a全等三角形之手拉手模型、倍长中线截长补短法

手拉手模型

要点一：手拉手模型

特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的

顶点为公共顶点

结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180°

（3）OA 平分∠BOC

变形：

例 1.如图在直线ABC 的同一侧作

两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连

结AE 与CD ，证明

（1）DBC ABE ???

(2)AE 与DC 之间的夹角为?60

(3)BH 平分AHC ∠

变式精练1：如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连

结AE 与CD ，

证明（1）DBC ABE ???

（2）AE 与DC 之间的夹角为?60

（3）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠

变式精练2：如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结AE 与CD ，

证明（1）DBC ABE ???

(2）AE 与DC 之间的夹角为?60

(3）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠

例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H

问：（1）CDE ADG ???是否成立？

（2）AG 是否与CE 相等？

（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？

（4）HD 是否平分AHE ∠？

例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，

连结CE AG ,,二者相交于点H

问：（1）CDE ADG ???是否成立？

（2）AG 是否与CE 相等？

（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？

（4）HD 是否平分AHE ∠？

例4：两个等腰三角形ABD ?与BCE ?，其

中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE

与CD ，

问：（1）DBC ABE ???是否成立？

（2）AE 是否与CD 相等？

（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？

（4）HB 是否平分AHC ∠？

例5：如图，点A. B. C 在同一条直线上，分别以

AB 、BC 为边在直线AC 的同侧作等边三角形△ABD 、△BCE.连接AE 、DC ，AE 与

DC 所在直线相交于F ，连接FB.判断线段FB 、FE 与FC 之间的数量关系，并证明

你的结论。

【练1】如图，三角形ABC 和三角形CDE 都是等边三角形，点A,E,D,同在一条

直线上，且角EBD=62°，求角AEB 的度数

倍长与中点有关的

线段

倍长中线类

?考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑

倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而

达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构

造全等三角形、平移线段。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC 中 方式1： 延

长AD 到E ， AD 是BC 边中线 使

DE=AD ，

连

接BE

方式2：间接倍长

作CF ⊥AD 于F ， 延

长MD 到N ，

作BE ⊥AD 的延长线于E 使

DN=MD ，

连

接BE

连接CD E

D A

B C

【例1】 已知：ABC ?中，AM 是中线．求证：1()2

AM AB AC <+． 【练1】在△ABC 中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什

么？

【练2】如图所示，在ABC ?的AB 边上取两点E 、F ，使A E B F =，连接CE 、CF ，求证：AC BC +>EC FC +．

【练3】如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，D 是AB 上一点，F 是AC 延长线上的一点，且

BD=CF ，连结DF 交BC 于E ．求证：DE=EF(倍长中线、截长补短)

【例2】 如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E

是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求

证：AC BE =．

【练1】如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E

是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，

求证：AF EF =

【练2】如图，在△ABC 中，AB>AC ，E 为BC 边的中点，

AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，

交CA 的延长线于G. 求证：BF=CG.

【练3】如图，在ABC ?中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中

点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若

BG CF =，求证：AD 为ABC ?的角平分线．

【练4】如图所示，已知ABC ?中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分

别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．

求证：EF ∥AB

【例3】已知AM 为ABC ?的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC

于F ．求证：BE CF EF +>．

【练1】在Rt ABC ?中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足

90DFE ∠=?．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．

【练2】如图，△ABC 中，AB=2AC ，AD 平分BC 且AD ⊥AC ，则∠BAC=______.

【练3】在ABC ?中，点D 为BC 的中点，点M 、N 分别为AB 、AC 上的点，且MD ND ⊥．

（1）若90A ∠=?，以线段BM 、MN 、CN 为边能否构成一个三角形？若

能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？

（2）如果2222BM CN DM DN +=+，求证()22214

AD AB AC =+． 【例4】如图，等腰直角ABC ?与等腰直角BDE ?，P 为CE 中点，连接PA 、PD .

探究PA 、PD 的关系.（证角相等方法）

【练1】如图，两个正方形ABDE 和ACGF ，点P 为BC 的中点，连接PA 交EF 于点Q .

探究AP 与EF 的数量关系和位置关系.（证角相等方法）

【练2】如图，在ABC ?中，AB CD =，BDA BAD ∠=∠，AE 是BD 边的中线.求证：

AE AC 2=

【例5】如图所示，在ABC ?中，AB AC =，延长AB 到D ，使BD AB =，E 为AB 的

中点，连接CE 、CD ，求证2CD EC =．

【练1】已知ABC ?中，AB AC =，BD 为AB 的延长线，且BD AB =，CE 为ABC ?的AB

边上的中线．

求证：2CD CE =

【练2】如图,CB 、CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC

中线,且AC=AB,∠ACB=∠ABC.求证CE=2CD.

【例16】如图，两个正方形ABDE 和ACGF ，点P 为BC

的中点，连接PA 交EF 于点Q .

探究AP 与EF 的数量关系和位置关系.（倍长中线与手拉手模型综合应用）

【练1】已知：如图，正方形ABCD 和正方形EBGF ，点M 是线段DF 的中点.

⑴试说明线段ME 与MC 数量关系和关系.

⑵如图，若将上题中正方形EBGF 绕点B 顺时针旋转α度数

（?<90α），其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明；

若不正确，请说明理由.

★全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分

线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解

决这一类问题的一种特殊方法(把长边截成两个短边或把两个短边放到一起；出

现角平分线进行翻折；有具体角的度数说明要求角的度数，进而得到角相等，?

