2012-2013学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案

北 京 交 通 大 学

2012~2013学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）

参 考 答 案

某些标准正态分布的数值

其中()x Φ是标准正态分布的分布函数． 一．（本题满分5分）

口袋中有10个球，分别标有号码1到10，从中任意取出4个球．求最小号码是5的概率． 解：

设=A “取出4个球，最小号码是5”．

10个球取出4个球，有取法410C 种．………….2分 若最小号码是5，有取法35C 种，因此 ()21

1

210104103

5===C C A P ．………….3分

二．（本题满分5分）

一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有两位的生日在同一个月份的概率． 解：

设=A “5位同学至少有两位的生日在同一月份”．

5位同学，每一位在12个月份中任意选择，共有512种可能．………….2分 考虑A 的逆事件A ，它表示5位同学中，没有两位的生日是同一月份的．

则 ()()6181.012

1155

12=-=-=P

A P A P ．………….3分

三．（本题满分8分），

已知男人中%5的是色盲患者，女人中色盲患者占%25.0，今从男女比例为21:22的人群中随机地

挑选一人，发现是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 解：

设=A “任选一人为男性”，=B “任选一人是色盲患者”． 所求概率为()B A P ．由Bayes 公式，得 ()()()

()()()()

A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=

………….3分

9544.00025.043

21

05.0432205.04322

=?+??=．………….5分 四．（本题满分8分）

在一小时内，甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是9.0，8.0和85.0，而且这三台机床是否需要维修是相互独立的．求在一小时内

⑴ 至少有一台机床不需要维修的概率；（4分） ⑵ 至多只有一台机床需要维修的概率．（4分） 解：

设{}甲机床需要维修

=A ，{}乙机床需要维修=B ，{}丙机床需要维修=C ．则 ⑴ {}()

()

C B A P C B A P P ??-=??=1维修至少有一台机床不需要…….2分 ()()()388.085.08.09.011=??-=-=C P B P A P ．………….2分

⑵ {}()C B A C B A C B A C B A P P ???=修至多有一台机床需要维………….2分 ()()()()C B A P C B A P C B A P C B A P +++=

()()()()()()()()()()()()C P B P A P C P B P A P C P B P A P C P B P A P +++=

059.085.02.01.015.08.01.015.02.09.015.02.01.0=??+??+??+??=．…….2分

五．（本题满分8分）

试确定常数a ，b ，c ，d 的值，使得函数

()??

?

??>≤≤++<=e x d e x d cx x bx x a

x F 1ln 1

为一连续型随机变量的分布函数．

解：

因为连续型随机变量的分布函数()x F 是连续函数，因此函数()x F 在分段点1=x 及e x =处连续，所以有

()()()10101F F F =+=-，即有d c a +=．………….2分 ()()()e F e F e F =+=-00，即有d d ce be =++．………….2分 又分布函数()x F 必须满足：()0lim =-∞

→x F x ，()1lim =+∞

→x F x ．

因而有

()0lim ==-∞

→x F a x ，()1lim ==+∞

→x F d x ．………….2分

由此得方程组 ???=++=+1101ce be c ，解此方程组，得

1,1,1,0=-===d c b a ．………….2分

六．（本题满分8分）

某地区成年男子的体重X （以kg 计）服从正态分布()2,σμN

．若已知

()5.070=≤X P ，()25.060=≤X P ，

⑴ 求μ与σ的值；

⑵ 如果在该地区随机抽取5名成年男子，求至少有两个人的体重超过kg 65的概率． 解：

⑴ 由已知()5.0707070=???

??-Φ=??? ??-≤-=≤σμσμσμX P X P ，

()25.0606060=??

?

??-Φ=??? ??-≤-=≤σμσμσμX P X P ………….2分

得???????=-=??? ??-Φ-=??? ??-Φ75.025.016015.070σμσμ ．即???????=??? ?

?--Φ=???

??-Φ75

.0605.070σμσμ ，

查正态分布表，得??

