线代第七章讲义

线性代数第六章二次型试的题目及问题详解

第六章 二次型 一、基本概念 n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为 f(x 1,x 2, …,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+ …+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2 =21 2n ii i ij i j i i j a x a x x =≠+∑∑. 它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A ???? ?? ? ????????? ??==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f M ΛM M M Λ Λ ΛΛ212 122221112112111 21),,(),,( 记[]T x x x X Λ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X T AX 称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩. 注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T =，此时二次 型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此， 也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。 实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定 为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型. 标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2 222211n n x d x d x d f +++=Λ 称为二次型的标准型。 规范二次型 形如2 21221q p p p x x x x ++--+ΛΛ的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规范型。 二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系 对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数 ?? ???? ?+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x ΛM ΛΛ22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵 c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … … c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可 逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =

线性代数第六章练习题

第六章练习题 一、 填空题 1. 设110100100000110,011,010,020003013000003A B C D ????????????????====???????????????????????? ， 在,,B C D 中， 与A 等价的有 ； 与A 相似的有 ；与A 合同的有 . 2. 二次型123113(,,)361139T f x x x X X ?? ?= ? ??? ，它的矩阵是 ，它是 定二次型. 3. 设112 3 32000000,000000a a A a B a a a ????????==???????????? , 则当C = 时, .T C AC B = 4. 参数a 的取值范围是 时，二次型 222123123121323(,,)23224f x x x x ax x x x x x x x =++-+-是正定的二次型. 二、计算与证明题 1. 设二次型123121323(,,),f x x x x x x x x x =+- 1) 写出二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =+-的矩阵; 2) 二次型123(,,)f x x x 是不是正定二次型? 3) 用非退化线性替换X CY =化二次型123(,,)f x x x 为标准形, 并写出所用的线性替换. 2. 已知二次型2212313121323(,,)33484f x x x x x x x x x x x =++++, (1) 写出二次型的矩阵A ; (2)用正交线性替换X QY =, 化二次型123(,,)f x x x 为标准形; (3) 求实对称矩阵B , 使得3 .A B = 3. 实二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x ax x x x x x x =++-+-的秩是2， 1）写出二次型123(,,)f x x x 的矩阵表示； 2）求参数a 及二次型123(,,)f x x x 的矩阵特征值；

《线性代数》第3章习题解答

1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T ααα=--=-- 求1223αα+ 解: ∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=----- 1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4 T T =- ----=- ∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3] [19,1,0,10,11] T T T αα+=-+-= 2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T αα== 3123[4,1,1,1],3()2()5()0T ααααααα=--++-+=并且 求 α 解: ∵ 1236325αααα=+- [6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24], T T T T =+--= ∴ [1,2,3,4].T α= 3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ==== 时， 11220m m k k k ααα+++= 成立， 则向量组12,,m ααα 线性相关 解：不正确.如：[][]121,2,3,4T T αα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。 (2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k 使 11220,m m k k k ααα+++≠ 则向量组12,,,m ααα 线性无关。 解： 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,T T k αα====存在k 使 121220,,.αααα+≠但显然线性相关 (3) 如果向量组12,,,m ααα 线性无关,则其中任何一个向量都 不能由其余向量线性表出. 解： 正确。（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m ααα 线性相关，与题没矛盾。 (4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。 解：不正确。例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,T T T ααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。 (5) 如果向量β可由向量123,,ααα线性表示，即： 11223,k k k βααα=++则表示系数123,,k k k 不全为零。 解：不正确。例如：[][][]120,0,0,1,0,0,0,1,0,T T T βαα=== []31230,0,1,000T αβααα==++，表示系数全为0。 (6) 若向量12,αα线性相关，12,ββ线性无关，则1212,,,ααββ线性相关. 解：正确。因12,αα线性相关，即存在不全为零的数12,,k k 使 11221122120,000k k k ααααββ+=+++=从而k .因12,,0,0k k 不全为零，所以 1212,,,ααββ线性相关。 4.判断向量β能否由向量组1234,,,αααα线性表示，若能，写出它的一种表示方式。 (1) [][][]121,1,2,2,1,1,0,0,2,2,0,0, T T T βαα===[] 30,0,1,1T α=， []40,0,1,1T α=-- 解：显然 131342βααααα=+=+- (2) [][][]121,2,5, 1,1,1,1,2,3,T T T βαα=-==[]32,1,1T α=-，[]40,0,0.T α= 解： 设112233,βχαχαχα=++得到方程组 1232233 2321 2535 x x x x x x x x x ++=?? +-=??++=? 对方程组的增广矩阵作初等行变换，得到： 211231321 1211 12110541 2120133 013321 3 1502 140 5 10r r r r A r r r r ???? ?? --??????=------??????---???????????? 23132351 0541 00650133010330 1 20 1 2r r r r r -????-????--????+???????? 故 1236,3,2,x x x =-==12 3 46320. βαααα∴ =-+++

