中科院矩阵分析_第二章

第 2 章范数理论及其应用

2.1向量范数及I p范数

定义：如果V 是数域K 上的线性空间，且对于

V的任一向量x，对应一个实数值ixil,它满足以下三个条件：

1）非负性：||x|| 0,且||x||=0 x=0; 2）齐次性：iikxii=iki iixii，k K；

3）三角不等式：||x+y|| ||x||+||y||.

则称||x|为V上向量x的范数，简称为向量范数。

可以看出范数||||为将V映射为非负数的函数。注意：2）中|k|当K为实数时为绝对值，

当K 为复数域时为复数的模。

虽然向量范数是定义在一般的线性空间上的，但是由于前面的讨论，我们知道任何n 维线性空间在一个基下都代数同构于常用的n维复（或实）列向量空间, 因此下面我们仅仅讨论n 维复（或实）列向量空间就足够了下面讨论如下：1?设||||为线性空间V n的范数，任取它的一个

基X i,X2,…,X n,则对于任意向量X,它可以表示为

x= 1X1+ 2X2+ …+ n X n

其中，（1, 2,…,n）T为X的坐标。

由此定义C n（或R n）中的范数如下：

|| ||C = （） = || 1X1+ 2X2+ …+ n X n||

则容易验证|| ||C确实为C n中的范数.

2?反之，若|| |C为C n中的范数，定义V n的范数如下：||X||= （X）=|| ||c

其中X= 1X1+ 2X2+ …+ n X n。

则容易验证（X）确实为V n的范数。

这个例子充分说明了一般线性空间的范数和n维

复（或实）列向量空间的范数之间的关系。这也是为我们只讨论n 维复（或实）列向量空间的范数的理由.

范数首先是一个函数，它将线性空间的任意向量映射为非负实数。

范数与函数

性质 1. 范数是凸函数，

即|| （1 ）X+ y|| （1 ）||X||+ ||y||

其中0

向量的范数类似于向量长度。

性质 2. (范数的乘法) 若|| ||为线性空间V 上的向量范数，则k|||| 仍然为向量范数, 其中k > 0.

性质3.设||||comp为R m上的范数，且对x (R+)m为单调增加的(即，若x,y (R+)m, 且X i y那么IXI Comp lyil comp 成立?),那么，对于给定的m个n维线性空间V上的范数||||i,i=1,2,…,m，我们可以定义一个复合范数为llxll=llU(x)ll comp , 其中，

U(X)=( ||X||1,||X|2,…,||x||m)T. 证明：非负性和齐次性是显然的，仅需

证明三角不等式。

llX+yll=ll U(X+y)ll comp

l|U(x)+U(y)|| comp(因U(x+y) U(x)+U(y)) llU(X)ll comp+ll

U(y)ll comp

=llxll+ll yll

例如?若||||f和||||g为线性空间V上的两个向量范数，则

(1) . llll f + |||g为V上向量范数。

(2) . max{ || |f, ||||g }为V 上向量范数。⑶[(lll f)2+ (ll ll g)2]1/2

为V 上向量范数。

性质 4. (范数的合成)

设n 维线性空间V= V1 V2 … V m, 且|川i,i=1,2,…,m,为线性子空间V i 上的范数，而||||comp为R m上的范数，且对x (R+)m为单调增加的(即，若x,y (R+)m,

且X i y i,那么|X||comp ||y||comp 成立?)，则对任意x V,存在唯一的分解

X=X i+X2 +…+X m

其中x i V i,

这时定义x 的范数为llxll=llU(x)ll comp, 其中，U(X) =

( ||X i||i,||X2||2,…,|X m||m)T. 证明类似于性质3.(略)

定义：线性空间V的闭凸集若满足,x ，则x 其中| | 1，那么为均衡闭凸集。

性质 5. (范数与凸集,又称为范数的几何性质)

若|| ||为线性空间V 上的

向量范数，集合二{x: ||x|| 1}为V上均衡闭凸集。

反之，若为V 上的均衡闭凸集，且含有内点，即包含一个小的单位球。则可以定义函数P(x) 如下：当x 0 时，

P(x)= min { > 0:x/ }

当x=0时，P(x)=O.则P(x)为V上的范数。证明：1). 显然P(x) 0, 且P(0)=0.

下面我们证明若P(x)=0, 则x=0;

用反证法，设x 0,则由P(x)的定义，任给

>P(x)=0, 则有x/ 。因为为有界集。

即存在常数M>0 使得

对任意y , ||y|| M. 其中||||为某一给定的范数。令y=x/，则得到||x/ || M,即||x|| M,由于为任意大于0的数，若令0则有||x||=0。因||||为范数，

从而x=0. 这样，我们就证明了1).

2) .若x=0,贝S P(k x)=|k|P(x)显然成立。

假设x 0, 由于x/P(x) ,且

任何P(x), x/ ;

而任何< P(x), x/ .

显然k x/P(kx),则[(k/|k|) {x /[ P(kx)/|k|] } 注意k/|k|的幅度为1,从而由的均衡性，我们有x /[ P(kx)/|k|] ，这样由定义有

P(x) P(kx)/|k|, 即

|k|P(x) P(kx). ( )

同样由于x/P(x)，注意到k/|k|的幅度为1,

从而(kx)/(|k| P(x))，由定义有

P(kx) |k|P(x) ( )

联合( )和( ), 我们有P(kx)=|k| P(x).

(3) . 设x 0,y 0, 则x/P(x) , y/P(y) ,

令=P(y)/(P(x)+P(y)), 由于为凸集,

从而

(x+y)/(P(x)+P(y))=(1 ) x/P(x)+ y/(P(y) ,

这样有P(x+y)的定义，我们有

P(x+y) P(x)+P(y).