???=--=-675

.0600

70σμσμ

，解方程组，得70=μ，81.14=σ．………….2分

⑵ 设=A “从该地区任意选取一名成年男子，其体重超过kg 65”．则

()()??

?

??-≤--=??? ??-≤--=≤-=>3376.081.1470181.14706581.1470165165X P X P X P X P ()()6631.03376.03376.01=Φ=-Φ-=．………….2分 设X ：该地区随机抽取的5名成年男子中体重超过kg 65的人数． 则 ()6631.0,5~B X ．

设=B “5人中至少有两人的体重超过kg 65． 则 ()()()()()101112===-=≤-=≥=X P X P X P X P B P

9530.03369.06631.03369.06631.014

1155005=??-??-C C ．

（已知()75.0675.0=Φ，()6631.034.0=Φ）………….2分

七．（本题满分8分）

设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为

()()

??

???-<<+=其它

0104

5,

2

2

x y y x y x f

求：随机变量Y 的边缘密度函数()y f Y ． 解：

当10<

()

???

----+∞

∞

-+=

+==

y

y

y

Y dx y x

dx y x dx y x f y f 10

2

11225

45,

………….3分

()()()621151131253125212310

3y y y y y xy x y

x +-=??

? ??-+-?=?

??

??+?=-=．…….3分

所以，随机变量Y 的边缘密度函数为

()()??

???<<+-=其它01062115y y y y f Y ．………….2分 八．（本题满分10分）

设n X X X ,,,21 是n 个独立同分布的随机变量，1X 服从参数为λ的指数分布．令

{}n X X X T ,,,min 21 =，

求随机变量T 的密度函数． 解：

对于任意的实数x ，随机变量T 的分布函数为 ()(){}()x X X X P x T P x F n T ≤=≤=,,,m i n 21 {}()x X X X P n >-=,,,

m i n 121

()x X x X x X P n >>>-=,,,121 …………………….2分 ()()()x X P x X P x X P n >>>-= 211

()()()()()()()()n

X n x F x X P x X P x X P --=≤-≤-≤--=11111121 ．………….3分

所以，随机变量T 的密度函数为

()()()()()x f x F n x F x f X n X T T 1

1--='=． ………….2分

如果1X 服从参数为λ的指数分布，则1X 的密度函数为

()??

?≤>=-0

x x e x f x

X λλ ． 分布函数为

()()??

?≤>-==-∞

-?0

00

1x x e dt t f x F x

x

X X λ ．………….1分 因此此时{}n X X X T ,,,min 21 =的密度函数为

()()()()()

x n x n x

X n X T e n e e n x f x F n x f λλλλλ-----=??=-=1

11，()0>x ．………….2分

九．（本题满分8分） 设随机向量()321,

,

X X X 间的相关系数分别为312312,,ρρρ，且，

()()()0321===X E X E X E ，()()()02321>===σX D X D X D ．

令：211X X Y +=，322X X Y +=,133X X Y +=．证明：321,,Y Y Y 两两不相关的充要条件为

1312312-=++ρρρ．

证明：

充分性：如果1312312-=++ρρρ，则有01312312=+++ρρρ．而 ()()322121,c o v ,c o v X X X X Y Y ++=

()()()()32223121,c o v ,c o v ,c o v ,c o v X X X X X X X X +++= ()()()()()()()3223231132112var X D X D X X D X D X D X D ?++?+?=ρρρ ()0121323122232213212=+++=+++=σρρρσρσσρσρ………….3分 这说明随机变量1Y 与2Y 不相关．

同理可得 ()0,c o v 32=Y Y ，()0,cov 13=Y Y ，这就证明了随机变量321,,Y Y Y 两两不相关． ………….1分

必要性：如果随机变量321,,Y Y Y 两两不相关，则有

()0,cov 21=Y Y ，()0,cov 32=Y Y ，()0,cov 13=Y Y

而由上面的计算，得

()()01,c o v 213231221=+++=σρρρY Y ， ………….3分

由于02>σ，所以1132312+++ρρρ，即1132312-=++ρρρ． ………….1分

十．（本题满分8分） 设总体X 的密度函数为

()??

