杠杆定律证明

难点杠杆定律证明

杠杆定律是计算合金平衡组织中的组成相或组织组成物的质量分数的重要工具。应当熟练掌握和运用。

杠杆定律的证明和力学比喻

设合金的质量为Q

, 其中 Ni质量分数为b%, 在T1温度时, L相中的

合金

Ni质量分数为a%, α相中的Ni质量分数为c%。

则合金中含Ni的总质量=L相中含Ni的质量+ α相中含Ni的质量

即

因为

所以

化简后得

c-b为线段bc的长度; b-a为线段ab的长度。

故得

或

这个式子与力学中的杠杆定律相似, 因而亦被称作杠杆定律。由杠杆定律不难算出合金中液相和固相在合金中所占的质量分数（即相对质量）分别为：

运用杠杆定律时要注意, 它只适用于相图中的两相区, 并且只能在平衡状态下使用。杠杆的两个端点为给定温度时两相的成分点, 而支点为合金的成分点。

开普勒定律

度(Φ)：弧度（rad）；频率（f）：赫（Hz）；周期（T）：秒（s）；转速（n）：r/s；半径(r):米（m）；线速度（V）：m/s；角速度（ω）：rad/s；向心加速度：m/s2。注：（1）向心力可以由某个具体力提供，也可以由合力提供，还可以由分力提供，方向始终与速度方向垂直，指向圆心；2）做匀速圆周运动的物体，其向心力等于合力，并且向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小，因此物体的动能保持不变，向心力不做功，但动量不断改变。3)万有引力1.开普勒第三定律：T2/R3＝K(＝4π2/GM) ｛R:轨道半径，T:周期，K:常量(与行星质量无关，取决于中心天体的质量)｝2.万有引力定律：F＝Gm1m2/r2 （G ＝6.67×10-11N?m2/kg2，方向在它们的连线上）3.天体上的重力和重力加速度：GMm/R2＝mg；g＝GM/R2 ｛R:天体半径(m)，M：天体质量（kg）｝ 4.卫星绕行速度、角速度、周期：V＝(GM/r)1/2；ω＝(GM/r3)1/2；T＝2π(r3/GM)1/2 ｛M：中心天体质量｝5.第一(二、三)宇宙速度V1＝(g地r地)1/2＝(GM/r地)1/2＝7.9km/s；V2＝11.2km/s；V3＝16.7km/s 6.地球同步卫星GMm/(r地+h)2＝m4π2(r地+h)/T2 ｛h≈36000km，h:距地球表面的高度，r地:地球的半径｝注: (1)天体运动所需的向心力由万有引力提供,F向＝F万；(2)应用万有引力定律可估算天体的质量密度等；(3)地球同步卫星只能运行于赤道上空，运行周期和地球自转周期相同；(4)卫星轨道半径变小时,势能变小、动能变大、速度变大、周期变小（一同三反）；(5)地球卫星的最大环绕速度和最小发射速度均为7.9km/s。 开普勒定律 目录[隐藏] 开普勒定律的意义 发现 影响 开普勒定律的意义 发现 影响 也统称“开普勒三定律”，也叫“行星运动定律”，是指行星在宇宙空间绕太阳公转所遵循的定律。由于是德国天文学家开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过他本人的观测和分析后，于1609～1619年先后早归纳提出的，故行星运动定律即指开普勒三定律。

常微分 用万有引力定律推导开普勒三定律

万有引力推导开普勒定律 万有引力定律的阐明： 任意两个质点由通过连心线方向上的力相互吸引。该引力大小与它们质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。 开普勒定律的阐明： ①椭圆定律:所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。 ②面积定律:行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积。 ③所有行星绕太阳一周的恒星时间()的平方与它们轨道长半轴(ai)的立 方成比例，即 一、开普勒第二定律导引： 由于太阳超重于行星，我们可以假设太阳是固定的。用方程式表示为： ； 其中，是太阳作用于行星的万有引力、是行星的质量、是太阳的质量、是行星相对于太阳的位移向量、是的单位向量。 牛顿第二定律声明：物体受力后所产生的加速度，和其所受的浮力成正比， 和其质量成反比。用方程式表示： 。 合并这两个方程式： (1) 思考位置向量，随时间微分一次可得到速度向量，再微分一次则 可得到加速度向量： 在这里，我们用到了单位向量微分方程式：

， 。（2） 合并方程式 (1) 与 (2) ，可以得到向量运动方程式： 取各个分量，我们得到两个常微分方程式，一个是关于径向加速度，另一个是关于切向加速度： ，(3) 。(4) 导引开普勒第二定律只需切向加速度方程式。试想行星的角动量。 由于行星的质量是常数，角动量随时间的导数为： 。 角动量也是一个运动常数，即使距离与角速度都可能会随时间变化。从 时间到时间扫过的区域： 。 行星太阳连线扫过的区域面积相依于间隔时间。 所以，开普勒第二定律是正确的。 二、开普勒第一定律导引： 设定。这样，角速度是： 。 随时间微分与随角度微分的关系为： 。 随时间微分径向距离：

