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北京市2016年中考数学试题(解析版)模板

2016年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷

一、选择题(本题共30分,每小题3分)第1-10题均有四个选项,符合题意的选项只有

..一个。1. 如图所示,用量角器度量∠AOB,可以读出∠AOB的度数为

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(A) 45°

(B) 55°

(C) 125°

(D) 135°

答案:B

考点:用量角器度量角。

解析:由生活知识可知这个角小于90度,排除C、

D,又OB边在50与60之间,所以,度数应为55°。

2. 神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一,每小时飞行约28 000公里。将28 000用科学计数法表示应为

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(A)(B) 28(C)(D)

答案:C

考点:本题考查科学记数法。

解析:科学记数的表示形式为10n

a?形式,其中1||10

≤<,n为整数,28000=。故选C。

a

3. 实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是

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(A)a(B)(C)(D)

答案:D

考点:数轴,由数轴比较数的大小。

解析:由数轴可知,-3<a<-2,故A、B错误;1<b<2,

-2<-b<-1,即-b在-2与-1之间,所以,。

4. 内角和为540的多边形是

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答案:c

考点:多边形的内角和。

解析:多边形的内角和为(2)180

n-??,当n=5时,内角和为540°,所以,选C。

5. 右图是某个几何体的三视图,该几何体是

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(A)圆锥(B)三棱锥

(C)圆柱(D)三棱柱

答案:D

考点:三视图,由三视图还原几何体。

解析:该三视图的俯视为三角形,正视图和侧视图都是矩形,所以,这

个几何体是三棱柱。

6. 如果,那么代数

2

()

b a

a

a a b

-

-

的值是

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(A) 2 (B)-2 (C)(D)

答案:A

考点:分式的运算,平方差公式。

解析:

2

()

b a

a

a a b

-

-

22

a b a

a a b

-

-

()()

a b a b a

a a b

-+

-

=a b

+=2。

7. 甲骨文是我国的一种古代文字,是汉字的早期形式,下列甲骨文中,不是轴对称的是

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答案:D

考点:轴对称图形的辨别。

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解析:A、能作一条对称轴,上下翻折完全重合,B和C也能

作一条对称轴,沿这条对称翻折,左右两部分完全重合,只有

D不是轴对称图形。

8. 在1-7月份,某种水果的每斤进价与出售价的信息如图所

示,则出售该种水果每斤利润最大的月份是

(A) 3月份(B) 4月份

(C) 5月份(D) 6月份

答案:B

考点:统计图,考查分析数据的能力。

解析:各月每斤利润:3月:7.5-4.5=3元,

4月:6-2.5=3.5元,5月:4.5-2=2.5元,

6月:3-1.5=1.5元,所以,4月利润最大,选B。

9. 如图,直线,在某平面直角坐标系中,x轴∥m,y轴∥n,点A的坐标为(-4,2),点B 的坐标为(2,-4),则坐标原点为

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(A)(B)(C)(D)

答案:A

考点:平面直角坐标系。

解析:因为A点坐标为(-4,2),所以,原点在点A的右边,也在点A的下边2个单位处,

从点B来看,B(2,-4),所以,原点在点B的左边,且在点B的上边4个单位处。如下图,O1符合。

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10. 为了节约水资源,某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价,水价分档递增。计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%,15%和5%。为合理确定各档之间的界限,随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量(单

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位:),绘制了统计图,如图所示,下面有四个推断:

①年用水量不超过180的该市居民家庭按第一档水

价交费

②年用水量超过240的该市居民家庭按第三档水价

交费

③该市居民家庭年用水量的中位数在150-180之间

④该市居民家庭年用水量的平均数不超过180

(A ) ①③ (B ) ①④ (C )②③ (D )②④ 答案:B

考点:统计图,会用统计图中的数据分析问题。 解析:年用水量不超过180的居民家庭有:0.25+0.75+1.5+1+0.5=4(万),

4

5

=80%, 所以,①正确; 年用水量超过240

的居民家庭有:0.15+0.15+0.05=0.35(万),

0.35

5

=7%,故②不正确; 30-120的有2.5万人,120-330的有2.5万人,中位数应该是120,故③不正确;

