高中二年级2013—2014学年下学期数学期末测试题A 卷
考试时间:100分钟,满分:150分
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分,共50分)
1.设函数f (x )=ax 2
+bx +c (a ,b ,c ∈R).若x =-1为函数f (x )e x
的一个极值点,则下列图象不可能为y =f (x )的图象是( )
2.若? ??
??x -12n
的展开式中第3项的二项式系数是15,则展开式中所有项系数之和为( )
A.1
32
B.
164 C .-1
64
D.1128
3.如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色方法有 ( )
A .72种
B .96种
C .108种
D .120
种
4.设某项试验的成功率为失败率的2倍,用随机变量X 去描述1次试验的成功次数,则P (X =0)的值为( ).
A .1 B.12 C.13 D.1
5
5.已知X 的分布列为
X -1 0 1 P
1
2
13
16
则在下列式子中:
①E (X )=-13;②D (X )=2327;③P (X =0)=1
3
.正确的个数是( ).
A .0
B .1
C .2
D .3
6.在15个村庄有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于C 47C 6
8
C 1015
的是( )
A .P (X =2)
B .P (X ≤2)
C .P (X =4)
D .P (X ≤4)
7.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中,则它是被甲击中的概率为( )
A .0.45
B .0.6
C .0.65
D .0.75
8.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0),发球次数为X ,若
X 的数学期望E (X )>1.75,则p 的取值范围是( )
A.? ??
??0,712
B.?
??
??712,1
C.? ????0,12
D.? ??
??12,1 9.设(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )是变量x 和y 的n 个样本点,直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以下结论正确的是( ).
A .直线l 过点(x ,y )
B .x 和y 的相关系数为直线l 的斜率
C .x 和y 的相关系数在0到1之间
D .当n 为偶数时,分布在l 两侧的样本点的个数一定相同
10.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 ( )
A .10
B .11
C .12
D .15
二、填空题(每小题6分, 共24分)
11.设i 为虚数单位,则(1+i)5
的虚部为________.
12.商场经营的某种包装大米的质量(单位:kg)服从正态分布X ~N (10,0.12
),任选一袋这种大米,质量在9.8~10.2 kg 的概率是________.
13.若f (x )=x sin x +cos x ,则f (-3),f (π
2),f (2)的大小关系为________.
14. 在一段线路中并联两个自动控制的常用开关,只要其中有一个开关 能够闭合,线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭 合的概率都是0.7,则这段时间内线路正常工作的概率为_______. 三、解答题(共计76分).
15. (本题满分12分)如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一 条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法总数.
16.(本题满分12分)已知(12
+2x )n
,
(1)若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数;
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.
17.(本题满分12分)某人向一目标射击4次,每次击中目标的概率为1
3.该目标分为3个不
同的部分,第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6.击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比.
(1)设X 表示目标被击中的次数,求X 的分布列;
(2)若目标被击中2次,A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”,求P (A ).
18.(本题满分12分)某地区甲校高二年级有1 100人,乙校高二年级有900人,为了统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩,采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩,如下表:(已知本次测试合格线是50分,两校合格率均为100%) 甲校高二年级数学成绩: 分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
频数
10
25
35
30
x
分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90)
[90,100]
频数
15
30
25
y
5
(2)若数学成绩不低于80分为优秀,低于80分的为非优秀,根据以上统计数据写下面2×2列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异?”
甲校 乙校 总计 优秀
19. (本题满分14分)已知函数f (x )=x 3-ax 2
-x +a ,其中a 为实数. (1)求f ′(x );
(2)若f ′(-1)=0,求f (x )在[-2,3]上的最大值和最小值;
(3)若f (x )在(-∞,-2]和[3,+∞)上都是递增的,求a 的取值范围.
20.(本题满分14分)在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是每场投6个球,至少投进4个球,且最后2个球都投进者获奖,否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是2
3.
(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ,求X 的分布列及数学期望; (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率;
(3)已知教师乙在一场比赛中,6个球中恰好投进了4个球,求教师乙在一场比赛中获奖的概率;教师乙在一场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗?
