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2013-2014高二数学第二课堂材料逻辑用语

2013-2014高二数学第二课堂材料(4)

-----常用逻辑用语11.18

(时间:120分钟;满分:160分)

一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在题中横线上)

1.命题:“若ab =0,则a =0或b =0”的逆否命题是________.

答案:若a ≠0且b ≠0,则ab ≠0

2.????? x 1>3x 2>3,是???

x 1+x 2>6,x 1x 2>9成立的________条件. 解析:由??? x 1+x 2>6x 1·x 2>9,可知,当??? x 1=8x 2=2,时,不等式组成立,但不满足???

x 1>3,x 2>3,

所以必要性不成立.

答案:充分不必要

3.命题“若x 2≥1,则x ≥1或x ≤-1”的逆否命题是________.

解析:命题的条件为“x 2≥1”,结果为“x ≥1或x ≤-1”,否定结果作条件,否定条件作结果,即为其逆否命题.

答案:若-1

4.下列四个命题中,是真命题的序号是________.

①“若x +y =0,则x ,y 互为相反数”的否命题;②“若a >b ,则a 2>b 2”的逆否命题;③“若x ≤-3,则x 2-x -6>0”的否命题;④“对顶角相等”的逆命题.

解析:①“若x +y ≠0,则x ,y 不互为相反数”是真命题;②“若a 2≤b 2,则a ≤b ”,取a =1,b =-5,因此a 2≤b 2,但a >b ,故②是假命题;③“若x >-3,则x 2-x -6≤0”,解不等式x 2-x -6≤0可得-2≤x ≤3,而x =4>-3不是不等式的解,故是假命题;④“相等的角是对顶角”是假命题.

答案:①

5.下列命题是真命题的是________(填序号).

①?x ∈R ,x 2+x +1<0;②?x ∈R ,x 2+x +1>0;③?x ∈Z ,x 2=2;④?x ∈R ,x 2=2.

答案:②④

6.设M 、N 是两个集合,则“M ∪N ≠?”是“M ∩N ≠?”的________条件. 解析:由Venn 图易知“M ∪N ≠?” “M ∩N ≠?”,而“M ∩N ≠?”?“M ∪N ≠?”.

答案:必要不充分

7.“p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的________条件.

解析:“p 且q ”为真?p 真且q 真?“p 或q ”为真,反之不成立.

答案:必要不充分

8.已知p :-40,若 p 是 q 的充分条件,则

实数a 的取值范围是________.

解析:p :-40?2

又 p 是 q 的充分条件,即 p ? q ,它的等价命题是q ?p ,所以???

a -4≤2,a +4≥3,

解得-1≤a ≤6.

答案:-1≤a ≤6

9.命题“偶数能被2整除”的否定形式是________.

答案:存在一个偶数不能被2整除

10.下列命题中,假命题是________.

①?α、β∈R ,使sin(α-β)=sin α-sin β;

②?a 、b ∈R ,方程ax +b =0恰有一个解;

③?x 、y ∈R ,x +y 2≥xy ;

④点(3,4)不在圆x 2+y 2-2x +4y +3=0上.

答案:②③

11.已知p (x ):x 2+2x -m >0,如果p (1)是假命题,p (2)是真命题,那么实数m 的取值范围是____________.

解析:因为p (1)是假命题,所以1+2-m ≤0,即m ≥3.又因为p (2)是真命题,所以4+4-m >0,即m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8.

答案:3≤m <8

12.给出下列四个命题:

①“若xy =1,则x ,y 互为倒数”的逆命题;

②“相似三角形的周长相等”的否命题;

③“若b ≤-1,则x 2-2bx +b 2+b =0有实数根”的逆否命题;

④若sin α+cos α>1,则α必定是锐角.

其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).

解析:①“若xy =1,则x ,y 互为倒数”的逆命题为“若x ,y 互为倒数,则xy =1”,是真命题;

②“相似三角形的周长相等”的否命题为“两个三角形不相似,则周长不相等”,显然是假命题;

③∵b ≤-1,∴Δ=4b 2-4(b 2+b )=-4b ≥4>0,∴“若b ≤-1,则x 2-2bx +b 2+b =0有实数根”为真命题,∴其逆否命题也是真命题;

④∵当α=7π3时,sin α+cos α>1成立,∴此命题是假命题.

答案:①③

13.已知命题p :“?x ∈[0,1],a ≥e x ”,命题q :“?x ∈R ,x 2+4x +a =0”,若上述两个命题都是真命题,则实数a 的取值范围为________.