线代答案

第六章 线性空间与线性变换 1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基. (1) 2阶矩阵的全体S 1; 解 设A , B 分别为二阶矩阵, 则A , B ∈S 1. 因为 (A +B )∈S 1, kA ∈S 1, 所以S 1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间. ??? ??=00 011ε, ??? ??=00102ε, ??? ??=0100 3ε, ?? ? ??=1000 4ε 是S 1的一个基. (2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S 2; 解 设??? ??-=a c b a A , ?? ? ??-=d f e d B , A , B ∈S 2 . 因为 2)(S d a a c b c d a B A ∈??? ??++++-=+, 2S ka kc kb ka kA ∈?? ? ??-=, 所以S 2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间. ?? ? ? ?-=10011ε, ??? ??=00102ε, ?? ? ??=0100 3ε 是S 2的一个基. (3) 2阶对称矩阵的全体S 3. 解 设A , B ∈S 3, 则A T =A , B T =B . 因为 (A +B )T =A T +B T =A +B , (A +B )∈S 3,

(kA )T =kA T =kA , kA ∈S 3, 所以S 3对于加法和乘数运算构成线性空间. ??? ??=00 011ε, ??? ??=01102ε, ?? ? ??=1000 3ε 是S 3的一个基. 2. 验证: 与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体3维数组向量, 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间. 解 设V ={与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体三维向量}, 设r 1=(1, 1, 0)T , r 2=(-1, 0, 1)T , 则r 1, r 2∈V , 但r 1+r 2=(0, 0, 1)T ?V , 即V 不是线性空间. 3. 设U 是线性空间V 的一个子空间, 试证: 若U 与V 的维数相等, 则U =V . 证明 设ε1, ε2, ???, εn 为U 的一组基, 它可扩充为整个空间V 的一个基, 由于dim(U )=dim(V ), 从而ε1, ε2, ???, εn 也为V 的一个基, 则: 对于x ∈V 可以表示为x =k 1ε1+k 2ε2+ ??? +k r εr . 显然, x ∈U , 故V ?U , 而由已知知U ?V , 有U =V . 4. 设V r 是n 维线性空间V n 的一个子空间, a 1, a 2, ???, a r 是V r 的一个基. 试证: V n 中存在元素a r +1, ???, a n , 使a 1, a 2, ???, a r , a r +1, ???, a n 成为V n 的一个基. 证明 设r

线代第三章习题解答

第三章 行列式 习题3.1 3-1-6.用定义计算行列式 （1）()2,1,0,,,0 0000002 2 221111 4=≠= i d c b a d c b a d c b a D i i i i 解：设4 44?=ij a D 则4D 中第1行的非0元为113111, b a a a ==，故11,3j = 同法可求：2342,4;1,3;2,4j j j === ∵4321,,,j j j j 可组成四个4元排列 1 2 3 4，1 4 3 2，3 2 1 4，3 4 1 2， 故4D 中相应的非0项有4项，分别为2211d b c a ，,2211c b d a -2211d a c b -，2211c a d b 其代数和即为4D 的值，整理后得 ()()122112214d c d c b a b a D --= (2)010...0002 0 000...000 0 n D n =M M M M 解：由行列式的定义121212()12(1)n n n j j j n j j nj j j j D a a a τ= -∑L L L 仅当12,,,n j j j L 分别取2，3,…,n-1,n,1 时，对应项不为零，其余各项都为零 12121()(231)1212231(1) (1) (1)(1)(1) 12(1) ! n n n j j j n n j j nj n n n n D a a a a a a a n n ττ---=-=-=-?=-?L L L L L 习题3.2