高中二年级2013—2014学年下学期数学期末测试题A 卷答案
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分,共50分) 1.【答案】D
【解析】因为[f (x )e x
]′=f ′(x )e x
+f (x )(e x
)′=[f (x )+f ′(x )]e x
,且x =-1为函数
f (x )e x 的一个极值点,所以f (1)+f ′(1)=0;选项D 中,f (1)>0,f ′(1)>0,不满足f ′(1)
+f (1)=0. 2. 【答案】B 【解析】由题意知C 2
n =
(1)2
n n -=15,所以n =6,故? ????x -12n =? ????x -126
,令x =1得所有项系
数之和为? ????126=1
64
.
3. 【答案】B
【解析】若1,3不同色,则1,2,3,4必不同色,有3A 4
4=72种涂色法;若1,3同色,有C 14C 13A 2
2=24种涂色法.根据分类加法计数原理可知,共有72+24=96种涂色法. 4. 【答案】C
【解析】设X 的分布列为:
即“X =0”表示试验失败,“X =1”表示试验成功,设失败的概率为p ,成功的概率为2p .由p +2p =1,则p =1
3,因此选C.
5. 【答案】 C
【解析】E (X )=(-1)×12+1×16=-1
3
,故①正确.
D (X )=?
??
??
-1+132×12+?
??
??
0+132×13+?
??
??
1+13
2×16=59
,故②不正确.由分布列知③正确.
6. 【答案】 C
【解析】 X 服从超几何分布,故P (X =k )=C k 7C 10-k
8
C 1015,k =4.
7. 【答案】 D
【解析】 设目标被击中为事件B ,目标被甲击中为事件A ,则由P (B )=0.6×0.5+0.4×0.5+0.6×0.5=0.8, 得P (A |B )=
()()()()P AB P A P B P B =
=0.6
0.8
=0.75. 8. 【答案】C
【解析】发球次数X 的分布列如下表:
X 1 2 3 P
p
(1-p )p
(1-p )2
所以期望E (X )=p +2(1-p )p +3(12
解得p >52(舍去)或p <1
2,
又p >0,则0<p <1
2.
9. 【答案】A
【解析】由样本的中心(x ,y )落在回归直线上可知A 正确;x 和y 的相关系数表示为x 与y 之间的线性相关程度,不表示直线l 的斜率,故B 错;x 和y 的相关系数应在-1到1之间,故C 错;分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均,即无论样本点个数是奇数还是偶数,故D 错. 10. 【答案】 B
【解析】方法一 分0个相同、1个相同、2个相同讨论. (1)若0个相同,则信息为:1001.共1个.
(2)若1个相同,则信息为:0001,1101,1011,1000.共4个. (3)若2个相同,又分为以下情况:
①若位置一与二相同,则信息为:0101; ②若位置一与三相同,则信息为:0011; ③若位置一与四相同,则信息为:0000; ④若位置二与三相同,则信息为:1111; ⑤若位置二与四相同,则信息为:1100; ⑥若位置三与四相同,则信息为:1010. 共有6个.
故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1+4+6=11. 方法二 若0个相同,共有1个; 若1个相同,共有C 1
4=4(个); 若2个相同,共有C 24=6(个). 故共有1+4+6=11(个).
二、填空题(每小题6分, 共24分) 11. 【答案】-4
【解析】因为(1+i)5
=(1+i)4
(1+i)=(2i)2
(1+i)=-4(1+i)=-4-4i ,所以它的虚部为-4.
