高一数学必修一精典压轴题全国汇编
1．（本小题满分12分）已知x 满足不等式2112
2
2(log )7log 30x x ++≤，
求2
2()log log 42
x x
f x =?的最大值与最小值及相应x 值． 1.解：由21122
2(log )7log 30x x ++≤，∴121
3log 2x -≤≤-，
∴
21
log 32
x ≤≤， 而2222()log log (log 2)(log 1)42
x x
f x x x =?=--
=222(log )3log 2x x -+=2231
(log )24
x --，
当23log 2x =时min 1
()4
f x =- 此时x =3
22
=，
当2log 3x =时max 91
()244
f x =-=，此时8x =．
21．（14分）已知定义域为R 的函数2()1
2x x a
f x -+=
+是奇函数
（1）求a 值；
（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；
（3）若对任意的t R ∈，不等式2
2
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围；
21.．解：（1）由题设，需12
(0)0,1a
f a -+=
=∴=，12
12()x
x
f x -+∴= 经验证，()f x 为奇函数，1a ∴=---------（2分）
（2）减函数--------------（3分） 证明：任取
1
2
1
2
2
1
,,,0R x x x x x x x ∈?=-，
由（1）12212
1
122(22)
12122
1
1212(12)(12)
()()x x x x x x x x y f f x x ---++++?=-=-=
121
2
1
2
12
,022,220,(12)(12)
0x x x x x x x x ∴∴-++
0y ∴?
∴该函数在定义域R 上是减函数--------------（7分）
（3）由22(2)(2)0f t t f t k -+-<得22
(2)(2)f t t f t k -<--，
()f x 是奇函数
22(2)(2)f t t f k t ∴-<-，由（2），()f x 是减函数 ∴原问题转化为2222t t k t --，
即2
320t t k --对任意t R ∈恒成立------（10分）
4120,k ∴?=+ 得1
3
k <-即为所求--- ---(14分)
20、（本小题满分10分）
已知定义在区间(1,1)-上的函数2
()1ax b f x x +=+为奇函数,且12
()25
f =. (1) 求实数a ,b 的值；
(2) 用定义证明:函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数； (3) 解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<.
20、解：(1)由2
()1ax b f x x +=+为奇函数,且2122()1251()2
a
b
f +==+ 则21122()()1225
1()2
a b
f f -+-==-=-+-，解得：1,0a b ==。∴2()1x f x x =
+ (2)证明：在区间(1,1)-上任取12,x x ，令1211x x -<<<,
221212211222221212(1)(1)()()11(1)(1)
x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=
++++12122212()(1)
(1)(1)x x x x x x --=++
1211x x -<<<∴120x x -< ,1210x x -> ,21(1)0x +>,22(1)0x +> ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <
故函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数. (3)
(1)()0f t f t -+<∴()(1)(1)f t f t f t <--=-
函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数 ∴111111
t t
t t <-??
-<
∴102t <<
故关于t 的不等式的解集为1
(0,)2
.
21．(14分)定义在R +上的函数f(x)对任意实数a,b +∈R ,均有f(ab)=f(a)+f(b)成立，且当x>1时,f(x)<0， (1)求f(1)
(2)求证：f(x)为减函数。
(3)当f(4)= -2时，解不等式1)5()3(-≥+-f x f 21，（1） 由条件得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0
(2) 法一：设k 为一个大于1的常数，x ∈R+，则
f(kx)=f(x)+f(k)
因为k>1，所以f(k)<0，且kx>x
所以kx>x,f(kx) f(x)为R+上的单调减函数 法二：设()2121,0,x x x x <+∞∈且令1,12>=k kx x 则 )()()()()()()()(212121k f x f k f x f kx f x f x f x f -=--=-=- 有题知，f(k)<0 )()(0)()(2121x f x f x f x f >>-∴即 所以f(x)在（0，+∞）上为减函数 法三 设()2121,0,x x x x <+∞∈且 )()()()()(1 2121121x x f x x x f x f x f x f -=? -=- 0)(11 212<∴>x x f x x )()(0)()(2121x f x f x f x f >>-∴即 所以f(x)在（0，+∞）上为减函数 22、（本小题满分12分）已知定义在[1，4]上的函数f(x)＝x 2 -2bx+ 4 b (b ≥1)， (I)求f(x)的最小值g(b)； (II)求g(b)的最大值M 。 22. 解：f(x)=(x-b)2-b 2+4 b 的对称轴为直线x ＝b （ b ≥1）， (I) ①当1≤b ≤4时，g(b)＝f(b)＝-b 2+4b ; ②当b ＞4时，g(b)＝f(4)＝16-31 4 b ， 综上所述，f(x)的最小值g(b)＝2 (14)4 3116 (4)4 b b b b b ?-+????-??≤≤。＞ (II) ①当1≤b ≤4时，g(b)＝-b 2 + 4b ＝-(b-18)2+1 64 ， ∴当b ＝1时，M ＝g(1)＝-34 ； ②当b ＞4时，g(b)＝16-314b 是减函数，∴g(b)＜16-314×4＝-15＜-34 ， 综上所述，g(b)的最大值M= -3 4 。 22、（12分）设函数()log (3)(0,1)a f x x a a a =->≠且，当点(,)P x y 是函数()y f x =图象上的点时，点(2,)Q x a y --是函数()y g x =图象上的点. （1）写出函数()y g x =的解析式； （2）若当[2,3]x a a ∈++时，恒有|()()|1f x g x -，试确定a 的取值范围； （3）把()y g x =的图象向左平移a 个单位得到()y h x =的图象，函数1()22()()()2h x h x h x F x a a a ---=-+，（0,1a a >≠且）在1[,4]4的最大值为54 ，求a 的值. 22、解：（1）设点Q 的坐标为(',')x y ，则'2,'x x a y y =-=-，即'2,'x x a y y =+=-。 ∵点(,)P x y 在函数log (3)a y x a =-图象上 ∴'log ('23)a y x a a -=+-，即1'log 'a y x a =-∴1()log a g x x a =- (2)由题意[2,3]x a a ∈++，则3(2)3220x a a a a -=+-=-+>，110(2)x a a a = >-+-. 又0a >，且1a ≠，∴01a << 221|()()||log (3)log ||log (43)|a a a f x g x x a x ax a x a -=--=-+- ∵()()1f x g x -∴221 log (43) 1a x ax a --+ ∵01a <<∴22a a +>，则22()43r x x ax a =-+在[2,3]a a ++上为增函数， ∴函数22()log (43)a u x x ax a =-+在[2,3]a a ++上为减函数， 从而max [()](2)log (44)a u x u a a =+=-。min [()](3)log (96)a u x u a a =+=- { log (96)101,log (44)1a a a a a --<<-又则 957 012 a -∴<