当x 和y 有一个或全部为0 时,显然三角不等式

仍然成立。

联合1）, 2）和3）,从而P（x）为范数。

这个性质说明了范数和均衡凸集之间的

例1:向量的p范数：

||x||p二{|X1|P+|X2|P+ …+|X n|P}1/p

取p=1,2,和便分别得到1范数，2范数和范数。

即||x|1 = |X1| + |X2| +…+|X n| ||X|2={|X1|2+|X2|2+ …+|X n|2}1/2 ||X||二max i |刈

其中||||2范数为由内积导出的范数。

Holder不等

式

n

|a i b |

i 1

p,q>1, 1/p+1/q =1.

例2.若A为可逆变换，|||为线性空间V的范数，则||x|| =||Ax||仍为V的范数.

例3.（加权范数）设A为实对称正定矩阵，对x R n,定义||X||=（X T A X）1/2称为加权范数。

范数有无穷多，但它们彼此等价。即定理（范数的等价定理）：设||x||和||x||为有限维线性空间的任意两个范数，则存在与X无关的两个大于0常数C1,C2使得下面式子成立：

C1||X|| || X|| C2||X||

证明思路1）范数等价为等价关系，满足传递性;

2）任意范数为坐标函数的连续函数；

3）在单位超球面上有大于零的极大极小值，

与2-范数等价。

利用范数等价证明: 向量收敛的两个定义一致性. 即：

均衡凸集与范数

n

1/p

|a i |p

i 1

n

1/q

|b i|q

i 1

向量序列｛x(n)｝收敛于x指每个分量数列｛K(n) X i｝收敛于0 向量序列｛x(n)｝收敛于x指范数数列｛||x(n) x||｝收敛0。

矩阵范数

定义2.3设A C m n,定义一个实值函数它满足以下三个条件：

1) 非负性：||A|| 0,且||A||=0 A=0;

2) 齐次性：||kA||=|k| ||A||，k C；

3) 三角不等式：||A+B|| ||A||+||B||.

则称||A||为A的广义矩阵范数。很明显矩阵按广义范数收敛和分量收敛是等价的。

即：

1?矩阵序列A(n)收敛于A指矩阵的每个元素数列a j(n) a j收敛于0 2?矩阵序列A(n)收敛指矩阵的广义范数数列｛ ||A(n) A || ｝收敛于0。

广义矩阵范数可以看成将矩阵按列写成向量的形式，然后定义的向量范数。

a1

A=[a i,a2,…,a n],写成vec(A)二a2

这样，对vec(A)定义向量范数，就可以得到相应的广义矩阵范数了。这样所有已经讨论的关于向量范数的性质和构造方法都可以用来构造相应的广义矩阵范数了。

若对C m n ,C n 1 ,C m 1的同类广义矩阵范数||.|| 有

4) . 相容性：||AB|| ||A||||B|| 则称||A||为A的矩阵范数。

对于方阵可以有如下定义的相容性：

若对C n n的广义矩阵范数||.||,若有

4）. 相容性：||AB|| ||A|| ||B|| 则称||A||为A的矩阵范数。

可见对于方阵的广义矩阵范数的相容性定义，不需要讨论这个广义矩阵范数的定义规则是否可以应用于其他维数大小的矩阵。这个是很好理解的，毕竟方阵是线性空间中变换的矩阵表示形式，而一般矩阵是两个不同线性空间之间线性映射的矩阵表示性质。

性质：若||||为C n n的相容的矩阵范数, 则||X|| =||SXS ［仍为相容的矩阵范数。

向量范数和矩阵范数的相容性：

定义2.4对于C m n上的矩阵范数||.|M和C m 与C n的同类范数||.|V,如果

l|Ax||v ||A||M ||X|V，任给A C m n，x C n

则称矩阵范数||.|M和向量范数||.|V相容。

（在这个定义中，同类的向量范数||.|V不一定就是由矩阵范数||.||M 导出来的）

定理（存在性）任给||.|M是C m n上的矩阵范数, 存在c m和c n上的同类向量范数满足

||Ax||vm ||A||M ||x|Vn任给A C mn，x C n 证明：任取C n中不为0的向量a,

定义||x|Vm = ||X a H||M , x C m;

设l|.|N为和l|.|M同类的为c n n的矩阵范数，定义||y||Vn=||ya H||N, y C n;

易验证||x|Vm, ||y|Vn分别为C m,C n的向量范数。从而利用矩阵范数相容性可得任给y C n, ||Ay||Vm=||Aya H||M=||A（ya H）||M

||A||M||ya H||N=||A||M||y||Vn 从而成立结论。

（此处，实际上定义的同类向量范数为

||x||=||xa H||,和x的维数无关。而右边就是那个同类的矩阵范数||

|M。)

例：Frobenius范数或称F-范数和||.|2范数相容. 二[Tr(A H A)]1/2=( |可|2)1/2

从属(算子)范数

定义:设C m与C n的同类范数||.|，对于c mn上的矩阵A定义函数：||A||=max||Ax||

是C m n上矩阵范数，且与已知的向量范数相容. 称为之由向量导出的范数，从属范数或算子范数。

这时我们实际上将A看作线性映射的矩阵表示

定理设A=(a j) C m n,x=( 1, 2,…,n)T C n

则从属于向量x的三种范数||x|1,||x|2和||x|| 的矩阵范数依次是：

m

1) ||A||1=max |a j|;(列范数)

j

i 1

2) ||A||2=「1，其中1为A H A的最大特征值；

m

3) ||A|| =max |a ij |;(行范数)

i

j 1

必须特别注意，所有广义矩阵范数都是相互等价的。

范数的应用

1.矩阵非奇异性条件

定理：设A C n n,且对C n n的某矩阵范数||.|| 满足||A||<1则矩阵I A非奇异，且有

1) ||(I A) 1|| ||I||/(1 ||A||)

2) ||I (I A) 1|| ||A||/(1 ||A||)

