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分组分解法(四)习题课tprd032

分组分解法(四)习题课

一、教学过程

(一)练习(接上节课．)

11．x2+6xy+9y2-4m2+4mn-n2 12．m3-m2n-mn2+n3

13．x5+x3-x2-1 14．a2(a+1)-b2(b+1)

15．a4b-a2b3+a3b2-ab4 16．4xy+1-4x2-y2．

．

1．填空：

(1)15ax-3bx-5ay+by=______；

(2)m2nx-my-5m2-mn2x+ny+5n2=______；

(3)x2-y2+6x+9=______；

(4)x2-2x-y2+1=______；

2．选择题：

(1)-(3a-1)(a+2b)是多项式[ ]的因式分解的结果．

A．3a2+6ab-a-2b

B．3a2-6ab+a-2b

C．a+2b+3a2+6ab

D．a+2b-3a2-6ab

(2)下列各题用分组分解法因式错误的

是 [ ]

A．a2-ax-2x+2a=(a+2)(a-x)

B．x-2xy-1+4y2=(1-2y)(x-2y-1)

C．x2-5x+10y-4y2=(x-2y)(x+2y+5)

D．m3+m2n-mn2-n3=(m-n)(m+n)2

(3)4a2+b2-4ab+m有一个因式是2a-b+1，那么m的值

是 [ ]

A．0 B．1

C．-1 D．4

(4)x2-4xy-2y+x+4y2有一个因式是x-2y，另一个因式

是 [ ]

A．x+2y+1 B．x+2y-1

C．x-2y+1 D．x-2y-1

3．把下列各式分解因式：

(3)4m2-x2-9-6x；(4)a2+2a+6b-9b2；

(5)x3+x2+2xy+y2+y3；(6)x3+3x2y+3xy2+y3；

(7)x3-3x2y+3xy2-y3；(8)a2+2ab+b-2a-2b+1．

.13a-3b+ax-bx 2.ax+ax2-b-bx

3.ab-a-b+1

4.m3+4m4-5-20m

5.x3-xyz+x2y-xz

6.2x2+4xy-6ax+3a-x-2y

7.ab(c2-d2)-cd(a2-b2)

8.100a2-36b2+12bc-c2)

9.49a2-25b2+c2-d2+14ac+10bd 10.x3+x-y-y3

1.ab+ac+2a+bx+cx+2x

2.ax2+by2+ay2+bx2

3.10ab-3+6b-5a

4.a2x5-a2x4-a2+a2x

5.ax2-bx2-bx+ax+b-a

6.x2+xy+ax-bx+ax+b-a

7.a4-x2+4ax-4a2 8.xz-yz-x2+2xy-y2

11．x2+6xy+9y2-4m2+4mn-n2 12．m3-m2n-mn2+n3 13．x5+x3-x2-1 14．a2(a+1)-b2(b+1) 15．a4b-a2b3+a3b2-ab4 16．4xy+1-4x2-y2

分组分解法进行因式分解

分组分解法进行因式分解【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。【分类解析】 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用例1. 把多项式分解因式，所得的结果为（）分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。例2. 分解因式分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把，分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 2. 在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足证明：以a、b、c为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边” 证明： 3. 在方程中的应用例：求方程的整数解

分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解 4、中考点拨例1.分解因式：_____________。说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。例2．分解因式：____________ 说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。例3. 分解因式：____________ 说明：分组的目的是能够继续分解。 5、题型展示：例1. 分解因式：说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平方和平方差公式。例2. 已知：，求ab+cd的值。