12. 【答案】0.954 4
【解析】 P (9.8 2 ) 【解析】 由f (-x )=f (x )知,函数f (x )为偶函数,因此f (-3)=f (3). 又f ′(x )=sin x +x cos x -sin x =x cos x ,当x ∈(0,π2)时,f ′(x )>0,x ∈(π 2,π) 时,f ′(x )<0, ∴f (x )在区间(π2,π)上是减函数,∴f (π 2)>f (2)>f (3)=f (-3). 14. 【答案】0.91 【解析】线路不能正常工作的概率为P (A B )=P (A )P (B )=(1-0.7)(1-0.7)=0.09. ∴能够正常工作的概率为1-0.09=0.91. 三、解答题(共计76分). 15. 【解析】方法一 可分为两大步进行,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用分步乘法计数原理即可得出结论. 由题设,四棱锥S —ABCD 的顶点S 、A 、B 所染的颜色互不相同,它们共有5×4×3=60(种)染色方法.L L 6分 当S 、A 、B 染好时,不妨设其颜色分别为1、2、3,若C 染2,则D 可染3或4或5,有3种染法; 若C 染4,则D 可染3或5,有2种染法;若C 染5,则D 可染3或4,有2种染法. 可见,当S 、A 、B 已染好时,C 、D 还有7种染法,故不同的染色方法有60×7=420(种). L L 12分 方法二 以S 、A 、B 、C 、D 顺序分步染色. 第一步,S 点染色,有5种方法; 第二步,A 点染色,与S 在同一条棱上,有4种方法; 第三步,B 点染色,与S 、A 分别在同一条棱上,有3种方法; 第四步,C 点染色,也有3种方法,但考虑到D 点与S 、A 、C 相邻,需要针对A 与C 是否同色进行分类,当A 与C 同色时,D 点有3种染色方法;当A 与C 不同色时,因为C 与S 、B 也不同色,所以C 点有2种染色方法,D 点也有2种染色方法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3+2×2)=420(种).L L 12分 方法三 按所用颜色种数分类. 第一类,5种颜色全用,共有A 5 5种不同的方法; 第二类,只用4种颜色,则必有某两个顶点同色(A 与C ,或B 与D ),共有2×A 4 5种不同的方法; 第三类,只用3种颜色,则A 与C 、B 与D 必定同色,共有A 3 5种不同的方法. 由分类加法计数原理,得不同的染色方法总数为:A 5 5+2×A 4 5+A 35=420(种).L L 12分 16. 【解析】(1)∵C 4 n +C 6 n =2C 5 n ,∴n 2 -21n +98=0,∴n =7或n =14. 当n =7时,展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5, ∴T 4的系数=C 37(12)423=352,T 5的系数=C 47(12)324 =70, 当n =14时,展开式中二项式系数最大的项是T 8. ∴T 8的系数=C 714(12 )727 =3 432. L L 6分 (2)∵C 0n +C 1n +C 2n =79,∴n 2 +n -156=0. ∴n =12或n =-13(舍去).设T k +1项的系数最大, ∵(12+2x )12=(12 )12(1+4x )12 , ∴? ???? C k 124k ≥C k -1124k -1 ,C k 124k ≥C k +1124k +1 .∴9.4 ∴展开式中系数最大的项为T 11, T 11=C 1012·(1 2 )2·210·x 10=16 896 x 10 . L L 12分 17. 【解析】(1)依题意X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1681 3281 2481 881 181 L L 6分 (2)设A i 表示事件”第一次击中目标时,击中第i 部分”,i =1,2. B i 表示事件”第二次击中目标时,击中第i 部分”,i =1,2. L L 8分 依题意知P(A 1)=P(B 1)=0.1,P(A 2)=P(B 2)=0.3,A =A 1B 1∪A 1B 1∪A 1B 1∪A 2B 2, 所求的概率为 P(A)=P(A 1B 1)+P(A 1B 1)+P(A 1B 1)+P(A 2B 2)=P(A 1)P(B 1)+P(A 1)P(B 1)+P(A 1)P(B 1)+P(A 2)P(B 2) =0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28. L L 12分 18.【解析】(1)依题意甲校应抽取110人,乙校应抽取90人, 故x =10,y =15,估计甲校平均分为 55×10+65×25+75×35+85×30+95×10 110 ≈75, 乙校平均分为55×15+65×30+75×25+85×15+95×5 90≈71. L L 6分 (2)列2×2列联表如下: 甲校 乙校 总计 优秀 40 20 60 非优秀 70 70 140 总计 110 90 200 k =2 200(40702070)1109060140 ?-????≈4.714, 又因为4.714>3.841故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”. L L 12分 19. 【解析】(1)f ′(x )=3x 2 -2ax -1. L L 2分 (2)f ′(-1)=3+2a -1=0, ∴a =-1,∴f (x )=x 3 +x 2 -x -1,f ′(x )=3x 2 +2x -1,L L 4分 由f ′(x )=0可得x =1 3 或x =-1. L L 6分 又∵f (13)=-32 27,f (-2)=-3,f (3)=32,f (-1)=0, ∴f (x )在[-2,3]上的最大值为32,最小值为-3. L L 10分 (3)f ′(x )=3x 2 -2ax -1,其图象开口向上,且恒过点(0,-1), 于是有(2)0, (3)0,f f '-≥??'