培优专题7_分式的运算(含问题详解)
10、分式的运算 【知识精读】 1. 分式的乘除法法则 ; 当分子、分母是多项式时,先进行因式分解再约分。 2. 分式的加减法 (1)通分的根据是分式的基本性质,且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键,它的法则是: ①取各分母系数的最小公倍数; ②凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取; ③相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最高的。 (2)同分母的分式加减法法则 (3)异分母的分式加减法法则是先通分,变为同分母的分式,然后再加减。 3. 分式乘方的法则 (n为正整数) 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一,在分式方程,求代数式的值,函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题: (1)注意运算顺序及解题步骤,把好符号关; (2)整式与分式的运算,根据题目特点,可将整式化为分母为“1”的分式; (3)运算中及时约分、化简; (4)注意运算律的正确使用; (5)结果应为最简分式或整式。 下面我们一起来学习分式的四则运算。 【分类解析】
例1:计算的结果是() A. B. C. D. 分析:原式 故选C 说明:先将分子、分母分解因式,再约分。 例2:已知,求的值。 分析:若先通分,计算就复杂了,我们可以用替换待求式中的“1”,将三个分式化成同分母,运算就简单了。 解:原式 例3:已知:,求下式的值: 分析:本题先化简,然后代入求值。化简时在每个括号内通分,除号改乘号,除式的分子、分母颠倒过来,再约分、整理。最后将条件等式变形,用一个字母的代数式来表示另一个字母,带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 解:
分式方程培优讲义全
分式方程拔高讲练 一、含有参数方程 1.若关于x的分式方程的解为非负数,则a的取值围是 2.分式方程=1﹣的根为 3.若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数,且使关于y的不等式组的解集为y<﹣2,则符合条件的所有整数a的和为 二、方程无解 1.若关于x的方程﹣=﹣1无解,则m的值是
2.若=0无解,则m的值是 3.若关于x的分式方程﹣=无解,求a= . 三、有增根 1、如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根,那么m的值为 2、关于x的分式方程有增根,则增根为. 3、若关于x的方程有增根,则m的值是.
4、解关于x的方程+=产生增根,则常数a= 四、整体代入解方程 1.已知在方程x2+2x+=3中,如果设y=x2+2x,那么原方程可化为关于y的整式方程是. 2、用换元法解方程﹣2?+1=0时应设y= . 3.如果实数x满足(x+)2﹣(x+)﹣2=0,那么x+的值是. 四、实际问题 1.某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件,很快售完;该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫,所进件数比第一批多40%,每件衬衫的进
价比第一批每件衬衫的进价多10元,求第一批购进多少件衬衫?设第一批购进x件衬衫,则所列方程为() A.﹣10= B.+10= C.﹣10= D.+10= 2.一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h,它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间,与以最大航速逆流航行90km所用时间相等.设江水的流速为v km/h,则可列方程为() A.= B.=C.= D.= 3.甲、乙二人做某种机械零件,甲每小时比乙多做6个,甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等.设甲每小时做x个零件,下面所列方程正确的是() A. B. C. D. 4.2017年,在创建文明城市的进程中,乌鲁木齐市为美化城市环境,计划种植 树木30万棵,由于志愿者的加入,实际每天植树比原计划多20%,结果提前5 天完成任务,设原计划每天植树x万棵,可列方程是() A.﹣=5 B.﹣=5 C.+5= D.﹣=5 5.市创建全国文明城市已经进入倒计时!某环卫公司为清理卫生死角的垃圾, 调用甲车3小时只清理了一半垃圾,为了加快进度,再调用乙车,两车合作1.2小时清理完另一半垃圾.设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时,根据 题意可列出方程为()
分式培优讲义教学文案
讲义 ———分式 姓名: 分式 知识点一:分式的定义
一般地,如果A ,B 表示两个整数,并且B 中含有字母,那么式子B A 叫做分式,A 为分子,B 为分母。 知识点二:与分式有关的条件 ①分式有意义:分母不为0(B ≠0) ②分式无意义:分母为0(B=0) ③分式值为0:分子为0且分母不为0(A=0且B ≠0) ④分式值为正或大于0:分子分母同号(或 )
⑤分式值为负或小于0:分子分母异号(或 ) ⑥分式值为1:分子分母值相等(A=B) ⑦分式值为-1:分子分母值互为相反数(A+B=0) 知识点三:分式的基本性质 分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。
字母表示:,,其中 A、B、C是整式,C0。 拓展:分式的符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变,即