由于中位数为120,用水量小于150的有3.5万人,所以该市居民家庭年用水量的平均数不超过180,④正确。

二、填空题(本题共18分,每小题3分) 11. 如果分式2

1

x -有意义,那么x 的取值范围是 。 答案:1x ≠ 考点:分式的意义。

解析:由分式的意义,知:10x -≠,所以,1x ≠

12.右图中的四边形均为矩形,根据图形,写出一个正确的等式: 。 答案:()m a b c ma mb mc ++=++(答案不唯一)

考点:矩形的面积计算,用图形说明因式分解。

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解析:最大矩形的长为()a b c ++,宽为m ,所以,它的面积为()m a b c ++;又最大矩形的面积为三个小矩形面积之和,三个小矩形的面积分别为:

,,ma mb mc ,所以,有()m a b c ma mb mc ++=++

13. 林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率,下表是这种幼树在移植过程中的一组统计数据: 移植的棵数n 1 000 1 500 2 500 4 000 8 000 15 000 20 000 30 000 成活的棵数m 865 1 356 2 220 3 500 7 056 13 170 17 580 26 430 成活的频率

0.865

0.904

0.888

0.875

0.882

0.878

0.879

0.881

估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 。 答案:0.881

考点:频率估计概率。

解析:用频率估计概率,数据越大,估计越准确,所以,移植幼树棵数越多,估算成活的概率越准确,因此0.881可作为估计值。

14. 如图,小军、小珠之间的距离为2.7m ,他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m,1.5m ,已知小

军、小珠的身高分别为1.8m,1.5m,则路灯的高为 m。

答案:3

考点:等腰三直角三角形判定与性质。

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解析:如下图,因为小军、小珠都身高与影长相等,所以,

∠E=∠F=45°,所以,AB=BE=BF,设路灯的高AB为xm,

则BD=x-1.5,BC=x-1.8,

又CD=2.7,所以,x-1.5+x-1.8=2.7,解得:x=3(m)

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15. 百子回归图是由1,2,3…,100无重复排列而成的正方形数表,它是一部数化的澳门简史,如:中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期,最后一行中间两位“23 50”标示澳门面积,……,同时它也是十阶幻方,其每行10个数之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等,则这个和为。

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答案:505

考点:考查学生的阅读能力,应用知识解决问题的能力。

解析:1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=5050,

共10行,每一行的10个数之和相等,所以,每一行数字之和为:5050

10

=505。

16. 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程。

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请回答:该作图的依据是 。 答案: (1)到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上(A 、B 都在PQ 的垂直平分线上);(2)两点确定一条直线(AB 垂直PQ )(其他正确依据也可以) 考点:线段的垂直平分线定理,尺规作图。

解析:由作图可知,AP =AQ ,所以,点A 在线段PQ 的垂直平分线上,同理,点B 也在线段PQ 的垂直平分线上,所以,有AB ⊥PQ 。

三、解答题(本题共72分,第17-26题,每小题5分,第27题7分,第28题7分,第29题8分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17. 计算:0

(3)4sin 45813-π+-+-. 考点:实数的运算。 解析:原式

18. 解不等式组:253(1)742

x x x x +>-??

?+>??

考点:不等式组的求解。 解析:

19. 如图,四边形ABCD 是平行四边形,AE 平分,交DC 的延长线

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于点

E. 求证:DA=DE

考点:平行四边形的性质,两直线平行的性质,等角对等边。 解析:

证明:

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.