≥?解得-114≤a ≤133. ∴a 的取值范围是[-114,13 3].L L 14分 20. 【解析】(1)由题意,知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.依条件可知X ~ B ? ?? ?? 6,23 .L L 2分 P (X =k )=C k 6? ???? 23k ·? ?? ??13 6-k (k =0,1,2,3,4,5,6).L L 4分 所以X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P 1729 12729 60729 160729 240729 192729 64729 所以X 的数学期望E (X )=1 729×(0×1+1×12+2×60+3×160+4×240+5×192+6×64) =2 916729 =4. L L 8分 (2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ,则P (A )=C 2 4×? ????132×? ?? ??234+C 14×13×? ????235+? ????236=3281. 故教师甲在一场比赛中获奖的概率为32 81 .L L 11分 (3)设教师乙在一场比赛中获奖为事件B ,则P (B )=C 2 4C 46=2 5,即教师乙在一场比赛中获奖的概 率为25.显然25≠32 81,所以教师乙在一场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率 不相等.L L 14分 延安市实验中学大学区校际联盟2016—2017学年度第一学期期末考 试试题高二数学(理)(A ) 说明:卷面考查分(3分)由教学处单独组织考评,计入总分。 考试时间:100分钟 满分:100分 第Ⅰ卷(共40分) 一.选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在等差数列{a n }中,若a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 2.过点P (-2,3)的抛物线的标准方程是( ) A .y 2=-92x 或x 2=43y B .y 2=92x 或x 2=43 y C .y 2=92x 或x 2=-43y D .y 2=-92x 或x 2=-43 y 3.设命题p :?x ∈R ,x 2+1>0,则﹁p 为( ) A .?x 0∈R ,x 20+1>0 B .?x 0∈R ,x 2 0+1≤0 C .?x 0∈R ,x 20+1<0 D .?x ∈R ,x 2+1≤0 4.命题甲:动点P 到两定点A ,B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0为常数);命题乙:P 点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.不等式x 2-x -6x -1 >0的解集为( ) A.{}x |x <-2或x >3 B.{}x |x <-2或1 高二下学期数学期末考试试卷(文科) (时间:120分钟,分值:150分) 一、单选题(每小题5分,共60分) 1.把十进制的23化成二进制数是( ) A. 00 110(2) B. 10 111 (2) C. 10 110 (2) D. 11 101 (2) 2.从数字,,,,中任取 个,组成一个没有重复数字的两位数,则这个两 位数大于 的概率是( ) A. B. C. D. 3.已知命题 p :“1a ,有2 60a a 成立”,则命题 p 为( ) A. 1a ,有260a a 成立 B. 1a ,有2 60a a 成立 C. 1a ,有2 60a a 成立 D. 1a ,有2 60a a 成立 4.如果数据x 1 ,x 2 ,…,x n 的平均数为x ,方差为s 2 , 则5x 1+2,5x 2+2,…,5x n +2的平均数和方差分别为( ) A. x ,s 2 B. 5x +2,s 2 C. 5x +2,25s 2 D. x ,25s 2 5.某校三个年级共有24个班,学校为了了解同学们的 心理状况,将每个班编号,依次为1到24,现用系统抽样法,抽取4个班进行调查,若抽到的最小编号为 3,则抽取的最大 编号为( ) A. 15 B. 18 C. 21 D. 22 6.按右图所示的程序框图,若输入 81a ,则输出的i =( ) A. 14 B. 17 C. 19 D. 21 7.若双曲线2 2 221(,0)y x a b a b 的一条渐近线方程为 34 y x ,则该双曲线的离 心率为( ) A. 43 B. 53 C. 169 D. 259 8.已知 01,0,a a x 且,命题P :若11a x 且,则log 0a x ,在命 题P 、P 的逆命题、P 的否命题、P 的逆否命题、P 这5个命题中,真命题的个数 为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9.函数f(x)= ln 2x x x 在点(1,-2)处的切线方程为( ) A. 2x -y -4=0 B. 2x +y =0 C. x -y -3=0 D. x +y +1=0 10.椭圆 2 2 1x my 的离心率是 32 ,则它的长轴长是( ) A. 1 B. 1或2 C. 4 D. 2或4 11.已知点P 在抛物线2 4x y 上,则当点P 到点1,2Q 的距离与点P 到抛物线 焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( )高二数学上学期期末考试试题 理(A卷)
高二下学期数学期末考试试卷文科)
高二数学期末试卷(理科)