开普勒定律的推导及应用

开普勒定律的推导及应用 江苏南京师范大学物科院王勇江苏海安曲塘中学周延怀 随着人类航天技术的飞速发展和我国嫦娥绕月卫星的发射成功，以天体运动为载体的问题将成为今后考查热点。在现行的高中物理教材中主要引用了开普勒三大定律来描述了天体的运动的规律，这三条定律的主要内容如下： （1）所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上。 （2）对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 （3）所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值。 至于行星绕太阳的轨道为何是椭圆以及中的常量C与那些量相关并无说明。为了更深入的理解天体和人造卫星的运行规律，本文将以椭圆的性质为基础从理论上推导开普勒定律。 一、开普勒第一定律 1．地球运行的特点 （1）由于地球始终绕太阳运动，则太阳对地球的万有引力的力矩始终为零，所以地球在运动过程中角动量守恒。 （2）若把太阳与地球当作一个系统，由于万有引力为保守力且无外力作用在这个系统上，所以系统机械能守恒。 2．地球运行轨迹分析 地球在有心力场中作平面运动且万有引力的作用线始终通过太阳，所以建立如图所示的极坐标系，则P点坐标为(r，θ)。 若太阳质量为M，地球质量为m，极径为r时地球运行的运行速度为v。

当地球的运行速度与极径r垂直时，则地球运行过程中的角动量（1）若取无穷远处为引力势能的零参考点，则引力势能，地球在运行过程中的机械能（2） （1）式代入（2）式得：（3） 由式（3）得：（4） 由式（4）可知，当地球的运行速度与极径r垂直时，地球运行的极径r有两解，由于初始假设地球的运行速度与极径垂直，所以r为地球处在近日点和远日点距太阳的距离。考 虑到地球的这两个位置在极坐标系中分别相当于和，可把式（4）中 的号改写为更普遍的形式极坐标方程。 则地球的运行轨迹方程为（5）（5）式与圆锥曲线的极坐标方程吻合，其中（p 为决定圆锥曲线的开口），（e为偏心率，决定运行轨迹的形状），所以地球的运行轨迹为圆锥曲线。由于地球绕太阳运动时E<0，则圆锥曲线的偏心率，所以地球绕太阳运行的轨迹为椭圆。 3．人造星体的变轨

开普勒三定律的应用

万有引力及天体运动 一．开普勒行星运动三大定律 1、开普勒第一定律(轨道定律): 所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。 2、开普勒第二定律(面积定律): 对于每一个行星而言，太阳和行星的联线在相等的时间扫过相等的面积。 3、开普勒第三定律(周期定律): 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。 1、如图所示是行星m 绕恒星M 运动的情况示意图，则下面的说确的是： A 、速度最大的点是B 点 B 、速度最小的点是C 点 C 、m 从A 到B 做减速运动 D 、m 从B 到A 做减速运动 二、万有引力定律 1、万有引力定律的建立 ①太阳与行星间引力公式 ②月—地检验 ③卡文迪许的扭秤实验——测定引力常量G 2、万有引力定律 ①容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。即： ②适用条件 （Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。 （Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。 ③运用 地上：忽略地球自转可得： 2）计算重力加速度 地球上空距离地心r=R+h 处 方法： 在质量为M ’，半径为R ’的任意天体表面的重力加速度' 'g 方法： （3）计算天体的质量和密度 利用自身表面的重力加速度： 天上：利用环绕天体的公转： 等等 （注：结合 得到中心天体的密度） （4）双星：两者质量分别为m 1、m 2，两者相距L 特点：距离不变，向心力相等，角速度相等，周期相等。 双星轨道半径之比： 双星的线速度之比： 三、宇宙航行 1、人造卫星的运行规律 2Mm F G r =11226.6710/G N m kg -=??12 2m m F G r =2 R Mm G mg =2' '''' 'R m M G mg =mg R Mm G =2r T m r m r v m r Mm G 222 224πω===33 4 R M πρ?=2 ')(h R Mm G mg +=1 2 2121 m m v v R R ==v Mm 22 24π

永动机和热力学基本定律

热力学第三定律 是否存在降低温度的极限？1702年，法国物理学家阿蒙顿已经提到了“绝对零度”的概念。他从空气受热时体积和压强都随温度的增加而增加设想在某个温度下空气的压力将等于零。根据他的计算，这个温度即后来提出的摄氏温标约为-239°C，后来，兰伯特更精确地重复了阿蒙顿实验，计算出这个温度为-270.3°C。他说，在这个“绝对的冷”的情况下，空气将紧密地挤在一起。他们的这个看法没有得到人们的重视。直到盖-吕萨克定律提出之后，存在绝对零度的思想才得到物理学界的普遍承认。1848年，英国物理学家汤姆逊在确立热力温标时，重新提出了绝对零度是温度的下限的。1906年，德国物理学家能斯特在研究低温条件下物质的变化时，把热力学的原理应用到低温现象和化学反应过程中，发现了一个新的规律，这个规律被表述为：“当绝对温度赵于零时，凝聚系(固体和液体）的熵（即热量被温度除的商）在等温过程中的改变趋于零。”德国著名物理学家普朗克把这一定律改述为：“当绝对温度趋于零时，固体和液体的熵也趋于零。”这就消除了熵常数取值的任意性。1912年，能斯特又这一规律表为绝对零度不可能达到原理：“不可能使一个物体冷却到绝对温度的零度。”这就是热力学第三定律。 在统计物理学上，热力学第三定律反映了微观运动的量子化。在实际意义上，第三定律并不像第一、二定律那样明白地告诫人们放弃制造第一种永动机和第二种永动机的个图。而是鼓励人们想方高法尽可能接近绝对零度。目前使用绝热去磁的方法已达到10 6K，但永远达不到0K 永动机和热力学基本定律 2003-9-15阅读次数: 1043次 在19世纪早期，不少人沉迷于一种神秘机械——第一类永动机的制造，因为这种设想中的机械只需要一个初始的力量就可使其运转起来，之后不再需要任何 动力和燃料，却能自动不断地做功。在热力学第一定律提出之前，人们一直围绕 着制造永动机的可能性问题展开激烈的讨论。直至热力学第一定律发现后， 第一类永动机的神话才不攻自破。热力学第一定律是能量守恒和转化定律在 热力学上的具体表现，它指明：热是物质运动的一种形式。这说明外界传给物质 系统的能量（热量），等于系统内能的增加和系统对外所作功的总和。它否认了 能量的无中生有，所以不需要动力和燃料就能做功的第一类永动机就成了天方夜 谭式的设想。热力学第一定律的产生是这样的：在18世纪末19世纪初，随 着蒸汽机在生产中的广泛应用，人们越来越关注热和功的转化问题。于是，热力 学应运而生。1798年，汤普生通过实验否定了热质的存在。德国医生、物理学家 迈尔在1841?843年间提出了热与机械运动之间相互转化的观点，这是热力学第一 定律的第一次提出。焦耳设计了实验测定了电热当量和热功当量，用实验确定了 热力学第一定律，补充了迈尔的论证。在热力学第一定律之后，人们开始考 虑热能转化为功的效率问题。这时，又有人设计这样一种机械——它可以从一个 热源无限地取热从而做功。这被称为第二类永动机。1824年，法国陆军工程