20. 关于x的一元二次方程+(2m有两个不想等的实数根。

(1)求m的取值范围;

(2)写出一个满足条件的m的值,并求此时方程的根。

考点:一元二次方程根的判别式及一元二次方程的求解。

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解析:(1)原方程有两个不相等实数根

解得。

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(2),原方程为,即。(m取其他值也可以)

21. 如图,在平面直角坐标系xOy中,过点A(-6,0)的直线与直线;y=2x相交于点B(m,4)。

(1)求直线的表达式;

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(2)过动点P(n,0)且垂于x轴的直线与的交点分别

为C,D,当点C位于点D上方时,写出n的取值范围。

考点:函数图象,一次函数,不等式。

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解析:(1)点B在直线l2上,

设l1的表达式为,由A、B两点均在直

线l1上得到,,

解得,则l1的表达式为。

(2)由图可知:,

点C 在点D 的上方,所以,322

n

n +>,解得:。

22. 调查作业:了解你所住小区家庭5月份用气量情况。

小天、小东和小芸三位同学住在同一小区,该小区共有300户家庭,每户家庭人数在2-5之间,这300户家庭的平均人数均为3.4.

小天、小东、小芸各自对该小区家庭5月份用气量情况进行了抽样调查,将收集的数据进行了整理,绘制的统计表分别为表1、表2和表3.

表1 抽样调查小区4户家庭5月份用气量统计表 (单位:)

家庭人数 2 3 4 5 用气量 14

19

21

26

表2 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表 (单位:) 家庭人数 2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

4

用气量

10 11 15 13 14 15 15 17 17 18 18 18 18 20 22

表3 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表 (单位:) 家庭人数 2

2

2

3

3

3

3

3

3

4

4

4 4

5

5

用气量

10 12 13 14 17 17 18 19 20 20 22 26 31 28 31

根据以上材料回答问题:

小天、小东和小芸三人中,哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该小区家庭5月份用气量情况,并简要说明其他两位同学抽样调查地不足之处。 考点:抽样调查,分析数据,解决问题的能力。

解析:小芸,小天调查的样本容量较少;小东抽样的调查数据中,家庭人数的平均值为

,远远偏离了平均人数的 3.4,所以他的数据抽样有明显问题;小

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芸抽样的调查数据中,家庭人数的平均值为

,说明小芸抽

样数据质量较好,因此小芸的抽样调查的数据能较好的反映出该小区家庭5月份用气量情况。

23. 如图,在四边形ABCD 中,,AC=AD,M,N 分别为AC,AD 的中

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点,连接BM,MN,BN. (1)求证:BM=MN; (2)

,AC 平分

,AC=2,求BN 的长。

考点:三角形的中位线定理,勾股定理。

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解析:(1)证明:在中,M、N分别是AC、CD的中点

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在中,M是AC的中点又。

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(2)解:且AC平分

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由(1)知,

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而由(1)知,。

24. 阅读下列材料:

北京市正围绕“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心“的定位,深入实施”人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略。“十二五”期间,北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力,已经成为首都经济增长的支柱产业。

2011年,北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元,占地区生产总值的12.1%。2012年,北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势,实现产业增加值2189.2亿元,占地区生产总值的12.3%,是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业。2013年,北京市文化产业实现增加值2406.7亿元,比上年增长9.1%。文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位。2014年,北京市文化创意产业实现增加值2749.3亿元,占地区生产总值的13.1%,创历史新高。2015年,北京市文化创意产业发展总体平稳,实现产业增加值3072.3亿元,占地区生产总值的13.4%。

(以上数据来源于北京市统计局)根据以上材料解答下列问题:

(1)用折线图将2011-2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来,并在图中标明相应数据;(2)根据绘制的折线图中提供的信息,预估 2016年北京市文化创意产业实现增加值约亿元,你的预估理由。

考点:考查学生的阅读能力,处理数据的能力。

解析:(1)如下图:

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(2)3440(预估值在3376~3563之间都可以),近三年平均增长率作为预测2016年数据的依据(只要给出符合预测数据的合理的预测方法即可)

25. 如图,AB 为于点D ,过点D 作

的切线,

交BA 的延长线于点E.

