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华师九年级第27章二次函数(5)教案

华师九年级第27章二次函数(5)教案
华师九年级第27章二次函数(5)教案

课题:27.2二次函数的图象与性质(4)

教材分析:

前面的课学习了函数2

x

a

(h

=的图象和它的

y-

=2及2)

y=、k

ax

ax

y+

性质的有关知识,本节课重点研究形如2)

y-

=+k这类函数的图象。

x

(h

a

与前面所学对比,不难知道2)

ax

y=的x值先减去h,

=+k相当于2

a

y-

x

(h

相应的图象是将抛物线2

y=沿x轴的正方向先移动k,再把y值加上k,

ax

相应的图象是将抛物线平移后的抛物线2)

a

=再沿y轴的正方向移

y-

(h

x

动k,所以2)

y-

=+k也具有类似的性质。

a

(h

x

教学目的:

1.会用描点法画出二次函数2)

=+k的图象,概括出图象的特

y-

(h

x

a

点及函数的性质.

2.掌握抛物线2)

=+k的对称轴和顶点。

y-

a

x

(h

3.掌握把抛物线2

y-

=+k的规律;

a

ax

y=平移至2)

(h

x

教学重点、难点:

重点:能画出二次函数2)

y-

=+k的图象

a

(h

x

难点:掌握抛物线2)

y-

=+k的对称轴和顶点

x

a

(h

教学方法:

对比教学,注重引导和启发

教学过程:

[新课引入]

由前面的知识,我们知道,函数2

y=的图象,向上平移2个单位,

2x

可以得到函数2

y=的图象,向右平移3个单位,

2x

y的图象;函数2

=x

22+

可以得到函数2)3(2-=x y 的图象,那么函数22x y =的图象,如何平移,才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢?

[实践与探索]

例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.

221x y =,2)1(21-=x y ,2)1(2

12--=x y ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.

它们的开口方向都向 ,对称轴分别为 、 、 ,顶点坐标分别为 、 、 .请同学们完成填空,并观察三个图象之间的关系. 回顾与反思 二次函数的图象的上下平移,只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值;左右平移,只影响h 的值,抛物线的形状不变,所以平移时,可根据顶点坐标的改变,确定平移前、后的函数关系式及平移的路径.此外,图象的平移与平移的顺序无关.

探索 你能说出函数2)(h x a y -=+k (a 、h 、k 是常数,a ≠0)的图象的开

例2.把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线2x y =,求b 、c 的值.

分析 抛物线2x y =的顶点为(0,0),只要求出抛物线c bx x y ++=2的顶点,根据顶点坐标的改变,确定平移后的函数关系式,从而求出b 、c 的值.

解 c bx x y ++=2c b b bx x +-++=44222

4)2(2

2b c b x -++=. 向上平移2个单位,得到24

)2(22+-++=b c b x y , 再向左平移4个单位,得到24

)42(2

2+-+++=b c b x y , 其顶点坐标是)24

,42(2

+---b c b ,而抛物线2x y =的顶点为(0,0),则 ???

????=+-=--0240422b c b 解得 ???=-=14

8c b 探索 把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线2x y =,也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位,再向右平移4个单位,得到抛物线c bx x y ++=2.那么,本题还可以用更简洁的方法来解,请你试一试.

[当堂课内练习]

1.将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y = ( )

A .向左平移4个单位,再向上平移1个单位

B .向左平移4个单位,再向下平移1个单位

C .向右平移4个单位,再向上平移1个单位

D .向右平移4个单位,再向下平移1个单位

2.把抛物线22

3x y -=向左平移3个单位,再向下平移4个单位,所得的抛物线的函数关系式为 .

3.抛物线22121x x y -+=可由抛物线22

1x y -=向 平移 个单位,再向 平移 个单位而得到.

[本课课外作业]

A 组

1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.

23x y -=,2)2(3+-=x y ,1)2(32-+-=x y ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.

2.将抛物线522++-=x x y 先向下平移1个单位,再向左平移4个单位,求平移后的抛物线的函数关系式.

3.将抛物线23212++-=x x y 如何平移,可得到抛物线322

12++-=x x y ? B 组

4.把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线532+-=x x y ,则有 ( )

A .b =3,c=7

B .b= -9,c= -15

C .b=3,c=3

D .b= -9,c=21

5.抛物线c bx x y ++-=23是由抛物线132+--=bx x y 向上平移3个单位,再向左平移2个单位得到的,求b 、c 的值.

6.将抛物线)0(2≠=a ax y 向左平移h 个单位,再向上平移k 个单位,其中h >0,k <0,求所得的抛物线的函数关系式.

