八年级数学上册压轴题 期末复习试卷测试卷附答案

八年级数学上册压轴题期末复习试卷测试卷附答案一、压轴题

1．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3

4

x+m分别与x轴、y轴交于点B、A．其中B

点坐标为（12，0），直线y＝3

8

x与直线AB相交于点C．

（1）求点A的坐标．

（2）求△BOC的面积．

（3）点D为直线AB上的一个动点，过点D作y轴的平行线DE，DE与直线OC交于点E （点D与点E不重合）．设点D的横坐标为t，线段DE长度为d．

①求d与t的函数解析式（写出自变量的取值范围）．

②当动点D在线段AC上运动时，以DE为边在DE的左侧作正方形DEPQ，若以点H

（1

2

，t）、G（1，t）为端点的线段与正方形DEPQ的边只有一个交点时，请直接写出t

的取值范围．

2．如图，已知等腰△ABC 中，AB=AC，∠A＜90°，CD 是△ABC 的高，BE 是△ABC 的角平分线，CD 与BE 交于点P．当∠A 的大小变化时，△EPC 的形状也随之改变．

（1）当∠A=44°时，求∠BPD 的度数；

（2）设∠A=x°，∠EPC=y°，求变量y 与x 的关系式；

（3）当△EPC 是等腰三角形时，请直接写出∠A 的度数．

3．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．

（1）试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH ⊥EG ，求证：PF ∥GH ；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使∠PHK =∠HPK ，作PQ 平分∠EPK ，求∠HPQ 的度数．

4．在平面直角坐标系中，点A 、B 在坐标轴上，其中()0,A a 、(),0B b 满足

|21|280a b a b --++-=．

（1）求A 、B 两点的坐标；

（2）将线段AB 平移到CD ，点A 的对应点为()2,C t -，如图1所示，若三角形ABC 的面积为9，求点D 的坐标；

（3）平移线段AB 到CD ，若点C 、D 也在坐标轴上，如图2所示．P 为线段AB 上的一动点（不与A 、B 重合），连接OP 、PE 平分OPB ∠，2BCE ECD ∠=∠．求证：

3()BCD CEP OPE ∠=∠-∠．

5．已知在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD ．

（1）如图1，

①求证：点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上； ②直接写出∠BDC 的度数（用含α的式子表示）为 ；

（2）如图2，当α=60°时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE =BD ； （3）如图3，当α=90°时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转的过程中，在什么情况下线段BF 的长取得最大值？若AC =22a ，试写出此时BF 的值． 6．阅读下列材料，并按要求解答．

（模型建立）如图①，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD ⊥ED 于点D ，过B 作BE ⊥ED 于点E ．求证：△BEC ≌△CDA ． （模型应用）

应用1：如图②，在四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AD ＝6，CD ＝8，BC ＝10，AB 2＝200．求线段BD 的长．

应用2：如图 ③，在平面直角坐标系中，纸片△OPQ 为等腰直角三角形，QO ＝QP ，P （4，m ），点Q 始终在直线OP 的上方．

（1）折叠纸片，使得点P 与点O 重合，折痕所在的直线l 过点Q 且与线段OP 交于点M ，当m ＝2时，求Q 点的坐标和直线l 与x 轴的交点坐标；

（2）若无论m 取何值，点Q 总在某条确定的直线上，请直接写出这条直线的解析式 ．

7．如图1中的三种情况所示，对于平面内的点M ，点N ，点P ，如果将线段PM 绕点P 顺时针旋转90°能得到线段PN ，就称点N 是点M 关于点P 的“正矩点”．

（1）在如图2所示的平面直角坐标系xOy 中，已知(3,1),(1,3),(1,3)S P Q ---，

(2,4)M -．

①在点P ，点Q 中，___________是点S 关于原点O 的“正矩点”； ②在S ，P ，Q ，M 这四点中选择合适的三点，使得这三点满足：

点_________是点___________关于点___________的“正矩点”，写出一种情况即可； （2）在平面直角坐标系xOy 中，直线3(0)y kx k =+<与x 轴交于点A ，与y 轴交于点