注意:在应用分式的基本性质时,要注意C0这个限制条件和隐含 条件B0。 知识点四:分式的约分 定义:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。 步骤:把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因。 注意:①分式的分子与分母为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式,约分时先对分子分母进行因式分解,再约分。 最简分式的定义:一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。 知识点五:分式的通分 分式的通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分。分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义:取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母。
分式方程培优
(4) 分式方程培优 、分式方程的解法 4、在x=0,X=1,X = -1中,分式方程 5、 若分式方程一( ------- =-一的解为x = 3,则a = . a(x -1) 5 6、 当m= _______ 时,方程竺 - 1的解与方程 ―4 =3的解互为相反数 m+1 x-1 x x +3 7、 方程丄亠=y 的整数解有 ______________ 组。 x +1 8、 解方程: x —7 x —4 x —5 x —6 1、不解下列方程, 判断下列哪个数是方程 2、关于x 的方程 B 2ax 3 3、若分式 a 「x B 、3 x 2 _1 岛1的值等于 2(x+1) .x=-1 3 =一的解为 4 C 、一 x=1,贝U a= 0,贝U x 的值为 A. 1 B. 3 = ----- + x 3 .x=3 D 、一 3 D. -1 1 r 的解( x 2 —2x — 3 D . x=-3 (1) x 14 x 2 -4 2x x 2 -1
(5)x 7 x 9_x10 x 6 x亠6 x亠8 x亠9 x亠5 9、阅读材料: 111 1 方程的解为x = 1 , x+1 x x—2 x-3 1111 方程丄一二丄—的解为x=2, x x-1 x-3 x—4 1111 方程——- - ——的解为x = 3, x—1 x—2 x—4 x—5 (1 )请写出能反映上述方程一般规律的一个方程___________________ 解是x=10. 1111 (2)方程」丄丄—的解是_________________________ x+3 x+4 x + 6 x + 7 ,使它的 二、方程有增根、无解、正解、负解的问题: 1、如果关于x的方程乙泌—无解,则m等于( ) x -5 5 —x A.3 B. 4 C.-3 D.5 1 x—4 2、若方程」7 =有增根,则增根为. x - 3 3 — x 3、若分式方程土3 _1 =0无解,那么a的值应为________________ 。 x_2 x—2 x 16k 4、当k 时关于x的方程 2 有解。 x + 2 x-2 x2-4 5、若关于x的方程- —有增根,则增根是多 少?产生增根的 X2-9 x+3 x-3 少? m值又是多
分式培优训练(含答案)
13、分式总复习 【知识精要】 分式定义:(、为整式,中含有字母)性质通分:约分:分式方程定义:分母含有未知数的方程。如解法思想:把分式方程转化为整式方程方法:两边同乘以最简公分母依据:等式的基本性质 注意:必须验根应用:列分式方程解应用题及在其它学科中的应用A B A B A M B M M A B A M B M M x x A B B =??≠=÷÷≠???????-=+???????????????????????????????????????????()()005113 【分类解析】 1. 分式有意义的应用 例1. 若ab a b +--=10,试判断 1111a b -+,是否有意义。 分析:要判断1111 a b -+,是否有意义,须看其分母是否为零,由条件中等式左边因式分解,即可判断a b -+11,与零的关系。 解: ab a b +--=10 ∴+-+=a b b ()()110 即()()b a +-=110 ∴+=b 10或a -=10 ∴-+1111 a b ,中至少有一个无意义。 2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。 例2. 计算:a a a a a a 2211313 +-+--+- 分析:如果先通分,分子运算量较大,观察分子中含分母的项与分母的关系,可采取“分
离分式法”简化计算。 解:原式=+-+--+-a a a a a a ()()111313 =-+-+-=-+--=--+++-=- -+-a a a a a a a a a a a a a 1113 1113 311322 13()()() ()() ()() 例3. 解方程:11765556 222-++=-+-+x x x x x x 分析:因为x x x x 27616++=++()(),x x x x 25623-+=--()(),所以最简公分母为:()()()()x x x x ++--1623,若采用去分母的通常方法,运算量较大。由于x x x x x x x x x x 222225556561561156 -+-+=-+--+=--+故可得如下解法。 解: x x x x x x 222561561156 -+--+=--+ 原方程变为11761156 22-++=--+x x x x ∴++=-+∴++=-+∴=176156 76560 2222x x x x x x x x x 经检验,x =0是原方程的根。 3. 在代数求值中的应用 例4. 已知a a 2 69-+与||b -1互为相反数,求代数式 ()42222222222a b a b ab a b a ab b a b ab b a -++-÷+-++的值。 分析:要求代数式的值,则需通过已知条件求出a 、b 的值,又因为a a a 226930-+=-≥(),||b -≥10,利用非负数及相反数的性质可求出a 、b 的值。