3.2-2.证明(1)0sin cos 2cos sin cos 2cos sin cos 2cos 222222=γ γ γ βββ α αα 证明: 222222222 22222132222222cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin c c ααααααα ββ βββββγγ γ γ γ γγ -=-+-左0= (2) 3 2 2)(11122b a b b a a b ab a -=+ 证明:23 22 2 212()()2()1100 1 c c a ab ab b b a a b b a b a b c c a b a b b a b a b a b --------==---左 右=-=3)(b a (3) 1212112 21100001000001n n n n n n n n x x x a x a x a x a x a a a a a x -------=+++++-+L L M M M O M M L L L 证明: 按最后一行展开，得 1211000000010001000 (1)(1)0 0010000100 10001 n n n n x x a a x x x ++----=-+-----L L L L O M M M M M O M M L L L L 左

线性代数第三章习题与答案(东大绝版)

第三章 习题与答案 习题 A 1.求向量123(4,1,3,2),(1,2,3,2),(16,9,1 ,3)T T T =--=-=-ααα的线性组合12335.+-ααα 解 12341161293535331223?????? ? ? ? ? ? ?+-=+- ? ? ?-- ? ? ?-??????ααα1251613109491512561037???????? ? ? ? ? ? ? ? ?=+-= ? ? ? ?--- ? ? ? ?--???????? . 2.从以下方程中求向量α 1233()2()5()-++=+αααααα， 其中123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1 ,1,1).T T T ===-ααα 解 由方程得1233322550-++--=αααααα， 1232104651112 632532515118310124???????? ? ? ? ? ? ? ? ?=+-=+-= ? ? ? ?- ? ? ? ?????????αααα 故12 34?? ? ?= ? ??? α,即(1,2,3,4)T =α. 3.求证:向量组12i s α,α,,α,α 中的任一向量i α可以由这个向量组线性表出. 证 120010(1,2,,)i i s i s =+++++= ααααα 4.证明: 包含零向量的向量组线性相关. 证 设向量组为1211α,α,,α,0,α,,αi i s -+ ,则有 12110α0αα00α0α0,0i i s k k -++++++++=≠ 而0,0,,0,,0,,0k 不全为0,故向量组线性相关. 5.设有m 个向量12α,α,,αm ,证明: 若αα()i j i j =≠,则向量组12α,α,,αm 线性相关. 证 显然有1210α0αα0α()α0α0,0i i j m k k k +++++++-++=≠ , 而0,,0,,0,,0,,0,,0k k - 不全为0.故向量组线性相关. 6.判断下列向量组的线性相关性

【精品线代试题】大学线代 考研线代第三章复习题

第三章向量复习题 一、填空题： 1.当____时，向量线性无关. 2..向量则6， 3.如果线性无关，且不能由线性表示，则 的线性无关 4.设,，当5/2时，线性相关. 5.一个非零向量是线性无关；的，一个零向量是线性相关的. 6.设向量组A:线性无关，，，线性相关 7.设为阶方阵，且，是A X=0的两个不同解，则一定线性相关 8.向量组能由向量组线性表示的充分必要条件是 等于。(填大于，小于或等于) 9.设向量组,,线性相关，则的值为 。 二、选择题： 1..阶方阵的行列式,则的列向量（A） Ａ．线性相关Ｂ．线性无关Ｃ．Ｄ． 2.设为阶方阵，，则的行向量中（A） A、必有个行向量线性无关 B、任意个行向量构成极大线性无关组

C、任意个行向量线性相关 D、任一行都可由其余个行向量线性表示 3.设有维向量组（Ⅰ）：和（Ⅱ）：，则（B）． A、向量组（Ⅰ）线性无关时，向量组（Ⅱ）线性无关 B、向量组（Ⅰ）线性相关时，向量组（Ⅱ）线性相关 C、向量组（Ⅱ）线性相关时，向量组（Ⅰ）线性相关 D、向量组（Ⅱ）线性无关时，向量组（Ⅰ）线性相关 4.下列命题中正确的是(D) (A)任意个维向量线性相关(B)任意个维向量线性无关 (C)任意个维向量线性相关(D)任意个维向量线性无关 5.向量组线性相关且秩为s，则(D) （A）(B)(C)(D) 6.维向量组(3≤s≤n）线性无关的充要条件是（）. (A）中任意两个向量都线性无关 (B)中任一个向量都不能用其余向量线性表示 (C)中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)中不含零向量 7.向量组线性无关的充要条件是（C） A、任意不为零向量 B、中任两个向量的对应分量不成比例 C、中有部分向量线性无关 D、中任一向量均不能由其余n-1个向量线性表示 8.设为阶方阵，，则的行向量中（D） A、必有个行向量线性无关 B、任意个行向量构成极大线性无关组 C、任意个行向量线性相关