证明需要利用给定矩阵范数存在和它相容的向量范数。

逆矩阵的摄动

定理2.8设矩阵A, B C n n, A非奇异，且对

C n n的某矩阵范数||.|满足||A乜||<1,则

中科院矩阵分析与应用大作业

中科院矩阵分析与应用大作业 实现LU分解 QR分解 Householder reduction、Givens reduction Matlab 代码： function [] =juzhendazuoye A=input('请输入一个矩阵A='); x=input('请输入序号 1 LU分解 2 Gram-Schmidt分解 3 Householder reduction 4 Givens reduction:' ); if(x==1) %%*************LU分解*****************%% disp('PA=LU') m=size(A,1); % m等于矩阵A的行数 n=size(A,2); % n等于矩阵A的列数 if(m==n) % 判断矩阵A是不是方阵 % 如果矩阵A不是方阵那么就输出“error” U=A; % 把矩阵A赋值给矩阵U L=zeros(n); % 先将L设为单位阵 P=eye(n); % 首先将交换矩阵P设为单位矩阵 for j=1:n-1 for i=j+1:n if (U(j,j)~=0) %判断主元元素是否不为0

L(i,j)=U(i,j)/U(j,j); U(i,:)=U(i,:)-U(j,:)*U(i,j)/U(j,j); % U(j,j)为主元元素 else a=j+1; % 令a等于j+1 while((U(a,j)==0)&&(a

第五章矩阵分析(改)

第五章 矩阵分析 本章将介绍矩阵微积分的一些内容.包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念，简要介绍向量与矩阵范数的有关知识. §5.1 向量与矩阵的范数 从计算数学的角度看，在研究计算方法的收敛性和稳定性问题时，范数起到了十分重要的作用. 一、向量的范数 定义1 设V 是数域F 上n 维（数组）向量全体的集合，x 是定义在V 上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件： 1）非负性 对V 中任何向量x ，恒有0x ≥，并且仅当0=x 时，才有 x =0； 2）齐次性 对V 中任意向量x 及F 中任意常数k ，有;x k kx = 3）三角不等式 对任意V y x ∈,，有 y x y x +≤+， 则称此函数x （有时为强调函数关系而表示为?） 为V 上的一种向量范数. 例1 对n C 中向量()T n x x x x ,,,21 =，定义 2 22212 n x x x x +++= 则2x 为n C 上的一种向量范数[i x 表示复数i x 的模]. 证 首先，2n x C 是上的实值函数，并且满足

1）非负性 当0x ≠时，0x >；当0x =时，0x =； 2）齐次性 对任意k C ∈及n x C ∈，有 22||||||kx k x = =； 3）三角不等式 对任意复向量1212(,, ,),(,, ,)T T n n x x x x y y y y ==，有 222 221122||||||||()n n x y x y x y x y +=++++ ++ 2221122()()()n n x y x y x y ≤++++ ++ 2 21 1 1 ||2||||||n n n i i i i i i i x x y y ====++∑∑∑（由Cauchy-ВуНЯКОВСКИЙ 不等式） 222222 2 22||||2||||||||||||(||||||||),x x y y x y ≤++=+ 因此 222||||||||||||x y x y +≤+ 所以 2||||x 确为n C 上的一种向量范数 例2 对n C [或n R ]上向量12(,,,)T n x x x x =定义 112||||||||||n x x x x =+++， 1max i i n x x ∞ ≤≤=， 则1||||x 及x ∞都是n C [或n R ]上的向量范数，分别称为1-范数和∞-范数. 证 仅对后者进行证明. 1）非负性 当0x ≠时，max 0i i x x ∞ =>，又显然有00∞=； 2）齐次性 对任意向量()T n x x x x ,,,21 =及复数k ，

中科院-模式识别考题总结(详细答案)

1.简述模式的概念及其直观特性，模式识别的分类，有哪几种方法。（6’） 答（1）：什么是模式？广义地说，存在于时间和空间中可观察的物体，如果我们可以区别它们是否相同或是否相似，都可以称之为模式。 模式所指的不是事物本身，而是从事物获得的信息，因此，模式往往表现为具有时间和空间分布的信息。 模式的直观特性：可观察性；可区分性；相似性。 答（2）：模式识别的分类： 假说的两种获得方法（模式识别进行学习的两种方法）： ●监督学习、概念驱动或归纳假说； ●非监督学习、数据驱动或演绎假说。 模式分类的主要方法： ●数据聚类：用某种相似性度量的方法将原始数据组织成有意义的和有用的各种数据 集。是一种非监督学习的方法，解决方案是数据驱动的。 ●统计分类：基于概率统计模型得到各类别的特征向量的分布，以取得分类的方法。 特征向量分布的获得是基于一个类别已知的训练样本集。是一种监督分类的方法， 分类器是概念驱动的。 ●结构模式识别：该方法通过考虑识别对象的各部分之间的联系来达到识别分类的目 的。（句法模式识别） ●神经网络：由一系列互相联系的、相同的单元（神经元）组成。相互间的联系可以 在不同的神经元之间传递增强或抑制信号。增强或抑制是通过调整神经元相互间联 系的权重系数来（weight）实现。神经网络可以实现监督和非监督学习条件下的分 类。 2.什么是神经网络？有什么主要特点？选择神经网络模式应该考虑什么因素？ （8’） 答（1）：所谓人工神经网络就是基于模仿生物大脑的结构和功能而构成的一种信息处 理系统（计算机）。由于我们建立的信息处理系统实际上是模仿生理神经网络，因此称它为人工神经网络。这种网络依靠系统的复杂程度，通过调整内部大量节点之间相互连接的关系，从而达到处理信息的目的。 人工神经网络的两种操作过程：训练学习、正常操作（回忆操作）。 答（2）：人工神经网络的特点： ●固有的并行结构和并行处理； ●知识的分布存储； ●有较强的容错性； ●有一定的自适应性； 人工神经网络的局限性： ●人工神经网络不适于高精度的计算； ●人工神经网络不适于做类似顺序计数的工作； ●人工神经网络的学习和训练往往是一个艰难的过程； ●人工神经网络必须克服时间域顺序处理方面的困难； ●硬件限制； ●正确的训练数据的收集。 答（3）：选取人工神经网络模型，要基于应用的要求和人工神经网络模型的能力间的 匹配，主要考虑因素包括：

