楚雄师范学院
本科生毕业论文(设计)
题目求实矩阵的指数次幂
专业数学与应用数学
年级班级
学号
姓名
指导老师 ________ 职称_____
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目录
摘要 ........................................................................ I 关键词 ...................................................................... I Abstract ................................................................... II Keywords ................................................................... II 前言 (1)
1 矩阵的指数次幂 (1)
1.1矩阵的指数次幂的概念 (1)
2 几种特殊的矩阵 (2)
2.1幂等阵 (2)
2.2幂幺阵(或周期阵) (2)
2.3幂零阵 (2)
3 求一般实矩阵高次幂 (3)
3.1一般实矩阵解的说明 (3)
3.2 数学归纳法求k A (3)
A (6)
3.3最小多项式法求k
3.4 分块矩阵法求k A (7)
3.5 Jordan标准型法求k A (8)
3.6 矩阵分解法求k A (11)
3.7 利用MATLAB求k A (12)
3.7.1 MATLAB软件在矩阵解题中的应用 (12)
3.7.2当k为正数时在MATLAB中的求k A与说明 (12)
4 求一些矩阵高次幂的例题 (15)
4.1 求一些矩阵高次幂的例题 (15)
5 总结 (20)
6 参考文献 (20)
7 感谢词 (20)
求实矩阵的指数次幂
摘要:本文主要讨论实矩阵的高次幂的求解方法。运用数学归纳法、Jordan标准型法、
n≥次特征值多项式法、矩阵分解法,讨论幂零阵、幂等阵、幂幺阵以及一般矩阵的n()1
幂的求解方法;最后,我们简要介绍利用Matlab数学软件求解是矩阵的高次幂.
关键词:实矩阵;矩阵的n次幂;方法
Exponential order of the real matrix
Abstract:In this thesis, we mainly consider the methods for exponentiating real https://www.wendangku.net/doc/7b1810801.html,ing induction, the Jordan canonical forms of matrices, the characteristic polynomials of matrices and dividing matrices to blocks, we discuss the methods for exponentiating Nilpotent Matrices, Idempotent matrix and general matrices. Finally, we condsider the problems by Matlab.
Keywords:real matrices; the n-th exponential of a matrices; the solution
求实矩阵的指数次幂
前言
矩阵理论是高等代数的一个重要内容,矩阵理论和方法对于图论的研究起着重大的推动作用,同时也是数学及许多学科领域的重要工具,有着广泛的运用.从很早的矩阵幂的运算开始,简单的幂运算就是采用矩阵的乘法定义求解,但是对于高次幂的求解还是一个难题.
赵辉在《n 阶矩阵m 次幂的计算方法及其应用分析》文中采用“矩阵乘法结合律进行计算”、“数学归纳法”、“运用矩阵转置法”的方法分别对矩阵高次幂进行了计算和讲解;上海电力学院数理系刘爱兰在《矩阵高次幂的计算方法》一文中针对不同类型的矩阵,给出计算矩阵高次幂的6种方法,并对其举例;喀什师范学院数学系邓勇在《关于方阵高次幂计算方法的一个注记》文中利用凯莱-哈密顿(Cayley-Hamilton )定理,可以得到计算方阵高次幂的一种非特征值方法;祁阳师范学校的刘吉祥在《方阵k 次幂计算方法探讨》一文中一样归纳了“矩阵对角化法”、若当标准型法;赤峰学院继续教育部史秀英在《方阵高次幂的若干求法》一文中结合实例给出了“求逆法”、“求积法”等方法进行解说. 上述较多的辅助资料对n 阶实矩阵求其指数幂(即k
A )几乎是很模糊的,更或者说《高等代数》及《线性代数》中讲到矩阵的幂运算差不多都是一笔带过,侃侃而谈,不是很具体.这让我们的读者在做到有关矩阵指数幂的题目时,往往踌躇不前,更甚就是放弃、直接忽略,无法思考,导致对矩阵幂运算产生恐惧感,更别说对矩阵指数幂深一步运算以及理解了.因此,我们认真的归纳总结,将不同情况下的幂运算集中在一起,方便学习者对矩阵指数次幂的解答作深层次的了解与应用,这样就可以使得对一个n 阶实矩阵求其指数次幂显得简单清晰、明了.所以,非常有必要总结归纳k
A 的求解思路.