万有引力定律应用的12种典型案例

3232 万有引力定律应用的12种典型案例 万有引力定律不仅是高考的一个大重点，而且是自然科学的一个重大课题，也是同学们最感兴趣的科学论题之一。 特别是我国“神州五号”载人飞船的发射成功，更激发了同学们研究卫星，探索宇宙的信心。 下面我们就来探讨一下万有引力定律在天文学上应用的12个典型案例： 【案例1】天体的质量与密度的估算 下列哪一组数据能够估算出地球的质量 A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与地球的半径 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度 解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。 设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T ，轨道半径为r 根据万有引力定律： r T 4m r Mm G 22 2π=……①得： 2 32G T r 4M π=……②可见A 正确 而T r 2v π= ……由②③知C 正确 对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R ……④ 由于3 R 4M 3 π= ρ……⑤结合②④⑤得： G 3T 2π = ρ 可见D 错误 地球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力 由2R Mm G mg =得：G g R M 2=可见B 正确

3333 【探讨评价】根据牛顿定律，只能求出中心天体的质量，不能解决环绕天体的质量；能够根据已知条件和已知的常量，运用物理规律估算物理量，这也是高考对学生的要求。总之，牛顿万有引力定律是解决天体运动问题的关键。 【案例2】普通卫星的运动问题 我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12 h ，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是赤道平面,周期为24 h 。问：哪颗卫星的向心加速度大哪颗卫星的线速度大若某天上午8点，“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号”下次通过该岛上空的时间应该是多少 解析：本题主要考察普通卫星的运动特点及其规律 由开普勒第三定律T 2 ∝r 3 知：“风云二号”卫星的轨道半径较大 又根据牛顿万有引力定律r v m ma r Mm G 22==得： 2r M G a =，可见“风云一号”卫星的向心加速度大， r GM v = ，可见“风云一号”卫星的线速度大， “风云一号”下次通过该岛上空，地球正好自转一周，故需要时间24h ，即第二天上午8点钟。 【探讨评价】由万有引力定律得：2M a G r = ，v = ω= 2T = ⑴所有运动学量量都是r 的函数。我们应该建立函数的思想。 ⑵运动学量v 、a 、ω、f 随着r 的增加而减小，只有T 随着r 的增加而增加。 ⑶任何卫星的环绕速度不大于7.9km/s ，运动周期不小于85min 。 ⑷学会总结规律，灵活运用规律解题也是一种重要的学习方法。 【案例3】同步卫星的运动 下列关于地球同步卫星的说法中正确的是： A 、为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上 B 、通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24h C 、不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上

6.第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验定律进行推证

第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验 定律进行推证 2.1 反射定律和折射定律 在教材中我们早就学习了折射定律和反射定律]1[，反射定律的传统表达为：入射光线与反射光线在同种介质中，且对称分居于法线两侧，即入射角i 等于反射角i '，或i ＝i '。折射定律的传统表达为：光折射时，折射光线、入射光线、法线在同一平面内，折射光线和入射光线分别位于法线的两侧。折射角随入射角的改变而改变：入射角增大时，折射角也增大；入射角减小时，折射角也减小。这两个定律通俗易懂，但它们在教材中都是通过实验推出，并没有从理论的角度进行推证。本章利用费马原理从理论角度对反射定律和折射定律进行推导。 我们已经学过nds 称为光程，并且当两列波在同一点相遇并叠加时，其光强取决于相位差，而相位差又取决于光程差。可以证明，几何光学中，有关光线的实验事实也可以归结为光程问题，即不考虑光的波动性，而只从光线的观点出发通过光程的概念。 2.2费马原理 费马原理是费马在1650年概括光线传播的实验定律提出的[2]，其内容为：连结给定两点P 和Q 可以有许多路径，而光线只遵循两点间光程为极值的路径，数学表达形式为： Q P nds =?极值（极小值、极大值或恒值） （2-1） 费马原理要求光程为极值，可以是最小值，这是最常见的，也可以是最大值，还可以是稳定值。 几何光学的核心就是费马原理，虽然几何光学被看作是波动光学的近似，但现在光学设计中的光线追迹及光学成像等还是利用由费马原理推出的几何光学的知识，费马原理是物理学和数学的精妙结合。 2.3 折射定律的推导 设光线由P 点传播到Q 点， P 和Q 两点分别在折射率为1n 和2n 的均匀媒质中，首先建立笛卡儿空间直角坐标系，选两种介质的分界面为x y 平面，选过P 和Q 两点并与媒质分界面垂直的平面为yz 平面，如果P 和Q 两点的连线与分界

