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球谐函数

第九章球谐函数
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第九章第九章球谐函数
128.〕球谐函数的数学理论曾被当作若干专著的主题。有关这一课题的最完备的著作，E．海恩博士的《球谐函数手册》(Handbuch der Kugelfunctionen)现在(1878)已经出了两卷本的第二版，而F．诺依曼博士也发表了他的《关于球谐函数理论的论著》(Beitrge zur Theorie der Kugelfunctionen，Leipzig，Teubner，1878)。汤姆孙和泰特的《自然哲学》中对这一课题的处理在第二版(1879)中得到了颇大的改进，而陶德洪特先生的《关于拉普拉斯函数、拉梅函数和贝塞耳函数的初等论著》(Elementary Treatise on laplace’s Functions，Lamé’s Functions，and Bessel Functions)以及弗勒尔斯先生的《关于球谐函数及其有关问题的初等论著》 (Elementary Treatise on Spherical Harmonics and subject connected with them)已经使得没有必要在一部关于电的书中在这一课题的纯数学的发展方面花费太多的篇幅了。然而我却保留了用它的极点来对球谐函数作出的确定。
论势在那里变为无限大的奇点论势在那里变为无限大的奇点在那里变为
129.〕如果一个电荷A 均匀地分布在中心座标为(a，b，c)的一个球面上，则由第125节可知，球外任一点(x，y，z)上的势是
0
式中r ＝(x-a) +(y-b) +(z-c) ．(2) 由于V的表示式不依赖于球的半径，这个表示式的形式就将是相同的，如果我们假设半径为无限小的话。表示式的物理诠释将是，电荷A 是放在一个无限小的球的表面上的，这个小球近似地和一个数学点相同。我们已经证明（第 55，81节）电的面密度有一个极限，从而在物理上是不可能把一个有限的电荷放在半径小于某值的一个球上的。不过，既然方程(1)表示的是势在一个球周围的空间中的一种可能的分布，我们为了数学的目的就可以把它看成是由集中在数学点(a，b，c)上的一个电荷A 所引起的，而且我们可以把这个点叫做一个零阶的奇点。还有另外一些种类的奇点，他们的性质我们不久就会研究。但是，在那样作以前，我们必须定义某些表示式，而我们即将发现，在处理空间中的方向以及球上和各该方向相对应的那些点时，这些表示式是有用的。
0 0
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2
2
2
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129.〕一个轴就是空间中的任何一个确定的方向。我们可以假设它是由在球面的一点上画出的一个记号来定义的，该点就是从球心沿轴的方向画出的半径和球面相交的那个点。这个点叫做轴的“极点”。因此一个轴只有一个而不是两个极点。如果是轴h和任一矢量r之间的夹角的余弦，而且 P＝r，(3) 则p是r分解在轴h方向上的分量。不同的轴用不同的下标来区分，而两个轴之间夹角的余弦用λ 来代表，此处的m和n就是标明各轴的下标。对方向余弦为L、M、N的一个轴h求导数，表示为
nm
由这些定义显然可得
如果我们现在假设由位于原点上的一个任意阶次的奇点在点(x，y，z)上引起的势是 Af(x，y，z)，那么，如果这样一个点是位于轴h的端点上的，则(x，y，z)上的势将是 Af[(x－Lh)，(y－Mh)，(z－Nh)]，而如果除了A变号以外在一切方面都相同的一个点被放在原点上，则由这一对点所引起的势将是
如果我们现在无限制地减小h而增大A，使他们的乘积保持有限并等于 A′，则这一对点的势的终极值将是
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如果f(x，y，z)满足拉普拉斯方程，则由于这一方程是线性的，作为各自满足方程的两个函数之差的V′也必满足该方程。 129.〕现在，由一个零阶奇点引起的势
满足拉普拉斯方程，因此，由这一函数通过对任意数目的轴逐次求导数而得到的每一个函数也必满足方程。取两个零阶点，具有相等而异号的电荷A 和A ，把第一个点放在原点上而把第二个点放在轴h 的端点上，然后令h 的值无限减小而令A 的值无限增大，但使乘积A h 永远保持等于A ；这样就可以构成一个一阶的点。这一手续的最后结果，即当两个点互相重合时，就是一个矩为A 而轴为h 的一阶的点。因此，一个一阶的点是一个双重点。它的势是
0 1 0 0 1 1 1 1 1 0
通过把一个矩为—A 的一阶点放在原点上，把另一个矩为A 的一阶点放在轴h 的端点上，然后减小h 而增大A ，使得
1 1 )1+n(2 n 2 1 2 1 2 )1+n(-
我们就得到一个二阶的点，其势是
