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二次根式的化简

【二次根式化简】

1、被开方数是小数的二次根式化简

例1、化简5.1

分析：被开方数是小数时，常把小数化成相应的分数，后进行求解。解：5.1=262

62223232==??=。评注：化简时通常分子、分母同时乘以分数的分母，使分母上数或者式子成为完全平方数或者完全平方式。

2、被开方数是分数的二次根式化简

例2、化简125

1 分析：因为，125=5×5×5=52×5，所以，只需分子、分母同乘以5就可以了。解：1251=25

5555551=????。评注：化简时，通常分子、分母同时乘以分数分母的一个恰当因数或因式，使分母上数或者式子成为完全平方数或者完全平方式。

3、被开方数是非完全平方数的二次根式化简

例3、化简48

分析：因为，48=16×3=42

×3，所以，根据公式b a ab ?=（a≥0，b≥0），就可以把积的是完全平方数或平方式的部分从二次根号下开出来，从而实现化简的目的。解：48=34343163162=?=?=?。

评注：将被开方数进行因数分解，是化简的基础。

4、被开方数是多项式的二次根式化简

例4、化简3)(y x +

分析：当指数是奇数时，保持底数不变，设法把指数化成是一个偶数和一个奇数的积。解：3)(y x +=y x y x y x y x y x y x ++=+?+=++)()()()(22。

评注：当多项式从二次根号中开出来的时候，一定要注意添加括号。否则，就失去意义。

5、被开方数是隐含条件的二次根式化简

例5、把

根号外的因式移到根号内，得( ). A ． B ． C ． D ．

【答案】C. 由二次根式的意义知x ＜0，则

【总结升华】反过来将根号外的因式移到根号内时，也必须向里移非负数。如此例中x ＜0，所以只能向根号里移x -，到根号里面要变成()2

x -. 练习1．化简二次根式2

2a a a +-的结果是（）（A ）2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a

2. 化简a a

1-的结果是： A ）a B ）a - C ）a - D ）a --

3. 已知?xy 0，化简二次根式_________．【化简】

例1. 已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，化简

【答案与解析】∵a 、b 、c 为△ABC 的三边长，

∴原式

【总结升华】利用三角形任意两边之和大于第三边和两边之差小于第三边进行化简.

【练习】?ABC 的三边长为a 、b 、c

= .

例2.实数,,a b c 在数轴上对应的点如图：

1c b a -++【答案与解析】由数轴可知0,0,0,,a c b a c b ><<>>并且b a >

0,10

0,0,0

0,0

0a c a c c c a b b a

b a b

c b c >∴-><∴-<><>∴+<<<∴+<

∴1c b a -++-=1a c c b a b c -+-++-+

=1a c c b a b c -+---++=1c -

【总结升华】本题不仅考查了二次根式和绝对值的化简问题，同时考查了学生的观察能力.通过观察确定,,a b c 的大小关系是本题的关键.

二次根式混合化简计算题

二次根式混合化简计算题 4、，；5 745 屈4 422 1. . (5.48 6.27 4.15) , 3 yd时2,求代数式｛FP緒匚的值 5.已知: 1 2 3( 1■10)；7 . 10x . 10 1y .. 5 100z ?

的值. 17. 1 . 2 3、. 2 2 .5. x 3 .5 ab 0,b 4 .、、a 3b 6 ab a f 0,bf 0 1 3 5 ., 1 2 3 2 18.化简: 1 ..a 3b 5 a 0,b 0 19.. 把根号外的因式移到根号内: 2 .1 X 】1 20. 5； 2石 2.12 3 1

22. 7 4.3 7 4、. 3 35 23. .2 24. 2 1 "a 26.( 选做） x. y 28.已知：x 3 /2 .3 2,y 2 1 . 3 2 25. —, Va a b /b 2 4 , 3xy2 3的值。 x y 2x y x y

29. 已知：a 1 .15，求a22的值。 a a 30. 已知：x, y为实数，且y p ?. x i ..^x 化简: y 3 ■, y2 8y 16。 31. v'x 3y 已知 x 3 x29 0,求 x-1 Y7! 的值。 32 ( 1)—6 .45X(—4 48);(2) .(—64)X (—81); (3) ,1452—242; (4) 5b 2a 3能-3 33.化简： (1) 2700; (2) 202—162;