从开普勒定律到万有引力定律

从开普勒定律到牛顿万有引力定律 [摘要]：在高中阶段甚至大学的普通物理中，从开普勒三定律到万有引力定律的推导都是在简化之后的圆轨道上进行的。本文从椭圆轨道出发，推导出了万有引力定律。 [关键词]：万有引力定律、开普勒定律、行星运动、椭圆轨道、极坐标 [正文] 高中阶段，由于缺少数学知识，从开普勒定律到万有引力的推导只能在简化之后的圆轨道上进行。甚至大学阶段，普通物理的教材中，也采用了这个方法。本文力图从原始的椭圆轨道入手，导出万有引力定律。当然，这个过程不可能不涉及高等数学的知识。首先我们做一个准备工作，然后再集中考虑推导的过程。如果“准备”中的知识已完全清楚，则可以直接考虑定律的推导了。 第一部分 准备 一、极坐标中的椭圆方程 椭圆定义为到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e 的点的集合。 如图1所示，在极坐标中，Ox 为极轴l 是垂直于极轴的定直线，它与O 点的距离为p 。由椭圆的定义可知： e r p r =+θ cos 整理可得： θ cos 1e pe r -= (1) 二、极坐标中的位置矢量 x O θ 图1 l r

极坐标中，r 表示从原点到曲线上一点的距离，如果我们以原点O 为参考，则r 实际上只表示出了位置矢量的大小。为了明确其方向，我们沿着r 所在的直线做出单位矢量i 作为径向单位向量。另外，将i 旋转2 π 得到j 作为横向单位向量。显然物体的位置矢量可表示为： ri =r (2) 上式中等号右边的r 表示的是位矢的大小，i 表示的位矢的方向。但是应当注意的是，不管是r 还是i ，都不一定是常量。这和直角坐标系中的单位向量是常量是有区别的。 另外，r 和i 都是θ的函数，在运动学中θ又是时间t 的函数。所以，r 和i 都是时间t 的函数，所以我们也可以说位置矢量r 是时间的函数。 在这里，我们必须清楚的是，极坐标中的矢量表示和用极坐标表示函数关系并不完全是一回事。若用极坐标表示数量关系，我们只需要用标量式()θr r =即可，在表示矢量时，我们不得不在这个基础上加上了单位向量i 。 三、极坐标中的速度和加速度 下面我们先求单位向量对时间的导数。 在图3中，以Ox 方向为x 轴，O 为原点，垂直Ox 向上为y 轴建立直角坐标系，用ξ、 η表示沿x 轴、y 轴的单位向量，则i 、j 可分别表示为： θηθξsin cos +=i x 图3 r i j θd θ O Δi θd x O θ 图2 r i j

第一章,热力学基本规律

一．几个基本概念： 1.孤立系，闭系和开系：与其他物质既没有物质交换也没有能量交换的系统叫做孤立系；与外界没有物质交换但有能量交换的系统叫做闭系；与外界既有物质交换也有能量交换的系统叫做开系。 2.平衡态：经验表明，一个孤立系统，不论其初态多么复杂，经过足够长的时间后，将会达到这样的状态，系统的各种宏观性质在长时间内不会发生任何变化，这样的状态称为热力学平衡态。 3.准静态：所谓准静态过程，它是进行的非常缓慢的过程，系统所经历的每一个状态都可以看做是平衡态。 4.可逆过程与不可逆过程：如果一个过程发生后，无论用任何曲折复杂的方法都不可能把它留下的后果完全的消除而使一切恢复原状，这过程称为不可逆过程；反之，如果一个过程发生后，它所产生的影响可以完全消除而令一切恢复原状，这过程称为可逆过程。 5.理想气体：我们把严格遵从玻意耳定律、焦耳定律和阿氏定律的气体称为理想气体。 二．热力学定律 1.热平衡定律（即热力学第零定律）：如果物体A和物体B各自与处在同一状态C达到平衡，若令A与进行热接触，他们也将处在热平衡，这个实验事实称为热平衡定律。 2.热力学第一定律：自认界的一切物质都具有能量，能量有各种不同的形式，可以从一种形式转化成另一种形式，从一个物体传递到另一个物体，在传递与转化中能量的数量不变。第一定律也可以表述称为第一类永动机是不可能制成的。 3.热力学第二定律： 1）克氏表述：不可能把热量从低温物理传到高温物体而不引起其他变化。 2）开氏表述：不可能从单一热源吸热使之完全变成有用功而不引起其他变化。 热力学第二定律也可表述为第二类永动机是不可能制成的。