我们可以把一个二阶的点叫做一个四重点，因为它是通过使四个零阶点互相趋近来构成的。它有两个轴h 及h ，和一个矩A 。这些轴的方向和这个矩的量值就完全地定义了点的本性。通过相对于n个轴逐次求导数，我们就得到由一个n阶点引起的势。它将是三个因子的乘积，一个常量，若干余弦的一个数组合和r 。为了以后即将说明的理由，将常量的数值适当调整，使得当一切轴都和矢量相重合时矩的系数为r 是方便的。因此，当我们对h 求导数时就要除以n。按照这种办法我们就得到一个特定势的确定数值，我们称这种势为－(n＋ 1)阶的“体谐函数”，即
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如果这个量被乘上一个常量，它仍然是由某一个n阶点引起的势。 129.〕运算(13)的结果具有下列形式
(n－1)个夹角余弦λ 等等的函数。如果我们认为r的方向和n个轴的方向是由球面上的点来确定的，我们就可以把Y 看成在该面上逐点变化的一个量，也就是各轴的n个极点和矢量的极点之间的距离的一个函数。因此我们把Y 称为n阶的“面谐函数”。 130.〕其次我们必须证明，和每一个n阶面谐函数相对应的，不仅有一个—(n＋1)阶的体谐函数，而且还有一个n阶的体谐函数，或者说
n n 21
是满足拉普拉斯方程的。因为，
由此即得
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现在，既然V 是x、y、z的一个负n＋1次的齐次函数，就有
n
因此，方程(16)右端的前两项互相抵消，而既然V 满足拉普拉斯方程，第三项就是零，因此H 也满足拉普拉斯方程，从而它就是一个n阶的体谐函数。这是普遍的电反演定理的一个特例，该定理断定，如果F(x，y，z)是x、 y、z的一个满足拉普拉斯方程的函数，则存在另一个函数
n n
也满足拉普拉斯方程。见第162节。 130b.〕面谐函数Y 有2n个任意变数，因为它是由它在球面上的n个极点的位置来确定的，而每一个极点则是由两个座标来确定的。由此可见，V 和H 也都包含2n个任意变数。然而，这些量中的每一个量当乘以一个常数时都将满足拉普拉斯方程。为了证明AH 是可以满足拉普拉斯方程的最普遍的n次齐次有理函数，
n n n n
条件就要求其中每一项必须等于零。因此，在满足拉普拉斯方程的n次齐
个常数时，它就满足所要求的条件并有2n＋1个任意常数。因此它就是最普遍的形式。 131.〕现在我们能够构成一种势的分布，使它本身及其一阶导数在任一点上都不变为无限大了。函数V ＝Y r 满足在无限远处为零的条件，但却在原点上变为无限大。
n n n
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函数H ＝Y r 在离原点为有限距离处是有限的和连续的，但在无限远处不为零。但是，如果我们令a Y r
n n n )1+n()1+n(n n 0 n
点上的势，而令a Y r 等于球内各点上的势，并且假设在球的本身上分布着一种电的面密度，使得 4πσa ＝(2n＋1)Y ，(18) 则关于由一个如此带电的球壳所引起的势的一切条件都将得到满足。因此，势在到处都是有限的和连续的，而且在无限远处为零；它的一阶导数除了在带电球面上以外到处都有限而连续，在球面上则满足
n 2
而且拉普拉斯方程在球面各点和球外各点都是得到满足的。因此，这确实是满足条件的一种势分布，而由第100c节可知，它就是能够满足这些条件的唯一的分布。 131b.〕半径为a而面密度由方程 4πα σ＝(2n＋1)Y ，(20) 给出的一个球所引起的势，在球外各点和对应的n阶奇点所引起的势相等同。现在让我们假设，在球外，有一个我们可称之为E的带电体系，而Ψ是这个体系所引起的势，让我们来针对奇点求出Σ(Φ )的值。这就是依赖于外部体系对奇点的作用的那一部分电能。如果A 是一个零阶奇点的电荷，则所谈的势能是
0 e n 2
如果存在两个这样的奇点，一个负点位于原点而一个数值相等的正点位于轴h 的端点上，则势能将是
1
而且，当A 无限增大而h 无限减小但保持A h ＝A 时，一阶点的势能值就将是
1 1 0 1
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0
0
n
等于以原点为心以α为半径的一个球的外面各
W ＝A Y(21)
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同理，对于一个n阶点，势能将是
① ． 131c.〕如果我们假设外部体系的电荷是由一些部分构成的，其中任一部分用dE来代表，而n阶奇点的电荷则是由一些部分de构成的，那就有
但是，如果V 是由奇点引起的势，就有
n
从而由E对e的作用所引起的势能就是
最后一个表示式就是由e对E的作用所引起的势能。同理，如果σds是球壳的一个面积元上的电荷，则由于球壳在外部体系E上引起的势是V ，我们应有
n
最后一个表示式包括一个在球的表面上计算的和式。把它和W 的第一个表示式相等起来，我们就有
n
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这个方程把按半径为a的球上各面积元来计算ΨY ds的面积分的过程，简化成了对谐函数的n个轴求Ψ的导数并在球心上取微分系数的值的过程，如果Ψ在球内各点满足拉普拉斯方程而Y 是一个n阶的面谐函数的话。 132.〕现在让我们假设Ψ是一个正m阶的体谐函数，其形式是 Y＝a Y r