于是,在众多前人的归纳下,在从三种特殊矩阵的说明再到一般实矩阵,我也做出了自己对k
A 求法的集中归纳,譬如数学归纳法、Jordan 标准型法、最小多项式法、矩阵分解法、以及重点推出“一款”MATLA
B 实验法,分别举例,并对MATLAB 计算的每一个步骤进行详细的说明,显得有理有据.
1 矩阵的指数次幂
1.1矩阵的指数次幂的概念
一般的,任意n 阶实矩阵A ,规定
0A =E ,k A =
k
A A A A A A A ????? 其中k
A 称之为n 阶实矩阵A 的k 次幂.
2 几种特殊的矩阵
2.1幂等阵
定义2.1.1[]
9:若A 为方阵,且2
A =A ,则A 称为幂等矩阵.
性质
[]
9 :1、幂等矩阵A 的特征值只能是0或者1;
2、任意的幂等矩阵A 都相似于对角阵,即存在可逆阵P ,使得
???
? ?
?=-00
01r
E AP P 其中
()A R r =
3、幂等矩阵的特征值为1的特征子空间为其值域,特征值为0的特征子空间
为零(核)空间.
2.2幂幺阵(或周期阵)
定义2.2.1
[]
6:存在某个正整数k ,使得对矩阵A 的k 次方是单位矩阵,这样的矩阵A 就
叫做幂幺矩阵.其中A 为非奇异阵
且
-1A =1-k A
2.3幂零阵
定义2.3.1
[]
6:A 是方阵,存在正整数k,使得k
A =0,那么A 叫幂零阵.或者等价的,所
有特征值均为0的方阵叫幂零阵.
幂零阵A (k
A = 0)的若当标准型J 的若当块,即J =????
? ??S J J 1 ,其中????
??
?
??=010101
J .A 的特征根为0,且A (A ≠0)不能相似于对角矩阵. k A = 0.其中A 为奇异阵,E A ±为奇异阵.
3 求一般实矩阵高次幂
3.1一般实矩阵解的说明
形如:
A =??
???
?
?
??nn n n n n a a a a a a a a a 11
2222111111,求k
A . 矩阵的指数次幂, k 都是正数,无需讨论k 的取值,若非让指数0<k 时, A 的k 次幂可视为A 的逆的k 的绝对值次幂.
3.2 数学归纳法求k A
对于A ??
???
?
?
??=nn n n n n a a a a a a a a a 1
1
22221
11111,求k A ,我们首先要求出2A ,3A ,4
A ,更或者要求到10
A ,从这些的出来的结果中找到A ,2
A ,3
A ,4
A (10)
A 之间有什么规律存在,根据所找到的规律,猜想出k
A ;
我们不仅仅只是猜想出来就完事,就能得到一个确切的结果,我们还要对猜想的结果进
行证明.具体可以分三步:
①当k =1(或k =2,视具体情况而定)时,代入猜想的结果中,与
A =????
??
?
??nn n n n n a a a a a a a a a
1
1
2222111111是否相等; ②假设当n k =时,猜想结果成立,有n
A ;
③当1+=n k 时,根据②的假设,A A A n
n ?=+1得出结果,划归:
④总结,所以猜想成立.
例3.2.1 已知矩阵???
?
?
?
?=λλλ0010
01
A ,试求k A (k 为任意整数). 解:(1)由
1
00
100
A λλ
λ?? ?= ? ??
?
可求得
2
2
2
2210
200
A λλ
λλλ?? ?= ? ??
?
, 所以
32
33
23330
300
A λλλλλλ?? ?= ? ??
?
, 观察这些矩阵的规律可以看到, 2
A 的第1行元素是2(1)λ+展开式的三项元素,而3
A
的第1行元素是3(1)λ+展开式的前三项,由此猜想,k
A 的第1行元素应该是(1)k λ+的展开式的前三项元素,k
λ,1
k k λ
-,
2
(1)2
k k k λ--. 现假设①1
21
(1)2
00
k k k k
k
k k
k k k A k λλλλλλ----??
? ?= ? ? ??
?
,
②显然当2k =时是成立的; ③则有
1
211
(1)102
0100
00k k k k k
k k k k k k A A A k λλλλλλλλλ--+--??
?
?? ? ?=?= ? ? ? ??? ??
?
1111
(1)(1)2
0(1)00k k k k k
k k k k k λλλλλλ+-+++??
+ ? ?=+ ? ? ??
?
∴即1k +时结论也成立,
故由数学归纳法知上述猜想正确.
∴1
21(1)2
00
k k k k
k
k k
k k k A k λλλλλλ----??
? ?