线性代数第三章(答案)

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 一、填空题 1、 设???? ?? ? ??=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A 2 1 2221 212111，其中),,2,1(,0,0n i b a i i =≠≠，则=)(A R ____ 2、 设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且=)(A R n －1，则线性方程组AX ＝0 的通解为________ 3、 设四阶方阵的秩为2，其伴随矩阵的秩为_______ 4、 设?????? ? ??=---112 11 22 221 21n n n n n n a a a a a a a a a A ，??????? ??=n x x x X 21，???? ??? ??=111 B ，其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i =≠≠，则线性方程组B AX =的解是________ 5、 已知????? ? ?=10 0210 002 P ，??? ? ? ? ?=20 0020 001A ，则=-1001)(AP P ________ 6、 设A ，B 均为n 阶矩阵AB ＝0，且A +B=E,则=+)()(B R A R _________ 7、 设矩阵n m A ?的秩为r ，P 为m 阶可逆矩阵，则)(PA R ＝________ 8、 矩阵??? ?? ??--34031302 1201 的行最简形矩阵为___________ 9、 矩阵??? ? ? ? ?----17 4 03430 1320的行最简形矩阵为__________ 10、 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，则)(______)(B R A R 从矩阵A 中增加一行得到矩阵B ，则)(______)(B R A R

线代第六章答案

习题6.1 1． 解 (1) A = ????? ? ?--011102120 (2) A = ??? ????? ??---0000012310233 10111 (3) A = ???????? ? ?57674256251 (4) A = ? ??????? ?? ??0111110111110111110111110 2． 解 (1) 3231212 3213218622),,(x x x x x x x x x x x f ++--= (2) 2 3222132153),,(x x x x x x f +-= 3．解 二次型f 的矩阵 ?? ??? ??----=c A 33351315 因f 的秩为2 , 故R(A) = 2. 所以 A = 0, 由此解得c = 3. 4．证明 设 ?? ??? ??=321x x x X 作变换 ??? ??===23 1231y x y x y x , 即 X=CY 其中 ?? ??? ??=????? ??=321,010001100y y y Y C , C 为非奇异矩阵. 则 Y AC C Y CY A CY y a y a y a x a x a x a AX X T T T T )() ()(22 3212231233222211==++=++=

又 BY Y y a y a y a AX X T T =++=2 3 1223212 于是有 B AC C T =, 故A 与B 合同. 习题6.2 1．解 23232232132232223213 1212 2213212)()( 2)( 222),,( )1(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f -++-+=+-+-+=-++= 令 ?????=+=-+=333223211 x y x x y x x x y 即?????=-=+-=33 3223211 2y x y y x y y y x 则 2 322212y y y f -+= 为标准形。 23223213 2232223213231212 221321)2 1 (4)( 44)( 6223),,( )2( x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f + -+-=---+-=-+--= 令 ? ????=+=+-=333223211 21 x y x x y x x x y 即????????? =-=-+=333223211 21 2 3y x y y x y y y x 则 2 2214y y f -= 为标准形。 ),,,().3(44332 122 114342324131214321?????? ?==-=+=+++++=y x y x y y x y y x x x x x x x x x x x x x x x x x f 令 4 342132142132121214321)()()()())((),,,(y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x f +-+-+++++-+=

线性代数 第三章 测验

（1）设n 阶方阵A 的秩rn （5）设A 是m ×n 矩阵，AX=0是非齐次线性方程组AX=B 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是：（ ） （A ）若AX=0仅有零解，则AX=B 有唯一解； （B ）若AX=0有非零解，则AX=B 有无穷多解； （C ）若AX=B 有无穷多个解，则AX=0仅有零解； （D ）若AX=B 有无穷多个解，则AX=0有非零解。 （6）设向量组（Ⅰ）：α1，α2，…，αr 可由向量组（Ⅱ）：β1，β2，…，βS 线性表示，则（ ） （A ）当rS 时，向量组（Ⅱ）必线性相关； （C ）当rS 时，向量组（Ⅰ）必线性相关； 7. 已知一个向量组为???? ? ???????--=????????????-=????????????=????????????=????????????=1311,4152,2312,1021,120154321ααααα，求该向量组的秩及该向量组的一个最大线性无关组, 并把其余列向量用该最大无关组线性表示.. 8. 当λ取何值时，非齐次线性方程组12312321231x x x x x x x x x λλλλλ?++=?++=??++=? (1) 有唯一解;(2)无解;(3)有无 穷多解，并求通解.