(1) 求证:AC ∥DE:

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(2) 连接CD ,若OA =AE =a ,写出求四边形ACDE 面积的思路。

考点:圆的切线的性质定理,垂径定理,多边形面积的计算。

解析:(1)证明:ED 与相切于D

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F 为弦AC 的中点

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(2)解:①四边形DFAE 为直角梯形,上底为AF ,下底为DE ,高为DF ,有条件比较容易在直角三角形DOE 中计算出DE 长为

,DF=

2

a

,AF=,所以可以求出四边形DFAE 的面积为

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②在三角形CDF 中,,且DF=a/2, FC=AF=,进而可以求解在三角形CDF 的面积

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为;

③四边形ACDE 就是由四边形DFAE 和三角形CDF 组成的,进而可以得到四边形ACDE 的面

积就等于他们的面积和,为

(本题也可以通过证明四边形ACDE为平行四边形,进而通过平行四边形面积公式求解,主要思路合理即可)。

26. 已知y是x的函数,自变量x的取值范围,下表是y与x的几组对应值

x … 1 2 3 5 7 9 …

y … 1.98 3.95 2.63 1.58 1.13 0.88 …

小腾根据学校函数的经验,利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律,对该函数的图象与性质进行了探究。

下面是小腾的探究过程,请补充完整:

(1)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点。根据描出的点,画出该函数的图象;

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(2)根据画出的函数图象,写出:

①x=4对应的函数值y约为;

②该函数的一条性质:。

考点:函数图象,开放式数学问题。

解析:

(1)如下图:

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(2)①2(2.1到1.8之间都正确)

②该函数有最大值(其他正确性质都可以)。

27. 在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴的交点为A,B.

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(1)求抛物线的顶点坐标;

(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点。

①当m=1时,求线段AB上整点的个数;

②若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区

域内(包括边界)恰有6个整点,结合函数的图象,求m的

取值范围。

考点:二次函数的图象及其性质。

解析:(1)解:将抛物线表达式变为顶点式,则抛物线顶点坐标为(1,-1)。

(2)解:①时,抛物线表达式为,因此A、B的坐标分别为(0,0)和(2,0),则线段AB上的整点有(0,0),(1,0),(2,0)共3个;

②抛物线顶点为(1,-1),则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0,所以即要求AB线段上(含AB两点)必须有5个整点;又有抛物线表达式,令

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,得到A、B两点坐标分别为,

即5个整点是以(1,0)为中心向两侧分散,进而得到,。

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28. 在等边中,

(1)如图1, P,Q是BC边上两点,AP=AQ,,求的度数;

(2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与点B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的的对称点为M,连接AM,PM.

①依题意将图2补全;

②小茹通过观察、实验提出猜想:在点P、Q运动的过程中,始终有PA=PM。小茹把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:

想法1:要证明PA=PM,只需证是等边三角形。

想法2:在BA上取一点N,使得BN=BP,要证PA=PM,只需证

想法3:将线段BP绕点 B顺时针旋转60,得到线段BK,要证PA=PM,只需证PA=CK,PM=CK…….请你参考上面的想法,帮助小茹证明PA=PM(一种方法即可)

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考点:三角形全等的判定与性质,三角形内角和定理。

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解析:(1)解:又

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又。

(2)①下图;②利用想法1证明:连接AQ,首先应该证明,

得到,然后由得到,进而得到;

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接着利用AB=AC ,得到,

从而得到AP=AM,进而得到PA=PM。(利用其他想法的线索证明也可以)

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29. 在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(点Q的坐标为(),且,

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某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P,Q 的“相关矩形”。下图为点P,Q 的“相关矩形”的示意图。

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(1)已知点A的坐标为(1,0),

①若点B的坐标为(3,1)求点A,B的“相关矩形”的面积;

②点C在直线x=3上,若点A,C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式;

(2)的半径为,点M的坐标为(m,3)。若在上存在一点N,使得点M,N的“相关矩形”为正方形,求m的取值范围。

考点:一次函数,函数图象,应用数学知识解决问题的能力。

解析:

(1)解:①;②C的坐标可以为(3,2)或者(3,-2),设AC的表达式为, 将A、C分别代入AC的表达式得到

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或,解得或,

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则直线AC的表达式为或。

(2)解:易得随着m的变化,所有可能的点M都在直线y=3上;

对于圆上任何一点N,符合条件的M和N必须在k=1或者-1的直线上,

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因此可以得到m的范围为或者。

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