因式分解分组分解法的练习题目

题319 ⑴am ax m x +++22 ⑵y a x a xy x 222-+- ⑶m mn n m 21372-+- ⑷y x ay ax 26.03.0+++ ⑸ny my nx mx 651210-+- ⑹y x y a x a +++2323 ⑺222222cy by ay cx bx ax +-++- ⑻cx by cy bx ay ax 434322+++++ 题320 ⑴b a b a 2233-+- ⑵12252 4---a x a ⑶33325+--xy x y x ⑸22221696y x b ab a -++ ⑹y y m m 773322++- ⑺1131324-+-m m m ⑻3 323231616c a b c b a +-- 题321 ⑴()y x y x --+3 ⑵()()11232+-+m n m m ⑶()()11212 +++++a a a a a ⑷1244222-+-+-x x b ab a ⑹()()ab b a 4112 2--- ⑺924616822+-++-b a b ab a ⑻()()()()2224732y x y x y x y x ++--+ 题322 ⑴2222ab axy ay ax --+ ⑵y x y xy x 124962 2+-+- ⑶449189222---++b b a a ⑸()()22bx ay by ax -++ ⑹4224b b a a ++ ⑺y xy y x y xy -++-+3 222020 ⑻()2222 224y x a y x --+ 题323 ⑵()()2222m n n n m m --+ ⑶()() 2222b a xy y x ab +++ ⑷()22 22224x n m n m -+- ⑸16121232224+-+-m m m m ⑺()()()222222222n m mx x n m mx x ---+- ⑻()18822224++---mn n m n m

分组分解法因式分解(5课时)

（一）复习把下列多项式因式分解 (1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n) (3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y) （二）新课讲解 1．引入提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有： am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。练习：把下列各式分解因式 (1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n) 2．应用举例例1．把a2-ab+ac-bc分解因式分析:把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以继续提公因式。解：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c) 例2：把2ax-10ay+5by-bx分解因式分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样就可继续提公因式。解：2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay）+（5by-bx） =2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b) 提问：这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试。如果能，请你看一下结果是否相同？练习：把下列各式分解因式 (1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz (5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n (9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb2 四、课外作业把下列各式分解因式 1．a(m＋n)－b(m＋n) ⒉xy(a－b)＋x(a－b) 3．n(x＋y)＋x＋y ⒋a－b－q(a－b) 5．p(m－n)－m＋n ⒍2a－4b－m(a－2b) 7．a2＋ac－ab－bc ⒏3a－6b－ax＋2bx 9．2x3－x2＋6x－3 ⒑2ax＋6bx＋7ay＋21by ⒒xy＋x－y－1 ⒓ax2＋bx2 －ay2－by2 ⒔x3－2x2y－4xy2＋8y3 ⒕3m－3y－ma＋ay ⒖4x3＋4x2y－9xy2－9y3⒗x3y－3x2－2x2y2＋6xy

因式分解专项练习题(含复习资料)

因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式（1）3p2﹣6 （2）2x2+88 2．将下列各式分解因式（1）x3y﹣（2）3a3 ﹣6a232． 3．分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）（2）（x22）2﹣4x2y2 4．分解因式：（1）2x2﹣x （2）16x2﹣1 （3）62﹣9x2y﹣y3 （4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2 5．因式分解：（1）22﹣8a （2）4x3+4x22 6．将下列各式分解因式：（1）3x﹣12x3（2）（x22）2﹣4x2y2 7．因式分解：（1）x2y﹣223 （2）（2y）2﹣y2 8．对下列代数式分解因式：（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+1 9．分解因式：a2﹣44﹣b2

10．分解因式：a2﹣b2﹣21 11．把下列各式分解因式：（1）x4﹣7x2+1 （2）x42+21 ﹣a2 （3）（1）2﹣2x2（1﹣y2）4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+21 12．把下列各式分解因式：（1）4x3﹣3115；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x51；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣2．因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式（1）3p2﹣6；（2）2x2+88 分析：（1）提取公因式3p整理即可；（2）先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解答：解：（1）3p2﹣63p（p﹣2q），（2）2x2+88，=2（x2+44），=2（2）2． 2．将下列各式分解因式（1）x3y﹣（2）3a3﹣6a232．分析：（1）首先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可；

分组分解法教案讲课稿

分组分解法教案

要点：对于四项式的各项没有共同的公因式，而且也没有供四项式作分解的公式可用，所以用我们前面学过的基本方法都无法直接达到分解的目的．但如果分组后在局部分别分解，然后在组与组直接再看看有没有公因式，就可以创造整体分解的机会．试一试：分解因式（1） 22-+-y x xy （2）1+++ab b a （4）y x y x 2422-+- （4）b a b a ---3922 环节2 如何将多项式12)2(22-++b ab a 分解因式？教师：提出问题：两两分组可行吗？多项式有什么特征？学生：尝试探索总结意图：拓展学生的思维再一次认识如何合理分组？要点：组和组之间存在平方差的联系巩固练习：（1）y x y xy x 5251022-++- （2）b ab a a 332+-- （3）a a x x 2222--- 三课堂小结：引导学生从知识，技能，方法，整体等方面自主小结如何合理分组，教师点评，总结四作业布置：练习册：9.16 补充思考题：

