2、设圆锥面的顶点在原点，且三个坐标轴的正半轴都在其上，求圆锥面的方程 第一届（1959） 1.求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。 2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a) A=√2； (b)A=1；(c)A=2。 、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程 acos2x + bcos x + c = 0,试用a,b,c作出一个关于cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。 4.试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.) 求证 AF、BC相交于N点；（b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S；(c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。 6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。 第二届（1960） 1.找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 2.寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1 - √(1 + 2x))2<2x + 9 3.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令a为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan a = 4nh/(an2 - a). 4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。 5.正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。a.求XY中点的轨迹；b.求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹。 6.一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1为圆锥的体 积，V2为圆柱的体积。(a).求证：V1不等于V2 ；(b).求V1/V2 的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。 第三届（1961） 1.设a、b是常数，解方程组 x + y + z = a;x2 + y2 + z2 = b2;xy=z2并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件 2.设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证：a2 + b2 + c2 >= 4√3 A. 并求出等号何时成立。 3.解方程 cosnx - sinnx = 1, 其中n是一个自然数。 是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。 5.作三角形ABC使得 AC=b, AB=c，锐角AMB = a,其中M是线断BC的中点。求证这个三角形存在的充要条件是 b tan(a/2) <= c < b.又问上式何时等号成立。 6.三个不共线的点A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C在p的同一侧。在p上任意取三个点A', B', C'， A'', B'', C''设分别是边AA', BB', CC'的中点，O是三角形A''B''C''的重心。问，当A',B',C'变化时，O的轨迹是什么 第四届（1962） 1.找出具有下列各性质的最小正整数 n：它的最后一位数字是6，如果把最后的6去掉并放在最前面所得到的数是原来数的4被。 2.试找出满足下列不等式的所有实数 x：√(3-x)- √(x+1) > 1/2. 3.正方体 ABCDA'B'C'D'（ABCD、A'B'C'D'分别是上下底）。一点 x沿着正方形ABCD的边界以方向ABCDA 作匀速运动；一点Y以同样的速度沿着正方形B'C'CB的边界以方向B'C'CBB'运动。点X、Y在同一时刻分别从点A、B'开始运动。求线断XY的中点的轨迹。 4.解方程cos2x + cos22x + cos23x = 1。 5.在圆K上有三个不同的点A、B、C。试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，? =10 d )()(t xt f x g ， 且A x x f x =→) (lim 0 ，A 为常数， 求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数 线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 历年全国高中数学联赛试题及答案 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题。 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效,考试时不 能使用计算器。 参考公式：二次函数图象的顶点坐标是。 温馨提示：请仔细审题，细心答题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”。 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1．2的相反数是（▲） A．-2 B．2 C．- D． 2．下列计算正确的是（▲）A．Ｂ．9 =3 Ｃ．3-1= -3 Ｄ．2 +3= 5 3．据交通运输部统计，2013年春运期间，全国道路、水路、民航、铁路运送旅客总量超过了3400000000人次，该数用科学记数法可表示为（▲） A．B．C． D． 4．如图是由个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（▲） 5．使分式无意义的的值是（▲） A. B. C. D. 6．如图，已知,若, ，则等于（▲） A．B．C．D． 7．市委、市政府打算在2015年底前，完成国家森林城市创建．这是小明随机抽取我市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表： 小区绿化率（%） 20 25 30 32 小区个数 2 4 3 1 则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误的是（▲） A．中位数是25% B．众数是25% C．极差是13% D．平均数是26．2% 8．将一个半径为R，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r，则R与r的关系正确的是（▲） A．R＝8r B．R＝6r C．R＝4r D．R＝2r 9．甲、乙两车分别从相距的两地同时出发，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，则下列结论不正确的是( ▲) A．甲车的平均速度为； B．乙车行驶小时到达地,稍作停留后返回地； C．经小时后,两车在途中相遇； D．乙车返回地的平均速度比去地的平均速度小。 10．如图，为等边三角形，点的坐标为，过点作直线交于点，交于，点在反比例函数＜的图象上，若和（即图中两阴影部分）的面积相等，则值为（▲）A．B．C．D． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11．分解因式：= ▲。 12．一个不透明的袋中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个黄球，从中随机摸出一个 2011年数学竞赛练习题C_3解答 1. 设数列{}n x 满足： 11 sin (2)sin 11 n n x n n n <<+++， 则1 1lim 1n k n k x n →∞==+∑_______。 11 sin (2)sin 111 n n n x n x n n <<+∴→++解 ； Q 1 1 1 1lim lim lim lim 1111n n k k n k k k n n n n k x x n n x n n n n n ==→∞→∞→∞→∞ =∴=?=?=+++∑∑∑ 2.设曲线()y f x =与sin y x =在原点相切， 则极限lim n ________。 (0)0,(0)1n n f f '===已知有： 2. 设(1n n a b =+， 其中,n n a b 为正整数，lim n n n a b →∞=__ 2224 113 (1) 1)3)(13)3) )()3) ) n n n n n n n C C C C C C =+++ =+++++ 224 41133(1(1)() n n n n n C C C C =++-++ (1=+(1=n n n n n n a b a b a b -所以，若则解得： lim =n n n n n a b →∞∴= 3. 设()f x 有连续导数且0 () lim 0x f x a x →=≠， 又20 ()()()x F x x t f t dt =-?， 当0x →时()F x '与n x 是同阶无穷小， 则n =________。 2020 ()()()()()x x x F x x t f t dt x f t dt tf t dt =-=-? ?? 20 ()2()()()x F x x f t dt x f x xf x '=+-? 0() lim 0x F x x →'=显然 20 2 02()()() lim x x x f t dt x f x xf x x →+-?考虑： 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim 0x x x f t dt f x x x →→=-+?0a =-≠ 2n ∴= 5. ()f x ∞设在[1,+)上可导，下列结论成立的是：________。 +lim ()0()x f x f x →∞ '=∞A.若，则在[1,+)上有界； 河北省大学生数学竞赛试题及答案 一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。 【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续，故dx x ?1 02-1存在，且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i ， 所以，= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?