《平行四边形的判定》典型例题
《平行四边形的判定》典型例题
例1如图，△DAB、△EBC、△FAC都是等边三角形，试说明四边形AFED 是平行四边形．
例2如图，E、F分别是ABCD边AD和BC上的点，并且AE=CF，AF 和BE相交于G，CE和DF相交于H、EF与GH是否互相平分，请说明理由．
例3如图，在平行四边形ABCD中，A1、A2、A3、A4和B1、B2、B3、B4分别是AB和DC的五等分点，C1、C2和D1、D2分别是AD和BC的三等分点，若四边形C1A4D2B1的面积为1，求S平行四边形ABCD.
例4已知：如图，E，F分别为ABCD的边CD，AB上一点，AE∥CF，BE，CF分别交CF，AE于H，G.
求证：EG=FH.
例5如图，已知：四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足，且AE=CF，∠BAC=DCA.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
参考答案
例1分析要证四边形AFED是平行四边形，应观察：两组对边是否相等、两组对角是否相等，或一组对边是否平行且相等、对角线是否相互平分．但在本题中没有对角线，也没有明显的对角之间的关系，因此可以先考虑去证明四边形AFED的对边是否相等．
事实上，AD=AB=BD，EF是否能等于这三条边中的一条呢？可以看到
，∴EF=AB=BD．同理DE=AC=AF，因此，所要证的四边形AFED 是平行四边形．
证明，∴，
且，∴，∴
又，同理．∴AFED是平行四边形．
例2分析若EF、GH互相平分，那么四边形EGFH应是平行四边形．观察已知条件，可以证明四边形EGFH是平行四边形．
证明是平行四边形，∴
又，∴，且
∴四边形AECF是平行四边形，∴，∴
又四边形EDFB是平行四边形，∴，∴
在四边形GEHF中，，
∴四边形GEHF是平行四边形，∴EF和GH互相平分．
说明：本题中多次使用了平行四边形的性质：对边平行且相等以及平行四边形的判断方法：对边平行且相等的四边形是平行四边形．通过解题应熟悉平行四边形的性质及判别．
例3 分析平行四边形ABCD被和分别成15个相等的小平行四边形。
而是4个小平行四边形面积的一半，是2个小平行四边形面积的一半。
因此四边形的面积等于9个小平行四边形的面积，所以平行四边形ABCD的面积为。
说明: 通过本题可知：由分别是5等分点，则可知，四边
形是平行四边形，并且的面积是平行四边形ABCD面积的。
例4证明：∵，
∴四边形AECF是平行四边形.
∴
∵，
∴
∵，
∴四边形BFDE是平行四边形.
∴.
∵，
∴四边形GFHE是平行四边形.
∴.
说明：本题考查平行四边形的判定定理，解题关键是设法证四边形GFHE 是平行四边形.
例5
证法1 ∵，，
∴
∴
∵，
∴
在和中，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴四边形ABCD是平行四边形.
点、线、面之间的位置关系练习题
点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习 1、 平面L =?βα，点βαα∈∈∈C B A ,,，且L C ∈，又R L AB =?，过 A 、 B 、 C 三点确定的平面记作γ，则γβ?是（ ） A ．直线AC B ．直线B C C ．直线CR D ．以上都不对 2、空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．1或4 D ．无法确定 3、在三角形、四边形、梯形和圆中，一定是平面图形的有 个 4、正方体1111D C B A ABCD -中，P 、Q 分别为11,CC AA 的中点，则四边形PBQ D 1是（ ） A ．正方形 B ．菱形 C ．矩形 D ．空间四边形 5、在空间四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若AC=BD ， 且BD AC ⊥，则四边形EFGH 为 6、下列命题正确的是（ ） A ． 若βα??b a ,，则直线b a ,为异面直线 B ． 若βα??b a ,，则直线b a ,为异面直线 C ． 若?=?b a ，则直线b a ,为异面直线 D ． 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 7、在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有 公共点，则这两条直线是异面直线，以上两个命题中为真命题的是 8、过直线L 外两点作与直线L 平行的平面，可以作（ ） A ．1个 B ．1个或无数个 C ．0个或无数个 D ．0个、1个或无数个 9、b a //，且a 与平面α相交，那么直线b 与平面α的位置关系是（ ） A ．必相交 B ．有可能平行 C ．相交或平行 D ．相交或在平面内 10、直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ） A ．一条直线不相交 B ．两条直线不相交 C ．任意一条直线不相交 D ．无数条直线不相交 11、如果两直线b a //，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ） A ．相交 B ．α//b C ．α?b D ．α//b 或α?b 12、已知直线a 与直线b 垂直，a 平行于平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ） A ．α//b B ．α?b C ．b 与平面α相交 D ．以上都有可能 13、若直线a 与直线b 是异面直线，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ） A ．α//b B ．b 与平面α相交 C ．α?b D ．不能确定 14、已知//a 平面α，直线α?b ，则直线a 与直线b 的关系是（ ） A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．平行或异面
高中数学线面角与线线角例题、习题-学生
线面角与线线角专练（小练习一）【知识网络】 1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2π θ∈； （2）求法； 2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]o o ；（3）求法； 【典型例题】 例1：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 （ ） A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角 D 、11AC 与1B C 成60o 角 （2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为 （ ） A 、2个 B 、4个 C 、6个 D 、8个 （3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1，2则这个棱柱的侧 面对角线E 1D 与BC 1所成的角是 （ ） A ．90o B ．60o C ．45o D ．30o （4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是 。 （5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___. 例2：．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。 （I ）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于 A 、D 的任意一点，证明EF ⊥FC 1； （II ）试问：若AB ＝2a ，在线段AD 上的E 点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角，为什么？证明你的结论。 例3： 如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC =2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面 PAB ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:BC ⊥侧面PAB; (Ⅱ)证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB; (Ⅲ)求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小; A B C D P