关于热力学第二定律有几点需要说明： 在两个表述中所说的不可能，不仅指【1】在不引起其他变化的条件下，直接从单一热源吸热而使之完全变成有用的功，或者直接将热量从低温物体送到高温物体是不可能的。 而且指【2】不论用多么复杂的方法，在全部过程终了时，其最终的唯一后果是从单一热源吸热而将之完全变成有用功，或者热量从低温物体传到高温物体是不可能的。说明中的【2】尤为重要。 关于热力学第二定律，其实还有许多其他的表述，自然界中与热现象有关的实际过程都有其自发进行的方向，是不可逆的。 实际上自然界的不可逆过程都是存在关联的，我们可以通过某种方法把两个不可逆过程联系起来，由一个过程的不可逆性推断出另一个过程的不可逆性。 我见过的比较经典就是课本上关于克氏和开氏定律的等价性证明和关于气体自由膨胀的不可逆性，分别陈述于下：1）克氏表述与开氏表述的等价性：这里我们用反正发证明，首先我们假设克氏表述不成立，然后我们可以构造如左图所示热机，一个卡诺循环，工作物质从高温热源吸取热量Q1，在低温热源放出热量Q2，对外做功W=Q1-Q2。如果克氏定理不成立，可以将热量Q2从低温热源送到高温热源而不引起其他变化，则全部过程的最终后果就是从单一热源吸收热量Q1-Q2，并全部转为有用的功，即开始表述不成立。反之，如果开氏表述不正确，则一个热机能够从高温热源吸收热量Q1并全部转化成有用功 W=Q1，可以利用这个功带动一个可逆卡诺热机逆向循环，整个过程是将Q2从低温物体传到高温物体，即克氏表述不正确。至此，我们证明了克氏表述与开氏表述的等价性。

开普勒定律万有引力定律重力加速度

开普勒定律、万有引力定律、重力加速度深析知识达标： 1、关于宇宙的两种学说 2、开普勒行星运动定律 （1）开普勒第一定律： （2）开普勒第二定律： （3）开普勒第三定律： 3、万有引力定律： （1）论证 （2）公式 （3）引力常量 4、重力加速度深析 5、计算天体的质量和密度

经典题型： 1、已知万有引力恒量，在以下各组数椐中，根椐哪几组可以测地球质量（ ） ①地球绕太阳运行的周期信太阳与地球的距离 ②月球绕地球运行的周期信月球离地球的距离 ③地球半径、地球自转周期及同步卫星高度 ④地球半径及地球表面的重力加速度 A. ①②③ B. ②③④ C.①③④ D.①②④ 2、火星与地球的质量之比为P ，半径之比为q ，则火星表面的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为（ ） A. 2q p B.2pq C.q p D.pq 3、地球表面处的重力加速度为g ，则在距地面高度等于地球半径处的重力加速度为（ ） A. g B. g/2 C. g/4 D. 2g 4、一名宇航员来到某星球上，如果该星球的质量为地球的一半，它的直径也为地球的一半，那么这名宇航员在该星球上的重力是他在地球上重力的（ ） A. 4倍 B. 0.5倍 C. 0.25倍 D. 2倍 5、关于地球的运动,正确的说法有（ ） A. 对于自转,地表各点的线速度随纬度增大而减小 B. 对于自转,地表各点的角速度随纬度增大而减小 C. 对于自转,地表各点的向心加速度随纬度增大而增大 D. 公转周期等于24小时

6、已知金星绕太阳公转的周期小于1年，则可判定（ ） ①金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离 ②金星的质量大于地球的质量 ③金星的密度大于地球的密度 ④金星的向心加速度大于地球的向心加速度 A. ①③ B. ②③ C. ①④ D.②④ 7、人造地球卫星所受的向心力与轨道半径r 的关系，下列说法中正确的是（ ） A. 由2r Mm G F =可知，向心力与r 2成反比 B. 由22r v m F =可知，向心力与r 成反比 C. 由r m F 2ω=可知，向心力与r 成正比 D. 由v m F ω=可知，向心力与r 无关 8、关于人造地球卫星及其中物体的超重和失重问题，下列说法正确的是（ ） ①在发射过程中向上加速时产生超重现象 ②在降落过程中向下减速时产生失重现象 ③进入轨道时作匀速圆周运动，产生失重现象 ④失重是由于地球对卫星内物体的作用力减小而引起的 A. ①③ B.②③ C. ①④ D.②④ 9、设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动，则与开采前相比 （ ） ①地球与月球间的万有引力将变大； ②地球与月球间的万有引力将变小； ③月球绕地球运动的周期将变长； ④月球绕地球的周期将变短。 A. ①③ B. ②③ C.①④ D.②④