m m mn
n
(30)
在球面上，r＝a而Ψ＝Y ，从而方程(29)在这一事例中变为
n
式中微分系数的值应在球心上取。当n小于m时，求导数的结果是x、y、z的一个m－n次的齐次式，它在球心上的值是零。如果n等于m，求导数的结果就是一个常数，它的值我们将在第 134节中加以确定。如果进一步求导数，结果就是零。由
我们用来得到这一结果的那些步骤，全都是纯数学性的，因为，尽管我们利用了电能之类的具有物理意义的术语，但是每一个这种术语却不是被看成一个有待研究的物理现象，而是被看成一个确定的数学表示式，一个数学家同样有权应用这些术语，正加他有权应用他可能觉得有用的任何别的数学函数一样，而当一个物理学家必须进行数学计算时，如果各计算步骤可以有一种物理诠释，他就会理解得更加清楚。 133.〕现在我们将确定面谐函数Y 作为球面上一点P相对于该函数之n个极点的位置的函数形式。我们有
n
等等。因此，Y 的每一项都包括一些余弦的乘积，其中带有一个下标的是P和不同极点之间的夹角余弦，而带有两个下标的λ则是极点之间的夹角余弦。既然每一个轴都是通过n次微分中的一次而被引入的，该轴的符号就必然在每一项的余弦下标中出现一次，而且只出现一次。因此，如果任一项中包含s个具有双下标的余弦，那就必然包含n—2s个具有单下标的余弦。设把一切包含着s个具有双下标的余弦的乘积之和简写为
n
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在每一个乘积中，所有的下标都出现一次，而且没有任何下标会重复出现。如果我们愿意表明一个特定的下标m只出现在中或只出现在λ中，我们就把它作为一个下标写在旁或λ旁。例如，方程
就表示，整套的乘积可以分成两部分；在其中一部分中；下标m出现在变动点P的方向余弦中，而在另一部分中m则出现在各极点之间的夹角余弦中。现在让我们假设，对于一个特定的n值，有
式中的各个A是一些常数。我们可以把级数简写成
式中的S表明一个连加式，在连加时所取的是包括零在内的一切大于
为了得出负n阶的和n阶的对应体谐函数，我们用r-(n+1去乘，并得到
此处正如在方程(3)中一样，曾令r＝p。如果把V 对一个新轴h 求导数，我们就得到－(n－1)V ，从而就有
1+n m n
如果想求得包含s个具有双下标的余弦的各项，我们必须在最后一项中令s 减小1，于是就得到
现在，两类乘积在别的方面并无区别，只不过下标m在一类乘积中出现在p
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中而在另一类乘积中出现在λ中。因此他们的系数必然相同，而既然应该能够通过在V 的表示式中把n换成n＋1并乘以n＋1来得到相同的结果，我们就得到下列的方程
n
如果我们令s＝0，就得到
因此，既然A ＝1，就有
0.1
而我们由此就得系数的普遍值
而最后就得到面谐函数的三角函数表示式
① ■ (43)
这一表示式借助于P点到不同极点的距离的余弦以及各极点彼此之间的距离的余弦来给出了球面的任一点P上的面谐函数的值。很容易看出，如果其中任何一个极点被移到球面上正对面的那个点，谐函数的值就会变号。因为涉及这个极点的下标的任何一个余弦都会变号，而在谐函数的每一项中，极点的下标都出现一次并只出现一次。因此，如果两个或任何偶数个极点被移到正对面的点上，函数的值就并不改变。西耳外斯特教授曾经证明(Phil.Mag.，Oct.1876)，当面谐函数已经给定时，寻求和各轴相重合的直线的问题有一个解并只有一个解，尽管正如我们所看到的那样，沿着这些轴所取的正向各自可以有两种选择。
Y ds的值了，尽管二函数各轴的方向通常是不同的。
m n
为此目的，我们必须写出体谐函数Y r 并对Y 的n个轴中的每一个轴求导数。
n m
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的n个轴逐次求导数，我们就发现，当其中 s个轴求r 的导数时，我们就会引入s个P 和一个数字因子
s m
2s(2s－2)…2，或者说是2 s！. 当继续对其次的s个轴线求导数时，各个p 就变成λ ，但是没有数字因子被引入；当对其余的n－2s个轴求导数时，各个pm就变成各个λ ，
nm m
m
因此，我们由方程(31)就得到
而由方程(43)就有
于是，完成微分计算并记得m＝n，我们就得到
135a.〕如果我们假设其中一个面谐函数Y 的所有各轴都互相重合，从而Y 变成我们以后将定义的m阶带谐函数，用符号P 来代表，则两个面谐函数之积的面积分表示式(46)将采取一种引人注意的形式。在这一事例中，所有形如λ 的余弦都可以写成，此处代表P 的公共轴和Y 的一个轴之间的夹角的余弦。形如λ 的余弦将变成等于1，因此我们必须把 Σλ 代成s个符号的组合数，其中每一符号都由n个下标中的两个下标来互相区别，任何下标都不重复出现。于是就得到
mm
s
(47) P 各轴的其余n－2s个下标的排列数是(n－2s)！于是就有
m
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m
m
n
s2
n
m
m
mm
mn
n