B ，点A 关于点B 的“正矩点”记为点

C ，坐标为(,)C C C x y ．

①当点A 在x 轴的正半轴上且OA 小于3时，求点C 的横坐标C x 的值； ②若点C 的纵坐标C y 满足12C y -<≤，直接写出相应的k 的取值范围．

8．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为AC 边上一动点，且不与点A 点C 重合，连接BD 并延长，在BD 延长线上取一点E ，使AE ＝AB ，连接CE ．

（1）若∠AED ＝20°，则∠DEC ＝ 度；

（2）若∠AED ＝a ，试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，求证：EH 2+CH 2＝2AE 2．

9．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．

（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC

（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；

（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为： （不写证明过程）

10．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形， 如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC =∠DAE ，AB =AC ，AD =AE ，则△ABD ≌△ACE ．

（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．

（深入探究）（2）如图2，△ABC 和△AED 是等边三角形，连接BD ，EC 交于点O ，连接AO ，下列结论：①BD =EC ；②∠BOC =60°；③∠AOE =60°；④EO =CO ，其中正确的有 ．(将所有正确的序号填在横线上)．

（延伸应用）（3）如图3，AB =BC ，∠ABC =∠BDC =60°，试探究∠A 与∠C 的数量关系．

11．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==． （1）若30AED ∠=?，则ADB =∠______． （2）求证：BED CDF △≌△．

（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．

12．如图，直线l 1的表达式为：y=-3x+3，且直线l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A ，B ，直线l 1，l 2交于点C ． （1）求点D 的坐标； （2）求直线l 2的解析表达式； （3）求△ADC 的面积；

（4）在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，求点P 的坐标．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．（1）点A坐标为（0，9）；（2）△BOC的面积＝18；（3）①当t＜8时，d＝﹣

9 8t+9，当t＞8时，d＝

9

8

t﹣9；②

1

2

≤t≤1或

76

17

≤t≤

80

17

．

【解析】

【分析】

（1）将点B坐标代入解析式可求直线AB解析式，即可求点A坐标；（2）联立方程组可求点C坐标，即可求解；

（3）由题意列出不等式组，可求解．

【详解】

解：（1）∵直线y＝﹣3

4

x+m与y轴交于点B（12，0），

∴0＝﹣3

4

×12+m，

∴m＝9，

∴直线AB的解析式为：y＝﹣3

4

x+9，

当x＝0时，y＝9，

∴点A坐标为（0，9）；

（2）由题意可得：

3

8

3

9

4

y x

y x

?

=

??

?

?=+

??

，

解得：

8

3 x

y

=

?

?

=

?

，

∴点C（8，3），

∴△BOC的面积＝

1

2

×12×3＝18；

（3）①如图，

∵点D的横坐标为t，

∴点D（t，﹣

3

4

t+9），点E（t，

3

8

t），

当t＜8时，d＝﹣

3

4

t+9﹣

3

8

t＝﹣

9

8

t+9，

当t＞8时，d＝

3

8

t+

3

4

t﹣9＝

9

8

t﹣9；

②∵以点H（

1

2

，t）、G（1，t）为端点的线段与正方形DEPQ的边只有一个交点，

∴

1

2

≤t≤1或

91

9

82

9

91

8

t t

t t

?

-+≤-

??

?

?-+≥-

??

，

∴

1

2

≤t≤1或

76

17

≤t≤

80

17

．

【点睛】

本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积公式，不等式组的应用，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．

2．（1）56°；（2）y=45

4

x

+；（3）36°或

180

7

°.

【解析】

【分析】

（1）根据等边对等角求出等腰△ABC的底角度数，再根据角平分线的定义得到∠ABE的度数，再根据高的定义得到∠BDC=90°，从而可得∠BPD；

（2）按照（1）中计算过程，即可得到∠A与∠EPC的关系，即可得到结果；

（3）分①若EP=EC，②若PC=PE，③若CP=CE，三种情况，利用∠ABC+∠BCD=90°，以及

y=454x

+

解出x 即可. 【详解】

解：（1）∵AB=AC ，∠A=44°， ∴∠ABC=∠ACB=（180-44）÷2=68°， ∵CD ⊥AB ， ∴∠BDC=90°， ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE=∠CBE=34°， ∴∠BPD =90-34=56°； （2）∵∠A =x °，