费马原理

费马原理的运用 王瑞林（03010425） （东南大学能源与环境学院，南京 210010） 摘要：本文介绍了几何光学的基本定理——费马原理的定义、传统表述及运用波动光学对其本质的介绍。并且运用费马原理证明了几何光学的三大定律，并求出了最速降线。 关键词：费马原理；折射定律；圆锥曲线光学性质；最速降线；最小作用量原理 The use of Fermat’s principle Wangruilin (The college of environment and energy , Southeast University, Nanjing 210096 ) Abstract: We introduced the Fundamental theorem of geometrical optics- Fermat’s principle. We introduced the definition and presentation of Fermat's principle, analysis its essemce . we also got the three basic laws of geometrical optics, and find the brachistochrone with proof of Fermat's principle. key words: Fermat’s principle；Law of ref raction；Optical properties of coni c；Brachistochrone；Principle of least action 我们之前在初高中就已经学习过几何光学，并了解了其中的一些重要定律，但是都只是一些经验的描述和一些实验的简单验证，本文我们运用几何光学的基础原理——费马原理对已学过的几何定律做一个简单的梳理并简单介绍一下运用费马原理对最速降线问题的求解。 费马原理简介 一、费马定理的表述 关于费马原理的定义，教科书上的表述如下：“过空间中两定点的光，实际路径总是光程最短、最长或恒定值的路径。”其实表述并不足够准确，因为对于某些路程，不能简单的以光程极值来加以限定，最为准确而精炼的表述要利用到数学上的泛函知识，具体描述为：“过两个定点的光走且仅走光程的一阶变分为零的路径。”其中光程的定义为光通过的介质对光的折射率与光通过的路程的乘积。费马原理的数学表述形式为 其中，δ是变分符号，p1、p2表示空间中两个固定点，n为介质的折射率，s表示路程。我们将路径视为一个函数，而变分则是对泛函求导，其结果类似于我们函数求导，我们可以用函数求导来类似理解变分的求解。 费马定理还有另外一种表述：“过空间中两定点的光，实际路径总是时间最短、最长或恒定值的路径。”其实就是把光程换成了时间t

对开普勒行星运动定律的理解

对开普勒行星运动定律的理解德国天文学家开普勒用了20年的时间，通过对丹麦天文学家第谷的行星观测记录，以“日心说”为理论基础，总结了开普勒三定律，也叫“行星运动定律”，指行星在宇宙空间绕太阳公转所遵循的定律，它否定了古人奉行的“地心说”的错误观点。下面本人就开普勒定律谈谈自己的一些理解。 开普勒第一定律也称椭圆定律，它指出所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。我们把像太阳这样被其他星体环绕的天体称为中心天体，其他围绕中心天体运动的行星称为环绕天体。这个定律的提出，首先否定了“天体运动为一个圆周”的错误理论，开创了天体运动科学研究的新局面。另外，我们还应了解，太阳系中不同行星运动的椭圆轨道是不同的，但这些椭圆有一个共同的焦点，即在太阳所在位置。其次，不仅在太阳系中各行星的轨道如此，其他星系中，各环绕天体和中心天体也符合开普勒第一定律。比如，在地月系中，月球和其他地球卫星围绕地球运动的轨道也为一个椭圆，而地球也处在它们椭圆轨道的一个焦点上。 开普勒第二定律，也称面积定律，它指出在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒。行星在椭圆轨道运动时，极径 (又 称向径R)所扫过面积与经过的时间成正比，即掠面速度守恒，亦即矢积守恒，又称动量矩（角动量）守恒。天体运动若每走一步的时间

都相等，则向径所扫过的面积也相等，即面速度不变而形状变化。据此我们可以得出，离太阳越近的环绕天体运动的线速度越大，或者说低轨道运行行星比高轨道运行行星的速度大。其次，该定律还蕴含着行星与太阳之间的相互作用力在行星和太阳的连线上。我们还应理解，该定律对于其他星系也同样适用。 “所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等”，这就是开普勒第三定律的表述,也称调和定律。这个定律的得出比前两个定律要晚些，它是通过所有行星围绕太阳运动的轨道半长轴与公转周期的比较得出的，是三个定律中应用较为广泛的一个，当然也可以用与其他星系。其物理表达式为a3/T2=K，它蕴含着行星运动的动力学关系，是牛顿得出万有引力定律的基础。公式中的K值是一个只与中心天体质量有关的量，与环绕天体无关，也就是说，只要中心天体一定，则K值就一定。比如，在太阳系中所有围绕太阳运动的轨道半长轴与公转周期的比值K与月球围绕地球运动的轨道半长轴与公转周期的比值K就不一样，这里一定要注意理解。 下面举个例子，已知飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动，其周期为T，如图所示如果飞船要返回地面，可在轨道上的某点A将速度降低到适当的数值，从而使飞船沿着地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，求飞船由A 点到B 点所需的时间。(已知 地球半径为R0) 分析：无论飞船是沿圆轨道运行还是沿椭圆轨道运行，

万有引力定律应用的12种典型案例

万有引力定律应用的12种典型案例 万有引力定律不仅是高考的一个大重点，而且是自然科学的一个重大课题，也是同学们最感兴趣的科学论题之一。 特别是我国“神州五号”载人飞船的发射成功，更激发了同学们研究卫星，探索宇宙的信心。 下面我们就来探讨一下万有引力定律在天文学上应用的12个典型案例： 【案例1】天体的质量与密度的估算 下列哪一组数据能够估算出地球的质量 A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与地球的半径 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度 解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。 设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T ，轨道半径为r 根据万有引力定律： r T 4m r Mm G 22 2π=……①得： 2 32GT r 4M π=……②可见A 正确 而T r 2v π= ……由②③知C 正确 对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R ……④ 由于3 R 4M 3 π= ρ……⑤结合②④⑤得： G 3T 2π = ρ 可见D 错误 地球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力 由2R Mm G mg =得：G g R M 2=可见B 正确 【探讨评价】根据牛顿定律，只能求出中心天体的质量，不能解决环绕天体的质量；能够根据已知条件和已知的常量，运用物理规律估算物理量，这也是高考对学生的要求。总之，牛顿万有引力定律是解决天体运动问题的关键。 【案例2】普通卫星的运动问题 我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12 h ，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是

