对数函数的定义、图象、性质

课 题：2.8.1 对数函数的定义、图象、性质

教学目的：

1．了解对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关系； 2．会求对数函数的定义域；

3．渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力

教学重点：对数函数的定义、图象、性质

教学难点：对数函数与指数函数间的关系. 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教材分析：对数函数是指数函数的反函数，教材是根据互为反函数的两个函

数的图象间关于直线y=x 对称的性质，引入对数函数的定义和相应的性质种讲法，可以加深和巩固学生对互为反函数的函数图象之间的关系的认识，便于与指数函数的图象和性质相对照，教材紧扣对数函数是指数函数的反函数这个本质联系来讲述对数函数的概念、图象和性质的 教学过程：

一、复习引入：

1、指对数互化关系：

2、 )10(≠>=a a a y x

且的图象和性质

我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到

的细胞的个数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y =x

2表示

现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是y x 2log =

如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log = 由反函数概念可知， x y 2log =与指数函数x y 2=互为反函数

二、新授内容： 1．对数函数的定义：

函数x y a l o g =)10(≠>a a 且叫做对数函数；它是指数函数x

a y =

)10(≠>a a 且的反函数

对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为,(+∞-∞

2．对数函数的图象

由于对数函数x y a log =与指数函数x

a y =互为反函数，所以x y a log =的图

象与x a y =的图象关于直线x y =对称因此，我们只要画出和x a y =的图象关

于x y =对称的曲线，就可以得到x y a log =的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质

3．对数函数的性质

由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质见三、讲解范例：

例1（课本第94页）求下列函数的定义域：

（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -= 分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域（0，+∞）求解

解：（1）由2

x >0得0≠x ,∴函数2log x y a =的定义域是{}0|≠x x ；

（2）由04>-x 得4

（3）由9-02

>-x 得-33<

∴函数)9(log 2x y a -=的定义域是{}33|<<-x x 例2求下列函数的反函数

①121-??

?

??=x

y ②3)21(12+=+x y )0(

??y x

∴)1(log )(2

11+=-x x f )1(->x

② 3)2

1(1

2-=+y x ∴)3(log )(2

11

--=-x x f

)27

3(<

四、练习：

1.画出函数y=3log x 及y=x 3

1log 的图象，并且说明这两

个函数的相同性质和不同性质.

解：相同性质：两图象都位于y 轴右方，都经过点（1，0），这说明两函数的定义域都是（0，+∞），且当x=1,y=0. 不同性质：y=3log x 的图象是上升的曲线，y=x 3

1log 的图

象是下降的曲线，这说明前者在（0，+∞）上是增函数，后者在（0，+∞）上是减函数. 2.求下列函数的定义域：

（1）y=3log (1-x) (2)y=x

2log 1

(3)y=x

311

log 7

- x y 3log )4(= 解：（1）由1-x ＞0得x ＜1 ∴所求函数定义域为{x|x ＜1}

(2)由2log x ≠0，得x ≠1，又x ＞0 ∴所求函数定义域为{x|x ＞0且x ≠1}

(3)由31,0310311

>??

?

??≠->-x x x 得 ∴所求函数定义域为{x|x ＜31}

(4)由???≥>??

?≥>1

,0log 03x x x x 得 ∴x ≥1 ∴所求函数定义域为{x|x ≥1}

五、小结 本节课学习了以下内容：对数函数定义、图象、性质

⑴对数的定义， ⑵指数式与对数式互换 ⑶求对数式的值

六、课后作业：

1.求下列函数的反函数：

（1）y=x

4(x ∈R) (2)y=x

25.0(x ∈R) (3)y=x

)3

1

((x ∈R) (4)y=x )2((x ∈R) (5)y=lgx(x ＞0) (6)y=24log x(x ＞0) (7)y=a log (2x)(a ＞0,且a ≠1,x ＞0) (8)y=a log 2

x

(a ＞0,a ≠1,x ＞0) 解：（1）所求反函数为：y=4log x(x ＞0) (2)所求反函数为：y=25.0log x(x ＞0) (3)所求反函数为：y=x 3

1log (x ＞0)

(4)所求反函数为：y=x 2

log

(x ＞0)

(5)所求反函数为：y=x

10 (x ∈R) (6)所求反函数为：y=2

4x =x

2 (x ∈

R) (7)所求反函数为：y=

x

a 2

1(a ＞0,且a ≠1,x ∈

R) (8)所求反函数为：y=2x

a (a ＞0,且a ≠1,x ∈R) 2.求下列函数的定义域：

（1）32log x y = (2)34log 5.0-=x y

解：由??

?∈>R log 0

2

x x 得x ＞0

∴所求函数定义域为：{x|x ＞0}

(2)由??

???≤>???≤->-???≥->-1

4

3,1340340)34(log 0345.0x x x x x x 得得 即43＜x ≤1

∴所求函数定义域为{x|

4

3

＜x ≤1} 七、板书设计（略） 八、课后记：