若最简二次根式3 4^1与1是同类二次根式，则已知x ..2, y .2，则x3y 3 xy 已知x 则x2 2000 g .3 2 2001 已知：x, y为实数，且y p ,x 1 .1x3，化简: y2 8y 16。已知A x29 的值。时, J 3x是二次根式. 时, ?、3 4x在实数范围内有意义. 比较大小: 3一 2 2.3 . ;.252242 计算: 3 . 5a 2 .10b 计算: 2 16b2c a2 当a= J3 时，贝U V15 a2__________ 若，;x :成立，则x满足-------------------------- 已知xy v 0，化简;比较大小: 1 2、7 1 4、3 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49.

二次根式的化简与计算

二次根式的化简与计算【知识要点】 1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数（即不小于0），a 的结果也是非负数． 2．二次根式的性质（1） () ()02 ≥=a a a （2）()()()?? ? ??<-=>==000 02a a a a a a a （3）()0,0≥≥?=? b a b a b a （4） ()0,0>≥=b a b a b a 3．运算法则：（1）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a （2）除法运算： ()0,0>≥= b a b a b a 4．最简的二次根式：（1）被开方数因数是整数，因式是整式．（2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 5．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 方法:①单项 a =来确定． ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定．如 : a 与a - 【经典例题】例1．判断下列各式，是否是二次根式： ,12,4,,4,27,824233 +--a a a 2,21122 +?? ? ?? < -a a a

例2．计算下列各题：（1） () 2 7 （2）2 43??? ? ?? （3）() 2 23 （4）2 55??? ? ?? （5 （6 例4．把下列各式分母有理化（1）12 1 （2） 2 33 （3） 12121 （4）50 3 51- 例5．化简（1）121699?? （2）637? （3）221026- （4） ()()2512-?- 例6．计算（1）??? ? ??-?32335 （2） ??? ? ??-?56215 （3）??? ? ??-?614123 （4）5433 1 12785??? -

二次根式的化简与计算

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二次根式【知识要点】 1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数(即不小于0),a 的结果也是非负数. 2.二次根式的性质（１)()()02≥=a a a （2）() ()() ?????<-=>==00002a a a a a a a (3）()0,0≥≥?=?b a b a b a (4）()0,0>≥=b a b a b a 3.运算法则：（１）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a (2)除法运算：()0,0>≥=b a b a b a 【化简以及分母有理化】外移：2||a b a b = 内移:a b ，当0a >时,2a b a b = 当0a <时,2a b a b =- 4．最简的二次根式：（１）被开方数因数是整数,因式是整式. （２)被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 5．分母有理化定义:把分母中的根号化去，叫做分母有理化.

方法:①单项二次根式:利用a a a ?=来确定. ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定. 如: a b +与a b -，a b a b +-与, a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。例题. 化简：(1)3227a b = ；（2)32418a a ?= ．例题32 27= . 2 3649y x ＝ ; 同类二次根式 (1)定义: 几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 (2)判断方法: 注意以下三点： ①都是二次根式,即根指数都是2； ②必须先化成最简二次根式； ③被开方数相同. 【重难点解析】 1．化简二次根式：尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。如:21223=?= 23 21832=?＝ 32 25052=?＝ 52 2.根号里的数比较大时，使用短除法把这个数分解成质数的幂的形式。如29482379=??= 2379?，24202553=?＝ 253? ３．根号内有字母或代数式，观察它们所能分解出来的最小偶次数。如: 542 x x x x x =?=、()()()3232111x x x x x x +=++=()()11x x x x ++ 4．单项的分母有理化,可以直接分子分母同时乘以分母再约分。如：11333333?==? 、 2223233233823233 ?====??

二次根式混合化简计算题

二次根式混合化简计算题 1. 2484554+-+ 2. 2332326-- 3. 21418122 -+- 4. 3)154276485(÷+- 5.已知：的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 6 )(102132531-??； 7 z y x 10010101??-． 8. 521312321?÷； 9. )(b a b b a 1223÷?． (()2 771+--

16. 已知：2420-= x ，求221x x +的值． 17. ()1()2 ()(() 30,0a b -≥≥ ())40,0a b ()5()6?÷ ? 18. 化简： ())10,0a b ≥≥ ()2 ()3a 19.. 把根号外的因式移到根号内： ()1.-()(2.1x - 20.

