概率论大数定律及其应用

概率论大数定律及其应

用

标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]

概率论基础结课论文

题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用

作者

摘要：历史上第一个定理属于，后人称之为“”。概率论中讨论的向的定律。概率论与数理的基本定律之一，又称弱大数理论。

大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。

关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率

引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。偶然之中包含着必然。

从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个

体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么在什么条件下具有稳定性这就是我们大数要研究的问题。

概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。大数定律给出了稳定性的确切含义，并且给出了什么条件下才具有稳定性。那么，这对于我们解决理论与实际问题有哪些实际意义呢这就是我们在下面将要了解到的，大数定律的某些应用。即，大数定律及其在理论与实际生活中的一些应用。

一方面，在理论上，大数定律可以看作是求解极限、重积分以及级数的一种新思路，另一方面，在实际生活中，保险动机的产生、保险公司财政稳定和保费的确定，我们都将看到大数定律的重要作用。

正文：发展历史：概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来.从概率的统计定义中可以看出:一个事件发生的频率具有稳定性,即随着试验次数的增多,事件的频率逐渐稳定在某个常数附近.人们在实践中观察其他一些随机现象时,也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性.这就是说,无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何,大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关,且不再是随机的.深入考虑后,人们会提出这样的问题:稳定性的确切含义是什么在什么条件下具有稳定性这就是大数定律要研究的问题.

1733年，德莫佛—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显着进展。

伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。因此概率论历史上第一个极限定理属于伯努利。它是概率论与数理统计学的基本定律之一，属于弱大数定律之一，当然也称为伯努利大数定律。

它可以通俗的理解，有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的，这些“有规律的随机事件”中在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。

例如：在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投掷n次硬币中出现正面的次数。不同的n次试验，出现正面的频率（出现正面次数与n之比）可能不同，但当试

1。

验的次数n越来越大时，出现正面的频率将大体上逐渐接近于

2

频率靠近概率的一种客观存在的，可以直接观察到的现象。而伯努利给这种现象给予了一种确切的含义。随着数学的发展，随机变量序列服从大数定律的证明，出现了更多更广泛的大数定律，例如切比雪夫大数定律，伯努利大数定律就是切比雪夫大数定律的一个特例。再到后面，出现独立同分布的辛钦大数定律等常用的大数定律。

相关数学家：

拉普拉斯

拉普拉斯,1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，曾任巴黎数学教授，1795年任巴黎综合工科学校教授，后又在高等师范学校任教授。1799年他还担任过法国经度局局长，并在拿破仑政府中任过6个星期的内政部长，1816年被选为法兰西学院院士，1817年任该院院长，1827年3月5日卒于巴黎。

拉普拉斯在研究天体问题的过程中，创造和发展了许多数学的方法，以他的名字命名的、和，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。

德莫佛

），法国数学家。德莫佛对数学最着名的贡献是德莫佛公式（de Moivre Formula）和德莫佛-拉普拉斯中心极限定理，以及他对正态分布和概率理论的研究。德莫佛还写了一本概率理论的教科书，The Doctrine of Chances，据说这本书被投机主义者（gambler）高度赞扬。德莫佛是和概率理论的先驱之一；他还最早发现了一个二项分布的近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。

大数定理的意义：在一个中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；同时，在对物理量的测量实践中，大量测定值的算术平均也具有稳定性。在数理统计中，一般有三个定理，贝努利定理和定理，如：反映和频率的稳定性。当n 很大时，算术平均值接近；频率以概率收敛于事件的概率。

表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当n很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。

大数定律的表现形式：

由于随机变量序列向常数的收敛有多种不同的形式，按其收敛为依概率收敛，以概率1收敛或均方收敛，分别有弱大数定律、强大数定律和均方大数定律。

定义1 设有一列随机变量1,2,ηηη ，如果对于任意的0ε>，有

()lim 1n n P ηηε→∞

-<=则称随机变量序列{}n η依概率收敛于η，记作(),p n n ηη??→→∞。

定义2 设有随机变量η和一列随机变量{}n η ，1,2ηη…..，若

(){}lim 1n n P ηωη→∞

==成立，则称{}n η几乎处处收敛于η，记作().,a e n n ηη??→→∞ 定义3 若12,,n ξξξ??????是随机变量序列,如果存在常数列1,2,a a ???,使得对任意的0ε>,有

11lim 1n i n n i P a n ξε→∞=??-<= ???

∑ （8） 成立，则称随机变量序列{}i ξ满足大数定律。

定义4 设有随机变量η和随机变量序列{}n η的r 阶原点矩r E η、r n

E η（n=1,2……）存在，其中r>0，若lim 0r

n n E ηη→∞-=则称n ηr 次平均收敛到η。记作 r

L n ηη??→。 此时必有r r n E E ηη=。

当r=2时是常用的二阶矩，2

L n ηη??→称为均方收敛。 定义5 若12,,n ξξξ??????是随机变量序列，它们的数学期望(1,2,.....)i E i ξ=存在，0ε?>有

则称随机变量序列12,,n ξξξ??????服从弱大数定律。

定义6 若12,,n ξξξ??????是随机变量序列，它们的数学期望(1,2,.....)i E i ξ=存在，0ε?>有 ()1lim 01n k k n i P E n ξξ→∞??-==????

∑或等价地.110n n a e k k i i E n n ξξ-??→∑∑， 则称12,,n ξξξ??????服从强大数定律。

上述两个大数定律要注意，强大数定律和弱大数定律区别不仅仅是一个法则的不同，不能简单的把极限符号lim n →∞

从概率号P （）中移出来，弱大数定律描述的是一列概率的收敛性，而强大数定律说的是一列随机变量收敛到一个常数，也正是这点，保证了用事件出现的频率来作为事件概率的估计的正确性。

定理1 对任意的随机变量ξ，若E a ξ=，又D ξ存在，则对任意的正常数ε，有()2D P a ξ

ζεε-≥≤， 则称此式子为切比雪夫不等式。

粗糙地说，如果D ξ越大，那么()P a ζε-≥也会大一些。

大数定律形式有很多种，我们仅介绍几种最常用的大数定律。

定理2 （伯努利大数定律）设n μ是n 重伯努利实验中事件A 出现的次数，且A 在每次试验中出现的概率为p （0，有 lim 1n n P p n με→∞??-<= ???