∴∠ABC=（180°-x°）÷2=（902

x

-）°， 由（1）可得：∠ABP=

1

2∠ABC=（454

x -）°，∠BDC=90°， ∴∠EPC =y °=∠BPD=90°-（454x -）°=（454

x

+）°， 即y 与 x 的关系式为y=454

x +； （3）①若EP=EC ， 则∠ECP=∠EPC=y ， 而∠ABC=∠ACB=902

x

-，∠ABC+∠BCD=90°， 则有：902x -+（902x --y ）=90°，又y=454

x +， ∴902x -

+902x --（454x

+）=90°， 解得：x=36°； ②若PC=PE ，

则∠PCE=∠PEC=（180-y ）÷2=902

y

-，

由①得：∠ABC+∠BCD=90°，

∴902x -+[902x --（902y

-）]=90，又y=454x +，

解得：x=

180

7

°； ③若CP=CE ，

则∠EPC=∠PEC=y ，∠PCE=180-2y ， 由①得：∠ABC+∠BCD=90°，

∴902x -

+902x --（180-2y ）=90，又y=454x +， 解得：x=0，不符合，

综上：当△EPC 是等腰三角形时，∠A 的度数为36°或180

7

°. 【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，二元一次方程组的应用，高与角平分线的定义，有一定难度，关键是找到角之间的等量关系.

3．（1）AB ∥CD ，理由见解析；（2）证明见解析；（3）45°． 【解析】 【分析】

（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，所以易证AB ∥CD ；

（2）利用（1）中平行线的性质推知∠BEF+∠EFD=180°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，故结合已知条件GH ⊥EG ，易证PF ∥GH ； （3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得

90902KPG PKG HPK ??∠=-∠=-∠；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知

1

452

QPK EPK HPK ?∠=∠=+∠；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得

∠HPQ =45°． 【详解】

（1）AB ∥CD ， 理由如下：

∵∠1与∠2互补， ∴∠1+∠2=180°，

又∵∠1=∠AEF ，∠2=∠CFE ， ∴∠AEF +∠CFE =180°， ∴AB ∥CD ；

（2）由（1）知，AB ∥CD ，∴∠BEF +∠EFD =180°． 又∵∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ，

∴1()902

FEP EFP BEF EFD ?

∠+∠=∠+∠=

∴∠EPF =90°，即EG ⊥PF ． ∵GH ⊥EG ， ∴PF ∥GH ；

（3）∵∠PHK =∠HPK ， ∴∠PKG =2∠HPK ． 又∵GH ⊥EG ，

∴∠KPG =90°﹣∠PKG =90°﹣2∠HPK ，

∴∠EPK =180°﹣∠KPG =90°+2∠HPK ． ∵PQ 平分∠EPK ，

∴1

452

QPK EPK HPK ?∠=

∠=+∠， ∴∠HPQ =∠QPK ﹣∠HPK =45°． 答：∠HPQ 的度数为45°． 【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质．解题过程中，注意“数形结合”数学思想的运用． 4．（1）A ，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；（2）点D 的坐标是141,3??

- ???

；（3）证明见解析 【解析】 【分析】

（1）根据非负数的性质得出二元一次方程组，求解即可；

（2）过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，根据三角形ABC 的面积=长方形

CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积）列

出方程，求解得出点C 的坐标，由平移的规律可得点D 的坐标；

（3）过点E 作//EF CD ，交y 轴于点F ，过点O 作//OG AB ，交PE 于点G ，根据两直线平行，内错角相等与已知条件得出3BCD CEF ∠=∠，同样可证OGP OPE ∠=∠，由平移的性质与平行公理的推论可得FEP OGP ∠=∠，最后根据

CEP CEF FEP ∠=∠+∠，通过等量代换进行证明． 【详解】

解：（1）

210a b --=，

又∵|21|0a b --≥0，

|21|0a b ∴--=

0=，即210

280a b a b --=??+-=?，

解方程组2128a b a b -=??+=?得2

3a b =??=?