(231 ?++ ? 22. (()2771+-- 23. ((((2222 1111- 24. 22 - 26. (选做 28. 已知：x y ==32432232x xy x y x y x y -++的值。

29. 已知：11a a + =221a a +的值。 30. 已知：,x y 为实数，且13y x -+ ，化简：3y - 31. 已知()1 -1-039322y x x x y x ，求=+-+-的值。 32（1）－645×（－448）；（2）（－64）×（－81）；（3）1452－242；（4）3c 2ab 5c 2÷325b 2a 33. 化简：（1）2700；（2）202－162；（3） 1681；（4）8a 2b c 2 ．

二次根式的运算知识讲解

二次根式的运算（提高）知识讲解【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算； 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算； 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】要点一、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: （a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.

二次根式的化简与计算的策略与方法

二次根式的化简与计算的策略与方法二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式（，） ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． ⑤运算结果一般要化成最简二次根式．化简二次根式的常用技巧与方法二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析． 1．公式法【例1】计算①；② 【解】①原式 ②原式【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便．2．观察特征法【例2】计算：【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以，即得分子，于是可以简解如下：【解】原式．

【例3】把下列各式的分母有理化．（1）；（2）（）【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法：【解】①原式【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简．但是，不难发现②式分子中的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下：【解】②原式 3．运用配方法【例4】化简【解】原式【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“” 4．平方法【例5】化简【解】∵

二次根式混合化简计算题

二次根式混合化简计算题 1. 2484554+-+ 2. 233232 6-- 3. 21 4 181 22 -+- 4. 3)154276485(÷+- 5.已知：的值。求代数式22,211881-+- +++-+-=x y y x x y y x x x y 6 )(102 1 32531 -??； 7 z y x 10010101??-． 8. 521312321?÷； 9. )(b a b b a 1223÷?． (() 2 771+--

16. 已知：24 20-=x ，求221x x +的值． 17. ()1 ()2 ()(() 30,0a b -≥≥ ())40,0a b ()5()6?÷ ? 18. 化简： ())10,0a b ≥≥ ()2 ()3a 19.. 把根号外的因式移到根号内： ()1.-()(2.1x -

20. ( 231 ?++ ? 22. (() 2 771+-- 23. ((((2 2 2 2 1111- 24. 22 - 26. (选做

28. 已知：x y ==3243223 2x xy x y x y x y -++的值。 29. 已知：11a a +=221 a a +的值。 30. 已知：,x y 为实数，且13y x -+ ，化简：3y - 31. 已知()1 -1 -039 32 2y x x x y x ，求 =+-+-的值。 32（1）－645×（－448）；（2）（－64）×（－81）；（3）1452 －242 ；（4）3c 2ab 5c 2÷325b 2a

二次根式化简与有意义范围

二次根式有意义范围 1、 x 的取值范围是（）． A ．x ≤ 3 2 B ．x < 32 C ．x > 32 D ．x ≥ 32 2、当x ________时， 12-x 在实数范围内意义 3、当x ________时，二次根式 x 25-有意义？ 4、x 取何值时，下列各二次根式有意义？（1） 3+x ；（2）52-x ；（3） x 1；（4） x -15． ________ ________ ________ ________ （5） x 322+ ；；（6）123+x ；（7）x 231 -． ________ ________ ________ 5、已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x ．最简二次根式 1、下列根式中属最简二次根式的是（） 2、属于最简二次根式的是（）A. 8 B y x 2 C. 3 1 D.22y x + 3、下列各式中属于最简二次根式的是( ) A.. 12+x B. 5 2y x C. 12 D. 5.0 4、下列二次根式，与 a 是同类二次根式的是( ) (A) a 2 (B) 2 3a (C) 3 a (D) 4 a 5、二次根式2 1、12 、30 、x+2 、 240x 、 2 2y x +中，最简二次根式有（）个。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6、二次根式12、 32+x 、 2 3 、b a 2、5.02、26中，最简二次根式的概率是（A ） 16 （B ） 23 （C ） 13 （D ） 1 2 （） 7、如果最简二次根式 a +1与24-a 是同类根式，那么a ＝