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因此，当Y 的所有各轴互相重合时，方程(46)就变成
m
式中Y
)m(n
表示Y 在极点P 上的值。
m n n n n n m n n m
我们可以按下列较短的手续得出相同的结果。设取一个直角座标系，使z轴和P 的轴相重合，并把Y r 展成x、y、z的n次齐次函数。在极点P 上，x＝y＝0而z＝r，从而如果Cz 是不包括x和y的项，则C是Y 在极点P 上的值。在这一事例中，方程(31)变成
m m
当m等于n时，求Cz 的导数的结果是n！C，而其他各项的导数为零。于是就有
C是Y 在极点P 上的值。 135b.〕这一结果是球谐函数理论中一种很重要的结果，因为它表明了怎样确定表示着一个量的值的一系列球谐函数，那个量在一个球面的每一点上具有任意指定的有限而连续的值。因为，设F是那个量的值，而ds是球面上一点Q处的面积元，于是，如果我们把Fds乘以极点为同一球面上P点的那个带谐函数P 并在球面上求积分，则结果可以看成P点位置的一个函数，因为它是依赖于P点的位置的。但是，因为以Q点为极点的带谐函数在P点上的值等于以P点为极点的带谐函数在Q点上的值，所以我们可以假设，对于每一个面积元，都能构造一个以Q 点为极点而以Fds为其系数的带谐函数。于是我们就可以有一套互相叠加的带谐函数，他们的极点位于球面上F有值的每一点上。既然其中每一个都是一个n阶面谐函数的倍数，他们的和式也是一个球谐（不一定是带谐）函数的倍数。
n
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数，于是
也就是属于用来表示F的那一系列面谐函数的那个特定的n阶面谐函数，如果F可以这样被表示的话。因为，如果F可以表示成 F＝A Y ＋A Y ＋…＋A Y ＋… 那么，如果我们乘上Pnds并在整个球面上求面积分，则所有包括不同阶次的谐函数之积的各项都将为零，只剩下
m n n n 1 1 0 0
由此可见，F的唯一可能的球谐函数表示式就是
共轭谐函数轭谐函
136.〕我们已经看到，阶次不同的两个谐函数之积的面积分永远是零。但是，即使两个谐函数是阶次相同的，他们的乘积的面积分也可以是零。这时两个谐函数就被说成是互相共轭的。两个同阶谐函数互相共轭的条件，通过在方程(46)中令各项为零来表示。如果其中一个是带谐函数，则共轭条件是另一个谐函数在带谐函数的极点上的值必须为零。如果我们从一个给定的n阶谐函数开始，则为了使第二个谐函数可以和它共轭，那个谐函数的2n个变数必须满足一个条件式。如果第三个谐函数应该和这两个谐函数都共轭，它的2n个变数就必须满足两个条件式。如果我们继续构造一些谐函数，使每一个都和以前的谐函数的共轭，则每个谐函数所满足的条件式的数目将等于已经存在的谐函数的数目，因此，第(2n＋1)个谐函数就将通过2n个变数来满足2n个条件式，从而就将是完全确定的。一个n阶面谐函数的任何倍数AY ，可以表示成任何一组2n＋1个同阶谐函数的倍数之和，因为2n＋1个共轭谐函数的系数，是其数目等于Y 的2n个系数和A的一组可以选择的量。
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为零，只剩下
这是一个确定着Aσ的方程。由此可见，如果我假设一组2n＋1个共轭谐函数已经给定，则每一个别的n 阶谐函数都可以用他们表示出来，而且只有一种表示方式。 137.〕我们已经看到，如果一组完备的2n＋1个全都互相共轭的n阶谐涵数已经给定，则任一个其他的同阶谐函数可以用这些谐函数表示出来。在这样2n ＋1个谐函数的组中，共有2n(2n＋1)个变数由n(2n＋1)个方程联系着，因此就有n(2n＋1)个变数可以认为是任意的。我们可以就像汤姆孙和泰特所建议的那样把一组函数选作共轭谐函数组；在这组函数中，每一个谐函数的n个极点都是这样分布的：有j个极点和x轴的极点相重合，k个极点和y轴的极点相重合，而l(＝n－j－k)个极点和ｚ轴的极点相重合。于是，当n＋1个l＝0的分布和n个l＝1的分布已经给定时，所有别的谐函数就都可以用这些谐函数表示出来。实际上被一切数学家（包括汤姆孙和泰特）所采用了的是那样一个函数组，即其中有n－σ个极点被放得和可以叫做“球的正极”的一个点相重合，其余的σ个极点当σ为奇数时等距地被放在赤道上，而当σ为偶数时则等距地被在赤道的一半上。在这一事例中，、 …σ中的每一个都等于cosθ，我们将用来代表它。如果我们也用v来代表sinθ，则 σ … 具有vcos(φ－β)的形式，此处β是其中一个极点在赤道上的方位角。另外，如果p和q都小于σ，则λ 的值也是1；如果p和q中有一个大于σ而另一个小于σ，则λ 为零；当p和q都大于σ时，λ 的值是cossπ/a，此处s是一个小于σ的整数。 138.〕当所有的极点都和球的极点相重合时，σ＝0，而函数就叫做一个带谐函数。由于带谐函数是有很大重要性的，我们将给它保留一个符号，即P 。我们可以由三角函数表示式(43)或是更直接地通过求导数来得出带谐函数的值，于是就有
n qp qp qp n 1+ -n 2 1
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有时把P 表示成cosθ和sinθ或我们所写的和v的齐次函数是方便的，这时
n
在有关这一课题的数学著作中已经证明，P ()就是
n
带谐函数平方的面积分是
由此即得
139.〕如果我们把一个带谐函数简单地看成的函数而并不和球面进行任何的联系，它就可以被称为一个勒让德系数。如果我们把带谐函数看成存在于一个球面上，球面上的各点用座标θ和φ来确定，并假设带谐函数的极点位于一点(θ′，φ′)上，则带谐函数在(θ，φ)点上的值将是四个角θ′、φ′、θ、φ的函数，而因为它是(θ，φ)和(θ′，φ′)之间的连接弧的余弦的函数，如果将θ和θ′互换并把φ和φ′互换，它的值就不会改变。这样表示的带谐函数曾被称为“勒让德系数”。汤姆孙和泰特称之为
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“双轴谐函数”。任何x、y、ｚ的能够满足拉普拉斯方程的齐次函数可以叫做一个“体谐函数”，而一个体谐函数在一个以原点为心的球面上的值就可以叫做一个“面谐函数”。在本书中，我们曾借助于一个面谐函数的n个极点来定义它，从而它只有2n个变数。具有2n＋1个变数的更广义的面谐函数就是更狭义的面谐函数乘以一个任意常数。当用θ和φ表示出来时，更普遍的面谐函数叫做“拉普拉斯系数”。 140a.〕为了得到对称体系的其他谐函数，我们必须对σ个轴求导数，各该轴位于xy平面上，彼此之间的夹角等于π/a。这可以最方便地借助于在汤姆孙和泰特的《自然哲学》第一卷第148页｛或第二版的第185页｝上定义了的虚数座标来作到。
轴和x轴成a的角，则当σ为奇数时，对σ个轴求导数的运算可以写成
此式等于
如果σ是偶数，我们就能证明求导数的运算可以写成
于是，如果
我们就可以利用Ds σ 、Dc σ 来把对σ个轴求导数的运算表示出来。这些当然是实数运算，从而是可以不用虚数符号来表示的，例如
) ( ) (
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我们也将写出
合，而其余的σ个轴则在xy平面上互成相等的角，这里当y轴和其中一个
两个σ型的n个阶田谐函数现在可以写成
写出＝cosθ，v＝sinθ，ρ ＝x ＋y ，r ＝ζη＋ｚ，从而ｚ＝r，ρ＝ vr，x＝cosφ，y＝sinφ，我们就有
在这里我们可以写出
我们现在只须对ｚ求导数了，这一点我们可作得或是得出含r和ｚ的结果，或是得出作为ｚ和ρ除以r的某次幂的一个齐次函数的结果
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2
2
2
2
2
，(68)
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如果我们写出
从而这两个函数只差一个常数因子。现在我们可以利用Θ和J来写出两个σ型的n阶田谐函数表示式了，
②(74) 我们必须注意，当σ＝0时sinσφ＝0而cosσφ＝1。对于包括从1到n的每一个σ值，都有一对田谐函数，但是当σ＝0
函数的总数就是2n＋1。 140b.〕本书所采用的Y是我们当对n个轴求，r 的导数并除以n！时所得到的值。它是四个因子的乘积，即σφ的正弦或余弦、vσ、（或和v）的一个函数和一个数字系数。第二和第三部分的乘积，也就是依赖于θ的那一部分，曾经利用三种不同的符号表示出来，他们只在数字因子方面有所不同。当把它表示成vσ和一个的降幂级数的乘积时，既然第一项是 σ，它就是我们仿照汤姆孙和泰特用Θ来代表的那个函数。
-n 1-
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2010-7-26