= ? ? ??
?
例3.2.2[]2 已知????
? ??=100101αβαA ,求n
A ,其中n 为任意的正整数.
分析:对于这样的高次幂的求法,我们只能一步一步来,先求出2
A ,3
A ,…,然
后再在其中找寻规律,猜测,证明,得出结论.
由
????
? ??=100101αβαA
所以
????
? ??+=10021022122
αβααA ????
?
??+=100310333123
αβααA
????
?
?
?+=100410464124
αβαα
A
猜测
??????
?
??
+=1001
021-n n 12αβααn n n A n )(
但这只是一个猜想的结果,具体是不是这个结果我们还得进行验证.因此,采用数学
中的数学归纳法来证明上述的猜想.
当2=n 时,
????
? ??+=10021022122
αβααA ,结论成立.
当k n =时,假设结论成立,则有
??????
?
?
?
+=1001
021-12αβααk n k k k A k )(
当1+=k n 时,A k n k k k A k ???????
?
?
?
+=+1001
021-121
αβαα)(
????? ?
????????
?
??
+=1001011001021-12αβααβααk n k k k )(
[]????
??
?
??++++++=100110121-111
12αβαα)()()()()(k k k k k 因此,对于任意的正整数n ,结论都成立,
∴??????
?
?
?
+=1001021-12αβααn n n n n A n
)(
3.3最小多项式法求k A
定理 3.3.1
[]
6(哈密尔顿—凯莱定理)设n 阶矩阵A 是其特征多项式的根,即令
n n n
a a a A E f n ++++=-=-λλ
λλλ1-11
)(
则01-11
=++++=-A a A a A
a A A f n n n
n )(.
①设n
n P
A ?∈,[]x P 中次数最低的首项系数是1的以A 为根的多项式称为A 的最小多
项式,记为)(λm .
②矩阵A 的最小多项式是唯一的,且0)(=A f ,则)(λλf m )丨(.
③若?????
??=S A A A 1是准对角矩阵,且)
(λπm 分别为πA 的最小多项式,)(λm 为A 的最小多项式,则有[])(),(1λλλs m m m ,)( =.
④设n
n P
A ?∈,则)(λλn d m =)(,即A 的最小多项式就是A 的最后一个不变因子.
例3.3.1
设????
?
??-=100111001A ,求n
A .
解:因为矩阵A 的特征多项式3
)1()(-=-=λλλA E f ,所以A 的最小多项式为3)1(-λ的因式.显然,0≠-E A ,而0)(=-E A ,可得A 的最小多项式为()()2
1-=λλm ,所以可
令()()b a m q ++=λλλλ2,从而可得:1=+b a ,n a =,所以有n b -=1,即
()????
?
??-=-+=10010011n n E n nA A n
3.4 分块矩阵法求k A
当一个n 阶矩阵的阶数比较大时,若矩阵可分成分块对角阵形式,则可以将高阶矩阵的
高次幂计算问题转化为简单子阵的高次幂计算问题,从而达到简化计算的目的.
即对于分块对角矩阵??
???
??
?
?=n A A A A
2
1,有??
??
??
?
?
?=k n k
k k
A A A A 2
1,其中
),,2,1(n i A i =均为方阵.
常用的子块高次幂有:
?
??
? ??=???? ?????
?
??=???? ??--n 1n n
n
n 1n n n
n 0100
01ααα
αααααααn
可以用数学归纳法证明,从略.
例3.4.1 设矩阵.01
0010000020
0042
2n A A ,求??????
?
?
?= 解:先将A 分块???? ?
?=2100A A A ,其中???
? ??=20421A ,???? ??=01102A 则???
? ?
?=n n
A A A 2221n 20
0,则只需要求出n A 21、n
A 22即可. ????
??=?
????
?
?
?=???????????
??????? ??=n n n n
n n
n
n A 22222221
20242210121
42101214)( E E A A n n n
===)(2
222
所以
????
??
?
?
?=10000100
0020002422222n n n n
n A )(.
3.5 Jordan 标准型法求k A
定义3.5.1[7]
i n 阶矩阵i
i n n i i
i
i J ?????
???
?
?=λλλ11
为Jordan 块.设1J ,2J ,…,s J ,
为Jordan 块,称准对角矩阵????
??
?
?