人教版九年级数学上册二次函数教案

教材分析 本节课是数学新人教版九级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容 二次函数教学设计 一、教学目标知识方面: 1.理解并掌握二次函数的概念; 2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式。 3.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 4.通过分析实际问题列出二次函数关系式,培养学生分析问题、解决问题的能力。情感方面:通过学生的主动参与,师生、学生之间的合作交流,提高学生的学习兴趣,激发他们的求知欲、培养合作意识。 二、教材分析 本节课是数学新人教版九年级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容.知识方面,它是在正比例函数,一次函数,对函数认识的完善与提高;也是对方程的理解的补充,同时也是以后学习初等函数的基础。根据本节的教学内容及学生学情,给彩虹、桥梁等图片这些丰富的生活实例,进一步让学生充分感受到二次函数的应用价值与实际意义。 重点是理解二次函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式; 难点是从实例中抽象出二次函数的定义,会分析实例中的二次函数关系。 三、教学过程教学过程: 一、提出问题,导入新课。 1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数?它们的一般形式是怎样的?图象形状各是什么? 2、教师提出问题:投篮球时篮球运行的路线是什么曲线?这种曲线的形状是怎样的?是否象以前学过的函数图象?能否用新的函数关系式来表示?怎样计算篮球达到最高点时的高度?这将在本章——二次函数中学习。 3、你能举出一些生活中类似的曲线吗? 二、合作交流,形成概念。1.列式表示下面函数关系。 问题1:正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形 的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。 问题2:某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示? 活动中教师关注: (1)学生参与小组合作讨论后,能否明白题意,写出相应关系式。 (2)问题3中可先分析一年后的产量,再得出两年后的产量。 2.教师引导学生观察,分析上面三个函数关系式的共同点。 学生小组交流、讨论得出结论,它们的共同点: (1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式。 a,b,c为常数,且a≠0 (2)等式的右边最高次数为,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项。(3)x的取值范围是任意实数。 教师口述二次函数的定义并板书在黑板上:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫二次函数。

华师大版二次函数试卷(可编辑修改word版)

华师大第二十六章二次函数单元试题9.二次函数y =ax2+bx +c 的图象如图,则下列关于a,b,c 间的函数关系判断正确的是()一、精心选一选(每题2 分,共18 分) A.ab < 0 B.bc < 0 C.a +b +c > 0 D.a -b +c < 0 1..下列函数中,是二次函数的是() 1 x2- 2x 1 二、细心填一填(每题 2 分,共20 分) 10.若y = (2 -m)x m2 -4 是二次函数,则m= 。 A.y =-x x2 B.y =x2- (x -1)2C.y = 2 D.y =x2+ x 11.二次函数y =-x 2- 2x 的开口,对称轴是。 2.抛物线 y =x 2 - 4 的顶点坐标是() A、(2,0) B、(-2,0) C、(1,-3) D、(0,-4)12.抛物线y =1 x 2+x - 3 的最低点坐标是,当x 时,y 随x 的增大而增大。 2 2 3.若(2,5)、(4,5)是抛物线y =ax 2+bx +c 上的两个点,则它的对称轴是() A、x= - b/a B、x = 1 a C、x = 2 D、x = 3 13.已知二次函数y =ax 2- 2 的图象经过点(1,-1),则这个二次函数的关系式为,它与x 轴的交点的个数为个。 4.已知反比例函数y = (a ≠ 0) ,当x<0 时,y 随x 的增大而减小,则函数y =ax 2+a 的图象经 x 14.若y 与x 2成正比例,当x=2 时,y=4,那么当x= -3 时,y 的值为。 过的象限是() A、第三、四象限 B、第一、二象限 C、第二、三、四象限 D、第一、二、三象限 15.抛物线y =x 2+ 3x - 4 与y 轴的交点坐标是,与x 轴的交点坐标是。 5.抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的两个交点为(-1,0),(3,0),其形状与抛物线y =-2x 2相同,16.有一长方形条幅,长为a m,宽为b m,四周镶上宽度相等的花边,求剩余面积S(m2)与花边宽度x(m)之间的函数关系式为,自变量x 的取值范围为。 则y =ax 2+bx +c 的函数关系式为()17.已知抛物线y =ax 2+x +c 与x 轴交点的横坐标为–1,则a +c = 。 A 、y =-2x 2-x + 3 B 、y =-2x 2+ 4x + 5 C 、y =-2x 2+ 4x + 8 D、18.已知抛物线的开口向上,并且以y 轴为对称轴,试写出这条抛物线的关系式(任写两个)、。 y =-2x 2+ 4x + 6 6.抛物线y= 1 x2 的图象向左平移2 个单位,再向下平移1 个单位,则所得抛物线的解析式为 2 () A .y= 1 x2+2x-2 B. y= 1 x2+2x+1 C. y= 1 x2-2x-1 D .y= 1 x2-2x+1 19.如图,某农场要盖一排三间长方形的羊圈,打算一面利用旧墙, 其余各面用木材围成栅栏,该计划用木材围成总长24m 的栅栏, 设每间羊圈的一边长为x (m)三,间羊圈的总面积s (m2),则s 关于x 的函数关系式是x,的取值范围,当 x= 时,s 最大. 三、认真答一答(第20—21 题7 分,其余各8 分,共62 分) 2 2 2 2 7.下列判断中唯一正确的是( ) A.函数y=ax2 的图象开口向上,函数y= -ax2 的图象开口向下 B.二次函数y=ax2,当x<0 时,y 随x 的增大而增大 C.y=2x2 与y= -2x2 图象的顶点、对称轴、开口方向完全相同 D.抛物线y=ax2 与y=-ax2 的图象关于x 轴对称 8.在同一直角坐标系中,函数y =ax 2+b 与y =ax +b(ab ≠ 0) 的图象大致如图() 20.(7 分)已知二次函数y =x 2+bx -1的图象经过点(3,2)。 (1)求这个二次函数的关系式; (2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标; (3)当x>0 时,求使y≥2 的x 的取值范围。 21.(7 分)如图二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过A 、B、C 三点, C (1)观察图象,写出A 、B、C 三点的坐标,并求出抛物线解析式, (2)求此抛物线的顶点坐标和对称轴 (3)观察图象,当x 取何值时,y<0?y=0?y>0? x