培优专题10分式总复习(含答案)
13、分式总复习 【知识精读】 分式定义:(、为整式,中含有字母)性质通分:约分:分式方程定义:分母含有未知数的方程。如解法思想:把分式方程转化为整式方程方法:两边同乘以最简公分母依据:等式的基本性质 注意:必须验根应用:列分式方程解应用题及在其它学科中的应用A B A B A M B M M A B A M B M M x x A B B =??≠=÷÷≠???????-=+???????????????????????????????????????????()()005113 【分类解析】 1. 分式有意义的应用 例1. 若ab a b +--=10,试判断 1111a b -+,是否有意义。 分析:要判断1111 a b -+,是否有意义,须看其分母是否为零,由条件中等式左边因式分解,即可判断a b -+11,与零的关系。 解: ab a b +--=10 ∴+-+=a b b ()()110 即()()b a +-=110 ∴+=b 10或a -=10 ∴ -+1111 a b ,中至少有一个无意义。 2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。
例2. 计算:a a a a a a 2211313 +-+--+- 分析:如果先通分,分子运算量较大,观察分子中含分母的项与分母的关系,可采取“分离分式法”简化计算。 解:原式=+-+--+-a a a a a a ()()111313 =-+-+-=-+--=--+++-=--+-a a a a a a a a a a a a a 1113 1113311322 13()()()()() ()() 例3. 解方程:11765556 222-++=-+-+x x x x x x 分析:因为x x x x 27616++=++()(),x x x x 25623-+=--()(),所以最简公分母为:()()()()x x x x ++--1623,若采用去分母的通常方法,运算量较大。由于x x x x x x x x x x 222225556561561156 -+-+=-+--+=--+故可得如下解法。 解: x x x x x x 222561561156 -+--+=--+ 原方程变为11761156 22-++=--+x x x x ∴++=-+∴++=-+∴=176156 76560 2222x x x x x x x x x 经检验,x =0是原方程的根。 3. 在代数求值中的应用
培优专题分式方程培优提高经典例题
分式方程专题 例1:去分母法解分式方程 1、 ()()113116=---+x x x 2、2 2416222-+=--+-x x x x x 3、22412212362x x x x x x x -+++=++--- 4、64534275--+--=--+--x x x x x x x x 例2:整体换元与倒数型换元: 1、用换元法解分式方程:(1) 6151=+++x x x x (2)12221--=+--x x x x 变式练习: (11上海)用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时,如果设1x y x -=,将原方程化为关于y 的整式方程,那么这个整式方程是( ) A .230y y +-= B .2310y y -+= C .2310y y -+= D .2310y y --= 例3:分式方程的(增)根的意义 1、 若分式方程: 024122=+-+-x x a 有增根,求a 的值。 2、关于x 的分式方程131=---x x a x 无解,则a=_________。 变式练习:当m 为 时,分式方程 ()01163=-+--+x x m x x x 有根。
例4一批货物准备运往某地,有甲、乙、丙三辆卡车可雇用.已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变,且甲、乙两车单独运这批货物分别运2a 次、a 次能运完;若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时,甲车共运了180t ;若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时,乙车共运了270t . 问:⑴乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍; ⑵现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时,货主应付车主运费各多少元?(按每运1t 付运费20元计算) 课堂总练习 1关于x 的分式方程 1131=-+-x x m 的解为正数,则m 的取值范围是 2.关于x 的方程 223242mx x x x +=--+会产生增根,则m 为____________ 3.若关于x 的方程 2111 x m x x ++=--产生增根,则 m =____________; 4.k 取何值时,方程x x k x x x x +=+-+211 2会产生增根? 5.当a 为何值时,关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解?