，

A ∴，

B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；

（2）如图，过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，

∴三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积），

根据题意得，1

1195(2||)232(2||)5||222t t t ??=?+-??+

??++??????

，

化简，得

3

||42

t =， 解得，83

t =±

， 依题意得，0t <，

83t ∴=-，即点C 的坐标为82,3?

?-- ??

?，

∴依题意可知，点C 的坐标是由点A 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移

14

3

个单位长度得到的，从而可知，点D 的坐标是由点B 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移

14

3

个单位长度得到的， ∴点D 的坐标是141,3??-

???

；

（3）证明：过点E 作//EF CD ，交y 轴于点F ，如图所示， 则ECD CEF ∠=∠，

2BCE ECD ∠=∠，

33BCD ECD CEF ∴∠=∠=∠，

过点O 作//OG AB ，交PE 于点G ，如图所示， 则OGP BPE ∠=∠，

PE 平分OPB ∠， OPE BPE ∴∠=∠， OGP OPE ∴∠=∠，

由平移得//CD AB ，

//OG FE ∴， FEP OGP ∴∠=∠， FEP OPE ∴∠=∠， CEP CEF FEP ∠=∠+∠， CEP CEF OPE ∴∠=∠+∠， CEF CEP OPE ∴∠=∠-∠，

3()BCD CEP OPE ∴∠=∠-∠．

【点睛】

本题综合性较强，考查非负数的性质，解二元一次方程组，平行线的性质，平移的性质，坐标与图形的性质，第（3）题巧作辅助线构造平行线是解题的关键． 5．（1）①详见解析；②1

2

α；（2）详见解析；（3）当B 、O 、F 三点共线时BF 最长，(10+2)a 【解析】 【分析】

（1）①由线段垂直平分线的性质可得AD=AC=AB ，即可证点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上；

②由等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠BDC ，可求∠BDC 的度数； （2）连接CE ，由题意可证△ABC ，△DCE 是等边三角形，可得AC=BC ，∠DCE=60°=∠ACB ，CD=CE ，根据“SAS”可证△BCD ≌△ACE ，可得AE=BD ；

（3）取AC 的中点O ，连接OB ，OF ，BF ，由三角形的三边关系可得，当点O ，点B ，点F 三点共线时，BF 最长，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求10BO a =，

2OF OC a ==，即可求得BF

【详解】

（1）①连接AD ，如图1．

∵点C 与点D 关于直线l 对称， ∴AC = AD ． ∵AB = AC ， ∴AB = AC = AD ．

∴点B ，C ，D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上． ②∵AD=AB=AC ，

∴∠ADB=∠ABD ，∠ADC=∠ACD ，

∵∠BAM=∠ADB+∠ABD ，∠MAC=∠ADC+∠ACD ，

∴∠BAM=2∠ADB，∠MAC=2∠ADC，

∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=2∠ADB+2∠ADC=2∠BDC=α∴∠BDC=1

2

α

故答案为：1

2α．

（2连接CE，如图2．

∵∠BAC=60°，AB=AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴BC=AC，∠ACB=60°，