数学二次函数的图象与性质教案(华东师大版九年级下)

教学内容 27.2.1二次函数的图象与性质 本节共需7课时 本课为第1课时 主备人: 教学目标 会用描点法画出二次函数2 ax y =的图象,概括出图象的特点及函数的性质. 教学重点 通过画图得出二次函数特点 教学难点 识图能力的培养 教具准备 坐标小黑板一块 课型 新授课 教学过程 初 备 统 复 备 情境导入 我们已经知道,一次函数12+=x y ,反比例函数 x y 3= x y 3 =的图象分别是 、 ,那么二次函数2 x y =的图象是什么呢? (1)描点法画函数2 x y =的图象前,想一想,列表时如何合理选值?以什么数为中心?当x 取互为相反数的值时,y 的值如何? (2)观察函数2 x y =的图象,你能得出什么结论? 实践与 探索1 例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并指出它们有何共同点?有何不同点? (1)22x y = (2)2 2x y -= 共同点:都以y 轴为对称轴,顶点都在坐标原点. 不同点:2 2x y =的图象开口向上,顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左边, 曲线自左向右下降;在对称轴的右边,曲线自左向右上升. 22x y -=的图象开口向下,顶点是抛物线的最 高点,在对称轴的左边,曲线自左向右上升;在对称轴的右边,曲线自左向右下降. 注意点: 在列表、描点时,要注意合理灵活地取值以及图形的对称性,因为图象是抛物线,因此,要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接.

实践与探 索2例3.已知正方形周长为Ccm,面积为S cm2. (1)求S和C之间的函数关系式,并画出图象;(2)根据图象,求出S=1 cm2时,正方形的周长;(3)根据图象,求出C取何值时,S≥4 cm2. 分析此题是二次函数实际应用问题,解这类问题时要注意自变量的取值范围;画图象时,自变量C的取值应在取值范围内. 解(1)由题意,得)0 ( 16 1 2> =C C S. 列表: 描点、连线,图象如 图26.2.2. (2)根据图象得S=1 cm2时,正方形的周 长是4cm. (3)根据图象得, 当C≥8cm时,S≥4 cm2. 注意点: (1)此图象原点处为空心点. (2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S,不要习惯地写成x、y. (3)在自变量取值范围内,图象为抛物线的一部分. 2 4 6 8 … … 小结与作 业课堂小结: 通过本节课的学习你有哪些收获?课堂作业: 课本P4 习题1~4 家庭作业: 《数学同步导学九下》P4 随堂演练 教学后记:

九年级数学《二次函数的概念》教案 苏教版

【教学重点、 对二次函数概念的理解; 1)y=2x+1 (2)y=-x-4 (3)y= s=-2t-4 与半径之间的关系式是 。

y= ( 【巩固新知】 1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=x 2 (2)y=2 1x - (3)y=x (1-x ) (4)y=(x-1)2-x 2 2、下列函数关系式中一定是二次函数的是( ) A 、y=2x B 、y=mx 2 C 、21x y = D 、y=(a 2+1)x 2 -ax+a (a 是常数) 3.下列函数关系式中,二次函数有 ( )个. y=(3x-1)2 -9x 2 y=(x+2)2 -4x y=x 2 x 1- y=ax 2 +bx+c x x y 3 = y=65121352-+-x x A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4.把函数y=(5x+7)(x-3)+2x-5化成一般形式写出各项系数。 1、写出下列各问题中的函数关系式并指出自变量的取值范围: (1)正方形面积y 和边长x : ; (2)边长为3的正方形,边长增加x 时面积增加y ,则y 与x 关系: ; (3)等边三角形的面积S 与半径之间的函数关系: ;

(4)圆心角120°扇形面积S 与半径r 之间的关系式: 练习、篱笆墙长30m ,靠墙围成一个矩形花坛,写出花坛面积y(m 2 )与长x 之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围. 2、已知二次函数y=-x 2 +bx+3当x=2时y=3.求二次函数的解析式 练习:已知二次函数y=ax 2 +bx +c ,当x=0时,y=0;x=1时,y=2;x=-1时,y=1.求a 、b 、c ,并写出函数解析式。 【拓展升华】 1. 关于x 的函数y=(m+1)m m x -2是二次函数,求m 的值. 如果它是二次函数,则m+1应该 0,m 2 -m= ,所以m= 注意:二次函数的二次项系数不能为零 2. 若函数2 31--+=m m 2)x (m y 为二次函数求m 的值。

华师版数学九年级下册解码专训:二次函数(1)

华师版数学九年级下册解码专训 2 1.1 二次函数 教学目标 【知识与技能】 以实际问题为例理解二次函数的概念,并掌握二次函数关系式的特点. 【过程与方法】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 【情感、态度与价值观】 学生已有知识,让学生积极参与函数的学习过程,使学生体会函数的思想. 重点难点 【重点】 二次函数的概念. 【难点】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 教学过程 一、问题引入 1.一次函数和反比例函数是如何表示变量之间的关系的? [一次函数的表达式是y=kx+b(k≠0),反比例函数的表达式是y=(k≠0)] 2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y和x之间有什么关系? (正方体的表面积y与棱长x之间的关系式是y=6x2.) 3.物体自由下落的距离s随时间t的变化而变化,s与t之间有什么关系? (下落的距离s随时间t变化的关系式是s=gt2.) 上面问题2、3中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数有哪些性质?它的图象是什么?它与以前学过的函数、方程等有哪些关系? 这就是本节课要学习的二次函数.(教师板书课题) 二、新课教授 师:我们再来看几个问题. 问题1 某水产养殖户用长40 m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗.要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米?