?=s 2
1J J J J
为Jordan 标准型. 定理3.5.1(Jordan 定理)[8]
设n
n C A ?∈,则A 与一个Jordan 矩阵J 相似,这个
Jordan 矩阵J 除去其中Jordan 块的排列次序外是被矩阵A 唯一确定的,称J 为A 的
Jordan 标准形.(即存在n 阶可逆矩阵P ,使:),,,(211s J J J diag J AP P ==-,其中
),,2,1(s i J i =为i m 阶Jordan 块,则1-=PJP A ,故有1-=P PJ A n n )
. 例3.5.1 设????
?
??--=201034011A ,求n
A .
解:
()()???
?
?
?
?--→????? ??----+=-2120001
00
01201034011λλλλλλA E
∴A 与Jordan 矩阵???
?
?
??=100110002J 相似.
令其相似变换阵为可逆矩阵()321,,x x x P =,因为1
-=PJP A ,所以有:
()()()3221321321,,2100110002,,,,x x x x x x x x x x A +=???
?
?
??==
即有:
()021=-x A E ,()02=-x A E ,()23x x A E =-
解得特征向量()r
x 1,0,01=,()r
x 1,2,12-=以及广义特征向量()r
x 1,1,03-=
所以有:
????
? ??--=111120010P
又因为1
-=PJP J ,所以:
1
1
100110002--????
? ??==P P P PJ A n
n n
1
11112001010010
002111120010-????
?
??--?????
?
?????? ??--=n n
???
?
?
??--++-+--=n n n n n n n n n
2121220124021
例3.5.2 设矩阵126103114A --??
?=- ? ?--??
,求k A (k 为正整数). 解:由于
21261
001301011400(1)E A λλλλλλ+-???? ? ?
-=-→- ? ? ? ?--????
所以令
0)1(0
01
00012
=--=-λλλA E
从而A 的初等因子为2
1
(1)λλ--,,∴特征值11=λ,132==λλ,
???
?
?
??=110010001J .有矩阵P ,使:
1P AP J -=,设123(,,)P ααα=
有
123123(,,)(,,)A J αααααα=
123(3,0,1);(1,0,0);(2,1,1)T T T ααα==-=
则
123312(,,)001101P ααα-?? ?
== ? ???
且有
1A PJP -=
故有
111001001226010010130110113k
k k k
k A P P P P k k k k k k k ----?????? ? ? ?===-- ? ? ? ? ? ?--+??????
3.6 矩阵分解法求k A
由于矩阵乘法一般不满足交换律,从而一般情况下∑=≠
+n
i i i
n i
n n
B A
C B A 0
-)(.不难以证
明以下结论:当BA AB =时,∑==+
n
i n n n
B A
C B A 0
i
i -i
)(,利用这一结果,在一些特
殊情况下作矩阵A 的分解P E A +=λ,其中E λ和P 可交换.
则
∑∑==+++===+=n
k n
k m
m n m n n n k k n k n k
k
n k
n
n
n
P C P P E C P C P E A 0
-1---n ))(λλλλλλ ( 注:一般地,若n 阶矩阵A 的主对角线是同一元素,则)(P E A +=λ的分解可行,特别地,若P 恰好为幂零矩阵,则更为方便.
例3.6.1 已知????
? ??=100101αβαA ,求n
A ,其中n 为任意的正整数.
解:由于A =B +C ,其中
?
??
?
? ??=100010001B ,????
?
??=0000
00αβαC
这里C 是幂零阵,且
????
? ??=0000000022
αC ,03=C
∴
n A n C B )
(+=2
2
2-21-12
1-BC n n nBC B C B C C B C B n n n n n )(++=++= ??????
?
??
+=1001021-12αβααn n n n n )(
Note:此法运用的是幂零阵的性质和二项式定理求解,显得更简单.
3.7 利用MATLAB 求k A
3.7.1 MATLAB 软件在矩阵解题中的应用
MATLAB 能处理数、向量和矩阵,但是一个数事实上也是一个1×1的矩阵,1个n 维向量也不过是一个1×n 或者n ×1的矩阵.从这个角度讲,MATLAB 处理的所有的数据都是矩阵.MATLAB 的矩阵处理能力是非常灵活、强大的. 3.7.2当k 为正数时在MATLAB 中的求k
A 与说明
在MATLAB 中,矩阵的输入时,矩阵里面的元素(数或者字母),用“[ ]”括起来,元素之间用空格或者逗号隔开,矩阵行与行之间用分号“;”分开,大的矩阵可以分行输入,用回车键代替分号.