（5）

此定理表明：当n 很大时，n 重伯努利试验中事件A 发生的频率几乎等于事件A 在每次试验中发生的概率，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，因此，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。 定理3 （切比雪夫大数定律） 设12,,n ξξξ??????是一列两两不相关的随机变量,又设它们的方差有界,即存在常数0C >,使有,1,2,3i D C i ξ≤=???，则对于任意的0ε>,有

1111lim 1n n

i i n i i P E n n ξξε→∞==??-<= ???

∑∑ （9） 在上述的定理中，因为用到切比雪夫不等式，都有对方差的要求，其实方差这个条件并不是必要的。例如独立同分布时的辛钦大数定律。

该定律的含义是：当n 很大，服从同一分布的随机变量的

将依概率接近于这些随机变量的数学期望。

将该定律应用于，就会有如下结论：随着的增加，样本平均数将接近于总体平均数。从而为中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。

贝努里大数定律

设n μ是n 次独立试验中事件A 发生的次数，且事件A 在每次试验中发生的概率为P ，则对任意正数ε，有：

该定律是切比雪夫大数定律的特例，其含义是，当n 足够大时，事件A 出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。

在中，用样本成数去估计总体成数，其理论依据即在于此。 定理4 （辛钦大数定律） 设12,,n ξξξ??????是独立同分布的随机变量序列,且有有限的数学期望()1,2i E a i ξ==???,则对于任意的0ε>,有

11lim 1n i n i P a n ξε→∞=??-<= ???

∑ （10） 上式也可表示为11lim p

n i n i a n ξ→∞==∑或()11n p i i a n n ξ=??→→∞∑,并且称11n i i n ξ=∑依概率 收敛于.

定理5 （泊松大数定律）设12,,n ξξξ??????是相互独立的随机变量序列,

()1n n P p ξ==，()0n n P q ξ==，其中1n n p q +=，则12,,n ξξξ??????服从泊松大数定律。

泊松大数定律是伯努利大数定律的推广，伯努利大数定律证明了事件在完全相同的条件下重复进行的随机试验中频率的稳定性；而泊松定理表明，当独立进行的随机试验的条件变化时，频率仍然具有稳定性：随着n 的无限增大，在n 次独立试验中，事件A 的频率趋于稳定在各次试验中事件A 出现概率的算术平均值附近。

定理6 （马尔科夫大数定律）对于随机变量序列12,,n ξξξ??????,若有

则有

大数定律的一些应用

大数定律本身便是概率论中非常重要的定理之一，而它与其他数学理论也有密不可分的联系，而且对这些数学理论分支有不可或缺的作用。

大数定律本身便是频率靠近概率的极限理论，是大量随机现象的平均结果稳定于平均值的极限理论。可以说大数定律是利用极限才得出的，同时利用大数定律可以来求解极限，这当然只是众多求极限方法之一，但也有它独特的简洁和巧妙。就以大数定律和极限这个概念的关系为例子，用它来对我们要求的重积分和极限相关的问题进行另一种方式的求解。极限伴随重积分出现的类型在高数中是常见的，在利用大数定律来求解这类重积分的极限的题目前，先介绍一个相关定理。

定理7（勒贝格控制收敛定理）

设（1）{}n f 是可测集E 上的可测函数列；

（2）()().n f x F x a e ≤于E （n=1，2，…..，）且()F x 在E 上可积分（称{}n f 为()F x 所控制，而()F x 叫控制函数）；

（3）()()n f x f x ?；

则()f x 在E 上可积分且()()lim n E E

n f x dx f x dx =??； 例1：已知0a b >>，求11

1211200......lim ..................a a a n n b b b n n x x x dx dx x x x →∞++++++??的值。 解：设1x ，……n x ，为独立同分布的随机变量序列，(1)n x n ≥服从（0，1）上的

均匀分布，12,,......,a a a n x x x 为独立同分布，12,,......,b b b n

x x x 为独立同分布。且

又 ()()()()222222************a n n n n Dx a a D n n n a a a a ∞

∞∞=====<∞++++∑∑∑ 由切比雪夫大数定律可知：当()n x 是独立的同分布的随机变量序列，且

21n n Dx n ∞

=<∞∑，由前面知道是强大数定律可知，1111lim 01n n k k n k k P x Ex n n →∞==????-== ? ?????∑∑； 由此可知 1111lim 0n n a a k k n k k x Ex n n →∞==??-= ???

∑∑ 即 1

11lim 1n a k n k x n a →∞==+∑ 又因为01,1,n x k ≤≤≥且a b >故有,1a

b k k x x k <≥，因此11

n n

a b k k k k x x ==≤∑∑。 由此n ?，有

1111121211100001212..............................1............a a a a a a n n n n n b b b b b b n n

x x x x x x dx dx dx dx dx dx x x x x x x ++++++????≤????≤++++++???? 根据勒贝格控制收敛定理可知：

()()()()()11

112100121............lim ......lim ............a b a a a n n n b b b b b n n n n x x x x x dx dx Pd x x x x x ωωωωω→∞→∞Ω+++++???=+++++???= ()()()()()11......lim ......a b n b b n n x x Pd x x ωωωωω→∞Ω

++++?=()()1111b b Pd Pd a a ωωΩΩ++=++?? 即11

1210012......1lim ............1a a a n n b b b n n x x x b dx dx x x x a →∞++++???=++++??。

可以看出，利用大数定律求解数学分析中的重积分和极限收敛问题有它简洁的一面，也体现了大数定律等概率论等知识的广泛联系和应用。[7]

1、大数定律在级数上的应用

大数定律在求解无穷级数上也有很大的作用，它为一些定理和固定公式的理论证明提供另一种有趣而且也有用的办法。下面我们就引用一个很着名的问题来展现大数定律在级数中的应用：

伯努利是一位伟大而且着名的数学家，但是他也被一个在现在已经解决的问题难住了：一个求级数和的问题。

求自然数倒数平方的级数和： 222211111...........234n +

++++。 伯努利公开征求这个问题的求解方法。

三十年过后，先是欧拉利用猜度术的方法找出了它的结果，他是第一个找出答案的，但是却不能证明，只能是数据验证，当然，到现在为止，有了很多种证明的方法，其中一种便是利用了大数定律的原理来完成的。 下面先来看其他方法之一是如何证明2

222211111 (2346)

n π+++++=的设所有的排列为2<3<5<7<……

1:A αβ与互素；

2:A αβ与的公因子有2；

3:A αβ与有公因子3；

………….

q :A αβ与有公因子q ；…….