判定平行四边形的五种方法
判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明. 一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别 例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上, 且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形. 分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD. 解：连接BD交AC于点O. 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF, 所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO. 所以四边形DEBF是平行四边形. 二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别 例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由. 分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别. 解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1, 所以四边形ABCF是平行四边形. 同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形. 因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形. 三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别 例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形. 分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件. 解：因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB. 因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE, 所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE， 所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形 . 图1 图2 A B C D E F 图3
解三角形典型例题
1．正弦定理和余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 1.在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A 2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点 重点：空间直线、平面的位置关系。 难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换 2、三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α ，A ∈α ，B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该 点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 （4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么L A · α C · B · A · α P · α L β 2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面 3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0，)； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 共面直线 =>a ∥c 2 教师姓名 余永奇 学生姓名 洪 懿 上课时间 2014.11.15 辅导学科 数学 学生年级 高二 教材版本 人教版 课题名称 线面角，二面角的计算方法（文科） 本次学生 课时计划 第（10）课时 共（60）课时 教学目标 线面角的计算方法 教学重点 线面角的计算方法 教学难点 线面角的计算方法 教师活动 学生活动 上次作业完成情况(%) 一．检查作业完成情况，并讲解作业中存在的问题 二．回顾上次课辅导内容 三．知识回顾，整体认识 1、本章知识回顾 （1）空间点、线、面间的位置关系； （2）直线、平面平行的判定及性质； （3）直线、平面垂直的判定及性质。 2、本章知识结构框图 （二）整合知识，发展思维 1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。 公理1——判定直线是否在平面内的依据； 公理2——提供确定平面最基本的依据； 公理3——判定两个平面交线位置的依据； 公理4——判定空间直线之间平行的依据。 2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题； 3、空间平行、垂直之间的转化与联系： 平面（公理1、公理2、公理3、公理4） 空间直线、平面的位置关系 直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行 4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。 典型例题： 线面夹角的计算 例1（2014浙江高考文科20题）如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED =90°，AB=CD=2, DE=BE=1，AC=2. （Ⅰ）证明：AC⊥平面BCDE； （Ⅱ）求直线AE与平面ABC所成的角的正切值. 例2(2013浙江，文20)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝7，PA ＝3，∠ABC＝120°，G为线段PC上的点． (1)证明：BD⊥平面APC； (43 3 ) (2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值； (3)若G满足PC⊥平面BGD，求PG GC 的值．(3/2) 直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直 《平行四边形的判定》典型例题 例1如图，△DAB、△EBC、△FAC都是等边三角形，试说明四边形AFED 是平行四边形． 例2如图，E、F分别是ABCD边AD和BC上的点，并且AE=CF，AF和BE 相交于G，CE和DF相交于H、EF与GH是否互相平分，请说明理由． 例3如图，在平行四边形ABCD中，A1、A2、A3、A4和B1、B2、B3、B4分别是AB和DC的五等分点，C1、C2和D1、D2分别是AD和BC的三等分点，若四边形C1A4D2B1的面积为1，求S平行四边形ABCD. 例4已知：如图，E，F分别为ABCD的边CD，AB上一点，AE∥CF，BE，CF分别交CF，AE于H，G. 求证：EG=FH. 例5如图，已知：四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足，且AE=CF，∠BAC=DCA. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 参考答案 例1分析要证四边形AFED是平行四边形，应观察：两组对边是否相等、两组对角是否相等，或一组对边是否平行且相等、对角线是否相互平分．但在本题中没有对角线，也没有明显的对角之间的关系，因此可以先考虑去证明四边形AFED的对边是否相等． 事实上，AD=AB=BD，EF是否能等于这三条边中的一条呢可以看到 ，∴EF=AB=BD．同理DE=AC=AF，因此，所要证的四边形AFED是平行四边形． 证明，∴， 且，∴，∴ 又，同理．∴AFED是平行四边形． 例2分析若EF、GH互相平分，那么四边形EGFH应是平行四边形．观察已知条件，可以证明四边形EGFH是平行四边形． 证明是平行四边形，∴ 又，∴，且 ∴四边形AECF是平行四边形，∴，∴ 又四边形EDFB是平行四边形，∴，∴ 在四边形GEHF中，， ∴四边形GEHF是平行四边形，∴EF和GH互相平分． 说明：本题中多次使用了平行四边形的性质：对边平行且相等以及平行四边形的判断方法：对边平行且相等的四边形是平行四边形．通过解题应熟悉平行四边形的性质及判别． 例3 分析平行四边形ABCD被和分别成15个相等的小平行四边形。 而是4个小平行四边形面积的一半，是2个小平行四边形面积的一半。 1. 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+= sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+= cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π= 所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bc a c b A 2cos 2 22-+=代入右边 得右边22222222 22()222a c b b c a a b c abc abc ab +-+--=-= 22a b a b ab b a -==-=左边， ∴)cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．证明：∵△AB C 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>-> ∴sin sin()2 A B π >-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A > ∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 4.解：∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=，即2sin cos 4sin cos 2222 A C A C B B +-=， ∴1sin cos 222B A C -==0,22 B π<<∴cos 2B = ∴sin 2sin cos 22244B B B ==?=839 5解：22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B ++===-- cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A A B A B A B A B π===+=或2 ∴等腰或直角三角形 6解：2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ?-?=- 222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=- 点、线、面的位置关系 ● 知识梳理 （一）.平面 公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。 公理2：不共线．．． 的三点确定一个平面. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面. 公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线 （二）空间图形的位置关系 1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面 1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线； 1.4异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈??；（2）作异面直线所成的角：平移法. 2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行 3.平面与平面的位置关系：平行，相交 （三）平行关系（包括线面平行，面面平行） 1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点. ②判定定理：////a b a a b αα α???????? ③性质定理：////a a a b b αβαβ??????=? 2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。范围：[]0,90θ∈?? 3.面面平行：①定义：//αβαβ=??； ②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：,,,//,////a b a b O a b ααααβ?=? 判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥?. ③面面平行的性质：（1）////a a αββα????? ； （2）////a a b b αβαγβγ? ? =???=? （四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直） 1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。 符号表述：若任意,a α?都有l a ⊥，且l α?，则l α⊥. ②判定：,a b a b O l l l a l b ααα?? ?=? ???⊥??⊥? ⊥?? ③性质：（1） ,l a l a αα⊥??⊥； （2）,//a b a b αα⊥⊥?； 3.2面面斜交①二面角：（1）定义：【如图】,OB l OA l AOB l αβ⊥⊥?∠-是二面角－的平面角 范围：[0,180]AOB ∠∈?? ②作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法. 3.3面面垂直（1）定义：若二面角l αβ--的平面角为90?，则αβ⊥； （2）判定定理： a a ααββ?? ?⊥?⊥? B 1 D 1 A D C 1 B C A 1 线线角与线面角习题 新泰一中 闫辉 一、复习目标 1.理解异面直线所成角的概念,并掌握求异面直线所成角的常用方法． 2.理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法． 3.掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”,思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法. 二、课前预习 1.在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2, E 、F 分别为AB 、CD 的中点且EF=3，AD 、BC 所成的角为 . 2.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中 ，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60ο和45ο ，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 ( ) (A). 4 6 (B). 36 (C).62 (D).6 3 3.