一九九八年全国高中数学联合竞赛
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1. 若a > 1, b > 1, 且lg(a + b )=lg a +lg b , 则lg(a –1)+lg(b –1) 的值( ) (A )等于lg2
(B )等于1
(C ) 等于0 (D ) 不是与a , b 无关的常数
2.若非空集合A={x |2a +1≤x ≤3a – 5},B={x |3≤x ≤22},则能使A ?A ∩B 成立的所有a 的集合是( ) (A ){a | 1≤a ≤9}
(B ) {a | 6≤a ≤9}
(C ) {a | a ≤9} (D ) ?
3.各项均为实数的等比数列{a n }前n 项之和记为S n ,若S 10 = 10, S 30 = 70, 则S 40等于( )
(A ) 150
(B ) - 200
(C ) 150或 - 200 (D ) - 50或400
4.设命题P :关于x 的不等式a 1x 2
+ b 1x 2
+ c 1 > 0与a 2x 2
+ b 2x + c 2 > 0的解集相同; 命题Q :a 1a 2=b 1b 2=c 1
c 2
. 则命题Q ( ) (A ) 是命题P 的充分必要条件
(B ) 是命题P 的充分条件但不是必要条件
(C ) 是命题P 的必要条件但不是充分条件
(D ) 既不是是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件
5.设E , F , G 分别是正四面体ABCD 的棱AB ,BC ,CD 的中点,则二面角C —FG —E 的大小是( ) (A ) arcsin
63 (B ) π2+arccos 33 (C ) π2-arctan 2 (D ) π-arccot 22
6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )
(A ) 57 (B ) 49 (C ) 43 (D )37
二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.
1.若f (x ) (x ∈R )是以2为周期的偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,f (x )=x 1
1000
,则f (9819),f (10117),f (104
15
)
由小到大排列是 .
2.设复数z=cos θ+i sin θ(0≤θ≤180°),复数z ,(1+i )z ,2-z 在复平面上对应的三个点分别是P ,
Q , R .当P , Q , R 不共线时,以线段PQ , PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S , 点S 到原点距离的最大
值是___________.
3.从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种.
4.各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.
5.若椭圆x 2
+4(y -a )2
=4与抛物线x 2
=2y 有公共点,则实数a 的取值范围是 .
6.?ABC 中, ∠C = 90o
, ∠B = 30o
, AC = 2, M 是AB 的中点. 将?ACM 沿CM 折起,使A ,B 两点间的距离为 2 2 ,此时三棱锥A -BCM 的体积等于__________.
三、(本题满分20分)
已知复数z=1-sin θ+i cos θ(π
2
<θ<π),求z 的共轭复数-z 的辐角主值.
四、(本题满分20分)
设函数f (x ) = ax 2
+8x +3 (a <0).对于给定的负数a , 有一个最大的正数l (a ) ,使得在整个 区间 [0, l (a )]上, 不等式| f (x )| ≤ 5都成立.
问:a 为何值时l (a )最大? 求出这个最大的l (a ).证明你的结论.
五、(本题满分20分)
已知抛物线y2= 2px及定点A(a, b), B( –a, 0) ,(ab≠ 0, b2≠ 2pa).M是抛物线上的点, 设直线AM, BM与抛物线的另一交点分别为M1, M2.
求证:当M点在抛物线上变动时(只要M1, M2存在且M1 ≠M2),直线M1M2恒过一个定点.并求出这个定点的坐标.
第二试
一、(满分50分)如图,O 、I 分别为△ABC 的外心和内心,AD 是BC 边上的高,
I 在线段OD 上。求证:△ABC 的外接圆半径等于BC 边上的旁切圆半径。
注:△ABC 的BC 边上的旁切圆是与边AB 、AC 的延长线以及边BC 都相切的圆。
二、(满分50分)设a 1,a 2,…,a n ,b 1,b 2,…,b n ∈[1,2]且
n Σi=1a 2
i =
n
Σ
i=1
b 2
i ,
求证:
n
Σ
i=1
a 3
i
b i ≤17
10n
Σ
i=1
a 2
i .并问:等号成立的充要条件.
三、(满分50分)对于正整数a 、n ,定义F n (a )=q +r ,其中q 、r 为非负整数,a=qn +r ,且0≤r <n .求最大的正整数A ,使得存在正整数n 1,n 2,n 3,n 4,n 5,n 6,对于任意的正整数a ≤A ,都有
F n 6(F n 5(F n 4(F n 3(F n 2(F n 1(a ))))))=1.证明你的结论.
一九九八年全国高中数学联赛解答
第一试
一.选择题(本题满分36分,每小题6分)
1.若a > 1, b > 1, 且lg (a + b ) = lg a + lg b , 则lg (a –1) + lg (b –1) 的值( ) (A )等于lg2
(B )等于1
(C ) 等于0 (D ) 不是与a , b 无关的常数
解:a +b=ab ,(a -1)(b -1)=1,由a -1>0,b -1>0,故lg(a -1)(b -1)=0,选C .