∵∠BDC=1

2

α，

∴∠BDC=30°，

∵BD⊥DE，

∴∠CDE=60°，

∵点C关于直线l的对称点为点D，

∴DE=CE，且∠CDE=60°

∴△CDE是等边三角形，

∴CD=CE=DE，∠DCE=60°=∠ACB，

∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，CD=CE，

∴△BCD≌△ACE（SAS）

∴BD=AE，

（3）如图3，取AC的中点O，连接OB，OF，BF，

，

F是以AC为直径的圆上一点，设AC中点为O，

∵在△BOF中，BO+OF≥BF，

当B、O、F三点共线时BF最长；

如图，过点O作OH⊥BC，

∵∠BAC=90°，2a，

∴24

BC AC a

==，∠ACB=45°，且OH⊥BC，

∴∠COH=∠HCO=45°，

∴OH=HC，

∴2

OC HC

=，

∵点O是AC中点，AC2a，

∴2

OC a

=，

∴OH HC a

==，

∴BH=3a，

∴10

BO a

=，

∵点C关于直线l的对称点为点D，

∴∠AFC=90°，

∵点O是AC中点，

∴2

OF OC a

==，

∴102

BF a

=，

∴当B、O、F三点共线时BF最长；最大值为102)a．

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．

6．模型建立：见解析；应用1：652：（1）Q(1，3)，交点坐标为(5

2

，0)；

（2）y＝﹣x+4

【解析】

【分析】

根据AAS证明△BEC≌△CDA，即可；

应用1：连接AC，过点B作BH⊥DC，交DC的延长线于点H，易证△ADC≌△CHB，结合勾股定理，即可求解；

应用2：（1）过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥y轴于点K，直线KQ和直线NP 相交于点H，易得：△OKQ≌△QHP，设H(4，y)，列出方程，求出y的值，进而求出

Q(1，3)，再根据中点坐标公式，得P(4，2)，即可得到直线l的函数解析式，进而求出直线l与x轴的交点坐标；（2）设Q(x，y)，由△OKQ≌△QHP，KQ＝x，OK＝HQ＝y，可得：y＝﹣x+4，进而即可得到结论．

【详解】

如图①，∵AD⊥ED，BE⊥ED，∠ACB＝90°，

∴∠ADC＝∠BEC＝90°，

∴∠ACD+∠DAC＝∠ACD+∠BCE＝90°，

∴∠DAC＝∠BCE，

∵AC＝BC，

∴△BEC≌△CDA（AAS）；

应用1：如图②，连接AC，过点B作BH⊥DC，交DC的延长线于点H，

∵∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，

∴AC＝10，

∵BC＝10，AB2＝200，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴∠ACB＝90°，

∵∠ADC＝∠BHC＝∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝∠CBH，

∵AC＝BC＝10，

∴△ADC≌△CHB（AAS），

∴CH＝AD＝6，BH＝CD＝8，

∴DH=6+8=14，

∵BH⊥DC，

∴BD＝

应用2：（1）如图③，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥y轴于点K，直线KQ和直线NP相交于点H，

由题意易：△OKQ≌△QHP（AAS），

设H(4，y)，那么KQ＝PH＝y﹣m＝y﹣2，OK＝QH＝4﹣KQ＝6﹣y，

又∵OK＝y，

∴6﹣y＝y，y＝3，

∴Q(1，3)，

∵折叠纸片，使得点P与点O重合，折痕所在的直线l过点Q且与线段OP交于点M，

∴点M是OP的中点，

∵P(4，2)，

∴M(2，1)，

设直线Q M的函数表达式为：y＝kx+b，

把Q(1，3)，M(2，1)，代入上式得：

21

3

k b

k b

+=

?

?

+=

?

，解得：

2

5

k

b

=-

?

?

=

?

∴直线l的函数表达式为：y＝﹣2x+5，

∴该直线l与x轴的交点坐标为(5

2

，0)；

（2）∵△OKQ≌△QHP，∴QK＝PH，OK＝HQ，

设Q (x ，y )，

∴KQ ＝x ，OK ＝HQ ＝y ， ∴x +y ＝KQ +HQ ＝4， ∴y ＝﹣x +4，

∴无论m 取何值，点Q 总在某条确定的直线上，这条直线的解析式为：y ＝﹣x +4， 故答案为：y ＝﹣x +4．

【点睛】

本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，勾股定理，一次函数的图象和性质，掌握“一线三垂直”模型，待定系数法是解题的关键．

7．（1）①点P ；②见解析；（2）①点C 的横坐标C x 的值为-3；②334

k -≤<- 【解析】 【分析】

（1）①在点P ，点Q 中，点OS 绕点O 顺时针旋转90°能得到线段OP ，故S 关于点O 的“正矩点”为点P ；

②利用新定义得点S 是点P 关于点M 的“正矩点”（答案不唯一）； （2）①利用新定义结合题意画出符合题意的图形，利用新定义的性质证明△BCF ≌△AOB ，则FC=OB 求得点C 的横坐标；