， 由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x ， 综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。 三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。 【解】 作变换t x -= 2 π ，则 =I 22 20π π = ?dt ， 所以，4 π= I 。 四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。 又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0， 容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。 所以，x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。 而3 3 1 2 132> ? < 中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容 中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 三、1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项). 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算. 四、多元函数微分学 1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式. 2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. 3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）. 4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法. 五、一元函数积分学 1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型. 2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类. 3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理. 4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet 判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法. 5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用. 六、多元函数积分学 1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）. 2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）. 3.重积分的应用 1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是 两两不同的实数，则2 22 23y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）3 5 ． 答（ ） ２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ３． 方程012=--x x 的解是 （A ） 251±； （B ）25 1±-； （C ） 251±或251±-； （D ）2 5 1±-±． 答（ ） ４． 已知：)19911991(2 11 1 n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ） ５． 若M n 1210099321=?????Λ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ） ６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ， 32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） ８． 在锐角ΔABC 中， 1= AC ，c AB =，ο60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤2 1 ； 答（ ） （C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题 １．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a c b 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，q p n m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ． ４．四边形ABCD 中，∠ ABC ο135=，∠BCD ο120=，AB 6=，BC 35-=， CD = 6，则AD = ． 第二试 1 1=S 3S =1 32=S 高中数学竞赛历届I M O 竞赛试题届完整中文版 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988） 第1届I M O 1.求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。 2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程 a cos2x + b cos x + c = 0, 试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。 4.试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.) 求证 AF、BC相交于N点； （b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S； (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。 6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。 第2届IMO 1.找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 2.寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1 - √(1 + 2x))2 < 2x + 9 3.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan = 4nh/(an2 - a). 4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。 5.正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。 a.求XY中点的轨迹； b.求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹。 6.一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆 锥的底面上。令V 1为圆锥的体积，V 2 为圆柱的体积。 (a). 求证：V 1不等于 V 2 ； (b). 求V 1/V 2 的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。 7.等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高为h。X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的X 点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。 第3届IMO 1.设a、b是常数，解方程组 x + y + z = a; x2 + y2 + z2 = b2; xy=z2 全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1． 计算()ln(1) d y x y x y ++=??，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足22 ()3()d 2f x x f x x =--? ，则()f x =. 3．曲面2 222 x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且 1≠'f ，则=22d d x y . 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()() g x f xt dt =?，且A x x f x =→) (lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）??-=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5d d π?≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1.试确定 c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=L ，且n e u n =)1(，求 函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 之和. 1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． ． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不 同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35 ． 答（ ） ． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ． 方程0 12=--x x 的解是 （A ）251±； （B ）25 1±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-± ． 答（ ） ． 已知：)19911991(21 1 1n n x --=（n 是自然数）．那么 n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）1 1991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）1 1991)1(--n ． 答（ ） ． 若M n 1210099321=????? ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ） ． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和 1 3=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） 1 1=S 第1届I M O 1.? 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。 2.??设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：? (a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.?a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程 a cos2x + b cos x + c = 0, 试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当 a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。 4.? 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.? 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， ??? (a.) 求证 AF、BC相交于N点； ?? （b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S； ??? (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。 6.? 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。 第2届IMO 1.? 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 2.? 寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1 - √(1 + 2x))2 ?< ?2x + 9 3.? 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令?为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan ? = 4nh/(an2 - a). 4.? 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。 5.? 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。 a.求XY中点的轨迹； b.求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹。 6.? 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。 ??? (a).? 求证：V1不等于 V2； ??? (b).? 求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。 7.? 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高为 h。X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。 第3届IMO 1.? 设a、b是常数，解方程组 x + y + z = a; ? ? x2 + y2 + z2 = b2; ? ? xy=z2 并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？ 2.? 设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证： a2 + b2 + c2>= 4√3 A. 并求出等号何时成立。 3.? 解方程 cos n x - sin n x = 1, 其中n是一个自然数。 4.? P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD, 1988年全国高中数学联赛试题 第一试(10月16日上午8∶00——9∶30) 一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( ) A ．y=－φ(x ) B ．y=－φ(－x ) C ．y=－φ－1(x ) D ．y=－φ－ 1(－x ) 2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1 高数竞赛预赛试题（非数学类） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln ) (y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，?=10d )()(t xt f x g ，且A x x f x =→) (lim 0，A 为常数，求) (x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线 与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1 .试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n , 且n e u n =)1(, 求函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 之和. 八、（10分）求- →1x 时, 与∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量. 全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1 ．计算()ln(1) d y x y x y ++=??____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足2 20()3()d 2f x x f x x =--?，则()f x =____________. 3．曲面2 222 x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ， 则=22d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()()g x f xt dt =?，且A x x f x =→) (lim 0，A 为常数， 求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）??-=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25 d d π?≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已 知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1 .试确定c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=，且n e u n =)1(，求函数项级数∑∞ =1)(n n x u 之和. 八、（10分）求- →1x 时，与∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量. 2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1) (1)n n x a a a =+++，其中||1,a <求lim . n n x →∞ 高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 目 录 2018年亚太地区数学奥林匹克 (1) 2018年波罗的海地区数学奥林匹克 (2) 2018年第10届Benelux数学奥林匹克 (5) 2018年巴尔干地区数学奥林匹克 (6) 2018年巴尔干地区初中数学奥林匹克 (7) 2018年高加索地区数学奥林匹克 (8) 2018年中美洲及加勒比地区数学奥林匹克 (10) 2018年Cono Sur数学奥林匹克 (11) 2018年捷克-波兰-斯洛伐克联合数学竞赛 (12) 2018年捷克和斯洛伐克数学奥林匹克 (13) 2018年多瑙河地区数学奥林匹克 (14) 2018年欧洲女子数学奥林匹克 (16) 2018年欧洲数学杯奥林匹克 (18) 2018年拉丁美洲数学奥林匹克 (20) 2018年国际大都市数学竞赛(IOM) (21) 2018年第2届IMO复仇赛 (22) 2018年第5届伊朗几何奥林匹克 (23) 2018年第17届基辅数学节竞赛 (27) 2018年地中海地区数学竞赛 (29) 2018年中欧数学奥林匹克 (30) 2018年北欧数学奥林匹克 (32) 2018年泛非数学奥林匹克 (33) 2018年罗马尼亚大师杯数学奥林匹克 (35) 2018年第14届Sharygin几何奥林匹克 (36) 2018年丝绸之路数学奥林匹克 (42) 2018年Tuymaada国际数学奥林匹克 (43) 2018年乌克兰几何奥林匹克 (45) 2018年第14届Zhautykov国际数学奥林匹克 (47) 2018年ARML数学竞赛 (48) 2018年美国数学邀请赛(AIME) I (57) 2018年美国数学邀请赛(AIME) II (60) 2018年美国数学奥林匹克 (63) 2018年美国初中数学奥林匹克 (64) 2018年美国IMO代表队选拔考试 (65) 2018年美国TSTST (67) 2018年美国第20届ELMO (69) 2018年第20届美国旧金山湾区数学奥林匹克 (71) 2017-2018年度USAMTS (74) 2018年美国女子数学奖学金竞赛(决赛) (79) 2017-2018年度威斯康星数学、科学与工程学人才选拔 (80) 2018年奥地利数学奥林匹克 (84) 2018年澳大利亚、英国IMO国家队联合训练考试 (87) 2018年波黑数学奥林匹克(地区级) (88) 2018年波黑EGMO代表队选拔考试 (90) 2018年波黑JBMO代表队选拔考试 (91) 2018年巴西数学奥林匹克 (92) 2018年巴西数学奥林匹克复仇赛 (94) 2017/2018英国数学竞赛 (95) 2018年保加利亚数学奥林匹克 (97) 2018年保加利亚JBMO代表队选拔考试 (98) 2018年加拿大数学奥林匹克 (99) 2018年塞浦路斯IMO代表队选拔考试 (100) 2018年塞浦路斯JBMO代表队选拔考试 (102)历年国际奥数题
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