二次根式运算和化简超级经典

二次根式运算和化简(超级经典)

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二次根式的运算【知识梳理】 1、当0≥a 时，称a 为二次根式，显然0≥a 。 2、二次根式具有如下性质：（1）() ()02≥=a a a ；（2）?? ?<-≥==时；，当时，，当002a a a a a a （3）()00≥≥?=b a b a ab ，；（4）()00>≥=b a b a b a ，。 3、二次根式的运算法则如下：（1）()()0≥±=±c c b a c b c a ；（2）()()0≥=a a a n n 。 4、设Q m d c b a ∈，，，，，且m 不是完全平方数，则当且仅当d b c a ==，时， m d c m b a +=+。 5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法，还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。 6、最简二次根式与同类二次根式（1）一个根式经过化简后满足：被开方数的指数与根指数互质；被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；被开方数不含分母。适合上述这些条件的根式叫做最简根式。（2）几个根式化成最简根式后，如果被开方数都相同，根指数也都相同，那么这几个根式叫做同类根式。

【例题精讲】【例1】已知254245222+-----=x x x x y ，则=+22y x ___________________。【巩固一】若y x ，为有理数，且42112=+-+-y x x ，则xy 的值为___________。【巩固二】已知200911+-+ -=x x y ，则=+y x _______________________。【拓展】若m 适合关系y x y x m y x m y x --?+-= -++--+19919932253，求m 的值。【例2】当b a 2<时，化简二次根式a b ab a b a a 2 2442+--。【巩固】 1、化简()2 232144--+-x x x 的结果是__________________。

二次根式的化简与计算(讲义及答案)

二次根式的化简与计算（讲义） ? 课前预习 1. 回顾实数的相关概念，并完成下列各题．（1）二次根式： ①定义：一般地，形如___________的式子叫做二次根式． ②性质： 2=_______（a ≥0=_______（a ≥0）． =_______（a ≥0，b ≥0=______（a ≥0，b ＞0）． ③乘除法则： =_____（a ≥0，b ≥0=_____（a ≥0，b ＞0）． ④加减法则：先化成最简二次根式，再合并_______________．（2）实数混合运算顺序：先算__________，再算______，最后算______．同级运算，从左向右进行．如果有括号，先算括号里面的． 2. 成立的x 的取值范围是（） A ．x ≥1 B ．x ≥2 C ．1≤x ≤2 D ．x ≤2 ? 知识点睛 1. 二次根式的双重非负性： a ____00． 2. 二次根式双重非负性的常见应用：（120b c +=，则a =______，b =______，c =_____．（2a =______． 3. 实数混合运算处理方法： ①观察________，划________； ②有序操作，依________； ③每步推进一点点．

做运算时往往需要估计工作量．．．．．，观察式子结构，巧用公式，可以大大简化运算．4.二次根式与数形结合：被开方数中出现平方形式，可通过构造直角三角形借助勾股定理．．．．．．．．．．．．．解决问题． ?精讲精练 1.若x，y 为实数，且满足10 x-=，则xy=______． 2.若x，y，z 2 (3)20 y x z -++= ，则 =_______． 3.若实数x，y 2210 y y ++=，则x y=_______． 4.若实数a，b (0 b-=，则a2+2b的平方根为________． 5.若实数x，y 满足3 y=，则2xy=________． 6.若实数x，y 满足1 y= =____． 7.已知a，b为一等腰三角形的两边长，且a，b 满足等式4 b =-，则此等腰三角形的周长为______． 8.计算：（1 2 1 3 - ? ? ---+ ? ???