这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系.设围成的矩形水面的一边长为x m,那么,矩形水面的另一边长应为(20-x)m.若它的面积为S m2,则有S=x(20-x)=-x2+20x. 问题2 有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少? 设增加x人,这时,共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只装配(190-10x)个玩具.所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为 y=(190-10x)(15+x)=-10x2+40x+2 850. 这两个问题中,函数关系式都是用自变量的二次式表示的. 二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中,x是自变量,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项. 二次函数的自变量的取值范围一般都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中,0

九年级数学下册26_1二次函数教案新版华东师大版

第二十六章 二次函数 [本章知识要点] 1. 探索具体问题中的数量关系和变化规律. 2. 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念. 3. 会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质. 4. 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴. 5. 会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解. 6. 会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简 单的实际问题. 26.1 二次函数 [本课知识要点] 通过具体问题引入二次函数的概念,在解决问题的过程中体会二次函数的意义. [MM 及创新思维] (1)正方形边长为a (cm ),它的面积s (cm 2)是多少? (2)矩形的长是4厘米,宽是3厘米,如果将其长与宽都增加x 厘米,则面积增加y 平方厘米,试写出y 与x 的关系式. 请观察上面列出的两个式子,它们是不是函数?为什么?如果是函数,请你结合学习一次函数概念的经验,给它下个定义. [实践与探索] 例1. m 取哪些值时,函数)1()(2 2+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数? 分析 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数,须满足的条件是:02≠-m m . 解 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数,则 02≠-m m . 解得 0≠m ,且1≠m . 因此,当0≠m ,且1≠m 时,函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数. 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数. 探索 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数,则m 取哪些值? 例2.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数. (1)写出正方体的表面积S (cm 2)与正方体棱长a (cm )之间的函数关系; (2)写出圆的面积y (cm 2)与它的周长x (cm )之间的函数关系; (3)某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,若不计利息,求本息和y (元)与所存年数x 之间的函数关系; (4)菱形的两条对角线的和为26cm ,求菱形的面积S (cm 2)与一对角线长x (cm )之间的 函数关系. 解 (1)由题意,得 )0(62>=a a S ,其中S 是a 的二次函数;

九年级数学二次函数教学设计

二次函数的图象与性质 (第一课时) 【教学目标】 知识与技能 通过复习,掌握二次函数 y=ax2+bx+c图象与性质;掌握二次函数解析式求解方法和思路,提高学生的思维能力。 过程与方法 通过二次函数的相关基础知识的复习,培养学生对知识的整合能力和分析问题的能力。 情感态度与价值观 通过复习,激发学生兴趣,感受数学之美。在教学中渗透美的教育,渗透数形结合的思想,让学生在数学活动中学会与人相处,感受探索与创造,体验成功的喜悦。 【教学重点】 掌握二次函数y=ax2+bx+c图象与性质。 【教学难点】 会利用二次函数的图象及性质解题,掌握数形结合的思想方法。 【教学方法】 提问法,练习法,总结法 【教学准备】多媒体课件、作图工具 【课型】复习课 【教学过程】 一、创设情境,引入新课 函数问题作为初中数学的重点和难点,在实际生活中有着广泛的应用。二次函数更是历年中考的必考题和压轴题,本节课我们就共同来复习一下二次函数的图像和性质。 二、自主探究,合作交流 第一关知识要点说一说 (一)二次函数的概念 形如y=ax2+bx+c (a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数。 请你写一个二次函数的解析式。 学生口述教师板书解析式。 课件展示问题: 下列函数中,哪些是二次函数? 1.y=x2 2. 3.y=x-x2 4. 5.y=x2+2x-4 学生口述,教师及时总结归纳。 二次函数的图象是一条抛物线。 利用课件展示图象草图。 1 2- + =x x y x x y 1 2- =

2当x 时,y 随x 的增大而增大, 当x 时,y 随x 的增大而减小, 当x 时,y 有最大值。 (三)用待定系数法求二次函数的解析式 求二次函数解析式时,如果已知抛物线上三点,用 式;如果已知抛物线的顶点坐标,用式;如果已知抛物线与x 轴的交点,用式。 利用课件展示问题。介绍求二次函数解析式的方法。 第二关 基础题目轮一轮 1.二次函数y=x 2 +2x+1写成顶点式为: 对称轴为_____,顶点为______。 2.已知二次函数y= - x 2 +ax-5的图象的顶点在y 轴上,则a=___。 第三关 典型例题显一显 例1已知二次函数y =x 2-4x +3. (1) 用配方法求其图象的顶点C 的坐标,并描述该函数的函数值随自变量的变化情况; (2)求函数图象与x 轴的交点A ,B 的坐标及△AB C 的面积. 学生小组交流统一答案,学习好的帮扶学习差的,组长安排好组员代表本组进行班级展示; 解:(1)y =x 2-4x +3=x 2-4x +4-1 =(x -2)2-1, ∴其图象的顶点C 的坐标为(2,-1), ∴当x≤2时,y 随x 的增大而减小;当x>2时,y 随x 的增大而增大. (2)令y =0,则x 2-4x +3=0,解得x 1=1,x 2=3. ∴当点A 在点B 左侧时,A(1,0),B(3,0); 当点A 在点B 右侧时,A(3,0),B(1,0). ∴AB =2,过点C 作CD ⊥x 轴于点D , 则△ABC 的面积=12AB ·CD =?1 2 ×2×1=1.