第九章球谐函数
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“eine zugeordnete Function erster Art”，按照陶德洪特的翻译，即 “第一类缔合函数”，它是通过下列方程来和Θ相联系的：
这个级数也可以写成另外两种形式
在最后一种形式中，级数是通过对求带谐函数的导数而得出的；这
140c.〕对称体系的谐函数曾由汤姆孙和泰特按照各函数在其上变为零的球面曲线的形式来进行分类。带谐函数在球面上任一点的值是极距离的余弦的函数；如果令它等于零，就得到一个n次方程，该方程的所有各根都介于－1和＋1之间，从而就对应于球面纬线的n条平行线。由这些平行线划分而成的环带交替地为正或为负，球极周围的圆永远为正。因此带谐函数就适于用来表示一个函数，该函数在球面纬线的某些平行线上或在空间的某些圆锥面上变为零。对称体系的其他谐函数是成对出现的，一个函数包括σφ的余弦，而另一个则包括其正弦。因此他们在球面的σ条子午线上和n－σ条纬线平行线上变为零，于是球面变被划分成2σ(n－σ－1)个正四边形或田字格，另外还有极点处的4σ个三角形。因此，在关于球面上由经纬线分成的正四边形或田字格的研究中，这些函数是有用的。
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第九章球谐函数
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他们全都称为田谐函数，只有最后一对除外。最后一对函数只在n条子午线上为零，这些子午线把球面分成2n瓣。因此这一对函为数称为“瓣谐函数”。 141.〕其次我们必须求出任何田谐函数的平方在球面上的面积分，我们可以用第134节中的方法来作到这一点。我们通过用r 来乘面谐函数Y
n
按照我们的符号，这些运算由下式来表示：
把体谐函数写成z和ξ及η的齐次函数的形式，即
我们发现，当对z求导数时，除了第一项以外所有的项都不复存在，而且还引入一个因子(n－σ)的！。逐次对ξ和η求导数，我们就也将消除这些变数并引入一个因子－ziσ！，因此最后的结果就是
我们将用符号[n，σ]来代表这一方程的右端。这一表示式对于包括1到n的一切σ值都是对的，但是却不存在和σ＝0相对应的包含sinσφ的谐函数。同理我们可以证明
对包括从1到n的σ值都成立。当σ＝0时，谐函数变成带谐函数，从而
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(完整word版)球谐函数的性质