二次根式的化简与求值

二次根式的化简与求值一、教学目标： 1、二次根式的加减运算 2、二次根式的加混合运算二、教学重、难点： 1、二次根式的化简求值 2、双重二次根式的化简三、典型例题：知识点一：同类二次根式 1、如果最简二次根式b a +7与36+-b b a 可以合并，求a 、b 的值。、 2、合并下列二次根式 ⑴ 2322+ ⑵ 33321 - ⑶ 545352+- 知识点二：二次根式的加减 1、计算 ⑴ ??? ? ??+--???? ??-3135.1225.435.2428118 ⑵ 32)2(31122-+-- ⑶ 332ab b a b a b a b a +-- （0＞a 0＞b ）

知识点三：二次根式的混合运算 1、运用运算法则计算 ⑴ ??? ? ??-?2128 ⑵ 121212218-??? ??+-+- ⑶ 5 656-+ ⑷ 3)32(12÷-= 2、运用运算律和乘法公式计算 ⑴ 22)23()23(--+ ⑵ 020172016)2(2 32)32()32(----+?- ⑶ )23)(13(2)23()13(22+--++- 3、已知23-=x ，23+=y ，求33xy y x +的值。 4、已知a 、b 是正整数，且2020=+b a ，求a 、b 的值。 5、观察下列等式；322322=+，833833=+，15 441544=+…… ⑴猜想99 1010+的结果 ⑵你发现了什么规律？请用含n （n ≥2且n 为整数）的式子将规律表示出来，并证明。

知识点四：双（多）重二次根式的化简化简求值： ⑴ 312213242--+=__________。 ⑵ 3243819++-=___________。 ⑶ 2648 13-53+++=____________。四、课堂训练： 1、计算： ⑴ 321+-631+27 ⑵ 2115141021-15-1410++++ ⑶ （））（12010200920101541231121+++??++++++ 2、已知x= 131-3+，y=1 -313+，求x 4+y 4的值。 3、⑴已知x+x 1=7(0

特殊的二次根式化简方法

特殊的二次根式化简方法： 1、7616- 解：对于这类只有一个根号的二次根式来说：思路是把根号下的配成完全平方。 7616-=7769+-=22)7(763+-=2)73(+=3+7 2、356356--+ 解：对于这类含有二项为二次根式来说：思路是把根整个代数式平方后再开方。 356356--+==--+2)356356(用完全平方公式展开后即可。观察上面两解法上有何异同，想一想什么时候用何种方法。化简二次根式和解一元二次方程的特殊方法 1、已知12005-=x ，求322++x x 的值。分析：这种题有两种解法1种是把已知变形为一个特殊的等式，再在题中构造一个含有特殊的等式代数式。2种是在题中构造一个含有能与已知中相互抵消的项。 1种方法例：由将方程12005-=x 移项得20051=+x 两边同时平方得：2005122=++x x ，而322++x x 可化为122++x x +2 2种方法例：因为12005-=x 中有—1的项所以题中配（1+x ）就可以抵消一项。即322++x x 拆项得212++++x x x =2)1()(2++++x x x 提公因式得2)1()1(++++x x x 再提公因式)1(+x 得2)1(2++x 再把12005-=x 代入即可。 2、已知，1+=a x ，求32)1(222422345+++++--a x a x ax x x 的值。本题思路是把题中的a 换成x ，看能否消去x 的高次。解：由1+=a x 可以推出2)1(-=x a 再代入多项式中 3、已知23-=x 求4434234---+x x x x 的值。同1题可用两种方法。23-=x 变形得32=-x 两边同时平方得0142=++x x 4 434234---+x x x x 可化为=----+44242234x x x x x 2234)2(24+--+x x x x 代入23-=x 可消掉一个x 4、α、β是方程0200122=-+x x 的两个根。求βαα++32的值。