初三二次函数复习教案.doc

名师精编优秀教案 龙文教育个性化辅导授课 教师:学生:时间:__2012_年__月日 内容二次函数 教学目的 1、理解二次函数及抛物线的有关概念 2、会根据图像上三点坐标或由图像的顶点坐标及另外一点的坐标确定二次函数解析式,会观察 图像,确定 a,b,c,的符号,能从图像上认识二次函数的性质 3、会求二次函数图像的顶点坐标、对称轴方程及其与x 轴的交点坐标,会借助平移理论知识来研究二次函数的最值问题 4、会构建二次函数模型解决以二次函数为基础的综合型题 重难点 二次函数图象及其性质,能把相关应用问题转化为数学问题,灵活运用二次函数分析和解决简单的 实际问题 教学过程 ①一般地,如果 y=ax2+bx+c( a, b, c 是常数且 a≠0),那么 y 叫做 x 的二次函数,它是关于自变量的二次式,二次项系数必须是非零实数时才是二次函数,这也是判断函数是不是二次函数的重要依据. ②当 b=c=0 时,二次函数 y=ax2是最简单的二次函数. ③二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的三种表达形式分别为: 一般式: y=ax2+bx+c,通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式; 顶点式: y=a(x-h)2+k,通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式; 交点式: y=a( x- x1)( x- x2),通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标 x1,x2才能求出此解析式; 2 b ,4ac b2 2 对于 y=ax +bx+c 而言,其顶点坐标为(-2a 4a ).对于 y=a( x- h) +k 而言其顶点坐标为( h,k) 由于二次函数的图像为抛物线,因此关键要抓住抛物线的三要素:开口方向,对称轴,顶点. 2 b ,最值为4ac b 2 ④二次函数 y=ax +bx+c 的对称轴为 x=-2a 4a ,( k>0 时为最小值, k<0 时为最大值).由此可知 y=ax2的顶点在坐标原点上,且y 轴为对称轴即 x=0.

华师大版数学九下二次函数的图象与性质word教案

教学设计 科目 任课教师 任教班级 授课时间: 年 月 日 课题 27.2二次函数的图象与性质(1) 课型 新 课时 1 教学目标 会用描点法画出二次函数2 ax y =的图象,概括出图象的特点及函数的性质 重、难点 重点:二次函数的图象与性质 难点:二次函数的图象与性质 教法学法 读书指导法 课前准备 画好直角坐标系的小黑板 教 学 过 程 教学过程: 我们已经知道,一次函数12+=x y ,反比例函数x y 3 =的图象分别是 、 ,那么二次函数2 x y =的图象是什么呢? (1)描点法画函数2 x y =的图象前,想一想,列表时如何合理选值?以什么数为中心?当x 取互为相反数的值时,y 的值如何? (2)观察函数2 x y =的图象,你能得出什么结论? [实践与探索] 例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并指出它们有何共同点?有何不同点? (1)2 2x y = (2)2 2x y -= 解 列表

x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y = … 18 8 2 0 2 8 18 … 22x y -= … -18 -8 -2 -2 -8 -18 … 分别描点、连线,画出这两个函数的图象,这两个函数的图象都是抛物线,如图26.2.1. 共同点:都以y 轴为对称轴,顶点都在坐标原点. 不同点:2 2x y =的图象开口向上,顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左边,曲线自左向 右下降;在对称轴的右边,曲线自左向右上升. 22x y -=的图象开口向下,顶点是抛物线的最高点,在对称轴的左边,曲线自左 向右上升;在对称轴的右边,曲线自左向右下降. 回顾与反思 在列表、描点时,要注意合理灵活地取值以及图形的对称性,因为图象是抛物线,因此,要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接. 例2.已知4 2 )2(-++=k k x k y 是二次函数,且当0>x 时,y 随x 的增大而增大. (1)求k 的值; (2)求顶点坐标和对称轴. 解 (1)由题意,得? ??>+=-+022 42k k k , 解得k=2. (2)二次函数为2 4x y =,则顶点坐标为(0,0),对称轴为y 轴. 例3.已知正方形周长为Ccm ,面积为S cm 2. (1)求S 和C 之间的函数关系式,并画出图象; (2)根据图象,求出S=1 cm 2时,正方形的周长; (3)根据图象,求出C 取何值时,S ≥4 cm 2. 分析 此题是二次函数实际应用问题,解这类问题时要注意自变量的取值范围;画图象时,自变量C 的取值应在取值范围内. 解 (1)由题意,得)0(16 12 >=C C S . 列表: C 2 4 6 8 (2) 161C S = 41 1 4 9 4 … 描点、连线,图象如图26.2.2. (2)根据图象得S=1 cm 2时,正方形的周长是4cm . (3)根据图象得,当C ≥8cm 时,S ≥4 cm 2. 回顾与反思 (1)此图象原点处为空心点. (2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ,不要习惯地写成x 、y . (3)在自变量取值范围内,图象为抛物线的一部分.