全等)

【例10】 如图所示，ABC ?中，0045,90=∠=∠B C ，AD 平分BAC ∠交BC 于D 。求

证：AB=AC+CD 。 【练1】如图所示，在ABC ?中，060=∠B ，ABC ?的角平分线AD 、CE 相交于点O 。求证：AE+CD=AC 。 D A

C B

O E D A

B C

D

O

E

C

B

A

N

M

D

C

B

A

D

C

B

A

【练2】已知ABC

?中，

60

=

∠A，BD、CE分别平分ABC

∠和ACB

∠，BD、CE

交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证

明．

【练2】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC，AE平分∠BAD

交DC于点E，连接BE，且AE⊥BE，求证：AB=AD+BC.

【练3】已知：如图,在△ABC中,∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC

的平分线。求证：BC=AB+AD.

【练4】点M，N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC，∠

BDC=120°，∠MDN=60°，求证MN=MB+NC．

【例11】已知如图所示，在△ABC中,AD是角平分线,且AC=AB+BD,

试说明∠B=2∠C（不只是边，倍角也适用）

【练1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于点D．求

证：∠DBC＝

2

1

∠BAC．

【例12】如图所示，已知2

1∠

=

∠，P为BN上一点，

且BC

PD⊥于D，AB+BC=2BD，求证：

180

=

∠

+

∠BCP

BAP。

【练1】如图，在四边形ABCD中，BC＞BA, AD＝CD，

BD平分ABC

∠，

求证：0

180

=

∠

+

∠C

A

【例13】如图所示，在ABC

Rt?中，AB=AC，0

90

=

∠BAC，

CBD

ABD∠

=

∠，CE垂直于BD的延长线于E。求证：BD=2CE。

2

1

D

M

B

C

P

N

A

C

E

D

B C A

【练1】已知：如图示，在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2

∠C ，BD 是∠ABC 的平分线．求证：CD=2AD ．

【练2】如图所示，在ABC ?中，090=∠ABC ，AD 为BAC ∠的平分线，C ∠=300，AD BE ⊥于E 点，求证：AC-AB=2BE 。 【练3】正方形ABCD,E 是BC 上一点,AE ⊥EF,交∠DCH 的平

分线于点F ，求证AE=EF

【练4】已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延

长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE

【例14】如图所示，已知AB //CD ，BCD ABC ∠∠,的平分线恰好交于AD 上一点E ，求证：BC=AB+CD 。

【练1】如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的

连线交AP 于D ．求证：AD+BC=AB ．

【练2】如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是

BC 边上的一点，且AF 平分∠DAE ，求证：AE=EC+CD ．

【练3】在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠B=2∠C ．求证：

CD=AB+BD ．

【练4】如图所示,在三角形ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,D 为三角形

ABC 外一点,且AD ＝BD,DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E.试探求ED 、

AE 和BC 之间有何数量关系

【练5】在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，

∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线

P E D C B

A

段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论

【例15】如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证：AB-AC

＞PB-PC A

12 P

B C

【练1】已知AM 为ABC ?的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC

于F ．

求证：BE CF EF +>．

如图，E 是AOB ∠的平分线上一点，OA EC ⊥，OB ED ⊥，

垂足为C 、D 。求证：（1）OC=OD ； （2）DF=CF 。

构造等边三角形 1、如图,已知△ABC 中,AB=AC,D 是CB 延长线上一

点,∠ADB=60°，E 是AD 上一点，且有DE=DB.求证：AE=BE+BC.

2、在等腰ABC ?中，AB AC =，顶角20A ∠=?，在边AB 上取点D ，使A D B C =，求B D C ∠. 练习1、如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,BE 平分∠ABC,DE ⊥AB 于D,如果AC=3cm,

那么AE+DE 等于

A 、2cm

B 、3cm

D

F

D C A

O

B E

C 、4cm

D 、5cm

练习2、在△ABC 和△A'B'C'中,AB=A'B',AC=A'C',点D,D'分别是BC,B'C'的中点,且AD=A'D',证眀：'''C B A ABC ???.

（倍长中线）

练习3、如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的角平分线，AD ⊥BE ，垂足为D ，求证：∠2=∠1+∠C

练习4、如图（1），已知△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AE 是过A 的一条直线，且B 、C 在A 、E 的异侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E

（1）试说明：BD=DE+CE ．

（2）若直线AE 绕A 点旋转到图（2）位置时（BD ＜CE ），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何？请直接写出结果；

（3）若直线AE 绕A 点旋转到图（3）位置时（BD ＞CE ），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．

如图所示，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，有过A 的任一条直线AN ，BD ⊥AN 于D ，CE ⊥AN 于E ，求证：DE ＝BD －CE ．（思路：截长补短法）

如图,在△ABC 中,AB=AC,D 是三角形外一点,且∠ABD=60°,BD+DC=AB.求证：∠ACD=60°.（截长补短）

1、如图，等腰直角ABC ?与等腰直角BDE ?，P 为CE 中点，连接PA 、PD .

探究PA 、PD 的关系.（辅助线的连法都一样）

2、已知：如图，正方形ABCD 和正方形EBGF ，点M 是线段DF 的中点. ⑴试说明线段ME 与MC 数量关系和关系.（辅助线的连法都一样）

A B C D A ' B ' C '

D '

⑵如图，若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转α度数（?

α），

<90

其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.