线性代数第六章二次型试题及答案解析

* * 第六章 二次型 一、基本概念 n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为 f(x 1,x 2, …,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+ …+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2 =21 2n ii i ij i j i i j a x a x x =≠+∑∑. 它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A ? ???? ?? ????????? ??==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 212 122221112112111 21),,(),,( 记[]T x x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X T AX 称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩. 注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T =，此时二次 型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此， 也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。 实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定 为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型. 标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2 222211n n x d x d x d f +++= 称为二次型的标准型。 规范二次型 形如2 21221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规范型。 二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系 对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数 ?? ???? ?+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵 c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … … c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可 逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =

线性代数第三章

显然，如果n = k，则COS sin sincos的猜想是正确的，即cos sin sincos，sincos，sincos，B是n阶矩阵。以下等式成立的条件是什么？如果矩阵B与矩阵A是可交换的，并且a是22矩阵，那么根据矩阵乘法的定义，我们可以知道所有可以与a交换的矩阵都是22矩阵，因此我们可以知道所有矩阵可以与a交换的是a，而B是任何常数2-7。证明了可以与a交换的矩阵必须是对角矩阵。证明：让矩阵B 1112 2122 1112 1112 2122 2122 ijab 与a交换，即，可以与a交换的矩阵B只能是对角矩阵。2-8（1）证明如果a和B是n阶对称矩阵，那么当且仅当a和B是可交换的时，AB才是对称矩阵。（2）设a为实对称矩阵，并证明：（1）a和B是n阶对称矩阵，证明充分性：由于a和B是可交换的，则AB，Ba和ab是对称矩阵；由于AB是对称矩阵，所以ABAB Baab是Abba。综上所述，如果a 和B是n阶对称矩阵，那么当且仅当a和B是可交换的时，AB才是对称矩阵。2-9找到以下方程的逆矩阵。注意：实际上，很难通过找到伴随矩阵来找到逆矩阵。通过基本矩阵的推导找到逆矩阵更方便。但是作为基础，我们应该学习通过找到伴随矩阵来找到逆矩阵。令方阵a满足方程，证明a是可逆的，然后求逆。证明并且仅当存在m阶可逆矩阵和p阶可逆

矩阵Q时a等于B。PAQ证明有必要首先对a进行有限基本行变换在a的左边执行有限数量的m阶基本矩阵，即有限m阶基本矩阵的乘积，可以将其设置为m阶可逆矩阵P来执行有限阶基本列转换，等效于将a的右侧乘以有限度的乘积。基本矩阵的乘积设置为n阶可逆矩阵充分性：PAQ等效于基本行转换和有限时间的基本列转换。2-34。B计算中的一个选项是2-51计算：1412 1819 36 38 1412 1315 3638 4543 3-15计算以下矩阵的等级：以下是其他文档，可以在下载后将其删除。感谢您的教育实践摘要主题15第1部分：教育实践摘要1.在清光绪创建的实践学校中学33在其中，学校所在地多次更改，学校名称多次更改。在那时，中学被改名为领导者和老师。他们以开放的心态听取意见，从经验中吸取教训，并主动完成实习学校分配的任务。这产生了良好的形象，给实践学校的领导，老师和学生留下了良好的印象，并赢得了学校领导和老师的赞誉，我对此感到非常满意。在这段短暂的实习期间，我主要进行了教学实践，班主任工作和研究工作。2，教学工作：1.如何很好地教好每一节课是整个练习过程的重点。从9月17日到9月27日，一个多星期的任务是听课。在此期间，我听了高中12名中文老师的14堂课，2堂历史课和1堂地理课。在听课