因此12,3,,......,....q A A A A 是必然事件Ω，且知{},2,3,.....i A i =是相互独立的，设α中有因子q ，那么α必定是q 的倍数，那也可知()1q =q

P α是的倍数。 同理也有()1q =q P β是的倍数，那么()21q =q

P αβ、有公因子。由对立事件知道()2

11q q P A =-。根据对偶规律1212A A A A +=,根据他们的独立性，可知 根据欧拉的变换无穷乘积为级数的方法 ()122n 11

6=1P A n π∞==∑.

下面我们就用大数定律的办法来求解这个级数的和。

从自然数中有放回任意取出两个数，设他们的最大公因子是n,事件数为

2n M ，ni B 表示第i 次取出n 的倍数事件（i=2，3，4，…..）。

根据第一次和第二次从自然数序列中有放回的随机取出两数是n 的倍数的条件下，这两数的最大公因子是n 的条件概率等于从自然数序列随机取出两数互素的概率。于是有

显然()21,2,...n M n =是互不相容的，且有2n 1

=n M ∞

=Ω。

ni B 与n 是相互独立的，()()1,1,2,...ni P B n n

==,()1221n n P B B n = 于是就有()2122

n 11

61P M n π∞===∑。

根据伯努利大数定律知道，概率可近似的利用频率来表示，因此在如此多的自然书中，随机的取出两数互素的概率为26

π。于是知所求级数的和为

2

222211111 (2346)

n π+++++=。 2、多项式逼近连续函数

分析中应用概率论的思想是非常美妙的构思,证明清晰明了。作者在文献[6 ] 中利用非齐次马氏链强大数定律构造了一类奇异单调函数, 而非借助于传统的Cantor 展式。尤其多项式逼近连续函数中也容易注意到近似多项式富有意义的构造。下面类似的方法可用来较易地构造一些熟悉的分析结果。

例2假设()f x 在闭区间[]b a ，上连续，则存在一列多项式12(),(),

,B x B x 一致收

敛于函数()f x 。

证明：不妨设a=0，b=1。可引入新的变量u ：x=(a b -)a u +，使u ∈[0,1]，那么

由f(x)在[a ，b]上连续可知f(x)在[0,1]上一致连续且有界。即对于任意ε>0，存在δ>0，只要21x x -<δ，总有)()(21x f x f -<2ε

，其中1x ，2x ∈[0,1]，

此外，对于任意x ∈[0,1]，有)(x f ≤k （k 为常数）。

设随机变量1ξ，2ξ…n ξ服从二项分布，则可建立多项式：

n B (x)=Ef (n

1n ξ) =

∑=n

m n m f 0)(m m n x C m n x --)1( 其中x ∈[0,1]，参数n 1≥。显然n B (0)= f(0)，n B (1)= f(1)。由贝努力大数定律知： 1lim =??????<-∞→εξx n

p n n ，x ∈[0，1]。 由于n m 0

=∑m m n x C m n x --)1(=1，

故有：

n B (x) —)(x f =∑=-n

m x f n m f 0)]()([m m n x C m n x --)1(

=

∑<--δx n m x f n m f )()(m m n x C m n x --)1(+∑≥--δx n m x f n

m f )()(m m n x C m n x --)1( < 2ε+2k ∑≥---δx n

m m n m m n x x c )1(=2ε+2kP ??????≥-δξx n n 。 而对于任意x ∈[0,1]，n n

ξx p

→，可见存在N ，使当n>N 时， P ??????≥-δξx n

n ≤k 4ε，

从而，当n>N 时，对于一切x ∈[0,1]，有：

)()(x f x B n -

ε=2ε+2

ε=ε 即)(x B n 关于x ∈[0,1]一致收敛于)(x f 。

从上可以看出大数定律在极限、重积分、级数以及多项式逼近中都有重要应用，其实概率论学科和数学分析只见是相互渗透的，大数定律在数学理论中的应用也不仅仅这么狭窄，它在求很多高等数学的问题上也有很好的催化作用，大数定律在信息论中也有不俗的表现，比如在信息序列的渐近等分性质就是一个体现。下面主要看大数定律在实际生活中的精彩的表现，它涉及到很多与我们贴身的行业。[8]

3、大数定律在保险业的应用

保险动机的产生

现代保险业已经是社会非常重要的一环，而大数定律就是这大厦最重要的基石之一，下面就看看大数定律是如何撑起这座保险业大厦的。

保险业是根据大数定律的法则，集中众多企业或者个人的风险，建立抵御风险的社会机制。但是保险业的产生不仅仅是为了避险，当然也有利润这只无形的手的驱使，有利润才能保证保险业真正的发展下去，壮大起来。同时大数定律不仅仅用于计算保险公司避险需要的客户数，也需要用来计算产生的利润的合理范围。为了抵御风险，保险公司需要大数目的客户，那么这些企业或者个人是如何愿意自己交出保险费投保的呢其实这也是企业或者个人为了自己的利益着想，不但是避险，也是一种投资，这就是保险业能够产生发展的一个基础。

例如某企业有资金Z 单位，而接受保险的事件具有风险，当风险发生时遭受的经济损失为1Z 个单位，那么在理性预期的条件下，该企业只能投入的资金1Z Z -单位。假设企业投入资金与所得利润之间的函数关系为()f Z ，显然有()()f Z f Z K --，当1K Z =时为预期风险条件下利润损失额。当()()0f Z f Z K --≥时，企业就需要有避险的需求，且随差额的增大而增大。这就是企业的避险需求，也是保险业产生的基础。

具有同种类风险，且风险的发生相互独立的众多企业，当风险发生的时候，需要一定的经济补偿，以使损失最小或得以继续某项生产活动，在这里看来，风险的发生，在整体上看是必然的，但从局部看，是随机的，所以这种补偿在风险没有发生时是一种预期。

假设这种随机现象为(1,2,....,)i X i n =，则i X 的概率分布为：

概率论重要知识点总结

概率论重要知识点总结 概率论重要知识点总结 第一章随机事件及其概率 第一节基本概念 随机实验：将一切具有下面三个特点： （1）可重复性 （2）多结果性 （3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用表示。 随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。 样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间.样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件发生必然导致事件B发生，则称B 包含A，记为，则称事件A与事件B 相等，记为A＝B。 事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 事件的积：称事件“事件A与事件B 都发生”为A 或AB。事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为A－B。用交并补可以表示为互斥事件：如果A，B两事件不