3、已知AM为ABC

∠的平分线分别交AB于E、交AC于F．?的中线，AMB

∠，AMC

求证：BE CF EF

+>．（辅助线的连法都一样）

【阅读理解】

已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是角平分线，交BC边于点D．求证：AC=AB+BD证明：如图1，在AC上截取AE=AB，连接DE，则由已知条件易知：Rt△ADB≌Rt△ADE（AAS）

∴∠AED=∠B=90°，DE=DB

又∵∠C=45°，∴△DEC是等腰直角三角形．

∴DE=EC．

∴AC=AE+EC=AB+BD．

【解决问题】

已知，如图2，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的平分线，交BC边于点D，DE⊥AC，垂足为E，若AB=2，则三角形DEC的周长为．

【数学思考】：现将原题中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平分线，交BC边的延长线于点D如图3”，其他条件不变，请你猜想线段AC、AB、BD之间的数量关系，并证明你的猜想．

【类比猜想】

任意三角形ABC，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图4，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系．

如图,已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC. （1）求证：AM平分∠DAB

（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？

（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果。

全等三角形辅助线之截长补短和倍长中线(原题+解析)

全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线 一．填空题（共1小题） 1．（2015秋?宿迁校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC 交BC于D．若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是．二．解答题（共10小题） 2．（2010秋?涵江区期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD． 3．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜（AB+AC）．4．（2013秋?藁城市校级期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN 经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E． （1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE； （3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系请你直接写出这个数量关系，不要证明． 5．已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由． 6．（2012秋?西城区校级期中）已知：如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，F是CD中点，连BF交AC于点E，∠ABE+∠CEB=180°，判断BD与CE 的数量关系，并证明你的结论． 7．（2010秋?丰台区期末）已知：如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是△ABC内的一点，且AD=AC，若∠DAC=30°，试探究BD与CD的数量关系并加以证明． 8．已知点M是等边△ABD中边AB上任意一点（不与A、B重合），作∠DMN=60°，交∠DBA外角平分线于点N． （1）求证：DM=MN； （2）若点M在AB的延长线上，其余条件不变，结论“DM=MN”是否依然成立请你画出图形并证明你的结论． 9．（2015春?闵行区期末）如图所示，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E 是CD上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE． 10．已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE．求证：BE+DF=AE．11．（2010秋?巢湖期中）如图，CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线，且AB=AC．求证：CD=2CE．

全等三角形之倍长中线法资料讲解

课题：《全等三角形之巧添辅助线——倍长中线法》 【方法精讲】常用辅助线添加方法一一倍长中线 △ ABC中，AD是BC边中线方式1 :直接倍长延长AD至U E， 例2: ABC中，AD是BAC的平分线，且BD=CD，求证AB=AC 方法1:作DE丄AB于E,作DF 丄AC于F,证明二次全等 方法2 :辅助线同上，利用面积 方法3 :倍长中线AD E 方式2 :间接倍长 作CF丄AD于F,作BE丄AD的延长线于E延长MD到 C 【经典例题】 例1 :△ ABC中，AB=5, AC=3求中线AD的取值范围. 提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边 N,使DN=MD连接CN C 例3:已知在△ ABC中，AB=AC , D在AB 上, E在AC的延长线上，DE交BC于F,且DF=EF ,求证：BD=CE 方法1 :过D作DG // AE交BC于G,证明△ DGF^A CEF 使DE=AD，连接BE

方法2:过E 作EG // AB 交BC 的延长线于 G ,证明△ EFG^A DFB 方法3:过D 作DG 丄BC 于G,过E 作EHL BC 的延长线于 H,证明A BDG^A ECH 例4:已知在△ ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ,延长BE 交AC 于F ,求证：AF=EF 例5:已知：如图，在 ABC 中，AB 求证：AE 平分 BAC 方法1倍长AE 至G ,连结DG 方法2:倍长FE 至H ，连结CH 例 6:已知 CD=AB ，/ BDA= / BAD , AE 是厶 ABD 的中线，求证：/ C=Z BAE 提示：倍长 AE 至F ,连结DF,证明A ABE^A FDE ( SAS ,进而证明A ADF ^A ADC( SAS A 提示：倍长 AD 至G ,连接BG ,证明A BDG^A CDA 三角形BEG 是等腰三角形 AC , D E 在 BC 上,且 DE=EC 过 D 作 DF // BA 交 AE 于点 F , DF=AC. 第1题图

吉林省长春市双阳区八年级数学上册第13章全等三角形13.3等腰三角形教案新版华东师大版

等腰三角形 教学目 标知识与技能 进一步理解等腰三角形的判定方法和性质，并能够运用灵活的解决相关问题 过程与方法 了解情况，发现问题，研究讨论，运用知识，解决问 题，提高能力 情感态度与价值观培养学生良好的学习品质. 教学重点等腰三角形的判定和性质 教学难点正确的利用知识解决问题. 教学内容与过程教法学法设计 一. 复习提问，回顾知识，请看下面的问题： 1.有两个角相等的三角形是，三个角都相等的三角形是， 2.如果一个三角形有两边相等，那么这两边所对的角，这是等腰三角形的， 3.等腰三角形的边上的高，线，角的平分线互相重合，可简记为 “三线合一”. 4..等边三角形的三个内角都，并且每个内角都等于°. 5.判定两个三角形全等的方法有： . 6.判定等腰三角形的方法有 . 二. 导入课题，研究知识： 为了更好的理解和掌握等腰三角形的判定方法和性质，灵活的运用知识解答相关的问题本节课我们来复习这一知识. 面向全体学生提出相关的问题。明确要研究，探索的问题是什么，怎样去研究和讨论。. 留给学生一定的思考和回顾知识的时间。 为学生创设表现才华的平台。

三.归纳知识，培养能力： 等腰三角形的判定和性质 四.运用知识，分析解题： 问题1已知等腰三角形的顶角等于低角的4倍，求这个等腰三角形各内角的度数. 问题 2.已知等腰三角形的一边长为4㎝，另一边长为9㎝，求它的周长. 问题3如果一个三角形的两个内角分别为70°和40°，那么这个三角形是什么三角形？为什么？ 问题4 如图，已知B D=CE, ∠BDC=∠CEB. 求证:∠ABC=∠ACB. 问题5 如图，在△ABC中，AB=AC, DE∥BC,DE交AB于点D,交AC于点E. 求证：AD=AE. 五.课堂练习：请见教材和练习册 六.课后小结：等腰三角形的知识 七.课后作业：复印给学生. 在复习基础 知识的基础上 运用知识解决 问题. 将知识和实 际问题相结合. 教学反思 E D C B A E D C B A