初中因式分解中的“分组分解法”

初二因式分解解读之六：编制人：平生曜曜因式分解中的“分组分解法” 分组分解法的运用最能体现同学们对基础知识掌握程度，如何分组并非漫无目标地轮换重组，这需要讲究一些“可以掌控的”技巧，而技巧从懵懂到明晰都有待于通过解题训练与归纳总结去养成。不废话！开始上菜，入席就吃。只要肯用心吃，终有一天会吃胖的！（1）、分解因式：a2 x －b2 x －a2 y + b2 y …………先………写………出………你………的………答………案………… 你的答案：______________________________________。〈分析〉：原式由“①、a2 x，②、－b2 x，③、+ a2 y，④、+ b2 y”这四部分组成，其中没有任何公因式可提取，但我们发现，其中个别“成员”间有公因式，所以可考虑：第一种分组方式：①和②分为一组，③和④分为另一组。解：原式=（a2 x －b2 x）+（－a2 y + b2 y） = x（a2 －b2）－ y（a2 －b2） = （a2 －b2）（x －y） =（a + b）（a－b）（x －y）第二种分组方式：①和③分为一组，②和④分为另一组。解：原式=（a2 x －a2 y）+（－b2 x + b2 y） = a2（x － y ）－b2（x －y） =（x －y）（a2 －b2） = （x －y）（a－b）（a + b）（2）、分解因式：x2 －4 + y2－2xy …………先………写………出………你………的………答………案………… 你的答案：______________________________________。

〈分析〉：原式由“①：x2”、“②：－4”、“③： +y2”和“④：－2xy”这四部分组成，其中没有任何公因式可提取，但我们发现，其中个别“成员”若组合在一起，就可以暂时先用提取公因式法，或者运用公式法，来作第一步分解，所以值得尝试：第一种分组方式：①和②分为一组，③和④分为另一组。解：原式=（x2 －4）+（y2 －2x y） = （x － 2 ）（x + 2）－y（y －2x）此法不能完成最终的分解任务，所以要另行分组，进行微调、重组！第二种分组方式：①、③、④合为一组，②单独为另一组。解：原式=（x2 + y2 －2x y ）+（－4） =（x － y）2 －（2）2 =（x － y + 2）（x － y － 2）（3）、分解因式：x2 + 3x －y2 －3y …………先………写………出………你………的………答………案………… 你的答案：______________________________________。〈分析〉：第一种情况：尝试①、②合为一组，③、④合为另一组：解：原式=（x2 + 3x ）+（－y2 －3y） = x（x + 3）－ y（y + 3）此法不能完成最终的分解任务，所以要另行分组，进行微调、重组！第二种情况：尝试①、③合为一组，②、④合为另一组：解：原式=（x2 －y2）+（3x－3y） =（x + y）（x － y）+ 3（x － y） =（x － y）（x + y + 3）〈总结技巧之一〉：形如“平方和”的项，宜与“相应的交叉项”暂时凑成一组，然

因式分解分组分解法的练习题目

⑴am ax m x +++22 ⑵y a x a xy x 222-+- ⑶m mn n m 21372-+- ⑷y x ay ax 26.03.0+++ ⑸ny my nx mx 651210-+- ⑹y x y a x a +++2323 ⑶33325+--xy x y x ⑸22221696y x b ab a -++ ⑹y y m m 773322++- ⑺1131324-+-m m m ⑻3323231616c a b c b a +-- ⑴()y x y x --+3 ⑵()()11232+-+m n m m ⑶()()11212+++++a a a a a ⑹()()ab b a 41122--- ⑴2222ab axy ay ax --+ ⑵y x y xy x 1249622+-+- ⑶4 49189222---++b b a a ⑸()()22bx ay by ax -++ ⑹4224b b a a ++

