求函数值域的几种常见方法详解
求函数值域的几种常见方法
1．直接法：利用常见函数的值域来求。
一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=
k x
k
y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，
当a>0时，值域为{a y y 4|2≥}；当a<0时，值域为{a
y y 4|2
≤}. 例1．求下列函数的值域
① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1
+=x x
y 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，
∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f
即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2}
③1
1
11111+-
=+-+=+=x x x x x y ∵
01
1
≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法）（思考：如何使用口算法？） 2．二次函数在给定区间上的值域(最值)。
例2． 求下列函数的最大值、最小值与值域：
①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ； ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 解：①∵抛物线的开口向上，对称轴2x =，函数的定义域R ， ∴x=2时，y min =-3 , ∴函数的值域是{y|y ≥-3 }.
②∵抛物线的开口向上，对称轴2x =? [3,4]，
此时142+-=x x y 在[3,4]
∴当x=3时，m in y =-2 当x=4时，m ax y =1 ∴值域为[-2，1].
③∵抛物线的开口向上，对称轴2x =? [0,1]，
此时142+-=x x y 在[0,1]
∴当x=0时，m ax y =1 当x =1时，min y =-2 ∴值域为[-2，1].
④∵抛物线的开口向上，对称轴2x =∈ [0,5]，
∴当x=2时，m in y =-3 当 x=5时，m ax y =6（思考：为什么这里直接就说当 x=5时，
m ax y =6，而不去考虑x=0对应的函数值情况？答：因为观察图像可知x=5离对称轴较远，
其函数值比x=0对应的函数值大）
∴值域为[-3，6].
注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时，
①当a>0时，则当a b x 2-=时，其最小值a b ac y 442
min -=； ②当a<0时，则当a b x 2-=时，其最大值a
b a
c y 442max -=. ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其对称轴a
b
x 2-=是否属于区间[a,b]. ①若2b a -
∈[a,b],则()2b
f a -是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值.
②若2b
a
-
?[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
3．有解判别法：
有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论
例3．求函数y=1
1
22+++-x x x x 值域
解：原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=， 若y=1,即2x=0,则x=0； 若y ≠1,由题?≥0， 即0)14(-)1(22≥+y-y , 解得
33
1
≤≤y 且 y ≠1. 综上：值域{y|
33
1
≤≤y }. 例4．求函数6
6
522-++-=x x x x y 的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？）
解：把已知函数化为(2)(3)36
1(2)(3)33
x x x y x x x x ---===-
-+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠1
∵ x=2时 51-
=y ∴ 5
1-≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠5
1
-}
说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称有解判别法.一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式并且分子、分母，没有公因式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论. 4．换元法
例5．求函数x x y -+=142的值域
解：设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2
t
代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-?==2
242t t =-++
开口向下，对称轴1t =[0,)∈+∞ ∴1t =时，max (1)4y f == ∴值域为(,4]-∞ 5．分段函数
例6．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解：将函数化为分段函数形式：21(2)3(12)21(1)
x x y x x x ?-≥?
=-≤
-+<-?，画出它的
图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y ≥3}.
说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法. ★练习：
1、3
425
2
+-=
x x y 答案：值域是{05}y y <≤. 2、求函数的值域
①x x y -+=2；
②y x =+答案：值域是（-∞，
4
9
]. 答案：值域是{2}y y ≥- 小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.