初中数学全等三角形截长补短

全等三角形——截长补短法 一、知识梳理： 截长补短法 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长法： （1）过某一点作长边的垂线 （2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等. 补短法 （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。…… 二、典型例题： 例1、如图，在ABC ?中，60BAC ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数. 及时练习： 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD ． 例2、已知ABC ?中，60A ∠ =，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明． D O E C B A

M D C B A P C B A 及时练习： 如图，已知在ABC 内，0 60BAC ∠=，0 40C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ， BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 例3、如图．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ． 求证：AE =BC +CE ． 及时练习： 如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ， ∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( ) A . a B . k C . 2 k h + D . h 例4、以ABC ?的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ?、ACE ?，连结CD 、BE 相交于点O ． 求证：OA 平分DOE ∠．

截长补短法例题精编版

截长补短法 例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC . 求证：∠BAD +∠BCD =180°. 分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现. 证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2 ∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中， ? ? ?==CD AD DF DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180° 例2. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD . 求证：∠BAP +∠BCP =180°. 分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2 ∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ， 在Rt △BPE 与Rt △BPD 中， ? ? ?==BP BP PD PE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD . ∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE . F E D C B A 图1-2 A B C D P 12 N 图3-1 P 12 N A B C D E 图3-2 A B C D 图1-1

中考数学经典截长补短法突破(含答案)

初中数学全等专题截长补短法 1.正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，则∠EAF的度数为( ) A.30° B.37.5° C.45° D.60° 2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，时DE=AD，则∠ECA的度数为（） A.30° B.35° C.40° D.45° 3.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，则下列

说法正确的是（） A.CD=AD+BE B.AE=CE+BE C.AE=AD+BE D.AC=AD+BE 4.如图所示，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M、N分别在AB、AC上，则△AMN的周长为（） A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，已知正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF 平分∠DAE.则下列式子正确的为（）

A.AE－BE＝EF B.AE－BE＝DF C.AE－BE＝EC D.AE －BE＝AB 1.解题思路：延长EB至点G，使得BG=DF，连接AG，可证明：△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE∴△AEG≌△AEF（SSS） ∴∠EAG=∠EAF， ∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°∴∠EAG+∠EAF=90°， ∴∠EAF=45°。答案：C 2.解题思路：在BC上截取BF=AB，连DF，则有△ABD≌△FBD， ∴DF=DA=DE，又∵∠ACB=∠ABC=40°， ∠DFC=180°-∠A=80°，∴∠FDC=60°， ∵∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=180°-20°-100°=60°，∴△DCE≌△DCF，故∠ECA=∠DCB=40°.故选C. 3.解题思路：在AB上截取AF，使得AF=AD，连接CF，则可先证△ADC≌△AFC，再证明△CEF≌△CEB，就可以得到

三角形全等之倍长中线(类倍长一)(人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1：“三角形全等”的辅助线： 见中线，要________，________之后___________，全等之后_________，_________． 问题2：倍长中线的作法，图中的虚线为辅助线，请叙述图1、图2的辅助线． 三角形全等之倍长中线（类倍长一）（人教版） 一、单选题(共4道，每道25分) 1.已知：如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠D． 求证：AB=CD． 如图，先在图上走通思路后再填写空格内容： ①因为点E是BC的中点，考虑延长AE到点F，使EF=AE，连接CF； ②进而利用全等三角形的判定_________，证明_______≌_______； ③由全等可得________________；

④结合已知条件∠BAE=∠D，得∠F=∠D，在△DCF中，利用________________，可得CF=CD，等量代换得AB=CD． 以上空缺处依次所填最恰当的是( ) A.②SAS，△ABE，△ECF； ③AB=CF； ④等角对等边 B.②SAS，△ABE，△DEC； ③AB=CF，∠BAE=∠F； ④等边对等角 C.②SA S，△ABE，△FCE； ③∠ABE=∠FCE，∠BAE=∠F； ④等边对等角 D.②SAS，△ABE，△FCE； ③AB=FC，∠BAE=∠F； ④等角对等边 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：三角形全等之倍长中线 2.已知：如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠D． 求证：AB=CD． 证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接BF．

∵E是BC的中点 ∴BE=CE 在△BEF和△CED中 ∴△BEF≌△CED（SAS） ∴____________________________ ∵∠BAE=∠D ____________________________ ∴AB=CD 请你仔细观察下列序号所代表的内容： ①BF=CD，∠EBF=∠C； ②BF=CD，∠F=∠D； ③； ④． 以上空缺处依次所填最恰当的是( ) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 答案：B 解题思路：

八年级数学上册第13章全等三角形教案1新版华东师大版

全等三角形 教学目标 知识与技能 帮助学生总结一般三角形全等的判定条件，使他们自觉运用各种全等判定法进行说理；通过一般三角形全等判定条件的归纳，帮助学生认识事物间存在着的因果关系和制约的关系. 过程与方法 通过一般三角形全等判定条件的归纳，帮助学生认识事物间存在着的因果关系和制约的关系.习题分析与解答先由学生完成，教师解答疑点。 情感态度与价值 观 通过一般三角形全等判定条件的归纳，帮助学生认识事物间存在着的因果关系和制约的关系. 教学重点 让学生识别三角的哪些元素能用来确定三角形的形状与大小，因而可用来判定三角形全等. 教学难点 灵活应用各种判定法识别全等三角形 教学内容与过程 教法学法设计 一、基础知识复习 1.全等三角形 1、全等三角形的概念及其性质 1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 。 2）.全等三角形性质： 例．如图, ABC ?≌ADE ?，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G, 105=∠=∠AED ACB , 25,10=∠=∠=∠D B CAD ,求DFB ∠、DGB ∠的度数. 二.导入课题，研究知识： 本节课我们来复习全等三角形的有关知识 面向全体学生提出相关的问题。明确要研 究，探索的问题 是什么，怎样去 研究和讨论。. 留给学生一定的思考和回顾知识的时间。 为学生创设表现才华的平台。