当遇到矩阵里面含有符号的时候,要注意:①在MATLAB 中,用命令sym 定义矩阵.这时的函数sym 实际是在定义一个符号表达式,这时的符号矩阵中的元素可以是任何的符号或者表达式,而且长度没有限制;②用命令syms 定义矩阵.先是定义矩阵中的每一个元素为一个符号变量,而后就像普通矩阵一样输入符号矩阵. 而乘方经常性要用到的就是运算符“^”. (1)当k >0时,A 为方阵,且k 为整数,k A ^表示的是A
的k 次幂.
(2)当k >0时,
A 为方阵,且k 为非整数时,则先在
MATLAB 中求出A 的特征值(MATLAB
中主要是用eig 求矩阵的特征值和特征向量,求特征值使用函数命令“eig (
A
)”,求
特征向量使用的函数命令“[X ,D ]=eig (A )”,其中D 的对角线元素是特征值,X 是矩阵,它的列是相应的特征向量).然后就有
1
-11d d ^V V k A k nn k ????
???
?
??=
其中V
为A 的特征向量,???
?
???
?
??k nn k
d d 11 为特征值对角矩阵.如果有重根,以上指
令不成立.
例3.7.1 已知???
?
? ??-----=411301621A ,求)(2^A ,)(20^A ,)
(200^
A ,)(2000^A ,)(2000^A . 解:打开MATLA
B 软件,在命令窗口中输入
>> clear;
>> A=[-1 -2 6;-1 0 3;-1 -1 4] A =
-1 -2 6 -1 0 3 -1 -1 4
>> Y=(A)^2
单击Enter 键,得出结果 Y =
-3 -4 12 -2 -1 6 -2 -2 7
>> N=(A)^20
单击Enter 键,得出结果 N =
-39 -40 120 -20 -19 60 -20 -20 61
>> M=(A)^200
单击Enter 键,得出结果 M =
-399 -400 1200 -200 -199 600 -200 -200 601
>> K=(A)^2000
单击Enter 键,得出结果 K =
-3999 -4000 12000 -2000 -1999 6000 -2000 -2000 6001
>> L=(A)^20000
单击Enter 键,得出结果 L =
-39999 -40000 120000 -20000 -19999 60000 -20000 -20000 60001
例3.7.2 已知????
? ??-----=c b a A 113162,求)(2^A ,)
(5^
A . 解:打开MATLA
B 软件,在命令窗口中输入
>> clear;
>> syms a b c;
>> A=[-a -2 6;-1 b 3;-1 -1 c] A =
[ -a, -2, 6] [ -1, b, 3] [ -1, -1, c]
>> Y=(A)^2 Y =
[ a^2-4, 2*a-2*b-6, -6*a-6+6*c] [ a-b-3, -1+b^2, -6+3*b+3*c] [ a+1-c, 2-b-c, -9+c^2]
>> B=(A)^5
B =
[ -a*(-a*(-a*(a^2-4)+4*a+2*b+12-6*c)-4* a^2+28-2*b*(a-b-3)-12*a+6*c+6*b+6*c*(a+1-c))+4*a*(a^2-4)-28*a-14*b-132+42*c-2*b *(-a^2+7+b*(a-b-3)+3*a-3*c)+12*a^2-6*c*(a+1-c)-6*b*(a-b-3)+6*c*(-a^2+7-a+b+c*(a +1-c)),
-a*(-a*(-a*(2*a-2*b-6)+14-2*b^2-6*b-6*c)-8*a+14*b+18-2*b*(-1+b^2)+6*c-6*b^2+6*c *(2-b-c))+4*a*(2*a-2*b-6)-170+14*b^2+18*b+42*c-2*b*(-2*a-b+12+b*(-1+b^2)-3*c)+2 4*a-6*c*(2-b-c)-6*b*(-1+b^2)+6*c*(-2*a+2*b+7-b^2+c*(2-b-c)),
-a*(-a*(-a*(-6*a-6+6*c)-42-6*b-6*c+6*c^2)+24*a+114-42*c-2*b*(-6+3*b+3*c)-6*c^2-18*b+6*c*(-9+c^2))+4*a*(-6*a-6+6*c)+222+42*b+114*c-42*c^2-2*b*(6*a-21-6*c+b*(-6 +3*b+3*c)+3*c^2)-72*a-6*c*(-9+c^2)-6*b*(-6+3*b+3*c)+6*c*(6*a+12-9*c-3*b+c*(-9+c ^2))]