能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A＋B。对立事件：称事件“A不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。对立事件的性质：事件运算律：设A，B，C为事件，则有： （1）交换律：AB=BA，AB=BA A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A(BC)＝(AB)(AC)ABAC （4）对偶律（摩根律）： 第二节事件的概率 概率的公理化体系：第三节古典概率模型1、设试验E 是古典概型,其样本空间Ω个样本点组成.则定义事件A 的概率为的某个区域，它的面积为μ(A)，则向区域上随机投掷一点，该点落在区域假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作乘法公式： P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设第五节事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A、B 满足P(AB)=相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)=相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)=两两独立独立的性质：若A 均相互独立总结： 1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。 2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，应

概率论在实际生活中的应用

信息学院 14-15学年第1学期《概率论与数理统计》课程（单元）项目研究报告 项目名称 概率论在足球比赛中的应用 【项目内容】详细叙述拟完成项目的条件和问题，可配表或图。 足球号称世界第一运动，因为在全球范围内无论是哪个国家或者地区都有许多喜欢足球，热爱足球甚至从事足球这项运动的人.四年举行一次的世界杯更是球迷们的狂欢节.中国同样有许多热爱足球的人,中国国家队水平不高经常让中国老百姓失望，但是这丝毫不会减少大家对足球的热情，作为一个中国人我希望中国足球会越来越好. 下面我们来看看大家都喜爱的足球与概率论到底有哪些关联。 相关问题：在某届欧洲杯足球比赛上，西班牙，德国，英格兰和荷兰队进入到了四强，这四支球队中的一支将有希望最终夺冠.决赛四强对阵情况是西班牙对阵英格兰，而德国将与荷兰队争夺另一个进入决赛的名额，由于四支球队都是强队，所以两场半决赛将会十分激烈，先比赛完的一场半决赛中世界第一西班牙队战胜了英格兰队率先进入了决赛，大家此时都将目光放到了西班牙队上，根据以往的比赛成绩，西班牙战胜德国的概率为0.8，战胜荷兰队的概率为0.3，而德国队战胜荷兰队的概率为0.5，那么西班牙球迷迫切想知道西班牙队最终能获得冠军的概率究竟是多大？ 对于上面西班牙球迷十分迫切关心的问题，让我们来利用概率的知识来帮助他们解决他们心中的疑虑. 由于西班牙队已经率先挺进决赛，所以还没有完成的德国和荷兰的比赛对于最终的冠军归属有很大的影响，如果德国战胜了荷兰队，那么西班牙队就有80%的可能性夺冠，但是如果荷兰队取得了半决赛的胜利，那么西班牙队夺冠的希望只有30% 根据以上条件，把西 班牙队夺冠记为事件C ，德国战胜荷兰记为事件C ，而荷兰战胜德国则记为事件A ，P(B)=0.5，P(A)=0.5由全概率公式，则A,B 是一个完备事件组，那么有公式就可以得出P(C)=P(B)P(C|B)+P(A)P(C|A)其中可以看出P(C|A)以及P(C|B)是条件概率,P(C|B)表示西班牙在决赛战胜了另一场半决赛的胜者德国队夺冠,P(C|B)=0.8,P(C|A)表示西班牙队在决赛战胜了另一场半决赛的胜出者荷兰队夺冠,P(C|A)=0.3. 所以根据上述公式（全概率公式）我们就可以计算出西班牙队最终夺冠的概率为 P(C)= P(B)P(C|B)+P(A)P(C|A)=0.5*0.8+0.5*0.3=0.55 所以西班牙队最终夺冠的概率应该为55%[10] 看到了西班牙队的最终夺冠的概率，西班牙队的球迷应该可以松一口气，好好享受西班牙队在决赛上的精彩表演啦，因为西班牙队夺冠概率还是比较大的.以上是利用了全概率公式的知识解决了足球比赛中的常见问题，希望能给读者和球迷一些帮助。 2．排列和组合在足球比赛中的应用 每次举行一些足球比赛时经常要事先安排好比赛场次，为了能使足球比赛顺利进行.下面就是举办足球比赛时经常遇到的一类问题。某大学要举行一次校园足球比赛以增强大学生的体质，学校规定每个学院至少要派出一支球队参加这项赛事，最终一共有12支球队参

概率论大数定律及其应用

概率论基础结课论文题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用 作者 摘要：历史上第一个定理属于，后人称之为“”。概率论中讨论的向的定律。概率论与数理的基本定律之一，又称弱大数理论。 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。 关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率 引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。偶然之中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。 概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。大数定律给出了稳定性的确切含义，并且给出了什么条件下才具有稳定性。那么，这对于我们解决理论与实际问题有哪些实际意义呢？这就是我们在下面将要了解到的，大数定律的某些应用。即，大数定律及其在理论与实际生活中的一些应用。 一方面，在理论上，大数定律可以看作是求解极限、重积分以及级数的一种新思路，另一方面，在实际生活中，保险动机的产生、保险公司财政稳定和保费的确定，我们都将看到大数定律的重要作用。

概率论在日常生活中的应用

概率论在日常生活中的应用 概率论是一门与现实生活紧密相连的学科，不过大多数人对这门学科的理解还是很平凡的：投一枚硬币，0.5的概率正面朝上，0.5的概率反面朝上，这就是概率论嘛。学过概率论的人多以为这门课较为理论化，特别是像大数定律，极限定理等内容与现实脱节很大，专业性很强。其实如果我们用概率论的方法对日常生活中的一些看起来比较平凡的内容做些分析，常常会得到深刻的结果。 在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成两大类：一类是确定性现象，指在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。例如，同性电荷相互排斥，异性电和相互吸引；在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。另一类是不确定性现象。这类现象在一定条件下的结果是不确定的，即人们在未作观察或试验之前，不能预知其结果。例如，向桌上抛一枚硬币，我们不能预知向上的是正面还是反面；随机地找一户家庭调查其收入情况，我们亦不能预知其收入是多少。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素是人们无法事先预料的。但另一方面，对这些不确定性现象进行大量、重复的实验时，人们会发现，其结果会出现某种“统计规律性”：重复抛一枚硬币多次，出现正、反两面的次数大致会各占一半；调查多户家庭，其收入会呈现“两头小，中间大”的状况，即处于中间状态的是大多数。这种在每次试验中呈现不确定性，而在大量重复试验中又呈现某种统计规律性的现象较随机现象。概率统计就是研究随机现象并揭示其统计规律性的一个数学分支，它在自然科学及社会科学的诸多领域都有着广泛的应用。 概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。大部分人认为一件事概率为0即为不可能事件，这是不对的。比如甲乙玩一个游戏，甲随机写出一个大于0小于1的数，乙来猜。1.乙一次猜中这个数2.乙每秒才一次，一直猜下去，“最终”猜中这个数。这两件事发生的概率的概率都是0，但显然他们都有可能发生，甚至可以“直观”地讲2发生的可能性更大些。这说明概率为0的事件也是有可能发生的。不过在我看来，这样的可能性实在太小了，在实际操作中认为不可能也是有道理的，但不管怎么说，他们确实是可能事件。 在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。 走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率；生产、生活更是离不开概率。在令人心动的彩票摇奖中，概率也同样指导着我们的实践。继股票之后，彩票也成了城乡居民经济生活中的一个热点。据统计，全国100个人中就有3个彩民。通过对北京、上海与广州3城市居民调查的结果显示，有50%的居民买过彩票，其中5%的居民成为“职业”(经济性购买)彩民。“以小博大”的发财梦，是不少彩票购买者的共同心态。那么，购买彩票真的能让我们如愿以偿吗?以从36个号码中选择7个的投注方式为例，看起来似乎并不很难，其实却是“可望而不可及”的。经计算，投一注的理论中奖概率极其小。由此看出，只有极少数人能中奖，购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成发财之路。 在我国南方流行一种成为“捉水鸡”的押宝，其规则如下：有庄家摸出一只棋子，放在密闭盒中，这只棋子可以是红的或黑的将、士、象、车、马、炮之一。赌客们把钱压在一