三.归纳知识，培养能力： 2.全等三角形的判定方法 1）、两边和夹角对应相等的两个三角形全等（ SAS ） 2）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( ASA ) 3）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( AAS ) 4）、三边对应相等的两个三角形全等 ( SSS ) 5）、一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 ( H L ) 四.运用知识，分析解题： 例：如图，在ABC 中,∠ACB=90?,D 是AC 上一点，AE ⊥BD ，交BD 的延长线于点E ，又 AE=2 1 BD ，求证：BD 是∠ABC 的平分线。 五.课堂练习：请见教材 六.课后小结：《全等三角形》复习 七.课后作业：. 复印给学生. 基础知识复习由学生们以成语接龙的方式完成。教师做最后补充。 教学时应尊重学生已有的经验，鼓励学生探索，适时渗透类比的方法和转化的数学思想。树立辩证唯物主义思想。培养学生刻苦学习的精神。 方法由学生回忆，例题分析由学生完成后，书写解题过程 教学反思 必须手写，是检查备课的重要依据。 D E C B A

全等三角形截长补短拔高练习(含答案)

八年级数学全等三角形辅助线添加之截长补短 （全等三角形）拔高练习 试卷简介:本讲测试题共两个大题，第一题是证明题，共7个小题，每小题10分；第二题解答题，2个小题，每小题15分。 学习建议:本讲内容是三角形全等的判定——辅助线添加之截长补短，其中通过截长补短来添加辅助线是重点，也是难点。希望同学们能学会熟练通过截长补短来做辅助线，进而构造出全等的三角形。 一、解答题(共1道，每道20分) 1.如图，已知点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，B、D分别在AM、AN上，且AE=（AD+AB）.问：∠1和∠2有何关系？ 答案： 解：∠1+∠2=180° 证明：过点C作CF⊥AN于点F，由于AC平分∠NAM，所以CF=CE，则在Rt△ACF和Rt△ACE 中 ∴△ACF≌△ACE（HL），∴AF=AE，由于2AE=AD+AB，所以AB-AE=AF-AD ∴DF=BE，在△CFD和△CEB中所以△CFD≌△CEB（SAS），∴∠2=∠FDC，又∠1+∠FDC=180°，∴∠1+∠2=180°。 解题思路：见到角平分线就要想到作垂直，找到全等关系是解决此类问题的关键 易错点：找到三角形全等的所有条件

试题难度：四颗星知识点：三角形 二、证明题(共8道，每道10分) 1.如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BD于E，求证：CE=BD. 答案： 延长CE交BA的延长线于点H，由BE平分ABC，BE CE，得CE=EH=CH。 又1+H=90°,，2+H=90° 1= 2 在△ACH和△ABD中 HAC=DAB=90° AC=AB 1= 2 △ACH≌△ABD（ASA） CH=BD CE=CH=BD 解题思路： 根据题意，要证明CE=BD，延长CE与BA，由题意的垂直平分线可得CE的两倍长CH，只需证明CH=BD即可，很显然有全等可以证明出结论 易错点：不能正确利用题中已知条件BF平分∠ABC，CE⊥BD于E，做出辅助线，进而解答。试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质 2. 如图，已知正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分∠DAE．求证：AE－BE＝DF．

(完整版)截长补短法专题

选择第4题图 P D C B A 一、角平分线的性质 一．选择题填空（共10小题） 1．如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ∠OA 于点D ，PD=6，则点P 到边OB 的距离为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 2．到三角形的三边距离相等的点是（ ） A ．三角形三条高的交点 B ．三角形三条内角平分线的交点 C ．三角形三条中线的交点 D ．三角形三条边的垂直平分线的交点 3．如图，AD 是∠ABC 的角平分线，则AB ：AC 等于（ ） A ．BD ：CD B ．AD ：CD C ．BC ：A D D ．BC ：AC 4．如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB ＝，PC ＝，AB ＝，AC ＝，则与的大小关系是（ ） A 、＞ B 、＜ C 、＝ D 、无法确定 5．如图，在∠ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，DE ∠AC 交于点E ，DF ∠BC 于点F ，且BC=4，DE=2，则∠BCD 的面积是 ． 7．如图所示，在∠ABC 中，∠A=90°，BD 平分∠ABC ，AD=2cm ，AB+BC=8，S ∠ABC = ． 7．如图4，已知AB ∥CD ，O 为∠A 、∠C 的角平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则两平行线间AB 、CD 的距离等于 。 8．如图所示，已知∠ABC 和∠DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，连接OC 、FG ，则下列结论中：①AE=BD ；②AG=BF ；③FG ∠BE ；④∠BOA=60度，（5）、△AGC ≌△BFC ，（6）△DFC ≌△EGC ，（7）CO 平分∠BOE 正确的是 ． 二、截长、补短法的专题 例1、 如图所示，已知AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线，∠C ＝90°， 求证：AB ＝AC ＋CD ． m n c b )(n m +)(c b +n m +c b +n m +c b +n m +c b +