目录一般背景及注示正交变换加法定理表示定理加法定理的应用 Rodrigues公式 Funk-Hecke公式球谐函数的积分表示连带勒让德函数勒让德函数的性质微分方程球谐函数的拓展参考文献

基本背景和记号：令()1,,q x x L 是q 维欧几里得空间的一组笛卡尔坐标，这时我们有 ()()2 2 2 21q x r x x ==++L 。表达式 x r ξ= 这里 ()1,,1q ξξξξ==L 和 1) 表示的是q 维单位球面上的笛卡尔系的点，记为q Ω，它的曲面元素为q d ω，其全部曲面为q ω，是由q q q d ωω Ω= ?表示出来的。由定义我们设2q ω=，接着我们有232;4ωπωπ==。如果向量1,,q εεL 可以构成一个正交系，我们可以用 <1> 1;11,q q q q q t t t ξεεξ-=?-≤≤= 来表示q Ω上的点,而1q ξ-是由1,,q εεL 张成的空间的单位向量。这时单位球面上的曲线元素可以写成 () 32 11q q q d t dtd ωω--=- 我们由上面可以得到 () 31 2 2 11 1q q q q t dtd ωω-+-Ω-= -?? 上面积分式子的右边可以转化为 () 31 2 120 112212q q d q μμμ---????ΓΓ ? ?????-= ??Γ ??? ?，当q=2,3,…。 <2> ()211 11222222q q q q q q q πωωω--???? ? ? ????= ==??????ΓΓΓ ? ? ??????? 记