九年级数学二次函数教学案

第 14周第 1课时总第 43课时 课题:二次函数的定义 【学习目标】 1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程,体会二次函数意义; 2.了解二次函数关系式,会确定二次函数关系式中各项的系数。 【学习重难点】 重点:二次函数的概念。 难点:确定实际问题中二次函数的关系式。 【学习过程】 一、预习交流 1.思考: (1)已知圆的面积是Scm 2,圆的半径是Rcm ,写出圆的面积S 与半径R 之间的函数关系式。 (2)已知一个矩形的周长是60m ,一边长是Lm ,写出这个矩形的面积S (m 2)与这个矩形的一边长L 之间的函数关系式。 (3)农机厂第一个月水泵的产量为50台,第三个月的产量y (台)与月平均增长率x 之间的函数关系如何表示? 2.归纳: (1)函数解析式均为整式;(2)自变量的最高次数是2。 3.定义: 一般地,如果y=ax 2+bx+c (a ≠0),那么y 叫做x 的二次函数。 【注意】这里b ,c 没有限制,而a ≠0。 练习一:下列函数中,哪些是二次函数?哪些不是二次函数?若是二次函数,指出a ,b ,c ? (1)y=2-3x 2; (2)y=x (x-4); (3)y= 2 1x 2-3x-1; (4)y= 4 1x 2+3x-8; (5)y=7x (1-x )+4x 2; (6)y=(x-6)(6+x )。 (7 ) y= 2 2561 x x - (8)y=(x-2)2 - x 2 ; 练习二:若函数( ) m m x m y --=2 12 是二次函数,则m 为 二、精讲点拨

例1.当k 为何值时,函数2 (1)1k k y k x +=-+为二次函数? 例2.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数. ⑴圆的面积y (cm 2)与它的周长x (cm )之间的函数关系; ⑵某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,若不计利息,求本息和y (元)与所存年数x 之间的函数关系; ⑶菱形的两条对角线的和为26cm ,求菱形的面积S (cm 2)与一对角线长x (cm )之间的函数关系. 例3.已知二次函数2y ax =,当3x =时,5y =-。当5x =-时,求y 的值. 三、拓展延伸 1.考察下列函数:①2 13y x =+,②2 251y x x =-+,③3(1)y x x =-, ④3y x =-, ⑤234v t t =-(t 是自变量)中,二次函数是: 。 2.若一个边长为x cm 的无盖..正方体形纸盒的表面积为y cm 2 ,则 ___________y =,其中x 的取值范围是 。 3.一矩形的长是宽的1.6倍,则该矩形的面积S 与宽x 之间函数关系式:S = 。 4. 如图在长200米,宽80米的矩形广场内修建等宽的 十字形道路,请写出绿地面积y (㎡)与路宽x (m)之间 的函数关系式:y = 。 5. 如图,用50m 长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园,写出长方形花园的面积y (㎡)与它与墙平行的边的长x (m)之间的函数 关系式:y = 。 6.已知函数2 7 (3)m y m x -=-是二次函数,求m 的值. 四、系统总结 学生谈谈自己的收获 五、限时作业

华师大版九年级下册二次函数单元测试及答案

华师大版九年级(下)二次函数学习评价 (时间90分钟, 满分100) 一、精心选一选(每题4分,共16分) 1.抛物线y=2 1x 2的图象向左平移2个单位,再向下平移1个单位,则所得抛物线的解析式 为( ) A .y=2 1x 2+2x -2 B. y=21x 2+2x+1 C. y=2 1x 2-2x -1 D .y=21x 2-2x+1 2.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如右图所示,则一次函数y=ax+bc 的图象不经过( ) A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.直线y=ax+b 与抛物线y=ax 2+bx+c 中,a 、b 异号 ,b c<0, 那么 它们在同一坐标系中的图象大致为( ) 4.已知h 关于t 函数关系式为h=2 1gt 2(g 为正常数,t 为时间)如图,则函数图象为( ) 二、耐心填一填(每题4分,共40分) 5.函数y=(m+3)4 2 -+m m x ,当m= 时,它的图象是抛物线. 6.抛物线y=2 1(x -3)2-1开口向 ,顶点坐标是 ,对称轴是 . 7.已知以x 为自变量的二次函数y=(m -2)x 2+m 2-m -2的图象经过原点,则m= ,当 x 时y 随x 增大而减小. 8.函数y=2x 2-7x+3顶点坐标为 . 9.抛物线y=x 2+bx+c ,经过A (-1,0)、B (3,0)两点,则这条抛物线的解析式为 ,它的对称轴为 . 10.抛物线y=x 2+bx+c 的顶点为(2,3),则b= ,c= . 11.如果抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x=—2,且开口方向,形状与抛物线y=—2 3x 2 相同,且过原点,那么a= ,b= ,c= . 12.直线y=-3x+2与抛物线y=x 2-x+3的交点有 个,交点坐标为 13.抛物线的顶点是C(2,3),它与x 轴交于A 、B 两点,它们的横坐标是方程x 2-4x+3=0