平面α与直线a 所成的角为 3 π ,则直线a 与平面α内所有直线所成的角的取值范围是 ． 4.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的度数为 (A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο 5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο ,BC 是贴于桌面上, 当三角尺与桌面成45ο 角时,AB 边与桌面所成角的正弦值 是 ． 三、典型例题 例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成60ο 角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值. 备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线 或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容 易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要 有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤. 例2.如图在正方体AC 1中, (1) 求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角; (2) 求A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角. 备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作平面的垂线. 作垂线的方法常采用:①利用平面垂直的性质找平面的垂线.②点的射影在面内的特殊位置. A C B A D C 1D 1 A 1 B 1C B D B P C D A C B F E 一、知识梳理 1．内角和定理：在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 面积公式: 111 sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?= == 在三角形中大边对大角，反之亦然. 2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二： ?? ? ??===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 形式三：::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四： sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = == 3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 2 2 2 2cos b c a ca B =+- 222 2cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具) 形式二： 222cos 2b c a A bc +-= 222cos 2a c b B ac +-= 222 cos 2a b c C ab +-= 二、方法归纳 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b c A B C == ，可求出角C ，再求b 、c . (2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2 -2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C . (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C . (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a b A B = ，求出另一边b 的对角B ，由C =π-(A +B )，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b A B = 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况 a = b sinA 有一解 b >a >b sinA 有两解 a ≥b 有一解 a >b 有一解 三、课堂精讲例题 问题一：利用正弦定理解三角形 2.１空间中点、直线、平面之间的位置关系 2．1空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点 重点：空间直线、平面的位置关系。 难点:三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换 ２、三个公理: （１)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈Ｌ B ∈L ＝> L α ,Ａ∈α ,B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 (２)公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用:确定一个平面的依据。 推论:① 一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面 （3）公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点 的公共直线。 符号表示为:Ｐ∈α∩β ＝>α∩β=Ｌ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 (4）公理 ４:平行于同一条直线的两条直线平行 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等. 2、空间两条不重合的直线有三种位置关系:相交、平行、异面 L A · α C · B · A · α P · α L β 3、异面直线所成角θ的范围是 00 <θ≤900 2.1．2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内，有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b ｃ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理４作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与b'所成的角的大小只由a 、ｂ的相互位置来确定，与Ｏ的选择无关,为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈（0，); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作ａ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — ２.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 共面直线 =>a ∥c 2 线面角的求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1 =V A ﹣BB 1C 1 ∴1／3 S △AB 1C 1 ·h= 1／3 S △BB 1C 1 ·AB，易得h=12／5 ， [文件] sxc2jja0010.doc [科目] 数学 [年级] 初二 [章节] [关键词] 平行四边形/判定 [标题] 平行四边形的判定 [内容] 教学目标 1．掌握平行四边形的判定定理及应用． 2．会综合运用平行四边形的判定定理和性质定理来解决问题． 3．会根据条件来画出平行四边形． 4．