高中物理模块要点回眸11开普勒三定律的理解和应用新人教版必修

第11点开普勒三定律的理解和 应用 开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动.我们可以从以下三方面应用开普勒定律迅速解决天体运动问题. 1.由开普勒第一定律知所有行星围绕太阳运动时的轨道都是椭圆，不同的行星绕太阳运动时的椭圆轨道是不同的，太阳处在椭圆的一个焦点上，如图1所示.该事实否定了圆形轨道的说法，建立了正确的行星轨道理论，而且准确地给出了太阳的位置. 图1 2.由开普勒第二定律知：当离太阳比较近时，行星运行的速度比较快，而离太阳比较远时，行星运动的速度比较慢. 3.由开普勒第三定律知：所有行星的轨道的半长轴的三次方和公转周期的平方的比值都相等.该定律揭示了周期和轨道半径的关系，其中的比例常数与行星无关，只与中心天体有关. 对点例题1火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知() A.太阳位于木星运行轨道的中心 B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等

C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 解题指导太阳位于木星运行椭圆轨道的一个焦点上，选项A 错误；由于火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，火星和木星绕太阳运行速度的大小变化，选项B 错误；根据开普勒行星运动定律可知，火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方，选项C 正确；相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积不等于木星与太阳连线扫过的面积，选项D 错误. 答案C 特别提醒本题中的D 项是学生作答中的易错点.对开普勒三定律理解时要注意对象的同一性，不能张冠李戴将该行星和其他行星的相关量混为一谈. 对点例题2飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动，其周期为T .如图2所示，飞船要返回地面，可以在轨道上的某一点A 处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的特殊椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B 点相切.如果地球半径为R 0，求飞船由A 点运动到B 点所需的时间. 图2 解题指导由开普勒第三定律知，飞船绕地球做圆周(半长轴和半短轴相等的特殊椭圆)运动时，其轨道半径的三次方跟周期的平方的比值，等于飞船绕地球沿椭圆轨道运动时其半长轴的三次方跟周期平方的比值. 飞船椭圆轨道的半长轴为R ＋R 02， 设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T ′， 则有R 3T 2＝(R ＋R 0)3 8T ′ 2， 因此飞船从A 点运动到B 点所需的时间为 t ＝T ′2＝(R ＋R 0)T 4R R ＋R 02R . 答案(R ＋R 0)T 4R R ＋R 02R 木星绕太阳运动的周期为地球绕太阳运动周期的12倍，那么，木星绕太阳运动轨道的半长

开普勒三定律的数学证明

开普勒三定律的数学证明 摘 要：本文依次对开普勒第二，第三和第一定律进行详细的数学证明，并用物理学中角动量守恒的方法对开普勒第二定律进行证明。 关键字：开普勒定律；角动量守恒 Mathematical Proofs of Kepler ’s Law Du Yonghao (Civil Engineering Department of Southeast University, Nanjing 211189, China) Abstract: My paper particularly derives Kepler ’s Second Law, Third Law and First Law in mathematical methods in order. Law of Conservation of Angular Momentum is also applied to derive Kepler ’s Second Law. Key words: Kepler ’s Law; Law of Conservation of Angular Momentum 1 前言 开普勒第一定律，也称椭圆定律、轨道定律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。开普勒第二定律，也称面积定律：在相等的时间内，太阳和运动中的行星的连线（向量半径）所扫过的面积都是相等的。这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒。开普勒第三定律，也称调和定律、周期定律：各个行星绕太阳的椭圆轨道的半长轴的立方和它们公转周期的平方成正比[1]。 2 开普勒第二定律证明 数学方法 令()t r 为行星在t 时刻的位失，令()t t r ?+为行星在()t t ?+时刻的位失。面积A ?为在t 时刻 与()t t ?+时刻间行星位失扫过的面积，即()t r 与 ()()t r t t r r -?+=?所围成的三角形面积，如图1，得： ()r t r A ??≈ ?2 1 所以： ()t r t r t A ???≈??21 令0→?t ，得： ()()t r t r dt dA '?=2 1 ()1 图1[2]

开普勒定律和极坐标在天体运动中的应用

开普勒定律和极坐标在天体运动中的应用 肖雷 有关行星和卫星等天体运动的问题是力学课程中最有趣味的课题之一。可惜许多教科书都把这类问题与牛顿万有引力定律联系起来。在教学中，为了把轨道概念较早地引入力学课程之中，通常不得不把问题局限为圆周轨道，这样往往会使一些学生误以为只存在圆形轨道，或者至少以为只有圆形轨道才是重要的。 我认为把行星和卫星的椭圆形轨道运动问题，建立在开普勒三个定律的基础上，而不是放在牛顿万有引力定律的基础上，这样会更好一些。当然，开普勒定律和牛顿万有引力定律是紧密相关的。但是我认为应当首先在开普勒定律的引导下讨论椭圆运动，这样不仅思路清晰，而且能使问题简化；同时应用其所对应的极坐标方程来解决其中的数学问题，可以避免冗长而繁琐的数学运算。 当然，要应用开普勒定律解决椭圆轨道问题，我们首先得熟悉其所对应的极坐标方程的数学形式： 第一定律：θcos 1e p r += ， e ＜1 (1) 第二定律：c dt d r =θ2 ， (2) 第三定律：k T a =23 ， (3) 其中e 是离心率，p 是正焦弦，a 是半长轴， T 是椭圆轨道的周期； c 是因各个行星(卫星)而异的常数，k 是对每个行星(卫星)都相同的常数． 此外，轨道上任一点的速度表达式为： )1 2 (2a r k v -=。 （4） 由于某些有关椭圆轨道的问题，实际上纯粹是几何问题，显然可用几何方法求解。例如： 1.已知轨道的某些性质(最远点，最近点，离心率，周期，半长轴，或者在某特定点的速度)，求其它性质； 2.由于速度改变，从一轨道换到另一轨道； 3.在行星之间或者在卫星之间对轨道作霍曼(hohmann)半椭圆变换； 4.同步通讯卫星。 对于这些问题，如果我们应用开普勒定律的极坐标表达的数学形式来解就比使用牛顿运动定律的数学表达式要容易的多。