硕士研究生课程考试试题矩阵论答案

华北电力大学硕士研究生课程考试试题（A 卷） 2013～2014学年第一学期 课程编号：50920021 课程名称：矩阵论 年 级：2013 开课单位：数理系 命题教师： 考核方式：闭卷 考试时间：120分钟 试卷页数： 2页 特别注意：所有答案必须写在答题册上，答在试题纸上一律无效 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 方阵 A 的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。 见书52页，代数重数指特征多项式中特征值的重数，几何重数指不变子空间的维数，前者加起来为n ，后者小于等于n 2. 设12,,,m αααL 是线性无关的向量,则12dim(span{,,,})m m ααα=L . 正确，线性无关的向量张成一组基 3.如果12,V V 是V 的线性子空间,则12V V ?也是V 的线性子空间. 错误，按照线性子空间的定义进行验证。 4. n 阶λ-矩阵()A λ是可逆的充分必要条件是 ()A λ的秩是n . 见书60页，需要要求矩阵的行列式是一个非零的数 5. n 阶实矩阵A 是单纯矩阵的充分且必要条件是A 的最小多项式没有重根. 二、填空题（每小题3分，共27分） （6）210021,003A ?? ?= ? ???则A e 的Jordan 标准型为223e 1 00e 0 ,00 e ?? ? ? ?? ?。 首先写出A e 然后对于若当标准型要求非对角元部分为1. （7）301002030λλλ-?? ?+ ? ?-??的Smith 标准型为10003000(3)(2)λλλ?? ?- ? ?-+?? 见书61-63页，将矩阵做变换即得

研究生矩阵试题B2

北京交通大学 2005-2006学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(B) 专业 班级 学号 姓名 一． （12分）设3R 的两个基为T T T I )1,0,1( ,)1,0,1( ,)1,1,1( :321=-==ααα和T T T II )5,4,3( ,)4,3,2( ,)1,2,1( :321===βββ， （1） 求基I 到基II 的过度矩阵；（2） 求T )1,1,1(=α在基I 下的坐 标。 二． （14分）设线性影射34:R R T →满足，对任意44321),,,(R x x x x T ∈， T T x x x x x x x x x x x x x x x T )3,2,(),,,(432142143214321-++-+++-=， 求T 的核()N T 及值域()R T 的基和维数。 三． （12分）设???? ? ??-=120520i i i A ， （1）计算1A 和∞A ；（2）如果T x )1,1,1(=， 计算1Ax 和∞Ax 。 四．（10分）求矩阵???? ? ??=131321*********A 的满秩分解。 五． （12分）求矩阵???? ? ??=230111140A 的正交三角分解UR A =，其中U 是

酉矩阵，R 是正线上三角矩阵。 六． （20分）证明题： 1． 设A 是反Hermite 矩阵，证明A E -是可逆的。 2．设A 是正规矩阵， 如果A 满足0432=--E A A ，证明：A 是Hermite 矩阵。 3．证明：n 维欧氏空间V 的线性变换T 是对称变换，即对任何,x y V ∈， ),(),(Ty x y Tx = 的充要条件是T 在标准正交基下的矩阵表示是对称拒阵。 七． （20分） 设???? ? ??=100100011A 。 （1）求E A λ-的Smith 标准形；（2）写出A 的最小多项式， A 的初等因子和Jordan 标准形； （3）求矩阵函数()f A ，并计算tA e 。

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二

习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型： （1）222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解：（1）对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? ， 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为

2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??； （3）对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中，可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子： （1） 21 0021002λλλ--????--????-??； （2）100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ；

北京理工大学2017级硕士研究生矩阵分析考试题

北京理工大学2017-2018学年第一学期 2017级硕士研究生〈矩阵分析〉终考试题 一、（10分）设线性变换f 在基123[1,1,1],[1,0,1],[0,1,1] ααα=-=-=下的矩阵表示为101110123A -????=????-?? （1）求f 在基123[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]εεε===下的矩阵表示。 （2）求f 的核与值域。 二、（10分）求矩阵20000i A ????=?????? 的奇异值分解。 三、（10分）求矩阵111222111A -????=-????--?? 的谱分解。 四、（15分）已知(1)n u R n ∈>为一个单位列向量，令T A I uu =-，证明 （1）21A =； （2）对任意的X R ∈，如果有AX X ≠，那么22AX X <。 五、（15分）已知矩阵1212a A a ??-??=????-???? ， （1）问当a 满足什么条件时，矩阵幂级数121()k k k A ∞ =+∑绝对收敛？ （2）取a = 0，求上述矩阵幂级数的和。

七、（20分）求下列矩阵的矩阵函数2,sin ,cos tA e A A π π 300030021 01300103123001013000301 00013()()()A A A ??????????? ???===?????? ???????????? 八、（5分）已知 sin 53sin 2sin 52sin sin 5sin sin sin 5sin 2sin 52sin sin 5sin sin 5sin 2sin 52sin sin 53sin t t t t t t tA t t t t t t t t t t t t +--????=-+-????--+?? 求矩阵A 。 九、（5分）已知不相容线性方程组 141223341 10 x x x x x x x x +=??+=??+=??+=? 求其最佳最小二乘解。 十、（10分）已知Hermite 二次型 12312132131(,,)f x x x ix x x x ix x x x =+-+ 求酉变换X UY =将123(,,)f x x x 化为标准型。