概率论在保险中的应

目录 摘要 (2) 关键字 (2) 一、简介 (2) 1.概率论的研究对象 (3) 2.概率论与保险的关系 (3) 二、随机变量及其分布与保险 (3) 三、数字特征与保险 (4) 四、大数法则与保险 (4) 1切比雪夫大数法则 (4) 2.贝努里大数法则 (5) 3.大数定律对风险转移的作用 (5) 4.大数定律在保险中的适用性 (5) 五、应用概率进行保险计算 (6) 六、总结 (7)

摘要：概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学科学是对随机现象的统计规律进行的演绎和归纳的科学.随着社会的不断发展,概率论与数理统计的知识越来越重要.运用抽样数据进行推断已成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思考方式.本文就概率论与数理统计的方法和思想,并就其在保险中的应用进行分析和讨论,从中可以看出在经济领域和日常生活中以概率方法和数理统计的思想解决问题的高效性,简捷性和实用性 关键词：概率论, 切比雪夫大数法则定理, 贝努里大数法则，大数定律 一、简介 1.概率论的研究对象 概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.随机现象是相对于决定性现象而言的,在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象.例如在标准大气压下,纯水加热到100度时水必然会沸腾等.随机现象则是指在基本条件不变的情况下,一系列试验或观察会得到不同结果的现象.每一次试验或观察前,不能肯定会出现哪种结果,呈现出偶然性.例如,掷一硬币,可能出现正面或反面,在同一工艺条件下生产出的灯泡,其寿命长短参差不齐等等.随机现象的实现和对它的观察称为随机试验.随机试验的每一可能结果称为一个基本事件,一个或一组基本事件统称随机事件,或简称事件.事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度.虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的,但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律.例如,连续多次掷一均匀的硬币,出现正面的频率随着投掷次数的增加逐渐趋向于1／2.又如,多次测量一物体的长度,其测量结果的平均值随着测量次数的增加,逐渐稳定于一常数,并且诸测量值大都落在此常数的附近,其分布状况呈现中间多,两头少及某程度的对称性.大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律的.在实际生活中,人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变情况随机过程.例如,微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动）,这就是随机过程.随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率,特别是研究与随机过程样本轨道(即过程的一次实现)有关的问题,是现代概率论的主要课题.概率论与实际生活有着密切的联系,它在自然科学、技术科学、社会科学、军事和工农业生产中都有广泛的应用.

浅谈概率论在生活中的应用

单位代码: 分类号: X X 大学 题目: 浅谈概率论在生活中的应用专业名称: 数学与应用数学 学生: 学生学号: 指导教师: 毕业时间:

浅谈概率论在生活中的应用 摘要:随机现象存在于我们日常生活的方方面面和科学技术的各个领域,概率论与数理统计是一门十分重要的大学数学基础课,也是唯一一门研究随机现象规律的学科,它指导人们从事物表象看到其本质.它的实际应用背景很广,包括自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理、军事和工农业生产等领域.经过不断的发展,学科本身的理论和方法日趋成熟,近年来,概率统计知识也越来越多的渗透到诸如物理学、遗传学、信息论等学科当中.另外,在社会生活中,就连面试、赌博、彩票、体育和天气等等也都会涉及到概率学知识.可以说,概率统计是当今数学中最活跃,应用最广泛的学科之一.本文通过对现实生活中的部分现象分析探讨了概率知识在日常生活中的广泛应用. 关键词:随机现象;概率;日常生活;应用分析

Discuss the application in life probability Abstract: Random phenomenon exists in every aspect of our everyday lives and scientific technology each domain, probability and mathematical statistics is an important basic course in college mathematics, and is the only the study of random phenomenon regular course, its guiding people from representation see its nature. Its actual application background is very wide, including natural science, social science, engineering, economics, management, military and industrial and agricultural production, etc. Through continuous development, the theory and method of subject itself becomes mature, in recent years, the probability and statistics knowledge also more and more penetrated into such as physics, genetics, information subjects such as the midst. In addition, in social life, even interview, gambling, lottery tickets, sports and weather, etc are also involves probability learn knowledge. Can say, probability and statistics is the most active in mathematics, the most widely used in the fields of. This article through to in real life part phenomenon discussed probability knowledge in daily life the widely application. Keywords:random phenomenon; probability; daily life; application analysis

毕业论文.概率统计在生活中的应用Word版

毕业论文 课题 学生姓名胡泽学 系别 专业班级数学与应用数学指导教师 二0 一六年三月

目录 摘要.................................................................... I ABSTRACT................................................................... II 第一章绪论. (1) 第二章概率在生活中的应用 (4) 2.1在抽签和摸彩中的应用 (4) 2.2经济效益中的应用 (8) 2.3在现实决策中的应用 (4) 2.4在相遇问题中的应用 (12) 2.5在预算及检测中的应用 (10) 结论 (13) 参考文献 (14) 致谢 (15)

概率统计在生活中的应用 摘要 随着时代的发展人类的进步，17—18世纪出现了一门新的学科概率论，概率论逐渐成为了为数不多的可以和传统数学相抗衡的学科之一，并一步步的走向了人们的生活，成为了人们生活中不可或缺的部分。 本文先简述了概率论的发展，之后从概率在抽签中的应用、经济效益中的应用、现实决策中的应用、追击相遇问题中的应用、最大利润问题中的应用、最佳配置问题中的应用、经济保险问题中的应用、获奖问题中的应用、概率和选购方案的综合应用、金融界中的应用、设计方案的综合应用、厂矿生产中的如何合理配置维修工人问题、在商品质检中的应用和在运输预算费用中的应用等。多方面论述了概率的应用。 关键词：概率；概率的含义；概率的应用