二次根式化简与计算的方法和技巧

谈谈二次根式的化简与计算的方法和技巧安陆市辛榨中学周俊军同学们从小学就开始学习数的计算，到了七、八年级后又学习了代数式的计算与化简。在这个过程中他们早已熟练地掌握了运算的顺序、法则和运算律，并掌握了因式分解在化简中的运用。对于二次根式的化简与计算只是这些知识的延伸和继续运用，但二次根式有其独特的性质，在解题时仍需掌握一些技巧和方法，这样才会更简便更快地去进行化简和计算。下面我来谈谈二次根式的化简与计算中常用的方法和技巧。一、拿出来当二次根式下出现分母时，需要将分母“开出来”，从而化简。例如：化简a 1- 解：a 1-=2a a -= a a -- 归纳：对于此类二次根式，首先要利用分式的性质，将分子分母同时乘以a 将分母变成平方的形式以便开方，同时要挖掘题中的隐含条件，考虑到二次根式的意义，应有a<0.而当a<0时，a a -=2。二、放进去有时将根号外面的式子放到根号里面去，同样可消除根号下的分母，从而达到化简的目的。例如：化简a a 1- 解：a a 1-=a a a --=?? ? ??-?-12 归纳：对于此类问题，也可利用上面的方法将根号下的分母“拿出来 ”，但若将根号外面的a 放到根号里面去计算会更简便。此题同样要注意到a<0这个隐含条件，而当a<0时，2a a -= 。再如：计算：()0,01222 n m m n b a m n n m n m ab m n a ÷??? ? ??+- 分析：此题除式中出现因式m n ，而将mn m ab 中根号外面的m 和m n n 1中根号外面的n 分别放到根号里面去即可得 m n ，再将括号中的各项分别与m n b a 22相除，运算更简便。解：原式m n b a mn n m mn ab m n a 22222÷??? ? ??+-=

二次根式化简的方法与技巧

二次根式化简的方法与技巧二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 \a、b =、ab a - 0,b- 0 ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算. ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项. ⑤运算结果一般要化成最简二次根式. 化简二次根式的常用技巧与方法所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。

例1■计算 a -2 ba b a - ；b 、巧用公式法

分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a与、b成立，且分式也成立，故有 a . 0,b ? 0, (... ab =0)而同时公式： 2 2 2 2 2 (a—b)=a - 2 ab +b , a - b =(a+b)(a—b),可以帮助我们将 a a b b和a -b变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。解：原式 (\ a \ b)(\ a - \ b) =a 一\ b) (\ a 一\ b) 二2 a2「b 、适当配方法。 3 2一2 - 3 -、6 例 2 .计算： 1 ? ?? 2 _ \ 3 分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，???分母含有1 . 3其分子必有含i+J2—J3的因式，于是可以发现3十2丿2 = 1 + 2，且、3 飞「31 -2 ,

二次根式的化简与计算(讲义及答案).

a 2 a b b x -1 a -a 二次根式的化简与计算（讲义） ? 课前预习 1. 回顾实数的相关概念，并完成下列各题．（1）二次根式： ①定义：一般地，形如的式子叫做二次根式． ②性质： ( a )2 = （a ≥0）， = （a ≥0）． = （a ≥0，b ≥0）， = （a ≥0，b ＞0）． ③乘除法则： a ? = （a ≥0，b ≥0）， = （a ≥0，b ＞0）． ④加减法则：先化成最简二次根式，再合并．（2）实数混合运算顺序：先算，再算，最后算．同级运算，从左向右进行．如果有括号，先算括号里面的． 2. 能使式子 + 成立的 x 的取值范围是（） A ．x ≥1 B ．x ≥2 C ．1≤x ≤2 D ．x ≤2 ? 知识点睛 1. 二次根式的双重非负性：对于二次根式，有 a 0 且 0 ． 2. 二次根式双重非负性的常见应用：（1）若 + b + c 2 = 0 ，则 a = ， b = ，c = ．（2）若和同时存在，则 a = ． 3. 实数混合运算处理方法： ①观察，划； ②有序操作，依； ③每步推进一点点．做运算时往往需要估．计．工．作．量．，观察式子结构，巧用公式，可以大大简化运算． ab a b 2 - x a a a

x + 1 2 4 - x 2 3a - 6 2 - a 1 3 4. 二次根式与数形结合：被开方数中出现平方形式，可通过构．造．直．角．三．角．形．借．助．勾．股．定．理．解决问题． ? 精讲精练 1. 若 x ，y 为实数，且满足 x -1 + = 0 ，则 xy = ． 2. 若 x ，y ，z 为实数，且满足 = ?． + ( y - 3)2 + 2x + z = 0 ，则 3. 若实数 x ，y 满足 + y 2 + 2 y + 1 = 0 ，则 x y = ． 4. 若实数 a ，b 满足为． 5. 若实数 x ，y 满足 y = - (b -1) + = 0 ，则 a 2+2b 的平方根 - 3 ，则 2xy = ． 6. 若实数 x ，y 满足 y = + +1，则 = ． 7. 已知 a ，b 为一等腰三角形的两边长，且 a ，b 满足等式 2 + 3 = b - 4，则此等腰三角形的周长为． 8. 计算： 3 ? 2 ? ? 3 ?-2 （1） 4 12 ? 3 -1? - - 3 ? + 3 ； ? ? ? ? y + 2 x 3 + 8 x 2 + 3y - z 1+ a 1- b 2x - 5 5 - 2x x 2 - 4 x + 2 y