线性代数 第六章

*第六章 线性空间与线性变换 在第三章中，我们把n 元有序数组叫做n 维向量，讨论了向量的许多性质，并介绍过向量空间的概念.在这里，我们把这些概念推广，使向量及向量的概念更具一般性、更加抽象化. §１ 线性空间的定义与性质 定义1 设V 是一个非空集合，R 为实数域，如果对于任意两个元素,αβ∈V ，总有惟一的一个元素γ∈V 与之对应，称为αβ与的和，记作γαβ=+；对于任一数k ∈R 与任一元素α∈V ，总有惟一的一个元素δ∈V 与之对应，称为k 与α的积，记为δ＝k α；并且这两种运算满足以下八条运算规律(对任意,,αβγ∈V ;k ,λ∈R )： (1) αββα+=+; (2) ()()αβγαβγ++=++； (3) 在V 中有一个元素0(叫做零元素)，使对任何α∈V ，都有α+0＝α； (4) 对任何α∈V ，都有V 中的元素β，使αβ+=0(β称为α的负元素)； (5) 1α＝α； (6) k (λα)＝（k λ）α； (7) (k +λ)α＝k α＋λα； (8) k (αβ+)＝k α+k β. 那么，V 就称为R 上的向量空间(或线性空间)，V 中的元素称为(实)向量(上面的实数域R 也可为一般数域). 简言之，凡满足上面八条运算规律的加法及数量乘法称为线性运算；凡定义了线性运算的集合称为向量空间(或线性空间). 注意：向量不一定是有序数组； 向量空间V 对加法与数量乘法(数乘)封闭； 向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，不一定是有序数组的加法及数乘运算. 例1 实数域R 上次数不超过n 的多项式的全体，我们记作P ［x ］n ，即 P ［x ］n ＝｛a n x n +…+a 1x ０ ＋a 0｜a n ,a n -1,…，a １，a ０∈R ｝. 对于通常的多项式加法、多项式数乘构成R 上的向量空间. 例2 实数域R 上n 次多项式的全体，记作W ，即 W ＝｛a n x n +a n -1x n -1+…+a 1x +a ０｜a n ,a n -1，…，a １，a ０∈R ，且a n ≠0｝. W 对于通常的多项式加法、多项式数乘不构成R 上的向量空间. 因为0(a n x n +a n -1x n -1+…+a １x ０ ＋a ０)＝0?W ，即W 对数乘不封闭.

线性代数作业第六章

第六章 二次型 1. 用矩阵记号表示下列二次型． 1) 32212322 21321643),,(x x x x x x x x x x f -++-= 2) 322322 213214332),,(x x x x x x x x f +++= 3) 43423241212423 214321462242),,,(x x x x x x x x x x x x x x x x x f +--++++= 2. 已知二次型312322 21321)2(22),,(x x b bx x bx x x x f -+++=的秩为2． 1) 求参数b ； 2) 用正交变换将),,(321x x x f 化为标准型；(要求写出正交变换的矩阵) 3) 求方程0),,(321=x x x f 的全体解向量．

3. 已知二次型Ax x T 321),,(=x x x f 在正交变换Qy x =下的标准型为2221y y +，且 Q 的第3列为T 22,0,22??? ? ??． 1) 求矩阵A ； 2) 证明E A +为正定矩阵．

4. 判别下列二次型的正定性． 1) 3231212322 213211022203),,(x x x x x x x x x x x x f ---++= 2) 32212322 213214252),,(x x x x x x x x x x f +----= 5. 若n 维非零列向量m x x x ,,,21 满足条件)(0T j i i ≠=Ax x ，其中A 是n 阶正定 矩阵．证明向量组m x x x ,,,21 线性无关．