Abstract

第一章绪论 概率统计是一门和生活关联紧密的学科同样也是一门特别有趣的数学分支学科，17-18世纪，数学得到了快速的发展。数学家们打破了古希腊的演绎框架，社会生活对与自然界的多方面吸取灵感，数学领域涌现了许多新面孔，之后都形成了完整的数学分支。除了分析学这之外，概率论就是同时期能使"欧几里德几何不相上下"的几个伟大成就之一。 概率的发源与赌博有关，伴随着科学技术的发展进步以及计算机普及,它在最近几十年来的社会科学和自然科学中得到了特别广泛的应用,在生活与社会生产中起着很重要的作用。我们生活在一个千变万化千变万化、千变万化的时代里，而我们每个人无时无刻都要直面生活中遇到的问题。而其中很多的问题都是随机的与随机的随机的。如决策时如何获取最大利益，公司要如何组合生产才能取得最大收益，如何加大买彩票的获奖概率，怎样进行误差分析、所购买物品的产品检验，生产质量把控等，当我们在遇到这些问题时应该如何解决它呢？幸好我们如今有了概率，概率是一门探索和揭示随机现象和规律的一门学科。 实践证明,概率是对生活中碰到的问题进行量的解答的有效工具,对经济决策和预测提供了新型的手段。下文就通过列举实例来表述概率在抽签中的应用、经济效益中的应用、现实决策中的应用、追击相遇问题中的应用、最大利润问题中的应用、最佳配置问题中的应用、经济保险问题中的应用、获奖问题中的应用、概率和选购方案的综合应用、金融界中的应用、设计方案的综合应用、厂矿生产中的如何合理配置维修工人问题、在商品质检中的应用和在运输预算费用中的应用等。

考研数学概率论重要知识点梳理

2017考研数学：概率论重要知识点梳理 来源：文都图书 概率论在历年考研数学真题中特点比较明显。概率论与数理统计对计算技巧的要求低一些，一些题目，尤其是文字叙述题要求考生有比较强的分析问题的能力。所以考生应在这门中尽量做到那全分，这样才能保证数学的分数，下面我们整理了一些概率论的重要知识点： 第一部分：随机事件和概率 (1)样本空间与随机事件 (2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式) (3)条件概率与概率的乘法公式 (4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性) (5)全概公式与贝叶斯公式 (6)伯努利概型 其中：条件概率和独立为本章的重点，这也是后续章节的难点之一，考生务必引起重视， 第二部分：随机变量及其概率分布 (1)随机变量的概念及分类 (2)离散型随机变量概率分布及其性质 (3)连续型随机变量概率密度及其性质 (4)随机变量分布函数及其性质 (5)常见分布 (6)随机变量函数的分布 其中：要理解分布函数的定义，还有就是常见分布的分布律抑或密度函数必须记好且熟练。 第三部分：二维随机变量及其概率分布 (1)多维随机变量的概念及分类 (2)二维离散型随机变量联合概率分布及其性质 (3)二维连续型随机变量联合概率密度及其性质

(4)二维随机变量联合分布函数及其性质 (5)二维随机变量的边缘分布和条件分布 (6)随机变量的独立性 (7)两个随机变量的简单函数的分布 其中：本章是概率的重中之重，每年的解答题定会有一道与此知识点有关，每个知识点都是重点，务必重视! 第四部分：随机变量的数字特征 (1)随机变量的数字期望的概念与性质 (2)随机变量的方差的概念与性质 (3)常见分布的数字期望与方差 (4)随机变量矩、协方差和相关系数 其中：本章只要清楚概念和运算性质，其实就会显得很简单，关键在于计算 第五部分：大数定律和中心极限定理 (1)切比雪夫不等式 (2)大数定律 (3)中心极限定理 其中：其实本章考试的可能性不大，最多以选择填空的形式，但那也是十年前的事情了。 第六部分：数理统计的基本概念 (1)总体与样本 (2)样本函数与统计量 (3)样本分布函数和样本矩 其中：本章还是以概念为主，清楚概念后灵活运用解决此类问题不在话下 第七部分：参数估计 (1)点估计 (2)估计量的优良性 (3)区间估计

概率在现实生活中的应用

概率在现实生活中的应用

我认为学习概率应该有两种认识，一是要理性的理解概率的意义，二是要学以致用。 一、概率的意义 （1）一般地，频率是随着实验者、实验次数的改变而变化的； （2）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同；（3）频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时，频率围绕概率摆动的平均幅度越来越小，即频率靠近概率. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小. 二、学以致用 学以致用不仅是会做“单项选择题选对正确答案的概率是多少？”的问题，还要会解决生活中的实际问题。例如： 1、在保险公司里有2500个同一年龄的人参加了人寿保险，在一年里死亡的概率为0.002，每个人一年付12元保险费，而在死亡的时候家属可以领取由保险公司支付的2000元，问保险公司盈利的概率是多少，公司获利不少于10000的概率是多少？ 这样的问题咋一看很难知道保险公司是否盈利，但经过概率统计的知识一 计算就可以得知公司是几乎必定盈利的。 2、李炎是一位喜欢调查研究的好学生，他对高三年级的12个班（每班50人）同学的生日作过一次调查，结果发现每班都有三位同学的生日相同，难道这是一种巧合吗？ 解析：本题即求50个同学中出现生日相同的机会有多大？ 我们知道，任意两个人的生日相同的可能性为1/365×1/365≈0.0000075，确实非常小，那么对于一个班而言，这种可能性是不是也不大呢？ 正面计算这种可能性的大小并不简单，因为要考虑可能有2个人生日相同，3个人生日相同，……有50个人生日相同的这些情况。如果我们从反而来考察，即计算找不到俩个人生日相同的可能性，就可知道最少有两个人生日相同的可能性。 对于任意2个人，他们生日不同的可能性是（365/365）×（364/365）=365×364/3652对于任意3个人，他们中没有生日相同的可能性是 365/365×364/365×363/365=365×364×363/3653； 类似可得，对于50个人，找不到两个生日相同的可能性是 365×364×363×…×316/36550≈0.03，因此，50个人中至少有两个人生日相同的机会达97%，这么大的可能性有点出乎意料，然而事实就是如此，高三年级的12个班级（每班50人）都有两位同学生日相同的事件发生，并非巧合。那么，50人中有3人生日相同的概率有多大？ 3、深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑。请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由