二次根式及其化简【公开课教案】【公开课教案】

2．7 二次根式第1课时二次根式及其化简 1．了解二次根式的定义及最简二次根式；(重点) 2．运用二次根式有意义的条件解决相关问题．(难点) 一、情境导入问题：(1)如图，在Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝2，∠C ＝90°，那么AB 边的长是多少？(2)面积为S 的正方形的边长是多少？(3)要修建一个面积为6.28平方米的圆形水池，它的半径是多少米？(π取3.14) 上述结果有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的相关概念【类型一】二次根式的定义下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？ (1)2；(2)4；(3)3 3；(4)1x ＋y ； (5)x ＋y (x≥0，y ≥0)；(6)3a 2 ＋8； (7)－x 2 －12. 解：(1)(2)(5)(6)是；(3)(4)(7)不是．方法总结：在判断一个代数式是不是二次根式时，应该在原始形式的基础上进行判断，不能先化简再作判断，如本题4＝2，4是二次根式，但2不是二次根式．【类型二】二次根式有意义的条件当x________，x ＋3＋ 1 x ＋1 在实数范围内有意义．解析：要使x ＋3＋1 x ＋1在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x ＋3≥0和分母 x ＋1≠0，解得x ≥－3且x≠－1. 方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不

为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．探究点二：二次根式的性质及化简化简下列二次根式． (1)48；(2)8a3b(a≥0，b≥0)； (3)（－36）×169×（－9）. 解析：本题主要考查运用 ab＝a·b(a≥0，b≥0)及a2＝a(a≥0)进行化简．解：(1)48＝16×3＝16×3＝43； (2)8a3b＝22·a2·2ab＝（2a）2·2ab＝2a2ab； (3)（－36）×169×（－9）＝36×169×9＝6×13×3＝234. 方法总结：(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数，如(3)题．(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(因式)，即化为最简二次根式(后面学到)．探究点三：最简二次根式在二次根式8a， c 9 ，a2＋b2，a2 中，最简二次根式共有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：8a中有因数4； c 9 中有分母9；a3中有因式a2.故最简二次根式只有a2＋b2.故选A. 方法总结：只需检验被开方数是否还有分母，是否还有能开得尽方的因数或因式．三、板书设计二次根式 ?? ? ??定义???形如a（a≥0）的式子有意义的条件：a≥0 性质：（a）2＝a（a≥0），a2＝a（a≥0）最简二次根式本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系，加深学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否确认结果的合理性等等． 4．4一次函数的应用第1课时确定一次函数的表达式

二次根式化简地方法与技巧

二次根式化简地方法与技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

二次根式化简的方法与技巧二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 ab b a =? ()0,0≥≥b a ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． ⑤运算结果一般要化成最简二次根式．化简二次根式的常用技巧与方法所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。

一、巧用公式法例1.计算 b a b a b a b a b a +-+-+-2 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a 与b 成立，且分式也成立，故有,0,0>>b a )0(≠-b a 而同时公式：()),)((,222222 b a b a b a b ab a b a -+=-+-=-可以帮助我们将b ab a +-2 和 b a - 变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。解：原式 ()b a b a b a b a b a b a b a b a 22)()())((2 -=-+-=+-++--= 二、适当配方法。例2．计算：3216 3223-+--+