解析:由?x ∈[0,1],a ≥e x ,得a ≥e ;由?x ∈R ,x 2+4x +a =0,得Δ=42-4a ≥0,解得a ≤4,从而a 的取值范围为[e,4].

答案:[e,4]

二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

14.(本小题满分14分)把下列各命题作为原命题,分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题.

(1)若α=β,则sin α=sin β;

(2)若对角线相等,则梯形为等腰梯形;

(3)已知a ,b ,c ,d 都是实数,若a =b ,c =d ,则a +c =b +d .

解:(1)逆命题:若sin α=sin β,则α=β;

否命题:若α≠β,则sin α≠sin β;

逆否命题:若sin α≠sin β,则α≠β.

(2)逆命题:若梯形为等腰梯形,则它的对角线相等;

否命题:若梯形的对角线不相等,则梯形不是等腰梯形;

逆否命题:若梯形不是等腰梯形,则它的对角线不相等.

(3)逆命题:已知a ,b ,c ,d 都是实数,若a +c =b +d ,则a =b ,c =d ; 否命题:已知a ,b ,c ,d 都是实数,若a ≠b 或c ≠d ,则a +c ≠b +d ; 逆否命题:已知a ,b ,c ,d 都是实数,若a +c ≠b +d ,则a ≠b 或c ≠d .

15.(本小题满分14分)写出下列命题的否定,并判断真假.

(1)正方形都是菱形;

(2)?x ∈R ,使4x -3>x ;

(3)?x ∈R ,有x +1=2x ;

(4)集合A 是集合A ∩B 或集合A ∪B 的子集.

解:(1)命题的否定:正方形不都是菱形,是假命题.

(2)命题的否定:?x ∈R ,有4x -3≤x .因为当x =2时,4×2-3=5>2,所以“?x ∈R ,有4x -3≤x ”是假命题.

(3)命题的否定:?x ∈R ,使x +1≠2x .因为当x =2时,x +1=2+1=3≠2×2,所以“?x ∈R ,使x +1≠2x ”是真命题.

(4)命题的否定:集合A 既不是集合A ∩B 的子集也不是集合A ∪B 的子集,是假命题.

16.(本小题满分16分)求证:关于x 的方程x 2+2ax +b =0有实数根,且两根均小于2的充分不必要条件是a ≥2且|b |≤4.

证明:先证明条件的充分性:

∵???

a ≥2

b ≤4?a 2≥4≥b ,

∴Δ=4(a 2-b )≥0,∴方程有实数根.①

∵??? a ≥2b ≥-4???? -2a ≤-4,b ≥-4.

∴(x 1-2)+(x 2-2)=(x 1+x 2)-4=-2a -4≤-4-4=-8<0.

而(x 1-2)(x 2-2)=x 1x 2-2(x 1+x 2)+4=b +4a +4≥-4+8+4=8>0,

∴??? (x 1-2)+(x 2-2)<0(x 1-2)(x 2-2)>0???? x 1-2<0x 2-2<0

???? x 1<2,x 2<2.② 由①②,知“a ≥2,且|b |≤4”?“方程x 2+2ax +b =0有实数根,且两根均小于2”.

再验证条件的不必要性:

∵方程x 2-x =0的两根为x 1=0,x 2=1,则方程的两根均小于2,而a =-12<2,

∴“方程x 2+2ax +b =0的两根小于2” “a ≥2且|b |≤4”.

综上,a ≥2且|b |≤4是方程x 2+2ax +b =0有实数根且两根均小于2的充分不必要条件.

17.(本小题满分16分)(1)设集合M ={x |x >2},P ={x |x <3},则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件?

(2)求使不等式4mx 2-2mx -1<0恒成立的充要条件.

解:(1)x ∈M 或x ∈P ?x ∈R ,x ∈(M ∩P )?x ∈(2,3),因为x ∈M 或x ∈P x ∈(M ∩P ),但x ∈(M ∩P )?x ∈M 或x ∈P .故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件.

(2)当m ≠0时,不等式4mx 2-2mx -1<0恒成立??

??

4m <0,Δ=4m 2+16m <0,?-4

18.(本小题满分16分)设命题p :实数x 满足x 2-4ax +3a 2<0(a <0);命题q :

实数x 满足x 2-x -6≤0或x 2+2x -8>0.且 p 是 q 的必要不充分条件,求a

的取值范围.

解:命题p :3a

∵ p ? q ,

∴p ?q ,由数轴可知a ≤-4或3a ≥-2,

即a ≤-4或a ≥-23.

又∵a <0,∴a ≤-4或-23≤a <0,即a 的取值范围是(-∞,-4]∪????

??-23,0.