[ a*(-a*(a^2-4)+4*a+2*b+ 12-6*c)+7*a^2-85-b*(a-b-3)-9*a+21*c-12*b-6*c*(a+1-c)+b*(a*(a^2-4)-7*a+b+9+6*c+b *(-a^2+7+b*(a-b-3)+3*a-3*c)-3*a^2+3*c*(a+1-c))+3*a*(a^2-4)+3*c*(-a^2+7-a+b+c*(a +1-c)),
a*(-a*(2*a-2*b-6)+14-2*b^2-6*b-6*c)+14*a+7*b-96-b*(-1+b^2)+21*c+12*b^2-6*c*(2-b -c)+b*(a*(2*a-2*b-6)+7-b^2+12*b+6*c+b*(-2*a-b+12+b*(-1+b^2)-3*c)-6*a+3*c*(2-b-c ))+3*a*(2*a-2*b-6)+3*c*(-2*a+2*b+7-b^2+c*(2-b-c)),
a*(-a*(-6*a-6+6*c)-42-6*b-6*c+6*c^2)-42*a+75+78*c-b*(-6+3*b+3*c)-21*c^2+36*b-6* c*(-9+c^2)+b*(a*(-6*a-6+6*c)+78-3*b-21*c-6*c^2+b*(6*a-21-6*c+b*(-6+3*b+3*c)+3*c ^2)+18*a+3*c*(-9+c^2))+3*a*(-6*a-6+6*c)+3*c*(6*a+12-9*c-3*b+c*(-9+c^2))]
[ a*(-a*(a^2-4)+4*a+2 *b+12-6*c)+7*a^2-37+2*b*(a-b-3)+19*a-12*c-7*b-9*c*(a+1-c)-a*(a^2-4)-b*(-a^2+7+b *(a-b-3)+3*a-3*c)+c*(a*(a^2-4)-7*a-2*b-19+9*c+a^2-b*(a-b-3)+c*(-a^2+7-a+b+c*(a+ 1-c))),
a*(-a*(2*a-2*b-6)+14-2*b^2-6*b-6*c)+14*a-26*b-25+2*b*(-1+b^2)-12*c+7*b^2-9*c*(2 -b-c)-a*(2*a-2*b-6)-b*(-2*a-b+12+b*(-1+b^2)-3*c)+c*(a*(2*a-2*b-6)-26+2*b^2+7*b+ 9*c+2*a-b*(-1+b^2)+c*(-2*a+2*b+7-b^2+c*(2-b-c))),
a*(-a*(-6*a-6+6*c)-42-6*b-6*c+6*c^2)-42*a-192+63*c+2*b*(-6+3*b+3*c)+12*c^2+21*b -9*c*(-9+c^2)-a*(-6*a-6+6*c)-b*(6*a-21-6*c+b*(-6+3*b+3*c)+3*c^2)+c*(a*(-6*a-6+6 *c)+63+6*b+12*c-9*c^2-6*a-b*(-6+3*b+3*c)+c*(6*a+12-9*c-3*b+c*(-9+c^2)))]
4 求一些矩阵高次幂的例题
4.1 求一些矩阵高次幂的例题
例4.1.1
1、 设A =??????
?
?
?1-1
11-11-1-111-1-1
1-111- ,求6A 、n
A (n >0). 2、 设A =????
?
??110101001 ,证明:当n ≥3时,有E A A A n n -22-+=,有此再求100A . 1解:①由
A =??????
?
?
?1-1
11-11-1-111-1-11-111
- 所以
2A =???????
?
?1-1
11-11-1-111-1-11-111
-·???????
??1-1
1
1
-11-1-111-1-11-11
1-=-4????
??
? ?
?1-1
1
1-11-1-111-1-11-11
1-=-4A 2A =A 1
-21-2)4()1-
(
3A =A A ?2=-4A A A A 16)4(2=-=?A 1
-31-341-)()(= 4A =A A A A A A 1-41-4341-64-16)()(==?=? A A A A A A A 151-54541-25664-==?-=?=)()(
∴????
??
?
?
?--------=-=?=?=10241024
1024102410241024102410241024102410241024
102410241024
1024
102425656A A A A A A A 1
61-641--=)()(
② 由 ①知,我们可以猜想,n
A =A n n 1
-1-41
-)()((n ≥2). 证明:当n =2时,2
A =A 121-2)4()1-(-=-4A 成立;
假设当k n =时,k
A =A k k 1
-1-41
-)()(成立;
当1+=k n ,
==+A A A k k 1A k k 1
-1-41-)()(·A =1-1-41
-k k )()(2A