初中数学九年级《二次函数》公开课教学设计

22.1.1 二次函数 一、教学目标 1.知识与技能目标: (1).使学生理解并掌握二次函数的概念 (2).能判断一个给定的函数是否为二次函数,并会用待定系数法求函数解析式 (3).能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式,体会函数的模型思想 2.过程与方法目标; 通过“探究----感悟----练习”,采用探究、讨论等方法进行。 3.情感态度与价值观: 通过对几个特殊的二次函数的讲解,向学生进行一般与特殊的辩证唯物主义教育 二、教学重、难点 1.重点:理解二次函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式 2.难点:理解二次函数的概念. 三、教学过程 1、知识回顾 (1).什么是变量,常量? (2).函数的定义是什么,有什么表现形式? (3) 函数的图象怎么构成,如何作函数的图象? 2、合作学习,探索新知 : 问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x ,表面积为y ,那么y 与x 的关系可表示为? y=6x 2 问题2: n 个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m 与球队数n 有什么关系? m=21122 n n 问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果

每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定,y 与x 之间的关系怎样表示? y=20x 2+40x+20 观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?引导学生从自变量最高次数思考。 经化简后都具有y=ax2+bx+c 的形式,(a,b,c 是常数, a≠0 ). 我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c 是常数,a≠0)的函数叫做二次函数 称:a 为二次项系数,ax 2叫做二次项;b 为一次项系数,bx 叫做一次项;c 为常数项. 又例:y=x2 + 2x – 3 满足什么条件时 当,是常数其中函数c b,a,)c b,a,c(bx ax y 2++= (1)它是二次函数? (2)它是一次函数? (3)它是正比例函数? 3、巩固练习: 1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x. 2.做一做: (1)正方形边长为x (cm ),它的面积y (cm2)是多少? (2)矩形的长是4厘米,宽是3厘米,如果将其长增加x 厘米,宽增加2x 厘米,则面积增加到y 平方厘米,试写出y 与x 的关系式. 4、例题讲解: 例1: 关于x 的函数是二次函数, 求m 的值. 解: 由题意可得 注意:二次函数的二次项系数不能为零 m m x m y -+=2)1(012 2≠+=-m m m 时,函数为二次函数。当解得,22 =∴=m m

【新人教版】九年级数学上册第22章《二次函数》教案

第二十二章二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 1.从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系.2.理解二次函数的概念,掌握二次函数的形式. 3.会建立简单的二次函数的模型,并能根据实际问题确定自变量的取值范围. 重点 二次函数的概念和解析式. 难点 本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂,要求学生有较强的概括能力. 一.创设情境,导入新课 问题1 现有一根12 m长的绳子,用它围成一个矩形,如何围法,才使矩形的面积最大?小明同学认为当围成的矩形是正方形时,它的面积最大,他说的有道理吗? 问题2 很多同学都喜欢打篮球,你知道吗:投篮时,篮球运动的路线是什么曲线?怎样计算篮球达到最高点时的高度? 这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决,今天我们学习“二次函数”(板书课题).

二.合作学习,探索新知 请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系: (1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2); (2)王先生存入银行2万元,先存一个一年定期,一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为x,两年后王先生共得本息y元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形,周长为120 m,室内通道的尺寸如图,设一条边长为x (m),种植面积为y(m2). (一)教师组织合作学习活动: 1.先个体探求,尝试写出y与x之间的函数解析式. 2.上述三个问题先易后难,在个体探求的基础上,小组进行合作交流,共同探讨. (1)y=πx2(2)y=20000(1+x)2=20000x2+40000x+20000 (3)y=(60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征? 让学生充分发表意见,提出各自看法. 教师归纳总结:上述三个函数解析式经化简后都具有y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式. 板书:我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function),称a为二次项系数,b为一次项系数,c

华师大版二次函数图象及其性质复习课教案

课题二次函数图象及其性质 教学目标: 1.知识目标:复习巩固二次函数的图象及其性质 2.能力目标:提高学生应用能力和知识迁移能力 3.情感目标:使学生进一步认识到数学源于生活,用于生活的辩证观点。 教学重点:把实际问题转化成二次函数问题并利用二次函数的性质来解决。 教学难点:学生转化能力的培养 教学方法:启发引导、观察、探索 学法引导:化归迁移 课型:复习课 教具准备:投影仪、胶片,常用画图工具 教学过程: 环节内容及活动设计(师生问答,师生共作)设计意图 知识回顾(投影1)二次函数及其性质 1.解析式:c bx ax y+ + =2(a、b、c是常数且0 ≠ a), 配方: a b ac a b x a y 4 4 ) 2 ( 2 2 - + + =即k h x a y+ - =2) ( 2.图象:抛物线 ①0 > a②0 < a 3.性质: (1)0 > a,开口向上,顶点_______, 对称轴:___________ h x>时,y随x增大而_______ h x<时,y随x增大而_______ h x=时,= ) (最小 y_______ (2)0 < a,开口向下,顶点_______ 对称轴:___________ 帮助学生 梳理有关 知识