万有引力推导开普勒三大定律

万有引力推导开普勒定律 牛顿万有引力定律阐明：任意两个粒子由通过连线方向的力相互吸引。该引力的的大小与它们的质量乘积成正比，与它们距离的平方成反比。由于太阳超重于行星，我们可以假设太阳是固定的。 用方程式表示， ； 是行星的质量、是太阳的质量、是行这里，是太阳作用於行星的万有引力、 向量、是位移的单位向量。星相对于太阳的成正比，和其質量，和其所受的淨力声明：牛顿第二定律物體受力後所产生的加速度 成反比。用方程式表示，。合并这两个方程式，。(1) ，随时间思考位置向量微分一次可得到速度向量，再微分一次则可得到加速度向量： ， 。 (2) 在这里，我们用到了单位向量微分方程式： ， 。 合并方程式(1) 与(2) ，可以得到向量运动方程式： 取各个分量，我们得到两个常微分方程式，一个是关于径向加速度，另一个是关于切向加速度：

，(3) 。(4) 。由于行星导引开普勒第二定律只需切向加速度方程式。试想行星的角动量的质量是常数，角 动量随时间的导数为。，即使距离与角速度都可能会随时间变化。角动量也是一个运动常数从时间到时间扫过的区域， 。 。所以，开普勒第二定律是正确的。行星太阳连线扫过的区域面积相依于间隔时间 [编辑开普勒第一定律导引] 。这样，角速度是设定。 随时间微分与随角度微分的关系为 。 ：随时间微分徑向距離 。 再微分一次： 。．，，代入径向运动方程式(3) 。 ，则可得到一个简单的常係数非齐次线性全微分方程式将此方程式除以来描述行星轨道： 。

特征方程式为 。 求解剩馀的常係数齐次线性全微分方程式， 。 其特解方程式为 ； 都是任意积分常数。综合特征方程式与特解方程式，这里，与 。 ，。代回选择坐标轴，让 。 ，则所描述的是椭圆轨道。所以，开普勒第一定律是正确的。假若开普勒第三定律导引] 编辑[ 在建立牛顿万有引力定律的概念与数学架构上，开普勒第三定律是牛顿依据的重要线索之一。假若我们接受牛顿运动定律。试想一个虚拟行星环绕着太阳公转，行星的移动轨道恰巧 。那末，太阳作用于行星的万有引力为。行星移动速呈圆形，轨道半径为 成反比。所以，与半径的平方根。依照开普勒第三定律，这速度度为 。猜想这大概是牛顿发现万有引力定律的思路，虽然我们并不能完全万有引力确定，因为我们无法在他的计算本裡，找到任何关于这方面的证据。

开普勒的三大定律典型例题

典型例题 关于开普勒的三大定律 例1 月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27天。应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地面多少高度，人造地球卫星可以随地球一起转动，就像停留在无空中不动一样． 分析：月球和人造地球卫星都在环绕地球运动，根据开普勒第三定律，它们运行轨道的半径的三次方跟圆周运动周期的二次方的比值都是相等的． 解：设人造地球卫星运行半径为R，周期为T，根据开普勒第三定律有： 同理设月球轨道半径为，周期为，也有： 由以上两式可得： 在赤道平面内离地面高度： km 点评：随地球一起转动，就好像停留在天空中的卫星，通常称之为定点卫星．它们离地面的高度是一个确定的值，不能随意变动。 利用月相求解月球公转周期 例2 若近似认为月球绕地球公转与地球绕日公转的轨道在同一平面内，且都为正圆.又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天（图是相继两次满月，月、地、日相对位置示意图）．

解：月球公转（2π+）用了29.5天． 故转过2π只用天． 由地球公转知． 所以=27.3天． 例3如图所示，A、B、C是在地球大气层外的圆形轨道上运行的三 颗人造地球卫星，下列说法中正确的是哪个？（） A．B、C的线速度相等，且大于A的线速度 B．B、C的周期相等，且大于A的周期 C．B、C的向心加速度相等，且大于A的向心加速度 D．若C的速率增大可追上同一轨道上的B 分析：由卫星线速度公式可以判断出，因而选项A是错误的． 由卫星运行周期公式，可以判断出，故选项B是正确的． 卫星的向心加速度是万有引力作用于卫星上产生的，由，可知，因而选项C是错误的． 若使卫星C速率增大，则必然会导致卫星C偏离原轨道，它不可能追上卫星B，故D也是错误的． 解：本题正确选项为B。