<3> 2 22 12q q x x x ?????? ????=+++ ? ? ? ?????????? L 为拉普拉斯算子，这时我们引入定义1:令()n H x 为q 维的n 次齐次多项式，同时满足()0q n H x ?= 这时称()1 ()()n n n n S H r H r ξξξ= =为q 维的n 次（规则）球面调和函数。由此我们马上可以得到：引理1: ()()()1n n n S S ξξ-=- 令()n H x 和()m H x 是两个次数分别为n 和m 的齐次调和多项式，由格林定理我们可以得到 ()()()()1 0q n q m m q n n m q x H H H H dV H H m n d ξξω ≤Ω= ?-?= -??，同样地，在q Ω上n H 和m H 的法向导数分别为 ()()()()11 m m n n r r H r mH H r nH r r ξξξξ==?????? ==??????????和因此由定义（1）我们可以得到引理2:对于m ≠n 时，有()()0q n m q S S d ξξω Ω=?，任何q 维的齐次多项式可以由下面式子代替（4） 110 () (,,)()n j q n j q n j x A x x H x --==∑L 其中11(,,)n j q A x x --L 是在点11,,q x x -L 的()n j -阶齐次多项式，应用拉普拉斯算子的形式 2 1( )q q q x -??=+?? 得到（5） 2 2 12 ()(1)() ()j n n j q n q n j q q n j j j H x j j x A x A -----==?= -+?∑∑ 由系数相等我们的得到：12(2)(1)q n j n j A j j A ----?=-++，因此，若已知n A 和1n A -，则所有的多项式j A 都可以知道，且线性无关的齐次调和多项式的数量与n A 和1n A -的系数的数量相等。定义(,)M q n 为关于q 的n 阶齐次多项式的系数的个数，则(,)M q n 有如下形式：

球谐函数展开快速算法及其并行算法研究

球谐函数展开快速算法及其并行算法研究球谐函数展开快速算法及其并行算法研究国防学技

术大学研究生院分类号 TP3 12 学号 09060065 ,,, 密级公开工学硕士学位论文球谐函数展开快速算法及其并行算法研究硕士生姓名王翔学科专业计算机科学与技术研究方向计算机应用技术指导教师宋君强研究员国防科学技术大学研究生院二〇一一年十一月 Research on Parallel Algorithms of the Fast Algorithm for Spherical Harmonic Expansions Candidate Wang Xiang Supervisor Prof Song Junqiang

A thesis Submitted in partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Engineering in Computer Science and Technology Graduate School of National University of Defense Technology ChangshaHunancoma November 2011 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文目录摘要 i ABSTRACT ii 第一章引言 1 11 数值天气预报与谱模式 1 com 谱模式的发展与现状 1 com 球谐函数与Silberman 方法2 com 变换法4 com 谱模式的优缺点 5 12 球谐函数 6 com 球谐函数的推导 6 com 截断问题 6 com 球谐函数展开算法的发展 7 13 GPU 通用计算与数值天气预报 9 14 本文研究内容 10

球谐函数

L=0,1,2的球谐函数的三维空间图 13074230 章杰钧pi=3.1415926;p=-pi:pi/100:pi;t=0:2*pi/150:pi; [P,T]=meshgrid(p,t);theta=pi/2-P;phi=T; R00=sqrt(1/4/pi); [X00,Y00,Z00]=sph2cart(T,P,R00); subplot(3,3,1); mesh(X00,Y00,Z00); axis equal;title('Y00'); R10=sqrt(3/4/pi)*abs(cos(theta)); [X10,Y10,Z10]=sph2cart(T,P,R10); subplot(3,3,2); mesh(X10,Y10,Z10); axis equal;title('Y10'); R11=-sqrt(3/8/pi)*abs(sin(theta).*cos(phi)); [X11,Y11,Z11]=sph2cart(T,P,R11); subplot(3,3,3); mesh(X11,Y11,Z11); axis equal;title('Y11'); R1_1=sqrt(3/8/pi)*abs(sin(theta).*sin(phi)); [X1_1,Y_1,Z1_1]=sph2cart(T,P,R1_1); subplot(3,3,4); mesh(X1_1,Y1_1,Z1_1); axis equal;title('Y1_1'); R22=sqrt(15/32/pi)*abs(sin(theta).^2.*cos(2*phi)); [X22,Y22,Z22]=sph2cart(T,P,R22); subplot(3,3,5); mesh(X22,Y22,Z22); axis equal;title('Y22'); R21=-sqrt(15/8/pi)*abs(sin(theta).*cos(theta).*cos(phi)); [X21,Y21,Z21]=sph2cart(T,P,R21); subplot(3,3,6); mesh(X21,Y21,Z21); axis equal;title('Y21'); R20=sqrt(5/16/pi)*abs(3*cos(theta).^2-1); [X20,Y20,Z20]=sph2cart(T,P,R20); subplot(3,3,7); mesh(X20,Y20,Z20); axis equal;title('Y20'); R2_1=sqrt(15/8/pi)*abs(sin(theta).*cos(theta).*sin(phi)); [X2_1,Y2_1,Z2_1]=sph2cart(T,P,R2_1); subplot(3,3,8); mesh(X2_1,Y2_1,Z2_1);