中科院矩阵分析chapt3

矩阵分析及其应用 3.1矩阵序列 定义3.1设矩阵序列｛A (k )｝,其中A(k)=( a (k ) ) C m n ,当k a j" a u 时，称矩阵序列｛A (k)｝收敛，并称矩阵 A=( a ij )为矩 阵序列｛A (k)｝的极限，或称｛A (k)｝收敛于A,记为 lim A (k) A 或 A (k) A k 不收敛的矩阵序列称为发散的。 由定义，矩阵序列 A (k )发散的充要条件为存在 j 使 得数列a (k)发散。 类似地，我们可以定义矩阵收敛的 Cauchy 定义 定义3.1'矩阵序列｛A (k)｝收敛的充要条件为 对任给>0存在N()，当k, l N()时有 ||A (k) A (l)|| < 其中||.|为任意的广义矩阵范数。 sin 』) n n sin(k) 如果直接按定义我们因为求不出 A (n)的极限从而 从而只要I 充分大，则当m, n > l 时就有 sin(k) k 2 这样A (l)收敛。 定理3.1 A (k) A 的充要条件为 ||A (k) A|| 0 证明：利用广义矩阵范数的等价性定理，仅对 范数可以证 明。 即c 1 IL A (k) A|| ||A (k) AII C 2 ||A (k) AII 性质 0 若 A (k) A ，则 ||A (k) II IIAII 成立。 性质 1. 设 A (k) A m n ， B (k) B m n , 则 A (k)+ B (k) A+ B ， ,C 性质 2. 设 A (k) A m n ， B (k ) B n l ,贝U A (k) B (k) A B 证明：由于矩阵范数地等价性，我们可以只讨论相容的 矩阵范数。 ||A (k )B (k) A B|| || A (k) B (k) A B (k)||+||AB (k) A B|| || A (k) A|| ||B (k)||+||A||||B (k) B|| 例 1 A (n) k m 1 k(k 1) 相反，由于

#研究生矩阵论第1讲 线性空间

矩阵论 1、意义 随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容 《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异： 线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容． 矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富． 3、方法 在研究的方法上，矩阵论和线性代数也有很大的不同： 线性代数：引入概念直观，着重计算． 矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将

来正确处理实际问题有很大的作用． 第1讲 线性空间 内容： 1.线性空间的概念； 2.基变换和坐标变换； 3.子空间和维数定理； 4.线性空间的同构 线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象． §1 线性空间的概念 1. 群，环，域 代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数． 代数运算：假定对于集A 中的任意元素a 和集B 中的任意元素b ，按某一法则和集C 中唯一确定的元素c 对应，则称这个对应为A 、B 的一个（二元）代数运算． 代数系统：指一个集A 满足某些代数运算的系统． 1.1群 定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群． 1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα； 2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；

中科院矩阵分析_第五章

第五章 特征值的估计及对称矩阵的极性 本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论， 即 特征值的估计 广义特征值问题 实对称矩阵（一般是Hermite 矩阵）特征值的 极小极大原理，其次也涉及到一些特征值 和奇异值的扰动问题,最后简要地介绍矩阵 直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解 方面的应用。这几方面的内容，在矩阵的 理论研究与实际应用当中都有着相当重要 的作用。 5.1特征值的估计 一、特征值的界 首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的 一些方法 定理5.1 设A=(a rs )∈R n×n ,令 M=||2 1 max ,1sr rs n s r a a -≤≤ λ若表示A 任一特征值，则λ的虚部Im(λ) 满足不等式 2 ) 1(|)Im(|-≤n n M λ |Im(λ)|≤||A -A T ||2 / 2 |Im(λ)|≤||A -A T ||1 ?/2. 证明：设x+i ?y 为对应于λ的A 的特征向量， 则 A(x+i ?y)=(α+β?i)(x+i ?y) 其中λ=α+β?i.显然x,y 为实向量，且x,y 为 线性无关的 向量。 经整理A(x,y)=(x,y)B, 其中B=??? ? ??-αββα 。 从而(x,y)T A(x,y)=(x,y)T (x,y)B 展开有

???? ??Ay y Ax y Ay x Ax x T T T T =α????? ??y y y x y x x x T T T T + β???? ? ? ?--x y y y x x y x T T T T (求等式两边矩阵的对角元之和，可得 α(x T x +y T y )=x T Ax +y T Ay (1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得： β(x T x +y T y )=x T (A -A T )y 1). 记B=A -A T ,则 |x T By|≤||x||2 ?||B||2?||y||2 从而 |β|≤||x||2 ?||B||2?||y||2 /((||x ||2)2 +(||y ||2)2) 利用ab /(a 2+b 2)≤1/2 可得 |β|≤||B||2 /2. 2). 由于|x T By|≤||Bx||1 ?||y||∞≤||B||1?||x||1 ?||y||∞ 从而 |β|≤||B||1 ?||x||1 ?||y||∞ /((||x ||2)2 +(||y ||2)2) 易证明 ||x||1 ?||y||∞ /((||x ||2)2 +(||y ||2)2) /2. (显然，不妨假设(||x ||2)2 +(||y ||2)2=1, 设||y ||∞=t =cos(α), 则y 必为t ? e j 的形式（为什么？）， 从而极值转化为求解如下最大值问题： max ||x||1, 满足约束(||x ||2)2=1-t 2 这样有均值不等式||x||1 x ||2 = -t 2)1/2, 从而我们需要求解t (1-t 2)1/2的最大值，设t =cos(α) 可得t (1-t 2)1/2的最大值为1/2. 从而得证。) 因此 |β|≤||B||1 3). 由于b ii =0, i =1,2,…,n , b ij = -b ji , 因此 |x T By|2=| 1 1()n ij i j j i i j i b x y x y -=>??-∑∑|2 ≤(2M )2 2 1||n i j j i i j i x y x y =>??- ??? ∑∑ (利用(a 1+a 2+…+a n )2≤ n ((a 1)2+(a 2)2+…+(a n )2) ≤(2M )2 (n (n -1)/2) 21||n i j j i i j i x y x y =>??- ??? ∑∑