高等数学 线性代数 习题答案第六章

第六章 习题6-1 1. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1,直线x =a ，x =b 及x 轴所围成的图形的面积. 解 因y =x 2+1在[a,b ]上连续,所以x 2+1在[a,b ]上可积,从而可特殊地将[a,b ]n 等分,并取 2 ,,()()1Δi i i b a b a b a a i x f a i n n n ξξ---=+ ==++, 于是 21 1 22 2 21 222()[()1]1 ()[()2()1] 111(1)1 ()[()(1)(21)2()]62Δ n n i i i i n i b a b a f x a i n n i i b a a b a a b a n n n n n b a na b a n n n b a a n n n n ξ===--=+ +=-+-+-++=-+-??+++-??+? ∑ ∑∑ 故面积 2 22 11(1)l i m ()()[()()1]3d Δn b i i a n i S x x f x b a a b a a b a ξ→∞== +==-+-+-+∑? 331 ()()3 b a b a =-+- 2. 利用定积分的几何意义求定积分： (1) 1 2d x x ? ; (2) x ? （a ＞0）. 解 (1)根据定然积分的几何意义知, 1 2d x x ?表示由直线y =2x ,x =0,x =1及x 轴所围的三角形 的面积,而此三角形面积为1,所以 1 2d x x ?=1. (2)根据定积分的几何意义知 ,0 x ? 表示由曲线0,y x x a ===及x 轴所围成的 14圆的面积,而此14圆面积为2 14 πa , 所以2014πx a =?. 3. 根据定积分的性质，比较积分值的大小： (1) 1 2 d x x ? 与1 3 d x x ?； (2) 1 e d x x ?与1 (1)d x x +?. 解 (1)∵当[0,1]x ∈时,232 (1)0x x x x -=-≥,即2 3 x x ≥, 又2 x 3x ,所以11 230 d d x x x x >??. (2)令()1,()1e e x x f x x f x '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>, 从而()(0)0f x f ≥=,说明1e x x ≥+,又e x 1+x .所以 1 1 (1)e d d x x x x >+??. 4. 估计下列各积分值的范围：

线性代数第三章答案

第二次作业参考答案 2-1设21 1122103 10,103,0161211132A B C ?????? ? ? ? ==-=- ? ? ? ? ? ?---?????? ,试求()32A B C -,并验证()()AB C A BC =。 解: 63339 301836A ?? ?= ? ?-? ?,2442206222B ?? ?=- ? ?-??,4113211361614A B --?? ?-=- ? ?-?? ()411107 132113601291516143249A B C ---?????? ??? ? -=--=- ??? ? ??? ?--?????? 21112223831010326961211191011AB ?????? ??? ?=-= ??? ? ??? ?--??????,()23810221326901251291011322412AB C -?????? ??? ?=-=- ??? ? ??? ?--?????? 1221052103011061113223BC -?????? ??? ?=--=- ??? ? ??? ?---??????,()2115222133101062512612232412A BC --?????? ??? ?=-=- ??? ? ??? ?---?????? ()()AB C A BC ∴= 2-2计算下列乘积： （1）()312321?? ? ? ??? （2）()21123?? ? - ? ??? （3）()11 121311 2 321 2223231 32 333a a a x x x x a a a x a a a x ???? ??? ??? ??????? （7）0110n ?? ?-?? （n 为正整数） 解：(1) ()()()3123234310101?? ? =++== ? ??? (2) ()22411212336-???? ? ?-=- ? ? ? ?-???? (3) ()()111213111232122232111122133121222233 131232333231323333a a a x x x x x a a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x a a a x x ???? ?? ??? ? =++++++ ??? ? ??? ????? ?? 222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++ （7）令0110n n A ?? = ?-?? 当n=1时，111cos sin 012 2 1011sin cos 2 2A π ππ π?? ? ??== ? ?-?? ?- ??? ；当n=2时，210cos sin 01sin cos A ππππ-???? == ? ?--???? ；

线性代数第三章

线性代数： 线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。 线性代数第三版： 《线性代数第三版》是中国人民大学出版社2004年12月出版的图书，作者是赵树源。 内容提要： 一本新颖的《线性代数》,用全新的方法讲解线性代数的基本定理,揭开数学中的黑洞,让你感受富有哲理的论述,轻松学会线性代数方法。本书以基本定理为纲,建立了一个新的线性相关的理论体系,增加了一些新定理,改进了一些定理的证明;用发现法引入了行列式的概念,给出了克拉默法则的一个标准的表述及其一个新的证明,指出了克拉默法则是一个根本法则及其在理论上的重大意义,论述富有哲理,例如讲了数的哲学及对称美。 图书目录： 第一章行列式 1.1 二阶、三阶行列式 1.2 n阶行列式

1.3 行列式的性质 1.4 行列式按行（列）展开1.5 克莱姆法则 习题一 第二章矩阵 2.1 矩阵的概念 2.2 矩阵的运算 2.3 几种特殊的矩阵 2.4 分块矩阵 2.5 逆矩阵 2.6 矩阵的初等变换 2.7 矩阵的秩 习题二 第三章线性方程组 3.1 线性方程组的消元解法3.2 n维向量空间 3.3 向量间的线性关系 3.4 线性方程组解的结构3.5 投入产出数学模型 习题三 第四章矩阵的特征值 4.1 矩阵的特征值与特征向量