h x >时,y 随x 增大而_______ h x <时,y 随x 增大而_______ h x =时,=)(最大y _______ (活动设计) 教师启发、引导,学生探索,然后教师板书来完成。 基础性题组练习 (投影2) 1. 用配方法把下列函数式化成k h x a y +-=2 )(的形式, 并指出开口方向,对称轴和顶点坐标 (1)342 --=x x y (2)x x y 422 +-= 2. 画出下列函数的大概图象,并说出x 为何值时y 随x 增大 而增大,x 为何值时,y 随x 增大而减小。 (1)322+-=x x y (2)132 12 ++- =x x y ①了解学生对二次函数知识已有的认知水平;②帮助学生巩固解二次函数基本问题的一般方法;③为进一步研究二次函数应用打下基础。 应用性习题探究(目标助 达) (投影3) 例1(2002年安徽省中考试题):心理学家发现学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (单位:分)之间满足函数关系436.21.02 ++-=x x y (300≤≤x ),y 值越大表示接受能力越强。 (1)x 在什么范围内,学生的接受能力逐步增强? x 在什么范围内,学生的接受能力逐步降低? (2)第10分钟时,学生的接受能力是多少? (3)第几分钟时,学生的接受能力最强? 教师引导: 1. 化归迁移:题目中三问实质上 就是: (1)x _______时,y 随x 的增大而增大 x _______时,y 随x 的增大 而减小 (2)10=x 时,=y _______ (3)=x _______时,y 最大 2. 提问:解决问题(1)必须知道什么? 解决问题(2)必须知道什么? ①通过例1发展学生的化归迁移的数学思维,培养学生的转化能力,体会二次函数应用的广泛性。

人教版九年级数学上册22.1.1二次函数教案

第二十二章二次函数 22.1二次函数的图象和性质 22.1.1二次函数 1.结合具体情境体会二次函数的意义,理解二次函数的有关概念. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 阅读教材第28至29页,理解二次函数的概念及意义. 自学反馈 学生独立完成后集体订正: 1.一般地,形如________________(a,b,c是常数,且a≠0)的函数叫做二次函数,其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为________. 2.现在我们已学过的函数有________、________,它们的表达式分别是____________________、____________________. 3.下列函数中,不是二次函数的是() A.y=1-2x2B.y=(x-1)2-1 C.y=1 2(x+1)(x-1) D.y=(x-2)2-x2 4.二次函数y=x2+4x中,二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是____. 5.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S与半径r之间的关系式. 6.n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式.判断二次函数关系要紧扣定义. 活动1小组讨论 例1若y=(b-1)x2+3是二次函数,则b≠1. 二次项系数不为0. 例2一个正方形的边长是12 cm,若从中挖去一个长为2x cm,宽为(x+1)cm的小矩形,剩余部分的面积为y cm2. (1)写出y与x之间的关系式,并指出y是x的什么函数? (2)当小矩形中x的值分别为2和4时,相应的剩余部分的面积是多少? 解:(1)y=122-2x(x+1),即y=-2x2-2x+144. ∴y是x的二次函数. (2)当x=2和4时,相应的y的值分别为132和104. 几何图形的面积一般需画图分析,相关线段必须先用x的代数式表示出来.活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果) 1.如果函数y=(k+2)xk2-2是y关于x的二次函数,那么k的值为多少? 不要忽视k+2≠0. 2.设y=y1-y2,若y1与x2成正比例,y2与x成正比例,则y与x的函数关系是() A.正比例函数B.一次函数 C.二次函数D.不确定 3.有一个人患流感,经过两轮传染后共有y人患了流感,每轮传染中,平均一个人传染了x人,则y与x之间的函数解析式为________________. 4.如图,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD,设AB边长为x m,则菜园的面积y(m2)与x(m)的函数解析式为______________________(不要求写出自变量x的取值范围).

(完整版)华师版二次函数最经典的知识点归纳

二次函数知识点归纳 1.表达式:①一般式:2y ax bx c =++(0a ≠); ②顶点式:()2 y a x h k =-+(0a ≠) ③交点式:y =a (x –x 1)(x –x 2) (a ≠0) 2.顶点坐标:①(2b a -,244ac b a -) ②(h ,k ) 3.顶点意义:①当2b x a =-时,0a >,y 有最小值为244ac b a -;0a <,y 有最大值为244ac b a - ②当h x =时,0a >,y 有最小值为k ;0a <,y 有最大值为k 4.a 的意义:0a >,图象开口向上;0a <,图象开口向下; 12a a =±两函数图象大小形状相同.(即a 相等的抛物线为全等型抛物线) 5.对称轴:①2b x a =-;②h x =;③122 x x x +=(其中x 1、x 2为抛物线上对称点的横坐标) 6.对称轴位置分析:①0b =,对称轴为y 轴; ②0ab <,即a 、b 异号,对称轴在y 轴的右侧; ③0ab >,即a 、b 同号,对称轴在y 轴的左侧;(左同右异) 7.增减性:①0a >,2b x a >-(或x >h )时,y 随x 的增大而增大;2b x a <-(或x <h )时,y 随x 的增大而减小; ②0a <,2b x a >-(或x >h )时,y 随x 的增大而减小;2b x a <-(或x <h )时,y 随x 的增大而增大 8. 抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为(0,c ),c 值为抛物线在y 轴上的截距. 9.抛物线与x 轴的交点:①240b ac ?=-=时,抛物线与x 轴有一个交点;②240b ac ?=->时,抛物线与x 轴有两个交点;③240b ac ?=-<时,抛物线与x 轴没有交点. 10.图象的平移:化成顶点式()2y a x h k =-+,左加右减自变量;上加下减常数项。 11.设抛物线与x 轴交于A 、B 两点,则AB a =或12AB x x =-=12.抛物线上重要的点:抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标,以及顶点坐标解题中经常会用到, 所以同学们应能熟练地由解析式求这些点的坐标.

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