概率论基本知识(通俗易懂)

第一章概率论的基本概论 确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等 随机现象：称某一现象是“随机的”，如果该现象（事件或试验）的结果是不能确切地预测的。 由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机试验。 例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项试验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是“随机的”----为一随机事件。 例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。 随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？ 这就要引入”概率”的概念。 概率的描述性定义：对于一随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。

§1.1随机试验 以上试验的共同特点是: 1．试验可以在相同的条件下重复进行； 2．试验的全部可能结果不止一个，并且在试验之前能明确知道所有的可能结果；3．每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次试验究竟发

生哪一个可能结果在试验之前不能预言。 我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验，它一定满足以上三个条件。我们把满足上述三个条件的试验叫随机试验，简称试验，记E 。 §1.2样本空间与随机事件 (一) 样本空间与基本事件 E 的一个可能结果称为E 的一个基本事件，记为ω，e 等。 E 的基本事件全体构成的集，称为E 的样本空间，记为S 或Ω, 即：S={ω|ω为E 的基本事件}，Ω={e}. 注意：ω的完备性，互斥性特点。 例：§1.1中试验 E 1--- E 7 E 1：S 1={H,T} E 2：S 2={ HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT } E 3：S 3={0，1，2，3} E 4：S 4={1,2,3,4,5,6} E 5: S 5={0,1,2,3,…} E 6：S 5={t 0 ≥t } E 7：S 7={()y x , 10T y x T ≤≤≤} （二） 随机事件

概率论知识点总结

概率论总结 目录 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结 果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E表示。 在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随 机事件，简称为事件。 不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体 样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示.

一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等 若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A 或A?B。 若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 定义：和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。 定义：积事件 称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义：差事件 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差 事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。 定义：互不相容事件或互斥事件 如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件 B是互不相容事件或互斥事件。 定义6：逆事件/对立事件 称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为ā。A与ā满足：A ∪ā= S,且Aā=Φ。

概率论与数理统计概率历史介绍

概率论与数理统计概率历史介绍

一、概率定义的发展与分析 1.古典定义的历史脉络 古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古老，它源于赌博．博弈的形式多种多样，但是它们的前提是“公平”，即“机会均等”，而这正是古典定义适用的重要条件：同等可能．16世纪意大利数学家和赌博家卡尔丹（1501—1576）所说的“诚实的骰子”，即道明了这一点．在卡尔丹以后约三百年的时间里，帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作．直到1812年，法国数学家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理论》中给出概率的古典定义：事件A的概率等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比． 2.古典定义的简单分析 古典定义通过简单明了的方式定义了事件的概率，并给出了简单可行的算法．它适用的条件有二：（1）可能结果总数有限；（2）每个结果的出现有同等可能．其中第（2）条尤其重要，它是古典概率思想产生的前提． 如何在更多和更复杂的情况下，体现出“同等可能”？伯努利家族成员做了这项工作，他们将排列组合的理论运用到了古典概率中．用排列（组合）体现同等可能的要求，就是将总数为P(n,r)的各种排列（或总数为C(n,r)的各种组合）看成是等可能的，通常用“随意取”来表达这个意思．即使如此，古典定义的方法能应用的范围仍然很窄，而且还有数学上的问题． “应用性的狭窄性”促使雅各布?伯努利（1654—1705）“寻找另一条途径找到所期待的结果”，这就是他在研究古典概率时的另一重要成果：伯努利大数定律．这条定律告诉我们“频率具有稳定性”，所以可以“用频率估计概率”，而这也为以后概率的统计定义奠定了思想基础．“古典定义数学上的问题”在贝特朗（1822—1900）悖论中表现得淋漓尽致，它揭示出定义存在的矛盾与含糊之处，这导致了拉普拉斯的古典定义受到猛烈批评． 3.统计定义的历史脉络 概率的古典定义虽然简单直观，但是适用范围有限．正如雅各布?伯努利所说：“……这种方法仅适用于极罕见的现象．”因此，他通过观察来确定结果数目的比例，并且认为“即使是没受过教育和训练的人，凭天生的直觉，也会清楚地知道，可利用的有关观测的次数越多，发生错误的风险就越小”．虽然原理简单，但是其科学证明并不简单，在古典概型下，伯努利证实了这一点，即“当试验次数愈来愈大时，频率接近概率”． 事实上，这不仅对于古典概型适用，人们确信“从现实中观察的频率稳定性”的事实是一个普遍规律．1919年，德国数学家冯?米塞斯（1883—1953）在《概率论基础研究》一书中提出了概率的统计定义：在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，某个事件出现的频率总是在一个固定数值的附近摆动，显示出一定的稳定性，把这个固定的数值定义为这一事件的概率．

概率论与数理统计在生活中的应用

概率论与数理统计在生活中的应用 单位:兴隆场初级中学姓名:姜宏琼 摘要：随机现象无处不在，渗透于日常生活的方方面面和科学技术的各个领域，概率论就是通过研究随机现象及其规律从而指导人们从事物表象看到其本质的一门科学。生活中买彩票显示了小概率事件发生的几率之小，抽签与体育比赛赛制的选择用概率体现了公平与不公平，用概率来指导决策，减少错误与失败等等，显示了概率在人们日常生活中越来越重要。数理统计在人们的生活中也不断的发挥重要的作用，如果没有统计学，人们在收集资料和进行各项的大型的数据收集工作是非常困难的，通过对统计方法的研究，使得我们处理各种数据更加简便，所以统计也是一门很实用的科学，应该受到大家的重视。 关键字：概率、保险、彩票、统计、数据、应用 由赌徒的问题引起，概率逐渐演变成一门严谨的科学。1654年，有一个法国赌徒梅勒遇到了一个难解的问题：梅勒和他的一个朋友每人出30个金币，两人谁先赢满3局谁就得到全部赌注。在游戏进行了一会儿后，梅勒赢了2局，他的朋友赢了1局。这时候，梅勒由于一个紧急事情必须离开，游戏不得不停止。他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢？梅勒的朋友认为，既然他接下来赢的机会是梅勒的一半，那么他该拿到梅勒所得的一半，即他拿20个金币，梅勒拿40个金币。然而梅勒争执道：再掷一次骰子，即使他输了，游戏是平局，他最少也能得到全部赌注的一半——30个金币；但如果他赢了，并可拿走全部的60个金币。在下一次掷骰子之前，他实际上已经拥有了30个金币，他还有50%的机会赢得另外30个金币，所以，他应分得45个金币。 赌本究竟如何分配才合理呢？后来梅勒把这个问题告诉了当时法国著名的数学家帕斯卡，这居然也难住了帕斯卡，因为当时并没有相关知识来解决此类问题，而且两人说的似乎都有道理。帕斯卡又写信告诉了另一个著名的数学家费马，于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信，在通信中，他们最终正确地解决了这个问题。他们设想：如果继续赌下去，梅勒（设为甲）和他朋友（设为乙）最终获胜的机会如何呢？他们俩至多再赌2局即可分出胜负，这2局有4种可能结果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。前3种情况都是甲最后取胜，只有最后一种情况才是乙取胜，所以赌注应按3：1的比例分配，即甲得

自考概率论与数理统计基础知识.