⑻()222 2224y x a y x --+ ⑵()()2222m n n n m m --+ ⑶()()2222b a xy y x ab +++ ⑷()2 222224x n m n m -+- ⑺()()()222222 222n m mx x n m mx x ---+- ⑻()18822224++---mn n m n m ⑴12734+-x x ⑴644+x ⑵1724+-x x ⑶184-+x x ⑷233+-x x ⑸47323-+x x ⑹344+-x x ⑺y y y +-3511 ⑻15++a a ⑴222330y xy y x ++ ⑵45523-+-a a a ⑶611623+++x x x ⑷222234c bc b ab a -++- ⑸51062234++++x x x x ⑹50323++a a

《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳

《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳 ★★ 知识体系梳理 ◆ 分组分解法：用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性．也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式。、分组后能提公因式； 2、分组后能运用公式 ◆ 十字相乘法：、型的二次三项式因式分解：（其中，）、二次三项式的分解：如果二次项系数分解成、，常数项分解成、；并且等于一次项系数，那么二次三项式：借助于画十字交叉线排列如下：

◆ 因式分解的一般步骤：一提二代三分组 ①、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式； ②、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法； ③、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法； ④、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。 ◆ 因式分解几点注意与说明： ①、因式分解要进行到不能再分解为止； ②、结果中相同因式应写成幂的形式； ③、根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点，因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。 ★★ 典型例题、解法导航 ◆ 考点一：十字相乘法、型三项式的分解【例1】计算：

（1）（2）（3）（4）运用上面的结果分解因式： ①、 ②、 ③、 ④、方法点金：型三项式关键是把常数分解为两个数之积（），而这两个数的和正好等于一次项的系数（）。 ◎变式议练一：、 2、已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数的个数为（）、个、个、个、个 3、把下列各式分解因式： ①、

分组分解因式分解练习题

分组分解因式分解练习题 1. 按字母特征分组a?b?ab?1 a2－ab＋ac－bc 2. 按系数特征分组7x2?3y?xy?21x ac?6ad 3. 按指数特点分组a2?9b2?2a?6bx2?x?4y2?2y 2224.按公式特点分组a－2ab＋b－c a2?4b2?12bc?9c2 四．总结规律 1.合理分组； 2.组内分解 3.组间再分解 4.如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就选用“三一分组”的方法进行分组分解。因此在分组分解过程中要特别注意符号的变化. 五．练习巩固 1．用分组分解法把ab－c＋b－ac分解因式分组的方法有 A．1种B.2种C.3种D.4种 2. 用分组分解a2－b2－c2＋2bc的因式，分组正确的是 A.?bc) C.?222222?bc?3bd B.?2bc D.a?222222 3．填空：

ax＋ay－bx－by=－ = x2－2y－4y2＋x= ＋ = 4a2－b2－4c2＋4bc= － = 4．把下列各式分解因式 ax25x?6y?15x?2xy ?3x?4a?1227a?ab?21a?3bm2－6m ＋2n－n2 4x－4xy－a＋y22 1―m―n＋2mn2 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 242a???aa1 例1. 把多项式2分解因式，所得的结果为 3254 式后，再进一步分解；此题也可把x，x分别看作一组，

因式分解专题用分组分解法含答案

4、用分组分解法进行因式分解【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。【分类解析】 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用例1. 把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式，所得的结果为（） A a a B a a C a a D a a .().().().()22 2222221111+--+++-- 分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。解：原式=+++++211242a a a a a (() =++++=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a a a a a 4324322222222321 2221 21 1()()()()() 故选择C 例2. 分解因式x x x x x 54321-+-+- 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x x 54-，x x x 321--和分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解法1：原式=-+--+=--+=-++-+()() ()() ()()()x x x x x x x x x x x x x 54323222111111 解法2：

因式分解的十二种方法

因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下： 1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式. 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) a +4ab+4 b =（a+2b） 3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析：1 -3 7 2 2-21=-19 7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解. 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解. 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

因式分解中的“分组分解法”