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 教学重点和难点 重点是平行四边形的判定定理及应用； 难点是平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用． 教学过程设计 一、用类比、逆向思维的方式探索平行四边形的判定方法 1．复习平行四边形的主要性质， 角：（c）两组对角相等．（性质3）（等价命题：两组邻角互补） 对角线：（d）对角线互相平分．（性质4） 2．逆向思维：怎样判定一个四边形是平行四边形？ （1）学生容易由定义得出：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（判定方法一）．也就是说，定义既是平行四边形的一个性质，又是它的一个判定方法．（2）观察判定方法一与性质1的关系，寻找逆命题的特征： ①由两个独立条件和一个结论组成； ②两个独立条件属于同类条件（即都分别属于：（a）对边的位置关系，（b）对边的数量关系，（c）对角的数量关系或（d）对角线关系的条件，简称为同类条件）； ③逆命题正确． （3）类比联想，猜想其他性质的逆命题也能判定平行四边形，构造逆命题如下： ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形（猜想1）； ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形（猜想2）； ③对角线互相平分的四边形是平行四边形（猜想3）． （4）证明猜想，得到平行四边形的判定定理1，2，3． 教师引导学生根据平行四边形的定义以及平行线的性质、三角形全等的知识对以上猜想进行证明． 注意利用新证定理简化后来读定理的证明过程及选择简捷方法． 3．进一步探求用两个独立的非同类条件判定平行四边形的方法．（这部分内容的设计意图和处理方法详见设计说明部分） （1）教师解释“两个独立的非同类条件”的含义，指从平行四边形四方面的性质（a）， 解三角形的必备知识和典型例题及习题一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 2 2 2 （1）三边之间的关系： a ＋ b ＝c 。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A＝cos B＝a c ，cos A＝sin B＝ b c ，tan A＝ a b 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c 分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 a sin A b sin B c sin C 2R （R为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c －2bc cos A； b ＝c ＋a －2ca cos B； c ＝a ＋b －2ab cos C。 3 ．三角形的面积公式： （1）S ＝1 2 ah a＝ 1 2 bh b＝ 1 2 ch c（h a、h b、h c 分别表示a、b、c 上的高）； （2）S ＝1 2 ab sin C＝ 1 2 bc sin A＝ 1 2 ac sin B； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系练习题 一、 选择题: 1．下面推理过程，错误的是（ ） （A ） αα??∈A l A l ,// （B ） ααα??∈∈∈l B A l A ,, （C ） AB B B A A =??∈∈∈∈βαβαβα,,, （D ） βαβα=?∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,, 2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ） （A ） 1个或3个 （B ） 1个或4个 （C ） 3个或4个 （D ） 1个、3个或4个 3．以下命题正确的有（ ） （1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面； （2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线； （3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β； （4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。 （A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个 4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12 5．以下命题中为真命题的个数是（ ） （1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； （2）若直线a 在平面α外，则a ∥α； （3）若直线a ∥b ，α?b ，则a ∥α； （4）若直线a ∥b ，α?b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。 （A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个 6．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（ ） （A ） 1条 （B ） 2条 （C ） 3条 （D ）1条或3条 7． 下列命题正确的是（ ） Ａ．经过三点确定一个平面 Ｂ．经过一条直线和一个点确定一个平面 Ｃ．四边形确定一个平面 Ｄ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 8． 下列命题中正确的个数是（ ） ①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l α∥． ②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行． ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行． 【平面直角坐标系重点考点例析】 考点一：平面直角坐标系中点的特征 例1 在平面直角坐标系中，点P（m，m-2）在第一象限内，则m的取值范围是．思路分析：根据第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正，可得出m的范围． 解：由第一象限点的坐标的特点可得： 20 m m > ? ? -> ? ， 解得：m＞2． 故答案为：m＞2． 点评：此题考查了点的坐标的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正． 例1 如果m是任意实数，则点P（m-4，m+1）一定不在（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 思路分析：求出点P的纵坐标一定大于横坐标，然后根据各象限的点的坐标特征解答．解：∵（m+1）-（m-4）=m+1-m+4=5， ∴点P的纵坐标一定大于横坐标， ∵第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数， ∴第四象限的点的横坐标一定大于纵坐标， ∴点P一定不在第四象限． 故选D． 点评：本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．例2 如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是（） A．（2，0）B．（﹣1，1）C．（﹣2，1）D．（﹣1，﹣1） 分析：利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 解答：解：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知： ①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×=4，物体乙行的路程为12×=8，在BC边相遇； 平行四边形的判定 教学目标：1、经历平行四边形的判别条件的探索过程，在活动中发展学生的合情推理意识和主动探究的习惯，使学生逐步掌握说理的基本方法； 2、探索并掌握平行四边形的判别条件； 3、在探究过程中，培养学生的动手实践水平、转化水平、反思水平、 归纳水平，积累数学活动经验，增强学生的创新意识。 