2.若非空集合A={x |2a +1≤x ≤3a – 5},B={x |3≤x ≤22},则能使A ?A ∩B 成立的所有a 的集合是( ) (A ){a | 1≤a ≤9} (B ) {a | 6≤a ≤9} (C ) {a | a ≤9}
(D ) ?
解:A ?B ,A ≠?.? 3≤2a +1≤3a -5≤22,?6≤a ≤9.故选B .
3.各项均为实数的等比数列{a n }前n 项之和记为S n ,若S 10 = 10, S 30 = 70, 则S 40等于( ) (A ) 150
(B ) -200
(C ) 150或 -200 (D ) -50或400
解:首先q ≠1,于是,
a 1
q -1(q 10
-1)=10,a 1
q -1
(q 30-1)=70,∴ q 20+q 10+1=7.?q 10
=2.(-3舍)
∴ S 40=10(q 40
-1)=150.选A .
4.设命题P :关于x 的不等式a 1x 2
+ b 1x 2
+ c 1 > 0与a 2x 2
+ b 2x + c 2 > 0的解集相同; 命题Q :a 1a 2=b 1b 2=c 1
c 2
. 则命题Q ( ) (A ) 是命题P 的充分必要条件
(B ) 是命题P 的充分条件但不是必要条件
(C ) 是命题P 的必要条件但不是充分条件
(D ) 既不是是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件
解:若两个不等式的解集都是R ,否定A 、C ,若比值为-1,否定A 、B ,选D .
5.设E , F , G 分别是正四面体ABCD 的棱AB ,BC ,CD 的中点,则二面角C —FG —E 的大小是( )
(A ) arcsin
63 (B ) π2+arccos 33 (C ) π2-arctan 2 (D ) π-arccot 22
解:取AD 、BD 中点H 、M ,则EH ∥FG ∥BD ,于是EH 在平面EFG 上.设CM ∩FG=P ,
AM ∩EH=Q ,则P 、Q 分别为CM 、AM 中点,PQ ∥AC .
∵ AC ⊥BD ,?PQ ⊥FG ,CP ⊥FG ,?∠CPQ 是二面角C —FG —E 的平面角.
设AC=2,则MC=MA=3,cos ∠ACM=22
+(3)2
-(3)
2
2·2·3
=
3
3
. ∴ 选D .
6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )
(A ) 57 (B ) 49 (C ) 43 (D )37
解:8个顶点中无3点共线,故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心. ⑴ 体中心为中点:4对顶点,6对棱中点,3对面中心;共13组; ⑵ 面中心为中点:4×6=24组;
⑶ 棱中点为中点:12个.共49个,选B .
二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.
1.若f (x ) (x ∈R )是以2为周期的偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,f (x )=x 1
1000
,则f (9819),f (10117),f (104
15
)
由小到大排列是 .
解:f (9819)=f (6-1619)=f (1619).f (10117)=f (6-117)=f (117),f (10415)=f (6+1415)=f (1415).
现f (x )是[0,1]上的增函数.而117<1619<1415.故f (10117) 2.设复数z=cos θ+i sin θ(0≤θ≤180°),复数z ,(1+i )z ,2-z 在复平面上对应的三个点分别是P , Q , R .当P , Q , R 不共线时,以线段PQ , PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S , 点S 到原点距离的最大值是___________. P Q M H A D C B G F E 解: →OS =→OP +→PQ +→PR =→OP +→OQ -→OP +→OR -→OP =→OQ +→OR -→ OP =(1+i )z +2-z -z=iz +2-z =(2cos θ-sin θ)+i (cos θ-2sin θ). ∴ |OS |2 =5-4sin2θ≤9.即|OS |≤3,当sin2θ=1,即θ=π 4 时,|OS |=3. 3.从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种. 解:从这10个数中取出3个偶数的方法有C 3 5种,取出1个偶数,2个奇数的方法有C 1 5C 2 5种,而取出3个数的和为小于10的偶数的方法有(0,2,4),(0,2,6),(0,1,3),(0,1,5),(0,1,7),(0,3,5),(2,1,3),(2,1,5),(4,1,3),共有9种,故应答10+50-9=51种. 4.各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项. 解:设其首项为a ,项数为n .则得a 2 +(n -1)a +2n 2 -2n -100≤0. △=(n -1)2 -4(2n 2 -2n -100)=-7n 2+6n +401≥0.∴ n ≤8. 取n=8,则-4≤a ≤-3.即至多8项. (也可直接配方:(a + n -1 2 )2+2n 2 -2n -100-( n -1 2 )2≤0.解2n 2 -2n -100-( n -1 2 )2 ≤0仍得n ≤8.) 5.若椭圆x 2+4(y -a )2 =4与抛物线x 2 =2y 有公共点,则实数a 的取值范围是 . 解:2y=4-4(y -a )2 ,?2y 2 -(4a -1)y +2a 2 -2=0.此方程至少有一个非负根. ∴ △=(4a -1)2-16(a 2 -1)=-8a +17≥0.a ≤178 . 两根皆负时2a 2