一、《概率论与数理统计（经管类）》考试题型分析： 题型大致包括以下五种题型，各题型及所占分值如下： 由各题型分值分布我们可以看出，单项选择题、填空题占试卷的50%，考查的是基本的知识点，难度不大，考生要把该记忆的概念、性质和公式记到位。计算题和综合题主要是对前四章基本理论与基本方法的考查，要求考生不仅要牢记重要的公式，而且要能够灵活运用。应用题主要是对第七、八章内容的考查，要求考生记住解题程序和公式。结合历年真题来练习，就会很容易的掌握解题思路。总之，只要抓住考查的重点，记住解题的方法步骤，勤加练习，就能够百分百达到过关的要求。二、《概率论与数理统计（经管类）》考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识点。第一章随机事件与概率 1．随机事件的关系与计算 P3-5 （一级重点）填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念 2．古典概型中概率的计算 P9 （二级重点）选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式 3. 利用概率的性质计算概率 P11-12 （一级重点）选择、填空 ,（考得多）等，要能灵活运用。 4. 条件概率的定义 P14 （一级重点）选择、填空记住条件概率的定义和公式： 5. 全概率公式与贝叶斯公式 P15-16 （二级重点）计算记住全概率公式和贝叶斯公式，并能够运用它们。一般说来，如果若干因素（也就是事件）对某个事件的发生产生了影响，求这个事件发生的概率时要用到全概率公式；如果这个事件发生了，要去追究原因，即求另一个事件发生的概率时，要用到贝叶斯公式，这个公式也叫逆概公式。 6. 事件的独立性（概念与性质） P18-20（一级重点）选择、填空定义：若，则称A与B 相互独立。结论：若A与B相互独立，则A与，与B 与都相互独立。 7. n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率公式 P21（一级重点）选择、填空在重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为（），则事件A恰好发生。第二章随机变量及其概率分布 8．离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 P29，P31（一级重点）选择、填空、计算、综合。记住分布律中，所有概率加起来为1，求概率时，先找到符合条件的随机点，让后把对应的概率相加。求分布律就需要找到随机变量所有可能取的值，和每个值对应的概率。 9. 常见几种离散型分布函数及其分布律 P32-P33（一级重点）选择题、填空题以二项分布和泊松分布为主，记住分布律是关键。本考点基本上每次考试都考。 10. 随机变量的分布函数 P35-P37（一级重点）选择、填空、计算题记住分布函数的定义和性质是关键。要能判别什么样的函数能充当分布函数，记住利用分布函数计算概率的公式：①；②其中；③。 11. 连续型随机变量及其概率密度 P39（一级重点）选择、填空重点记忆它的性质与相关的计算，如①；；反之，满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度。③；④ 设为的

概率论与数理统计第五章 大数定律及中心极限定理

概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第五章 大数定律及中心极限定理 教学要求： 一、了解大数定律的直观意义； 二、掌握Chebyshev 不等式； 三、了解Chebyshev 大数定理和贝努里大数定理； 四、会用中心极限定理估算有关事件的概率． 重点：中心极限定理． 难点：切比雪夫不等式、大数定律、中心极限定理． 综合练习题 一、选择题 1.设12,,,n X X X 是独立同分布的随机变量序列，且 1,2,,i n = .令∑==n i i n X Y 1 ，1,2,,i n = ，()x Φ为标准正态分布函数，则 ()=?? ????????≤--∞ →11lim p np np Y P n n （B ）. （A ）0 ； （B ）()1Φ； （C ）()11Φ-； （D ）1.6 . 2.设()x Φ为标准正态分布函数，0,1,i A X A ?=? ?事件不发生， 事件发生， ()100,,2,1 =i ，且 ()8.0=A P ，10021,,,X X X 相互独立.令∑==100 1 i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函 数()y F 近似于（B ）. （A ）()y Φ； （B ）?? ? ??-Φ480y ； （C ）()8016+Φy ； （D ）()804+Φy . 3.设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立，且i X () ,,,2,1n i =都服从参数为 2 1

的指数分布，则当n 充分大时，随机变量∑==n i i n X n Z 1 1的概率分布近似服从（B ）. （A ）()4,2N ； （B ）??? ??n N 4,2； （C ）?? ? ??n N 41,21； （D ）()n n N 4,2. 二、填空题 1.设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立且同分布，它们的期望为μ，方差为2 σ， 令∑==n i i n X n Z 1 1，则对任意正数ε，有{}=≤-∞→εμn n Z P lim 1 . 2.设 ,,,,21n X X X 是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差 ()μ=i X E ，()02>=σi X D ，() ,2,1=i ， 则对任意实数x ， =??? ? ??? ???????≤-∑=∞ →x n n X P n i i n σμ1lim ()x Φ. 3.设()1-=X E ，()4=X D ，则由切比雪夫不等式估计概率{}42P X -<<≥ 9 5 . 4.设随机变量[]1,0~U X ，由切比雪夫不等式可得≤??????≥- 3121X P 4 1. 5.设随机变量() 2.0,100~B X ，应用中心极限定理可得{}≈≥30X P 0062.0.（其中 ()()9938.05.2=Φ） 三、应用题 1. 100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%， 求任一时刻有70至86台车床在工作的概率. 解：设?? ?=台车床没有工作 第台车床正在工作 第i i X i .0.1（100,,2,1 =i ），且()8.0,1~B X i ， 则100台车床中在任一时刻正在工作的机床台数为10021X X X X +++= ，且()80=X E ，()16=X D ，（其中10021,,,X X X 独立同分布），于是由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理近似可得 ()???? ??-≤-≤-=≤≤168086168016 80708670X P X P