教学重点：1、平行四边形的三种判别条件； 2、平行四边形的判别条件的初步应用。 教学难点：平行四边形的判别条件的初步应用 教学过程： 新课讲解： 一、动手操作 小明的爸爸在制作平行四边形框架时采用了下面两种方法 （1）他把两根木条AC、BD的中点O重叠并固定后得到了 理由：∵AO＝CO,BO＝DO,∠AOB＝∠COD ∴⊿AOB≌⊿COD ∴∠ABO＝∠CDO ∴AB∥CD 同理可得BC∥AD ∴四边形ABCD是平行四边形 判别方法一：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 （2）他把两根等长的木条AB、C D平行摆放并固定后得到了四边 形ABCD，它是平行四边形，请你说明理由。 理由：连接AC ∵AB ∥CD ∴∠BAC ＝∠ACD 又∵AB ＝CD,AC ＝CA ∴⊿ABCC ≌⊿CDA ∴∠ACB ＝∠CAD ∴AD ∥BC ∴四边形ABCD 是平行四边形 判别方法二：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 二、应用 例1、 如图，AC ∥ED,点B 在AC 上且AB ＝ED ＝BC ，找出图中的平行四边形 解：四边形ABDE 、BCDE 都是平行四边形 理由：∵AB ＝DE, AB ∥ED ∴ 四边形ABDE 是平行四边形 ∵BC ＝DE, BC ∥ED ∴ 四边形BCDE 是平行四边形 三、随堂练习： 书上 104页，第1题 四、小结：本节课主要学习了什么内容？你有何收获？ 五、作业：书上 104页，习题4.3，知识技能1，2，数学理解3 平行四边形的判定 教学目标：1、经历平行四边形的判别条件的探索过程，在活动中发展学生的合情 推理意识和主动探究的习惯，使学生逐步掌握说理的基本方法； 2、探索并掌握平行四边形的判别条件； C B D C 解三角形三类经典类型 类型一 判断三角形形状 类型二 求范围与最值 类型三 求值专题 类型一 判断三角形形状 例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2 22sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2B=sin 2 C ，∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 C B A 222sin sin sin += 得 2 22c b a += ∴三角形为等腰直角三角形． 例２：在△ABC 中，若Ｂ=ο 60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状. 解:∵２b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=ο 60得sinA+sinC=3 由三角形内角和定理知sinA+sin(A -ο 120)=3,整理得 sin(A+ο30)=1 ∴A+ο ο ο 60,9030==A 即,所以三角形为等边三角形. 例3：在△ABC 中，已知2 2 tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 解：法1：由题意得 B A A B B A 2 2sin sin cos sin cos sin =，化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或2 π = +B A ，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形． 法2：由已知得22cos sin cos sin b a A B B A =结合正、余弦定理得2 222222222b a bc a c b b a c b c a a =-+? -+? ， 整理得0))((2 2 2 2 2 =-+-c b a b a ∴ 2 2222c b a b a =+=或 即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA= C B C B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状． 解：(1)由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC －cosBsinC=0即sin(B －C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形. (2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得 空间点、线、面的位置关系 【基础回顾】 1．平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过____________的一条直线． 公理3：经过____________________的三点，有且只有一个平面． 推论1：经过____________________，有且只有一个平面． 推论2：经过________________，有且只有一个平面． 推论3：经过________________，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系 * (1)位置关系的分类 ?? ? 共面直线????? 异面直线：不同在任何一个平面内 (2)异面直线判定定理 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内______________的直线是异面直线． (3)异面直线所成的角 ①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的____________叫做异面直线a ，b 所成的角． ②范围：____________. 3．公理4 平行于____________的两条直线互相平行． 4．定理 } 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角________． 自我检测 1．若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是____________． 2．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对． 3．三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为________． 4．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成角的大小为________． 5．下列命题： ①空间不同三点确定一个平面； ] ②有三个公共点的两个平面必重合； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④三角形是平面图形； ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； ⑥垂直于同一直线的两直线平行； ⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形． 其中正确的命题是________(填序号). : 【例题讲解】 1、平面的基本性质 例1如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB ＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，AH∶HD=3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连结EH.点线面位置关系(知识点加典型例题)
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