初二数学第十三章全等三角形测试题及答案

全等三角形测试题 一．选择题： 1．在△ABC和△A’B’C’中, AB=A’B’, ∠B=∠B’, 补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A’B’C’, 则补充的这个条件是( ) A．BC=B’C’B．∠A=∠A’C．AC=A’C’D．∠C=∠C’ 2．直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（） A．45°B．135°C．45°或135°D．都不对 3．现有两根木棒，它们的长分别是40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架，则在下列四根木棒中应选取（） A．10cm的木棒B．40cm的木棒C．90cm的木棒D．100cm的木棒4．根据下列已知条件，能惟一画出三角形ABC的是（） A．A B＝3，BC＝4，AC＝8； B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30； C．∠A＝60，∠B＝45，AB＝4； D．∠C＝90，AB＝6 5．如图3，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若∠B＝∠C， ∠ADE＝∠AED，则（） A．当∠B为定值时，∠CDE为定值 B．当∠α为定值时，∠CDE为定值 C．当∠β为定值时，∠CDE为定值 D．当∠γ为定值时，∠CDE为定值 二、填空题： 6．三角形ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A＋∠B还大12度，则这个三角形是＿＿三角形． 7．以三条线段3、4、x－5为这组成三角形，则x的取值为＿＿＿＿． 8．杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是＿＿＿＿． 9．△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠A的平分线交BC于点D，若CD＝8cm，则点D到AB 的距离为＿＿＿＿cm． 10.AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则边BC的取值范围是＿＿＿＿；中线AD的取值范围是＿＿＿＿． 三、解答题： 11．已知：如图13－4，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB， 求证：△EAD≌△CAB． 12．如图13－5，△ACD中，已知AB⊥CD，且BD>CB, △BCE和△ABD都是等腰直角三角形，王刚同学说有下列全等三角形： ①△ABC≌△DBE；②△ACB≌△ABD； ③△CBE≌△BED；④△ACE≌△ADE． A B D C E E A D F C B E D 图13－4 B 图13－3

八年级数学 全等三角形截长补短法专题

A D B C E 图2-1 截长补短法 人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC . 求证：∠BAD +∠BCD =180°. 分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现. 证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2 ∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中， ?? ?==CD AD DF DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180° 例2. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB . 求证：CD =AD +BC . 分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的. 证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2 在△FCE 与△BCE 中， ?? ? ??=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF ∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1. A B C D 图1-1 F E D C B A 图1-2 A D B C E F 1 234 图2-2

经典截长补短法巧解

截长补短法 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长补短法有多种方法。 截长法： （1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。…… 补短法 （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。……例： H P G F B A C D E 在正方形ABCD中，DE=DF，DG⊥CE，交CA于G，GH⊥AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系方法一（好想不好证） H P G F B A C D E 方法二（好证不好想） H M P G F B A C D E 例题不详解。

（第2页题目答案见第3、4页） F E D C A B （1）正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAF=45o 。 求证：EF=DE+BF （1）变形a E F D C A B 正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，∠EAF=45o 。 请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？ （1）变形b E F D C A B 正方形ABCD 中，点E 在DC 延长线上，点F 在CB 延长线上，∠EAF=45o 。 请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？ （1）变形c j F E A B C D 正三角形ABC 中，E 在AB 上，F 在AC 上∠EDF=45o 。DB=DC ，∠BDC=120o 。请问现在EF 、BE 、CF 又有什么数量关系？ （1）变形 d F E D C A B 正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAD=15o ，∠FAB=30o 。AD=3 求?AEF 的面积 （1）解：（简单思路）

华东师大版八年级上册数学13章 《全等三角形》教案3

课题命题 【学习目标】 1．了解命题的概念以及命题的构成，能把命题改为“如果……，那么……”的形式； 2．知道真命题和假命题，会用举例法或画图法等判断一个命题的真假性； 3．在学习的过程中体会数学的逻辑思维能力和有条理的推理能力． 【学习重点】 命题的概念，区分命题的条件和结论． 【学习难点】 区分命题的条件和结论，会把一些简单命题改写成“如果……，那么……”的形式． 行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么． 知识链接：1.平行线的性质定理和判定定理； 2．对顶角的性质和定义； 3．直角的概念和判定． 行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．在探究练习的指导下，自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识． 学法指导：紧扣“判断一件事情的句子”，有判断语句的是命题，无判断语句的不是命题． 学法指导：每个命题都由条件和结论两部分组成．条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 知识链接：1.有一些命题的叙述，其条件和结论并不十分明显，我们可以先把它改写成“如果……，那么……”的形式，再找出它的条件和结论； 2．命题的条件部分有时可用“已知……”或“若……”等形式叙述，结论部分可用“求证……”或 “则……”的形式叙述．情景导入生成问题 相信我能行：判断正误： (1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； (2)两直线平行，同位角相等； (3)同旁内角相等，两直线平行； (4)相等的角是对顶角； (5)直角都相等． 自学互研生成能力 知识模块一命题的定义 阅读教材P53～P55，完成下面的内容： 定义：表示判断的语句叫做命题． 反之，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题．例如：(1)你喜欢数学吗？(2)作线段AB＝CD.