化简二次根式的技巧

化简二次根式的技巧化简二次根式是进行二次根式加减运算的基础，只有把二次根式化简了，才能进行二次根式的加减运算.在化简时，要根据被开方数的不同特征，采取不同的化简策略.下面举例说明. 一、被开方数为整数当被开方数为整数时，应先对整数分解质因数，然后再开方. 例1.分析：由于12是整数，在化简时应先将12分解为12=4×3=22×3. 解：原式==二、被开方数是小数当被开方数是小数时，应先将小数化成分数，再进行开方. 例2. 分析：由于0.5是一个小数，因此在化简时，先将0.5化成12 ，然后再利用二次根式的性质进行化简. 解：原式===三、被开方数是带分数当被开方数是带分数时，应先化为假分数再进行开方. 例3. 根式的性质进行化简. 解：原式 2===. 四、被开方数为数的和（或差）形式当被开方数为数和（或差）的形式时，应先计算出其和（或差），再进行开方. 例4.. 分析：观察被开方数的特点是两个数的平方的和的形式，一定不能直接各自开方得113 22+，而应先计算被开方数，然后再进行开方运算. 解：原式==五、被开方数为单项式当被开方数是单项式时，应先将被开方数写成平方的形式（即将单项式写成2()m a 或2 ()m a ·b 的形式），

然后再开方. 例5.分析：由于3527x y 是一个单项式，因此应先将3527x y 分解为2222 3()3x y y ???的形式，然后再进行开方运算. 解：原式3xy =六、被开方数是多项式当被开方数是多项式时，应先把它分解因式再开方. 例6.分析：由于5243412x y x y +是一个多项式，因此应先将5243412x y x y +分解因式后再开方，切莫直接各自开方得22 22x x 解：原式22x =七：被开方数是分式当被开方数是分式时，应先将这个分式的分母化成平方的形式，然后再进行开方运算. 例7.分析：由于2512z x y 是一个分式，可根据分式的基本性质，将2512z x y 的分子、分母同乘以3y ，将分母转化为平方的形式，然后再进行开方运算，将二次根式化简. 解：原式==八、被开方数是分式的和（或差）当被开方数是分式的和（或差）的形式时，应先将它通分，然后再化简. 例8.. 分析：由于被开方数是22 11a b +，是两个分式的和的形式，因此需先通分后再化简. 解：原式 ab ==. 通过以上各例可以看出，把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，采取不同的变形方法.实际上只是做两件事：一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

二次根式的计算与化简练习题

二次根式的计算与化简练习题（提高篇） 1、已知是的小数部分，求的值。 2、化简（1）（2） ~ （3） 3、当时，求的值。（ 4、先化简，再求值：，其中。、

5、计算： 6、已知，先化简,再求值。。 7、已知：，，求的值。 8、已知：，，求代数式的值。 $ 9、已知，化简 ] 10、已知，化简求值

11、①已知的值。$ ②已知，求的值．③ 12、计算及化简： ⑴. ⑵. < ⑶. ⑷. ！ 13、已知：，求的值。

~ 14、已知的值。二次根式提高测试一、判断题：（每小题1分，共5分） 1．＝－2．…………………（） 2．－2的倒数是＋2．（） 3．＝．…（） 4．、、是同类二次根式．…（）； 5．，，都不是最简二次根式．（）二、填空题：（每小题2分，共20分） 6．当x__________时，式子有意义． 7．化简－÷＝_． 8．a－的有理化因式是____________． 9．当1＜x＜4时，|x－4|＋＝________________．10．方程（x－1）＝x＋1的解是____________． 11．已知a、b、c为正数，d为负数，化简＝______．

12．比较大小：－_________－． 13．化简：(7－5)2000·(－7－5)2001＝______________． ` 14．若＋＝0，则(x－1)2＋(y＋3)2＝____________． 15．x，y分别为8－的整数部分和小数部分，则2xy－y2＝____________．三、选择题：（每小题3分，共15分） 16．已知＝－x，则………………（）（A）x≤0 （B）x≤－3 （C）x≥－3 （D）－3≤x≤0 17．若x＜y＜0，则＋＝………………………（）（A）2x （B）2y （C）－2x （D）－2y 18．若0＜x＜1，则－等于………………………（）（A）（B）－（C）－2x （D）2x 19．化简a＜0得………………………………………………………………（）！（A）（B）－（C）－（D） 20．当a＜0，b＜0时，－a＋2－b可变形为………………………………………（）（A）（B）－（C）（D）四、在实数范围内因式分解：（每小题3分，共6分） 21．9x2－5y2；22．4x4－4x2＋1． & 五、计算题：（每小题6分，共24分） 23．（）（）；

二次根式的化简

二次根式混合化简计算题

二次根式的化简与计算

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