矩阵分析 - 北京理工大学研究生院

课程名称：矩阵分析 一、课程编码：1700002 课内学时： 32 学分： 2 二、适用学科专业：计算机、通信、软件、宇航、光电、生命科学等工科研究生专业 三、先修课程：线性代数，高等数学 四、教学目标 通过本课程的学习，要使学生掌握线性空间、线性变换、Jordan标准形，及各种矩阵分解如QR分解、奇异值分解等，正规矩阵的结构、向量范数和矩阵范数、矩阵函数，广义逆矩阵、Kronecker积等概念和理论方法，提升研究生的数学基础，更好地掌握矩阵理论，在今后的专业研究或工作领域中熟练应用相关的矩阵分析技巧与方法，让科研结果有严格的数学理论依据。 五、教学方式 教师授课 六、主要内容及学时分配 1、线性空间和线性变换（5学时） 1.1线性空间的概念、基、维数、基变换与坐标变换 1.2子空间、线性变换 1.3线性变换的矩阵、特征值与特征向量、矩阵的可对角化条件 2、λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形（4学时） 2.1 λ-矩阵及Smith标准形 2.2 初等因子与相似条件 2.3 Jordan标准形及应用； 3、内积空间、正规矩阵、Hermite 矩阵（6学时） 3.1 欧式空间、酉空间 3.2标准正交基、Schmidt方法 3.3酉变换、正交变换 3.4幂等矩阵、正交投影 3.5正规矩阵、Schur 引理 3.6 Hermite 矩阵、Hermite 二次齐式 3.7.正定二次齐式、正定Hermite 矩阵 3.8 Hermite 矩阵偶在复相合下的标准形

4、矩阵分解（4学时） 4.1矩阵的满秩分解 4.2矩阵的正交三角分解（UR、QR分解） 4.3矩阵的奇异值分解 4.4矩阵的极分解 4.5矩阵的谱分解 5、范数、序列、级数（4学时） 5.1向量范数 5.2矩阵范数 5.3诱导范数（算子范数） 5.4矩阵序列与极限 5.5矩阵幂级数 6、矩阵函数（4学时） 6.1矩阵多项式、最小多项式 6.2矩阵函数及其Jordan表示 6.3矩阵函数的多项式表示 6.4矩阵函数的幂级数表示 6.5矩阵指数函数与矩阵三角函数 7、函数矩阵与矩阵微分方程（2学时） 7.1 函数矩阵对纯量的导数与积分 7.2 函数向量的线性相关性 7.3 矩阵微分方程 (t) ()() dX A t X t dt = 7.4 线性向量微分方程 (t) ()()() dx A t x t f t dt =+ 8、矩阵的广义逆（3学时） 8.1 广义逆矩阵 8.2 伪逆矩阵 8.3 广义逆与线性方程组 课时分配说明：第一章的课时根据学生的数学基础情况可以调整，最多5学时，如学生线

研究生矩阵论试题与答案

中国矿业大学 级硕士研究生课程考试试卷 考试科目矩阵论 考试时间年月 研究生姓名 所在院系 学号 任课教师

一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求 10 d At e t ? （用矩阵A 或其逆矩阵表示） ； （2）设1234(,,,)T a a a a =α是给定的常向量，42)(?=ij x X 是矩阵变量，求T d()d X αX ； （3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求k k A A ??? ? ??∞→)(lim ρ。

二（15分）设微分方程组 d d (0)x Ax t x x ?=???? ?=?，508316203A ?? ?= ? ?--??，0111x ?? ? = ? ??? （1）求A 的最小多项式)(λA m ； （3）求At e ； （3）求该方程组的解。

三（15分）对下面矛盾方程组b Ax = 312312 111x x x x x x =?? ++=??+=? （1）求A 的满秩分解FG A =； （2）由满秩分解计算+A ； （3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。

四（10分）设 11 13A ?=?? 求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。 五（10分） 设(0,,2)T n A R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2 ()tr()m A λλλ=-； （2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。

六（10分）设m n r A R ?∈， （1）证明rank()n I A A n r + -=-； （2）0Ax =的通解是(),n n x I A A y y R +=-?∈。 七（10分）证明矩阵 21212123 111222222243333 33644421(1)(1)n n n n n n n n n n ---? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?+++? ? A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。

2020-2021年中国科学院大学(中科院)概率论与数理统计考研招生情况、分数线、参考书目及备考经验

一、中国科学院数学与系统科学研究院简介 中国科学院数学与系统科学研究院由中科院数学研究所、应用数学研究所、系统科学研究所及计算数学与科学工程计算研究所四个研究所整合而成，此外还拥有科学与工程计算国家重点实验室、中科院管理决策与信息系统重点实验室、中科院系统控制重点实验室、中科院数学机械化重点实验室、华罗庚数学重点实验室、随机复杂结构与数据科学重点实验室，以及中科院晨兴数学中心和中科院预测科学研究中心等。2010年11月成立国家数学与交叉科学中心，旨在从国家层面搭建一个数学与其它学科交叉合作的高水平研究平台。数学与系统科学研究院拥有完整的学科布局，研究领域涵盖了数学与系统科学的主要研究方向。共有16个硕士点和13个博士点（二级学科），分布在经济学、数学、系统科学、统计学、计算机科学与技术、管理科学与工程六个一级学科中，可以在此范围内招收和培养硕士与博士研究生。在2006年全国学科评估中，我院数学学科的整体评估得分为本学科的最高分数。数学与系统科学研究院硕士招生类别为硕士研究生、硕博连读生和专业学位硕士研究生。2019年共计划招收122名。 二、中国科学院大学概率论与数理统计专业招生情况、考试科目