解读因式分解系列之三编制人：平生曜曜因式分解中的“分组分解法” 分组分解法的运用最能体现同学们对基础知识掌握程度，如何分组并非漫无目标地轮换重组，这需要讲究一些“可以掌控的”技巧，而技巧从懵懂到明晰都有待于通过解题训练与归纳总结去养成。不废话！开始上菜，入席就吃。只要肯用心吃，终有一天会吃胖的！（1）、分解因式：a2 x －b2 x －a2 y + b2 y …………先………写………出………你………的………答………案………… 你的答案：______________________________________。〈分析〉：原式由“①、a2 x，②、－b2 x，③、+ a2 y，④、+ b2 y”这四部分组成，其中没有任何公因式可提取，但我们发现，其中个别“成员”间有公因式，所以可考虑：第一种分组方式：①和②分为一组，③和④分为另一组。解：原式=（a2 x －b2 x）+（－a2 y + b2 y） = x（a2 －b2）－ y（a2 －b2） = （a2 －b2）（x －y） =（a + b）（a－b）（x －y）第二种分组方式：①和③分为一组，②和④分为另一组。解：原式=（a2 x －a2 y）+（－b2 x + b2 y） = a2（x － y ）－b2（x －y） =（x －y）（a2 －b2） = （x －y）（a－b）（a + b）（2）、分解因式：x2 －4 + y2－2xy …………先………写………出………你………的………答………案………… 你的答案：______________________________________。〈分析〉：原式由“①：x2”、“②：－4”、“③： +y2”和“④：－2xy”这四部分组成，

分组法因式分解试题练习(含答案)

分组法因式分解试题练习一、单选题 1.对于a2﹣2ab+b2﹣c2的分组中，分组正确的是（） A. （a2﹣c2）+（﹣ 2ab+b2） B. （a2﹣2ab+b2）﹣c2 C. a2+（﹣2ab+b2﹣ c2） D. （a2+b2）+（﹣2ab﹣c2） 2.把多项式ab﹣1+a﹣b因式分解的结果是（） A. （a+1）（b+1） B. （a﹣1）（b﹣ 1） C. （a+1）（b﹣1） D. （a﹣1）（b+1） 3.把ab﹣a﹣b+1分解因式的结果为（） A. （a+1）（b+1） B. （a+1）（b﹣1） C. （a ﹣1）（b﹣1） D. （a﹣1）（b+1） 4.把ab+a﹣b﹣1分解因式的结果为（） A. （a+b）（b+1） B. （a﹣1）（b﹣ 1） C. （a+1）（b﹣1） D. （a﹣1）（b+1） 5.把多项式a2﹣b2+2a+1分解因式得（） A. （a+b）（a﹣b）+ （2a+1） B. （a﹣b+1）（a+b﹣1） C. （a﹣b+1）

（a+b+1） D. （a﹣b﹣1）（a+b+1） 6.将多项式a2﹣9b2+2a﹣6b分解因式为（） A. （a+2）（3b+2）（a﹣ 3b） B. （a ﹣9b）（a+9b） C. （a﹣9b）（a+9b+2） D. （a﹣3b）（a+3b+2） 7.分解因式：x2﹣2xy+y2+x﹣y的结果是（） A. （x﹣y）（x﹣ y+1） B. （x﹣y）（x﹣y﹣1） C. （x+y）（x﹣ y+1） D. （x+y）（x﹣y﹣1） 8.分解因式a2﹣b2+4bc﹣4c2的结果是（） A. （a﹣2b+c）（a﹣2b﹣ c） B. （a+2b﹣c）（a﹣2b+c） C. （a+b﹣2c）（a﹣ b+2c） D. （a+b+2c）（a﹣b+2c）

因式分解之十字相乘法分组分解专项练习题

因式分解-----十字相乘法 1．认识二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2 ，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2 (a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注

初二数学因式分解分组分解法

初二数学因式分解分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。这种分解因式的方法叫做分组分解法。二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。三、例题分析例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y （2）a2-b2+4a-4b （3）4x2-9y2-24yz-16z2 （4）x3-x2-x+1 分析（1）：解①，首先注意到前两项的公因式（2x）和后两项的公因式（-3），分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解。解②，此题也可以考虑含有y的项分在一组。如下面解2的解法。解①： 2x2+2xy-3x-3y =(2x2+2xy)-(3x+3y) =2x(x+y)-3(x+y) =(x+y)(2x-3) 解②： 2x2+2xy-3x-3y =(2x2-3x)+(2xy-3y) =x(2x-3)+y(2x-3) =(2x-3)(x+y) 说明：解①和解②虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1:1和2:（-3）。这也是分组中必须遵循的规律之一。分析（2）：若将此题按上题中解②的方法分组将含有a的项分在一组即a2+4a=a(a+4)，含有b的项一组即-b2-4b=-b(b+4)，那a(a+4)与-b(b+4)再没有公因式可提，不可再分解下去。可先将a2-b2一组应用平方差公式，再提出因式。解： a2-b2+4a-4b =(a2-b2)+(4a-4b) =(a+b)(a-b)+4(a-b) =(a-b)(a+b+4)