全等三角形~截长补短

1 2 截长补短 截长补短”是几何证明题中十分重要的方法， 通常用来证明几条线段的数量关系， 即若 题目条件或结论中含有 a b c ”的条件，需要添加辅助线时可以考虑 截长补短”的方法。 另外的较短线段。 补短法: ①延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明两线段之和等 于较长线段。即延长a ，得到b ，证：a b ①延长较短线段中的一条， 使延长后的线段等于较长线段, 一条较短线段。 即延长a ，得到c ,证：b c-a 。 例1.已知：如图，在 △ ABC 中，△仁△Z, △ B=2AC .求证: 1.补短法: 证明：如图，延长 AB 到E ,使BE=BD ，连接DE . △ △ABD 是 △BDE 的一个外角 △ △ABDME + △BDE ABE=BD △ △EMBDE △ △ABD=2 △E △ △ABD=2 △C △ △EMC 在 AADE 和 AADC 中 △ △ADE △△ADC (AAS )截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段, 再设法证明较长线段的剩余线段等于 然后证明延长出来的部分等于另 AC=AB+BD . AD AD

1 2 证明：如图，在 CD 上截取CF=CB . △CE 平分△CBD 在△CFE 和 △CBE 中 △AE=AC △AC=AB + BE=AB + BD 2.截长法: 证明：如图，在 AC 上截取AF=AB ，连接DF . 在△ABD 和△AFD 中 AB AF AD AD △ △ABD △△AFD ( SAS ) △ ABMAFD , BD=FD △ △B=2 △C △ △AFD =2 △C △ △AFD 是^DFC 的一个外角 △ △AFD me + 舉DC △ AFDCmC ADF=FC ABD=FC △AC=AF+FC=AB+BD 例2.如图，在四边形 ABCD 中，△ A=AB=90，点 E 为AB 边上一点，且 DE 平分△ ADC ， CE 平分△ BCD .求证：CD=AD+BC . CF CB CE CE

几何证明中的截长补短法

平面几何中截长补短法的应用 授课内容：湘教版九年级上册《证明》授课教师：张羽茂授课时间： 讲评内容：证明中的“截长补短法”。 讲评目标：1、通过讲评，查漏补缺，解决几何证明中截长补短法的应用。 2、规范学生证明过程的书写格式。 3、通过讲评提高审题能力，总结解题方法和规律。 讲评重点：规范学生证明过程的书写格式 讲评难点：通过讲评，查漏补缺，解决图形中截长补短法的应用。教具准备：黑板、学生作业本 讲评过程： 一、谈话导入 1、公布全班的整体成绩。 2、表扬进步的学生。 二、讲评 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠ B=2∠C,求证：AB+BD=AC. 方法一：（截长法） 方法二：（补短法） 三、课堂练习

1．已知：如图，在正方形ABCD 中，AB=4， AE 平分∠BAC.求AB+BE 的长。 四、课后拓展 1.正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAF=45。 求证：EF=DE+BF 。 五、板书设计 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC,∠B=2∠C,求证：AB+BD=AC. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE 平分∠BAC.求AB+BE 的长。 正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点在BC 上，∠EAF=45。求证：EF=DE+BF

六、教学反思与总结 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。 截长：1.过某一点作长边的垂线 2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。 补短：1.延长短边 2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。 教师工作： 采集信息-----归类点评、指导纠借-----适时检测、落实纠错 学生操作： 作业分析---个体纠借---集体纠错---针对补偿---（依据答案）主动纠错---思考领悟---针对纠错---主动补偿---消除薄弱 教学流程： 作业分析——个体纠错——集体纠错——针对补偿——课堂小结。

第13章全等三角形

第十三章全等三角形 13.1全等三角形 学习导航 目标点击 1．通过一个图形的平移、翻折、旋转，体会全等图形和全等三角形位置变化了，但形状、大小没有变化的特点． 2．理解全等三角形概念及表示方法，知道对应顶点、对应边、对应角及其性质． 知识点拨 （1）能够完全“重合”的两个三角形全等． （2）全等三角形的对应边相等、对应角相等． 例1 填空题： (1)如图13－1－1，①△ACF≌△ABE，AB＝AC，则对应角是____，对应边是____． ②△OFB≌△OEC，则对应角是____，对应边是____． 图13－1－1 图13－1－2 (2)如图13－1－2，△ABC≌△DEB，AB＝DE，∠E＝∠ABC，则∠C对应角为____，BD边对应边为____． (3)如图13－1－3，△ABC≌△ADE，∠B＝∠ADE，∠C＝∠E，则对应角是____，对应边是____． 图13－1－3 解：(1)①对应角是∠A与∠A，∠ABE与∠ACF，∠AEB与∠AFC，对应边是AB与AC，BE 与CF，AE与AF． ②对应角是∠BOF与∠COE，∠BFO与∠CEO，∠OBF与∠OCE，对应边是OB与OC，OF 与OE，BF与CE． (2)∠C的对应角是∠DBE，BD的对应边是CA． (3)对应角是∠B与∠ADE，∠C与∠E，∠BAC与∠DAE．对应边是AB与AD，AC与AE，BC与DE． 点拨：由于在全等三角形中，相等的边是对应边，相等的角(或公共角)是对应角，结合图形即可判断出． 例2 如图13－1－4，△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠B＝50°，BF＝2． 求∠DFE的度数与EC的长． 图13－1－4

全等三角形之截长补短法

例题1 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD． 考点：全等三角形的判定与性质． 专题：证明题． 分析：利用已知条件，求得∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD，得出△ABD≌△AED（AAS），∴AE=AB．∵AE=AC+CE=AC+CD，∴AB=AC+CD． 解答：证法一：如答图所示，延长AC，到E使CE=CD，连接DE． ∵∠ACB=90°，AC=BC，CE=CD， ∴∠B=∠CAB=45°，∠E=∠CDE=45°， ∴∠B=∠E． ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2 在△ABD和△AED中， ∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD， ∴△ABD≌△AED（AAS）． ∴AE=AB． ∵AE=AC+CE=AC+CD， ∴AB=AC+CD． 证法二：如答图所示，在AB上 截取AE=AC，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2． 在△ACD和△AED中， AC=AE，∠1=∠2，AD=AD， ∴△ACD≌△AED（SAS）． ∴∠AED=∠C=90，CD=ED， 又∵AC=BC，