分式提高题(培优精选)
分式提高题(培优精选) 八年级下《分式》综合练习题 一、选择题 1.在y+y2, 1,—翌4丄丄上中,分式的个数是() x 2 二m x y 6 A. 2 B. 2 C. 3 D. 4 2.若已知分式匚口的值为0,则x_2的值为() x -6x+9 ' / A. -或一1 B. -或 9 9 1 C. — 1 D.1 3 ?某人上山和下山走同一条路,且总路程为:千米,若他上 山的速度为」千米/时,下山的速度为丨千米/时,则他上山和下山的平均速度为( )
A. a b B. 2ab C. ab D2s 2 a+b a b a b 4?若ab < 0,则(a a b -b a)a a b的值 ( ) A、大于1 E 、等于1 C、小于 1 D、无法确定 5 ?若关于x的方程—一1“有增根,则a的值为() x — 1 A、1 E、0 C、一l D、 —2 6?已知丄丄=2,则2x~3xy 2y的值为()。 x y x 十2xy 十y
A 、4 E 、2 C 、 D 、 —2 8 ?将分式 —中的a 、b 都扩大为原来的2倍,则分式值为 a —b A 、 )。 缩小到原来的丄 2 E 、扩大为原来的 C 、扩大为原来的 9.当x 为任意实数时, 2 x 2 -1 4倍 D 、不变 下列分式一定有意义的是( 1 x 2 1 ) 。 1 ~2 x D 、丄 X 十1 10.分式右 一+1 1 x A .x 半 0 B .x 工一1 D .x M — 1 且 X M 0 有意义的条件是( ) . 11.右 x 2 - x - 2 = 0 , 则「x23 (x A.痘 3 :、填空题 B. 2 的值等于( -x )2 -1 、3 3 C 3 D 3 或呼 i .已知—5,则V n 3 m + 2 n 2 2 m 一 n 2.已知X/ , y 鼻0 ,且丄一 。贝y 2x 5xy —2y = -x + 4xy + y
八年级数学分式培优专题
郴州菁华园第二课堂培优班资料 专题一 分式 知识点一、分式的相关概念 【小试牛刀】 1.下列各式中,无论x 取何值,分式都有意义的是( ) A .121x + B .21 x x + C .231x x + D .2221x x + 2.当x _______时,分式2212 x x x -+-的值为零. 3.分式24 x x -,当x _______时,分式有意义;当x _______时,分式的值为零. 4.分式31 x a x +-中,当x a =-时,下列结论正确的是( ) A .分式的值为零; B .分式无意义 C .若13 a -≠时,分式的值为零; D .若13a ≠时,分式的值为零 5.下列各式中,可能取值为零的是( ) A .2211m m +- B .211m m -+ C .211 m m +- D .211m m ++ 【挑战自我】 1. 知识点二、分式的化简,求分式的值 【小试牛刀】 1、(1)已知13x y 1-=,求5352x xy y x xy y +---的值. (2) 若4 32z y x ==,求222z y x zx yz xy ++++的值.
2、化简下列各式 (1) 2481124811111x x x x x -----++++ (2) 1111(1)(1)(2)(2)(3)(9)(10)x x x x x x x x +++++++++++K 【挑战自我】 3、111,,,345ab bc ac abc a b b c c a ab bc ca ===+++++已知a 、b 、c 为实数,且 求的值。
知识点三、分式在实际问题中的应用 【小试牛刀】 1、 商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格:设A 种糖的单价为a 元/ 千克,B 种糖的单价为b 元/千克,则m 千克A 种糖和n 千克B 种糖混合而成的什锦糖的单价为ma nb m n ++元/千克(平均价)。现有甲乙两种什锦糖,均由A 、B 两种糖混合而成;其中甲种什锦糖由10千克A 种糖和10千克B 种糖混合而成,乙种什锦糖由100元A 种糖和100元B 种糖混合而成,你认为哪一种什锦糖的单价较高?为什么? 【挑战自我】 某商店有一架左、右臂不相等的天平,当顾客预购质量为2m 千克的货物时,营业员先在左盘上放上m 千克的砝码,右盘放货物,待天平平衡后,把货物倒给顾客,然后改为右盘放砝码m 千克,左盘放货物,待天平平衡后,把货物倒给顾客,这样顾客两次得到的货物2m 千克,你认为这种交易公平吗?试用你所学的数学知识加以解释。
第四节 分式方程及应用-学而思培优