②用含k 的代数式表示点C 纵坐标，代入不等式求解即可． 【详解】

解：（1）①在点P ，点Q 中，点OS 绕点O 顺时针旋转90°能得到线段OP ，故S 关于点O 的“正矩点”为点P ， 故答案为点P ；

②因为MP 绕M 点顺时针旋转90?得MS ，所以点S 是点P 关于点M 的“正矩点”，同理还可以得点Q 是点P 关于点S 的“正矩点”．（任写一种情况就可以）

（2）①符合题意的图形如图1所示，作CE ⊥x 轴于点E ，CF ⊥y 轴于点F ，可得 ∠BFC=∠AOB=90°．

∵直线3(0)y kx k =+<与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴点B 的坐标为3

(0,3),(,0)B A k

-

在x 轴的正半轴上， ∵点A 关于点B 的“正矩点”为点(,)C C C x y ， ∴∠ABC=90°，BC=BA ， ∴∠1＋∠2=90°，

∵∠AOB=90°， ∴∠2＋∠3=90°， ∴∠1=∠3． ∴△BFC ≌△AOB ， ∴3FC OB ==， 可得OE ＝3．

∵点A 在x 轴的正半轴上且3OA <，

0C x ∴<，

∴点C 的横坐标C x 的值为－3． ②因为△BFC ≌△AOB ，3

(,0)A k

-

，A 在x 轴正半轴上， 所以BF ＝OA ，所以OF ＝OB-OF ＝33k

+

点3(3,3)C k

-+，如图2， -1＜C y ≤2， 即：-1＜3

3k

+

≤2， 则3

34

k -≤<-

． 【点睛】

本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、解不等式，新定义等，此类新定义题目，通常按照题设的顺序，逐次求解．

8．（1）45度；（2）∠AEC ﹣∠AED ＝45°，理由见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】

（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE ＝140°，可得∠CAE ＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC ＝∠ACE ＝65°，即可求解；

（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE ＝180°﹣2α，可得∠CAE ＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC ＝∠ACE ＝45°+α，可得结论；

（3）如图，过点C 作CG ⊥AH 于G ，由等腰直角三角形的性质可得EH 2EF ，CH ＝

2CG，由“AAS”可证△AFB≌△CGA，可得AF＝CG，由勾股定理可得结论．【详解】

解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，

∴AB＝AC＝AE，

∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，

∵∠AED＝20°，

∴∠ABE＝∠AED＝20°，

∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°

∴∠CAE＝50°，

∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，

∴∠AEC＝∠ACE＝65°，

∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，

故答案为：45；

（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，

理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，

∴∠BAE＝180°﹣2α，

∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，

∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，

∴∠AEC＝45°+α，

∴∠AEC﹣∠AED＝45°；

（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，

∵∠AEC﹣∠AED＝45°，

∴∠FEH＝45°，

∵AH⊥BE，

∴∠FHE＝∠FEH＝45°，

∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，

∴EH2EF，

∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，

∴∠GCH＝∠FHE＝45°，

∴GC＝GH，

∴CH2CG，

∵∠BAC＝∠CGA＝90°，

∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，

∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，

∴△AFB≌△CGA（AAS）

∴AF＝CG，

∴CH AF，

∵在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，

AF）2+EF）2＝2AE2，

∴EH2+CH2＝2AE2．

【点睛】

本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是关键.

9．（1）见解析；（2）CD AD+BD，理由见解析；（3）CD AD+BD

【解析】

【分析】

（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；

（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE AD，可得结论；

（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH，由AD＝AE，

AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD AD+BD，即可解决问题；

【详解】

证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ADB≌△AEC（SAS）；

（2）CD AD+BD，

理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ADB≌△AEC（SAS）；

∴BD＝CE，

∵∠BAC＝90°，AD＝AE，

∴DE AD，

∵CD＝DE+CE，

∴CD AD+BD；

（3）作AH⊥CD于H．

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，

∵∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADH＝30°，

∴AH＝1

2 AD，

∴DH22

AD AH

3

，

∵AD＝AE，AH⊥DE，

∴DH＝HE，

∴CD＝DE+EC＝2DH+BD3+BD，

故答案为：CD3+BD．

【点睛】

本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.

10．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．

【解析】

【分析】

（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论；

（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF＜CF，进而判断出∠OBC＞30°，即可得出结论；

（3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP （SAS），即可得出结论．

【详解】

（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，