∴∠B=45°． ∴∠EDB=∠B=45°． ∴DE=BE， ∴CD=BE． ∵AB=AE+BE， ∴AB=AC+CD． 点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；通过SAS的条件证明三角形全等，利用三角形全等得出的结论来求得三角形各边之间的关系． 例题2 图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜（AB+AC）． 考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系． 专题：计算题． 分析：可延长AD到E，使AD=DE，连BE，则△ACD≌△EBD得BE=AC，进而在△ABE中利用三角形三边关系，证之． 解答：证明：如图延长AD至E，使AD=DE，连接BE． ∵BD=DC，AD=DE，∠ADC=∠EDB ∴△ACD≌△EBD∴AC=BE 在△ABE中，AE＜AB+BE，即2AD＜AB+AC∴AD＜（AB+AC） 点评：本题主要考查全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握．

三角形全等之倍长中线

三角形全等之倍长中线 课前预习 1. 填空 （1）三角形全等的判定有： 三边分别___________的两个三角形全等，即（____）； 两边和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）； 两角和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）； 两角和其中一个角的______分别相等的两个三角形全等，即（____）； 斜边和_______边分别相等的两个直角三角形全等，即（____）． （2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑放在两个三角形中证________；要证明两个三角形全等需要准备______组条件，这三组条件里面必须有______；然后依据判定进行证明，其中AAA ，SSA 不能证明两个三角形全． 2. 想一想，证一证 已知：如图，AB 与CD 相交于点O ，且O 是AB 的中点． （1）当OC =OD 时，求证：△AOC ≌△BOD ； （2）当AC ∥BD 时，求证：△AOC ≌△BOD ． O B C D A ? 知识点睛 1. “三角形全等”辅助线： 见中线，要__________，构造______________． 2. 中点的思考方向： ① （类）倍长中线 延长AD 到E ，使DE =AD ， 延长MD 到E ，使DE =MD ， 连接BE 连接CE D C B A M A B C D

②平行夹中点 F E D C B A 延长FE 交BC 的延长线于点G ? 精讲精练 1. 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线． （1）按要求作图：延长AD 到点E ，使DE =AD ；连接BE ． （2）求证：△ACD ≌△EBD ． （3）求证：AB +AC >2AD ． （4）若AB =5，AC =3，求AD 的取值范围． 2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ． 求证：AB =AC ． 3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ． 求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ． D C B A D B A D C B A

八年级数学上册第13章全等三角形13.4尺规作图第1课时尺规作图教案新版华东师大版

13．4 尺规作图 第1课时尺规作图(1) 1．掌握五种基本作图的方法． 2．会用五种基本作图的方法来解决简单的作图题． 重点 五种基本作图的方法． 难点 作图语言的叙述． 一、自学教材 自学教材第85～88页,体会前三种基本作图的方法．学生自学教材,交流归纳作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知角的平分线的方法． 二、探究新知 教师演示作图过程． 1．作一条线段等于已知线段 已知：线段AB.求作：线段A′B′,使A′B′＝AB. 作法：(1)作射线A′C′； (2)以点A′为圆心,以AB的长为半径作弧,交射线A′C′于点B′.A′B′就是所要求作的线段． 2．作一个角等于已知角 如图,已知∠AOB和射线O′B′,用尺规作图法作∠A′O′B′＝∠AOB. ①以点O为圆心,任意长为半径作弧交OA于点C,交OB于点D； ②以点O′为圆心,OC长为半径作弧,交O′B于点C′； ③以点C′为圆心,CD长为半径作弧交前弧于点A′； ④以点O′为顶点作射线O′A′.∠A′O′B′即为所求． 3．作已知角的平分线 已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线．作法： ①以点O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于点M,交OB于点N；②分别以点M,N为圆心,

大于12 MN 的长为半径作弧,两弧在∠AOB 的内部交于点C ；③作射线OC.射线OC 即为所求． 教师活动：同排两个同学互相交流尺规作图的注意事项,并实际动手操作． 学生活动：组织积极讨论,小组交流,代表发言． 教师总结：尺规作图注意事项：①尺规作图只能使用圆规和没有刻度的直尺；②几何作图必须保留作图痕迹． 三、练习巩固 1．如图,已知∠AOB.(1)求作∠EDF ,使∠EDF＝∠AOB；(2)求作∠EDF 的平分线DG. 2．如图,已知∠A ,∠B,求作一个角,使其等于∠A－2∠B. 3．如图,已知线段AB,CD,求作一个等腰三角形,使其腰长等于AB,底边长等于CD. 四、小结与作业 小结 1．尺规作图的概念． 2．用尺规作一条线段等于已知线段及线段的和、差的作法． 3．作一个角等于已知角及角的和差的作法． 作业 教材第91页习题13.4第2题． 这节课内容较多,前三个基本作图较简单,主要是学生自学后独立操作,教师演示的目的是规范作图语言,搞清其中的几何道理．后两个作图实际上用到了转化思想,较为复杂,要让学生搞明白作图的原理,是掌握作图步骤的关键． 运用基本作图方法解作图题时,应让学生先分析作图顺序后,再完成．对于作图语言应逐步规范．

(精品)全等三角形——截长补短法

D C B A 全等三角形——截长补短法 一、知识梳理： 截长补短法 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长法： （1）过某一点作长边的垂线 （2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等. 补短法 （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。…… 二、典型例题： 例1、如图，在ABC ?中，60BAC ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数. 及时练习： 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD ． 例2、已知ABC ?中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．

N E B M A D M D C B A D O E C B A 及时练习： 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=?，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系? 例3、如图．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ． 求证：AE =BC +CE ． 及时练习： 如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ， ∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( ) A . a B . k C . 2 k h + D . h 例4、以ABC ?的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ?、ACE ?，连结CD 、BE 相交于点O ． 求证：OA 平分DOE ∠．