三、中国科学院大学概率论与数理统计专业分数线2018年硕士研究生招生复试分数线 2017年硕士研究生招生复试分数线

四、中国科学院大学概率论与数理统计专业考研参考书目 616数学分析 现行（公开发行）综合性大学（师范大学）数学系用数学分析教程。 801高等代数 [1] 北京大学编《高等代数》，高等教育出版社，1978年3月第1版，2003年7月第3版，2003年9月第2次印刷. [2] 复旦大学蒋尔雄等编《线性代数》，人民教育出版社，1988. [3] 张禾瑞，郝鈵新，《高等代数》，高等教育出版社， 1997. 五、中国科学院大学概率论与数理统计专业复试原则 在中国科学院数学与系统科学研究院招生工作小组领导下，按研究所成立招收硕士研究生复试小组，设组长1人、秘书1人。 复试总成绩按百分制计算，其中专业知识成绩占60％，英语听力及口语测试成绩占20％，综合素质成绩占20%。 在面试环节，每位考生有5分钟自述，考查内容主要包括专业知识、外语（口语）水平和综合素质等。 1、专业知识面试重点考查考生对专业基础知识掌握的深度和广度，对知识灵活运用的程度以及考生的实验技能和实际动手能力等，了解考生从事科研工作的潜力和创新能力。 2、外语面试主要考查考生的听、说能力及语言运用能力。 3、思想品德的面试包括考生的政治态度、思想品德、工作学习态度、团队合作精神、科研道德、遵纪守法以及心理素质等内容。 4、体检主要了解考生的身体健康状况，也包括体能、体质和心理素质等。 5、研究生部通过“政审表”向考生所在单位的人事、政工或考生管理部门了解考生的思想品德情况和现实表现。“政审表”将根据中国科学院大学时间部署与调档函一并寄发，需由考生本人档案所在单位的人事（政工）部门加盖公章，随档案一并寄回。政审合格方可寄发录取通知书。 六、中国科学院大学概率论与数理统计专业录取原则 复试小组对本学科参加复试的考生根据初试成绩和复试成绩的综合评定，得出拟录取考生名单，经数学与系统科学研究院招生工作领导小组审核通过。 最终录取成绩：将考生初试成绩和复试成绩按一定比例加权平均后，得出录取成绩。加权平均采用下列公式： 录取成绩＝(初试成绩÷5)×40%＋复试成绩×60%。复试成绩不合格者不予录取；政审不合格、体检不合格者不予录取。 拟录取名单确定后将在网站上公示10个工作日 七、中国科学院大学概率论与数理统计考研复习建议 1、零基础复习阶段（6月前)

北京交通大学研究生矩阵分析期末考试试卷(7份)

2004-2005学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A) 专业 班级 学号 姓名 一． （12分）3[]R x 表示由次数小于3的多项式组成的线性空间。在 3[]R x 中取两个基：21231,1,(1)x x ααα==-=-； 21232,2,(2)x x βββ==-=-。（1）求123,,βββ到123,,ααα的过度矩阵，（2） 求21x x ++ 在123,,ααα下的坐标。 二． （14分）设T 是n R 的线性映射，对任意12(,, ,)T n n x x x x R =∈满足 11(0,, ,)n Tx x x -=。（1）证明0n T =； （2）求T 的核()N T 及值域 ()R T 的 基和维数。 三． （12分）设1023510224i A i i i -?? ?=++ ? ?-??，120x i -?? ? ?= ? ? ?-?? ，i = 。 计算11, , , Ax Ax A A ∞∞。 四．（10分）求矩阵1123101032160113A -?? ?-- ? = ?- ? ?-? ? 的满秩分解。 五． （12分）求矩阵011110101A ?? ? = ? ??? 的正交三角分解A UR =，其中U

是酉矩阵，R 是正线上三角矩阵。 六． （16分，1、2小题各5分， 3小题6分）证明题： 1． 设A 是n 阶正规矩阵，且满足2320A A E -+=。证明A 是Hermite 矩阵，并写出A 的Jordan 标准形的形式。 2．设A 是正定Hermite 矩阵，且A 是酉矩阵，证明A E =。 3．证明：若A 是Hermite 矩阵，则iA e 是酉矩阵。 七． （24分） 设100011101A ?? ? =- ? ?-?? 。（1）求E A λ-的Smith 标准形； （2）写出A 的最小多项式， A 的初等因子和Jordan 标准形； （3）求相似变换矩阵P 使得1P AP J -=；（4）求1P -矩阵函数()f A ，并计算tA e 。 2004-2005学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(B) 专业 班级 学号 姓名 一． （12分）设3R 两个：123(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1)T T T ααα==-=； 123(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1)T T T βββ=-=-=。（1）求123,,ααα到 123,,βββ的过度矩阵，（2） 求子空间V ，其中V 中的向量在两个基下的坐标相同。 二． （14分）设线性映射43:T R R →满足：对任意41234(,,,)T x x x x R ∈， 求的核()N T 及值域()R T 的基和维数。

中科院矩阵分析与应用大作业

中科院矩阵分析与应用大作业 实现LU分解QR分解Householder reduction、Givens reduction Matlab 代码： function [] =j uzhendazuoye A=input ('请输入?个矩阵A='); 2 Gram-Schmidt 分解 3 Householder reduction 4 x=input (*请输入序号1 LU分解 Givens reduction: 1); if (>:==!) 壮mmm分解mm%% disp('PA=LU1) m=size(A,1); %nt等于矩阵A的行数 n=size(A,2); %n等于矩阵A的列数 if (m==n) % 刊斯NA是不足方阵 % 如果矩阵A不是方阵那么就输出"error" U=A; %把矩阵至賦值给矩阵u L=zeros(n); %先将L设为单位阵 P=eye(n); %首先将交换矩阵P设为单位矩阵 for j =1:n-1 for i=j +1:n if (U(j, j)-=0) %判断主元元素是否不为0

L(i z j)=U(i z j) /U(j z j)； U(i f :)=U(i, :)-U(j, j)/U(j z j); % U(j, j)为主元元素 else a=j+l；% 令 a 等于j + 1 while ( (U (a, j ) ==0) && (a

矩阵分析期末考试2012

2012-2013学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A) 专业 学号 姓名 一、（共30分，每小题6分）完成下列各题： （1）设4 R 空间中的向量????????????=23121α，????????????--=32232α，????????????=78013α，???? ?? ??????--=43234α， ????? ? ??????--=30475α Span V =1{}321,,ααα，Span V =2{}54,αα，分别求21V V +和21V V I 的 维数. 解：=A { }54321,,,,ααααα? ? ??? ? ??? ???--→000004100030110 202 01 21V V +和21V V I 的维数为 3和1 （2） 设() T i i 11-=α，() T i i 11-=β是酉空间中两向量，求 内积()βα, 及它们的长度（i = . （0， 2, 2）； （3）求矩阵?? ?? ? ?????----=137723521111A 的满秩分解.