第四节 分式方程及应用 一、课标导航 二、核心纲要 l.分式方程 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 2.解分式方程的基本思想 把分式方程转化为整式方程. 3.辩分式方程的一般步骤 (1)在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程. (2)解这个整式方程. (3)验根:把整式方程的根代人最简公分母,看结果是否等于零,使最简公分母等于零的根是原方程的增根,必须舍去,但对于含有字母系数的分式方程,一般不要求检验. 4.分式方程无解的原因 (1)将分式方程化为整式方程后,整式方程无解.(2)解出的整式方程的根是增根 5.用换元法解分式方程的一般步骤 (1)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式.(2)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值. (3)把辅助未知数的值代入原设中,求出原未知数的值. (4)检验作答,要检验求得的解是否为原方程的根,是否符合题意. 本节重点讲解:一个概念,一个解法,一个应用(列分式方程解应用题) 三、全能突破 基 础 演 练 1.下列各式中,不是分式方程的是( ). x x x A 11. -= 1)1(1.=+-x x x B 12101.=-++-x x x x C 1]1)1(2 1[31.=--x D 2.分式方程9 431312-=++-x x x 的解是( ). 2.+=x A 2.=x B 2.-=x C D .无解 3.关于x 的方程 323-+=-x k x x 化为整式方程后,会产生一个解使得原分式方程的最简公分母为O ,则 k 的值为( ). 3.A 0.B 3.±C D .无法确定 4.一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?设江水的流速为x 千米/时,则可列方程( ). x x A -=+306030100. 306030100.-=+x x B x x C +=-306030100. 30 6030100.+=-x x D
分式培优专题训练
1.(辨析题)不改变分式的值,使分式 115101139 x y x y -+的各项系数化为整数,分子、分母应乘 以(? ) A .10 B .9 C .45 D .90 2.(探究题)下列等式:①()a b a b c c ---=-;②x y x y x x -+-=-;③a b a b c c -++=-;④m n m n m m ---=-中, 成立的是( ) A .①② B .③④ C .①③ D .②④ 3.(探究题)不改变分式2323523 x x x x -+-+-的值,使分子、分母最高次项的系数为正数,正确 的是(? ) A .2332523x x x x +++- B .2332523 x x x x -++- C .2332523x x x x +--+ D .2332523 x x x x ---+ 【题型2:分式的约分】 4.(辨析题)分式434y x a +,2411x x --, 22x xy y x y -++, 22 22a ab ab b +-中是最简分式的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 5.(技能题)约分: (1)22699x x x ++-; (2)2232 m m m m -+-.
【题型3:分式的定义及有无意义】 1.(辨析题)下列各式πa ,11x +,1 5 x y +, 22a b a b --,23x -, 0中,是分式的有___ ________;是整式的有_____ ____。 2.(辨析题)下列各式中,无论x 取何值,分式都有意义的是( ) A .121x + B .21x x + C .231 x x + D .2221x x + 3.(探究题)当x _______时,分式221 2 x x x -+-的值为零. 4.分式24 x x -,当x _______时,分式有意义;当x _______时,分式的值为零. 5.分式 31 x a x +-中,当x a =-时,下列结论正确的是( ) A .分式的值为零;B .分式无意义C .若13 a -≠时,分式的值为零; D .若13 a ≠时,分 式的值为零 7.下列各式中,可能取值为零的是( ) A .2211m m +- B .211m m -+ C .211 m m +- D .211m m ++ 8.使分式 ||1 x x -无意义,x 的取值是( ) A .0 B .1 C .1- D .1± 9.(2005.杭州市)当m =________时,分式2(1)(3)32 m m m m ---+的值为零. 10.(妙法巧解题)已知13x y 1-=,求5352x xy y x xy y +---的值.