?<<-=其它

若0

11x x

x f

()5021,,,

X X X 是从X 中抽取的一个样本，X 与2S 分别表示样本均值与样本方差．求()X E ，

()X D ，()

2S E ．

解：

因为 ()()01

1

=?==

??-+∞

∞

-dx x x dx x xf X E ，

()()21

21

31

1

2

22==?==

???-+∞∞

-dx x dx x x

dx x f x X E ，

所以，()()()()2

12

2=

-=X E X E X D ． 所以，()()0==X E X E ，………….2分

()()100

1

5021

=

==n X D X D ，………….3分 ()()2

1

2==X D S E ．………….3分

十一．（本题满分8分）

（一定要强调相互独立！！） 设总体()4,0~N X ，()921,,,X X X 是取自该总体中的一个样

本．求系数a 、b 、c ，使得统计量

()()()2

98762543221X X X X c X X X b X X a T ++++++++=

服从2χ分布，并求出自由度． 解：

因为()921,,,X X X 是取自总体()4,0N 中的简单随机样本，所以

()4,0~N X i ，()9,,2,1 =i

而且921,,,X X X 相互独立．所以(Y1,Y2,Y3也相互独立)

()8,0~21N X X +，()12,0~543N X X X ++，()16,0~9876N X X X X +++．…….2分 所以，

()1,0~8

21N X X +，()1,0~12543N X X X ++，()1,0~169

876N X X X X +++．…….2分

因此，

()()()()3~16

12

8

2298762543221χX X X X X X X X X ++++++++．…….2分

因此，当16

1

,121,81===c b a 时，统计量

()()()()3~16

12822

98762543221χX X X X X X X X X T ++++++++=，

自由度为3．………….2分

十二．（本题满分8分）

一家有500间客房的旅馆的每间客房装有一台kW 2（千瓦）的空调机，该旅馆的开房率为%80．求需要多少电力，才能有%99的可能性保证有足够的电力使用空调机． 解：

设X ：该旅馆开房数目，则()8.0,500~B X ．………….2分

a ：向该旅馆供应的电力．则若电力足够使用空调机，当且仅当a X ≤2．因此

()?

????

?

?????-Φ≈?????? ?????-≤

???-=??? ??≤=≤2.08.05008.050022.08.05008.050022.08.05008.050022a a X P a X P a X P ． 由题设，99.02.08.05008.05002

≥?????

?

?????-Φa ，………….3分 查表，得

33.22

.08.05008.05002≥???-a

，………….1分 所以有 ()

68.8412.08.050033.28.05002=???+??≥a ．

即至少向该旅馆供电842千瓦，才能保证该旅馆的空调机正常使用．………….2分

十三．（本题满分8分） 设总体X 的密度函数为

()()

??

?≤>=+-c

x c

x x c x f 0

1θθθ． 其中0>c 是已知常数，而1>θ是未知参数．()n X X X ,,,21 是从该总体中抽取的一个样本，试

求参数θ的最大似然估计量． 解：

似然函数为

()()()()

()

1211

11

+-=+-====∏∏θθθθθθθn n n n

i i n

i i x x x c x c x f L ………….2分

所以，()()∑=+-+=n

i i x c n n L 1

ln 1ln ln ln θθθθ．

所以，()∑=-+=n

i i x c n n

L d d 1

ln ln ln θθθ．………….2分

令：()0ln =θθL d d ，即0ln ln 1

=-+∑=n i i x c n n

θ，………….2分 得到似然函数的唯一驻点c

n x n

n

i i

ln ln 1

-=

∑=θ．

所以参数θ的最大似然估计量为c

n X

n

n

i i

ln ln ?1

-=∑=θ

．………….2分