解：?? ?? ? ?????----=137723521111A ??????? ? ??? ????? -- --→0000747510737201 ??????????----=137723521111A ??????????--=775211??????? ??? ??? ?? ? ----747 510737201* （4）设-λ矩阵???? ? ??++=2)1(000000 )1()(λλλλλA ，求)(λA 的标准形及其 行列式因子. 解：????? ??++=2)1(000000)1()(λλλλλA ()()??? ? ? ??++→2111λλλλ （5）设*A 是矩阵范数，给定一个非零向量α，定义 *H x x α=， 验证x 是向量范数. 二、（10分）设3R 中的线性变换T 在基321,,εεε下的矩阵表示为 ?? ?? ? ?????-=021110111A ， （1）（5分）求T 的值域)(T R 的维数及一组基； （2）（5分）求T 的核)(T N 的维数及一组基. 解：（1）由题意知 T [ε1,ε2,ε3]=[]?? ?? ? ?????-021110111,,321εεε

中科院矩阵分析chapt4

第4章 矩阵分解与表示 (I)高斯消去法 假设矩阵A 的顺序主子式i D ≠0 (i=1,…,n-1), 则我们可以进行以下的顺序消元过程 1．消元过程 n k k i b m b b n k k j i a m a a k k ik k i k i k kj ik k ij k ij ,,2,1,,,2,1,,) () () 1()()()1( ++=-=++=-=++ 等价于用初等矩阵T k k k e l I L -=分别 左乘)(k A 和)(k b ，即 )()1(k k k A L A =+ (1) 其中，T k n k k k k k m m m l ),,,,0,,0(,,2,1 ++=, n k i a a m k kk k ik ik ,,1,/)()( +== 我们称ik m 为消元因子，)(k kk a 为主元素； 消元过程的一个重要性质是：消元过程不改 变矩阵的顺序主子矩阵的行列式(顺序主子式)的值。 例 ???? ??????---=012131121A ,顺序主子式为，1，5，-10 ???? ??????--?????→?++250050121)1*(2)3(),1()2(,顺序主子式为，1，5，-10 ???? ??????--??→?-200050121)2()3(，顺序主子式为，1，5，-10 引理：约化的主元素)(i ii a ≠0的充要条件是 矩阵A 的顺序主子式i D ≠0 (i=1,…,k); 推论：若矩阵A 的顺序主子式i D ≠0 (i=1,…,k)，则 1)1(11D a =，k i D D a i i i ii ,,2,1,/1)( ==-； 由此有若A 对称正定或严格对角占优，而 它们的顺序主子矩阵也是对称正定或严格 对角占优，从而顺序主子式不为0，顺序高斯 消去过程可进行； 2.回代过程： ()() ()()()1/()/, 1,2,,1n n n n nn n k k k k k kj kk j k x b a x b a a k n n =+?=??=-???=--?∑

中科院矩阵分析_第五章

第五章特征值的估计及对称矩阵的极性本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论，即 特征值的估计 广义特征值问题 实对称矩阵(一般是Hermite矩阵)特征值的极小极大原理，其次也涉及到一些特征值和奇异值的扰动问题，最后简要地介绍矩阵直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解方面的应用。这几方面的内容，在矩阵的理论研究与实际应用当中都有着相当重要的作用。 5.1特征值的估计 一、特征值的界 首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的 一些方法 定理 5.1 设A=(a rs) R n X1,令 1 , , M= ma彷总a sr| 若表示A任一特征值，则的虚部Im() 满足不等式 |Im( )| M n(n21) |Im( )| ||A A T||2 / 2 |Im( )| ||A A T||1n /2. 证明：设x+i y为对应于的A的特征向量, 则A(x+i y)=( + i)(x+i y) 其中=+ i.显然x,y为实向量，且x,y为线性无关的向量。 经整理A(x,y)=(x,y)B, 其中B= 从而(x,y) T A(x,y)=(x,y) T(x,y)B 展开有

i 1 j i T T X y X X T T y y y X (求等式两边矩阵的对角元之和，可得 (x T x+y T y)=x T Ax+y T Ay (1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得： (x T x+y T y)=x T (A A T )y 1) . 记 B=A A T ,则 |x T By| ||x||2||B||2||y||2 从而 1 1 1凶|2 ||B||2||y||2 /((||x||2)2 +(||y|2)2) 利用 ab/(a 2+b 2) 1/2 可得 | | ||B||2 /2. 2) . 由于 |x T By| ||B X ||I ||y|| ||B||i ||X ||I ||y|| 从而 | | ||B||i ||x||i ||y|| /((||X |2)2 +(||y||2)2) 易证明 ||x||i ||y|| /((||X ||2)2 +(||y||2) 2) n /2. (显然，不妨假设(||X ||2)2 +(||y||2)2=1, 设HyH =t=cos ()，则y 必为t e 的形式(为什么？) 从 而极值转化为求解如下最大值问题： max ||X ||1,满足约束(||X ||2)2=1 t 2 这样有均值不等式 ||x|h i n ||X ||2= 、、n (1 t 2)1/2, 从而我们需要求解t(1 t 2)1/2的最大值，设t=cos() 可得 t(1 t 2)1/2的最大值为1/2.从而得证。) 因此 11 ||B||1 . n /2. 3) . 由于 b ii =0, i =1,2,…,n, b ij = b ji , n 1 因此 x T By|2=| b ij (X y j X j y i )|2 i 1 j i 2 n (2M)2 |xy j X j Y i | i 1 j i (利用(a 1+a 2+…+a n )2 n((a 1)2+(a 2)2+ …+(a n )2) n (2M)2(n(n 1)/2) | X y j X j yj 2 X T A X y T Ax X T Ay y T Ay T T X X X y T T X y y y