培优专题6分式的概念、分式的基本性质含答案资料全
6、分式的概念、分式的基本性质 【知识精读】 分式的概念要注意以下几点: (1)分式是两个整式相除的商,其中分母是除式,分子是被除式,而分数线则可以理解为除号,还含有括号的作用; (2)分式的分子可以含字母,也可以不含字母,但分母必须含有字母; (3)分式有意义的条件是分母不能为0。 分式的基本性质类似于分数的基本性质,是分式的符号变换法则、约分和通分的理论基础。在运用分式的基本性质时,要抓住对性质中的“都”与“同”两个字的理解,并注意法则中M“不为零”的条件。 下面我们通过习题进一步理解分式的有关概念。 【分类解析】 例1.已知a,b为有理数,要使分式a b 的值为非负数,a,b应满足的条件是() A.a≥0,b≠0 C.a≥0,b>0分析:首先考虑分母 B.a≤0,b<0 D.a≥0,b>0,或a≤0,b<0 b≠0,但a可以等于0,由a≥0,得a≥0,b>0,或 b a≤0,b<0,故选择D。 例2.当x为何值时,分式|x|-5 x+5 的值为零? 分析:分式的值为零必须满足两个条件:(1)分子为零;(2)分母不为零。解:由题意得,得|x|-5=0,x=±5,而当x=-5时,分母x+5的值为零。 ∴当x=5时,分式|x|-5 x+5的值为零。 例3.已知112a-3ab-2b -=3,求 a b a-2ab-b 的值() 129 235 A. B. C. D.4
-=3,∴-=-3,将分式的分母和分子都除以a b,得 --3 例4.已知x-2y=0,求的值。 11 =-y =- 1 分析:Θ1111 a b b a 22 2a-3ab-2b b a2?(-3)-39 ===,故选择C。a-2ab-b-3-25 --2 b a x2-3xy+y2 2x2+xy-3y2 分析:根据已知条件,先消元,再化简求值。 解:Θx-2y=0∴x=2y (2y)2-3?2y2+y2 ∴原式= 2?(2y2)+2y2-3y2 2 7y27 例5.已知:x2-x-1=0,求x4+1 x4的值。 解一:由x2-x-1=0得x≠0,等式两边同除以x得:x-1-1=0,即x-1=1 x x x4+1=x4+1-2+2 x4x4 111 =(x2-)2+2=[(x-)(x+)]2+2 x x x 11 =(x-)2(x2+ x x2 +2)+2 11 =(x-)2[(x-)2+4]+2 x x =5+2=7 解二:由已知得:x-11 =1,两边平方得:x2+ x x2 =3 两边平方得:x4+1 x4=7
分式和分式方程培优精讲
二、知识点梳理 知识点一:分式的定义 一般地,如果A ,B 表示两个整数,并且B 中含有字母,那么式子B A 叫做分式,A 为分子,B 为分母。 知识点二:与分式有关的条件 1、分式有意义:分母不为0(0B ≠) 2、分式值为0:分子为0且分母不为 0(? ??≠=00B A ) 3、分式无意义:分母为0(0B =) 4、分式值为正或大于0:分子分母 同号(???>>00B A 或???<<0 B A ) 5、分式值为负或小于0:分子分母异号(???<>00B A 或? ??><00 B A ) 知识点三:分式的通分 ① 分式的通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分。 ② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义:取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤: Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数; Ⅱ 单独出现的字母(或含有字母的式子)的幂的因式连同它的指数作为一个因式; Ⅲ 相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最大的。 Ⅳ 保证凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取。 注意:分式的分母为多项式时,一般应先因式分解。 知识点四:分式的四则运算与分式的乘方 1、分式的乘除法法则: 分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。式子表示
为:d b c a d c b a ??=? 分式除以分式:式子表示为 c c ??=?=÷b d a d b a d c b a 2、分式的乘方:把分子、分母分别乘方。式子n n n b a b a =??? ?? 3、分式的加减法则: 同分母分式加减法:分母不变,把分子相加减。式子表示为 c b a c b ±=± c a 异分母分式加减法:先通分,化为同分母的分式,然后再加减。式子表示为 bd bc ad d c ±=±b a 注意:加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)。 知识点五:分式方程的解的步骤 ⑴去分母,把方程两边同乘以各分母的最简公分母。(产生增根的过程) ⑵解整式方程,得到整式方程的解。 ⑶检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中: 如果最简公分母为0,则原方程无解,这个未知数的值是原方程的增根; 如果最简公分母不为0,则是原方程的解。 2、产生增根的条件是:①是得到的整式方程的解; ②代入最简公分母后值为0。 三、典型例题 例一 当x 有何值时,下列分式有意义 (1)4 4+-x x (2) 2 32+x x (3) 1 22-x (4) 3||6--x x (5) x x 11-