分组分解法因式分解

把下列多项式因式分解 (1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n) (3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y) （二）新课讲解 1．引入提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有： am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。练习：把下列各式分解因式 (1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n) 2．应用举例例1．把a2-ab+ac-bc分解因式分析:把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以继续提公因式。解：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c) 例2：把2ax-10ay+5by-bx分解因式分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样就可继续提公因式。解：2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay）+（5by-bx） =2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b) 提问：这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试。如果能，请你看一下结果是否相同？练习：把下列各式分解因式 (1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz (5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n (9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb2 四、课外作业把下列各式分解因式 1． a(m＋n)－b(m＋n) ⒉ xy(a－b)＋x(a－b) 3． n(x＋y)＋x＋y ⒋ a－b－q(a－b) 5． p(m－n)－m＋n ⒍ 2a－4b－m(a－2b) 7． a2＋ac－ab－bc ⒏ 3a－6b－ax＋2bx 9． 2x3－x2＋6x－3 ⒑ 2ax＋6bx＋7ay＋21by ⒒ xy＋x－y－1 ⒓ ax2＋bx2 －ay2－by2 ⒔ x3－2x2y－4xy2＋8y3 ⒕ 3m－3y－ma＋ay ⒖ 4x3＋4x2y－9xy2－9y3⒗ x3y－3x2－2x2y2＋6xy 分组分解法（第二教时）

分组分解法教案

9.16 分组分解法上海市民办中芯学校张莉莉教学目标： 1．理解分组分解法在因式分解中的重要意义． 2．在运用分组分解法分解因式时，会筛选合理的分组方案． 3．能综合运用各种方法完成因式分解．教学重点：理解分组分解法的概念.掌握用分组分解法分解含有四项的多项式. 教学难点：筛选合理的分组方案和综合运用各种方法完成因式分解教学过程：一复习引入 1.什么是因式分解？ 2.学过几种因式分解的方法？ 3.思考：如何将多项式 by bx ay ax +++)1(分解因式？二新知探究环节1 内容：因式分解 by bx ay ax +++)1( 教师：提出问题指导学生一题多解引入定义学生：思考回答板书练习意图：1.通过一题多解，培养学生的发散思维 2.使学生整体感悟因式分解的方法，再局部的把握知识。 3. 探索讨论总结分组的原则要点：对于四项式的各项没有共同的公因式，而且也没有供四项式作分解的公式可用，所以用我们前面学过的基本方法都无法直接达到分解的目的．但如果分组后在局部分别分解，然后在组与组直接再看看有没有公因式，就可以创造整体分解的机会．试一试：分解因式（1） 22-+-y x xy （2）1+++ab b a （4）y x y x 2422-+- （4）b a b a ---392 2 环节2 如何将多项式12)2(2 2-++b ab a 分解因式？教师：提出问题：两两分组可行吗？多项式有什么特征？学生：尝试探索总结意图：拓展学生的思维再一次认识如何合理分组？要点：组和组之间存在平方差的联系巩固练习：（1）y x y xy x 5251022-++- （2）b ab a a 332+-- （3）a a x x 222 2---