基于Butterfly算法的球谐函数展开快速算法研究

目录摘要 (i) ABSTRACT ......................................................................................................... i i 第一章绪论 (1) 1.1 研究背景 (1) 1.1.1 数值天气预报的发展与现状 (1) 1.1.2 谱模式的发展与现状 (2) 1.1.3 球谐函数概述 (3) 1.1.4 球谐函数展开快速算法的发展 (8) 1.2 本文研究内容和贡献 (9) 1.3 论文结构 (9) 第二章Butterfly算法 (11) 2.1 数值秩和秩性质 (12) 2.1.1 数值秩（Numerical Rank） (12) 2.1.2 秩性质（The Rank Property） (12) 2.2 矩阵插值分解 (14) 2.2.1 矩阵插值分解 (14) 2.2.2 插值分解的算法实现 (15) 2.3 Butterfly算法 (16) 2.3.1 算法思想 (16) 2.3.2 算法描述 (18) 2.3.3 算法实现及关键技术 (26) 2.4 本章小结 (28) 第三章球谐函数展开快速算法研究 (29) 3.1 球谐函数展开概述 (29) 3.2 基于Butterfly算法的球谐函数展开快速算法 (31) 3.2.1 奇偶分解 (34) 3.2.2 预计算 (35) 3.2.3 Butterfly加速 (36) 3.2.4 正逆变换处理 (37) 3.3算法实现及关键技术 (40) 3.4数值实验 (40)

3.4.2实验2 (42) 3.4.3实验3 (43) 3.5 本章小结 (44) 第四章球谐函数展开并行算法设计与实现 (45) 4.1算法并行策略 (45) 4.2 并行算法描述 (46) 4.3算法实现及关键技术 (47) 4.3.1 程序结构 (47) 4.3.2 通信策略 (48) 4.3.3 负载平衡策略 (50) 4.4数值实验 (51) 4.4.1实验1 (52) 4.4.2实验2 (52) 4.4.3实验3 (56) 4.5 本章小结 (58) 第五章结论与展望 (59) 5.1 研究内容和结论 (59) 5.2 问题与展望 (60) 致谢 (61) 作者在学期间取得的学术成果 (66)

位场球谐分析的基本理论

第二章位场球谐分析的基本理论球谐分析是卫星重力和磁场数据分析解释主要工具。地球外部的重力场可以表示成球谐级数形式，同时，通过不同阶次的球谐展开，可以对地球重力场进行分析，以达到显示地球重力场特征，进而研究地球重力异常各种成因的目的。本章主要介绍论文所涉及的球谐分析的一些基本理论。 §2.1 位场拉普拉斯方程的解可以证明，地球外部引力场是调和的，其满足拉普拉斯方程。在不同的坐标系中，拉普拉斯方程有不同的形式，为了便于讨论，本节分别对直角坐标系和球坐标系中拉普拉斯方程的求解进行讨论。 2.1.1 直角坐标系中拉普拉斯方程的解假设V 表示地球引力位，其为直角坐标系中空间点(x , y , z )的调和函数，则有?2V =0，即 022222 2=??+??+??z V y V x V (2-1) 用分离变量法解方程，令 )()()(),,(z Z y Y x X z y x V = 代入方程（2-1）则有 0' '''''=++Z Z Y Y X X 式中X ", Y ", Z "分别为X , Y , Z 对x , y , z 的二次导数。

解方程，得V (x , y , z )的一般表达式 ])exp[()sin cos ()sin cos () ()()(),,(2 /12200z k k y k D y k C x k B x k A z Z y Y x X z y x V n m n n n n n m m m m m +++==∑∑∞ =∞ = 其中n n m m D C B A ,,,为待定常数，根据边界条件来确定。 2.1.2 球坐标系中拉普拉斯方程的解在球坐标系中，引力位V 可表示为空间点(r , θ, λ )的函数，即V (r , θ, λ )，其中r 为点的坐标径向距离，θ 为余纬度，λ 为经度，如图2-1所示。引力位V 的拉普拉斯方程可表示成 0sin 1sin sin 112 222222=??+??? ? ?????+??? ??????λθθθθθV r V r r V r r r (2-2) 图2-1 球坐标系同理，可以用分离变量法解方程(2-2)，即令 )()()(λθL T r R V =

球谐函数

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