数学教案-分组分解法

数学教案－分组分解法教学目标 1.使学生掌握分组后能运用提公因式和公式法把多项式分解因式； 2.通过因式分解的综合题的教学，提高学生综合运用知识的能力. 教学重点和难点重点：在分组分解法中，提公因式法和分式法的综合运用. 难点：灵活运用已学过的因式分解的各种方法. 教学过程设计一、复习把下列各式分解因式，并说明运用了分组分解法中的什么方法. (1)a2－ab+3b－3a；(2)x2－6xy+9y2－1；(3)am－an－m2+n2；(4)2ab－a2－b2+c2. 解(1) a2－ab+3b－3a =(a2－ab)－(3a－3b) =a(a－b)－3(a－b) =(a－b)(a－3); (2)x2－6xy+9y2－1 =(x－3y) 2－1 =(x－3y+1)(x－3y－1); (3)am－an－m2+n2 =(am－an)－(m2－n2) =a(m－n)－(m+n)(m－n) =(m－n)(a－m－n); (4)2ab－a2－b2+c2 =c2－(a2+b2－2ab) =c2－(a－b) 2 =(c+a－b)(c－a+b). 第(1)题分组后，两组各提取公因式，两组之间继续提取公因式. 第(2)题把前三项分为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第四项运用平方差公式继续分解因式. 第(3)题把前两项分为一组，提取公因式，后两项分为一组，用平方差公式分解因式，然后两组之间再提取公因式. 第(4)题把第一、二、三项分为一组，提出一个“－”号，利用完全平方公式分解因式，

第四项与这一组再运用平方差公式分解因式. 把含有四项的多项式进行因式分解时，先根据所给的多项式的特点恰当分解，再运用提公因式或分式法进行因式分解.在添括号时，要注意符号的变化. 这节课我们就来讨论应用所学过的各种因式分解的方法把一个多项式分解因式. 二、新课例1 把分解因式. 问：根据这个多项式的特点怎样分组才能达到因式分解的目的? 答：这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，所以有两种分解因式的方法. 解方法一方法二；例2 把分解因式. 问：观察这个多项式有什么特点?是否可以直接运用分组法进行因式分解? 答：这个多项式的各项都有公式因ab，可以先提取这个公因式，再设法运用分组法继续分解因式. 解：= = = =例3 把45m2－20ax2+20axy－5ay2分解因式. 分析：这个多项式的各项有公因式5a，先提取公因式，再观察余下的因式，可以按：一、三”分组原则进行分组，然后运用公式法分解因式. 解45m2－20ax2+20axy－5ay2=5a(9m2－4x2+4xy－y2) =5a[9m2－(4x2－4xy+y2)] =5a[(3m2)－(2x－y) 2] =5a(3m+2x－y)(3m－2x+y). 例 4 把2(a2－3mn)+a(4m－3n)分解因式. 分析：如果去掉多项式的括号，再恰当分组，就可用分组分解法分解因式了. 解2(a2－3mn)+a(4m－3n)=2a2－6mn+4am－3an =(2a2－3an)+(4am－6mn) =a(2a－3n)+2m(2a－3n)

《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳教学设计

《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳教学设计 Teaching design of knowledge points inductio n in factorization grouping decomposition an d cross multiplication

《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳教学设计前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是初中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。 ◆分组分解法：用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性．也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式。 1、分组后能提公因式； 2、分组后能运用公式 ◆十字相乘法：、型的二次三项式因式分解：（其中，）、二次三项式的分解：如果二次项系数分解成、，常数项分解成、；并且等于一次项系数，那么二次三项式：借助于画十字交叉线排列如下： ◆因式分解的一般步骤：一提二代三分组 ①、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；

②、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法； ③、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法； ④、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。 ◆因式分解几点注意与说明： ①、因式分解要进行到不能再分解为止； ②、结果中相同因式应写成幂的形式； ③、根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点，因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。 ★★典型例题、解法导航 ◆考点一：十字相乘法 1、型三项式的分解【例1】计算：（1）（2）（3）（4）运用上面的结果分解因式： ①、 ②、 ③、 ④、

分组分解法(四)习题课tprd032

分组分解法进行因式分解

因式分解分组分解法的练习题目

分组分解法因式分解(5课时)

因式分解专项练习题(含复习资料)

分组分解法教案讲课稿

初中因式分解中的“分组分解法”

因式分解分组分解法的练习题目

最新分组分解法教案

《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳

分组分解因式分解练习题

因式分解专题 用分组分解法 含答案

因式分解的十二种方法

因式分解中的“分组分解法”

分组法因式分解试题练习(含答案)

因式分解之十字相乘法分组分解专项练习题

初二数学因式分解分组分解法

分组分解法因式分解

分组分解法教案

数学教案-分组分解法

《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳教学设计

因式分解专题用分组分解法含答案