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数学实验“插值型数值微分,Taylor展开式数值微分”实验报告(内含matlab程序)

数学实验“插值型数值微分,Taylor展开式数值微分”实验报告(内含matlab程序)
数学实验“插值型数值微分,Taylor展开式数值微分”实验报告(内含matlab程序)

西京学院数学软件实验任务书

实验二十三实验报告

一、实验名称:插值型数值微分,Taylor 展开式数值微分。 二、实验目的:进一步熟悉插值型数值微分,Taylor 展开式数值微分。

三、实验要求:运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica 等其中一种语言完成程序设计。 四、实验原理:

1.插值型数值微分: 由(

)

()11

()()()()(1)!

n n n f x f x L x x n ξω

++-=

+得:

()()()()

()1111

()1()()()()1!

(1)!n n n n n f x df f x L x x x n n dx ξξωω++++'''-=+++ 当 x 为插值节点i x 时,上式简化为:

(

)

()()11

()()()()

0,1,,(1)!

i

n i n

i n x x f x f x L x x i n n ξω++='''

-==+

故一般限于对节点上的导数值采用插值多项式的相应导数值进行近似计算,以便估计误差。

一般的()()()()()0,1,,;1,2,k k i n i f x L x i n k ≈== 2.Taylor 展开式数值微分: 理论基础:Taylor 展开式

()()()()

()()

()()()00000002

2!

!

n

n

x x x x f x f x x x f x f x f x n --'''=+-+

++

+

我们借助Taylor 展开式,可以构造函数()f x 在点0x x =的一阶导数和二阶导数的数值微分公式。取步长0h >则:

2'

''

0001100()()()()(,)2

h f x h f x hf x f x x h ξξ+=++∈+, (1)

所以

'''

0001100()()()()(,)2

f x h f x h f x f x x h h ξξ+-=

-∈+, (2)

同理

),()

(2

)()()(0022'

'20'

00x h x f h x hf x f h x f -∈+-=-ξξ (3) ),()

(2

)()()(0022'

'000'x h x f h h h x f x f x f -∈+--=

ξξ

(4)

式(2)和式(4)是计算()'0f x 的数值微分公式,其截断误差为()O h ,为提高精度,将Taylor 展开式多写几项

)

,()

(24

)(6)(2)()()(0011)

4(40'''30''20'

00h x x f h x f h x f h x hf x f h x f +∈++++=+ξξ)

,()

(24

)(6)(2)()()(0022)

4(40'''30''20'

00x h x f h x f h x f h x hf x f h x f -∈+-+-=-ξξ两

式相减得

)()(6

2)()()(40'

''2000'

h O x f h h h x f h x f x f +---+=

(5)

上式为计算)(0'x f 的微分公式,其截断误差为O(h 2),比式(2)和(4)精度高。

两式相加,如果],[)(00)4(h x h x C x f +-∈,则有

2''

(4)

00002()2()()()()

12f x h f x f x h h f x f h ξ+-+-=-

(6)

其中,00(,)x h x h ξ∈-+

式(6)是计算)(0''x f 的数值微分公式,其截断误差为2()O h 。 五、实验内容:

%牛顿插值型微分

function [df,A,P]=diffnew(X,Y)

n=length(X); A=Y;

for j=2:n

for i=n:-1:j

A(i)=(A(i)- A(i-1))/(X(i)-X(i-j+1)); end end

x0=X(1);df=A(2);chsh=1;m=length(A)-1; for k=2:m

chsh=chsh*(x0-X(k)); df=df+chsh*(A(k+1)); end

P=poly2sym(A);

%拉格朗日插值型微分

function [C,L,dyk,k]=ndaolag(X,Y,n) m=length(X); n=m; L=ones(m,m); for k=1:m V=1;

for i=1:m if k~=i

V=conv(V,poly(X(i)))/(X(k)-X(i)); end end

L1(k,:)=V; l(k,:)=poly2sym (V); end

C=Y*L1;L=Y* l; syms x dyk

for k=1:n

k;

dyk=diff(L,x,k) end

积分电路和微分电路实验报告

竭诚为您提供优质文档/双击可除积分电路和微分电路实验报告 篇一:实验6积分与微分电路 实验6积分与微分电路 1.实验目的 学习使用运放组成积分和微分电路。 2.实验仪器 双踪示波器、信号发生器、交流毫伏表、数字万用表。 3.预习内容 1)阅读op07的“数据手册”,了解op07的性能。2)复习关于积分和微分电路的理论知识。3)阅读本次实验的教材。 4.实验内容 1)积分电路如图5.1。在理想条件下,为零时,则 dV(t)Vi(t) ??co,当c两端的初始电压Rdt Vo(t)?? 1t

Vi(t)dtRc?o 因此而得名为积分电路。 (1)取运放直流偏置为?12V,输入幅值Vi=-1V的阶跃电压,测量输出饱和电压和有效积分时间。 若输入为幅值Vi=-1V阶跃电压时,输出为 Vo(t)?? Vi1t Vdt??t,(1)i Rc?oRc 这时输出电压将随时间增长而线性上升。 通常运放存在输入直流失调电压,图6.1所示电路运放直流开路,运放以开环放大倍数放大输入直流失调电压,往往使运放输出限幅,即输出电压接近直流电源电压,输出饱和,运放不能正常工作。在op07的“数据手册”中,其输入直流失调电压的典型值为30μV;开环增益约为112db,即4×105。据此可以估算,当Vi=0V时,Vo=30μV×4×105=12V。电路实际输出接近直流偏置电压,已无法正常工作。 建议用以下方法。按图6.1接好电路后,将直流信号源输出端与此同时Vi相接,调整直流信号源,使其输出为-1V,将输出Vo接示波器输入,用示波器可观察到积分电路输出饱和。保持电路状态,关闭直流偏置电源,示波器x轴扫描

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 (线性、非线性)微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______,可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++,则此方程的系数α= ,β= ,γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的,则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 . 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2.求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4.用比较系数法解方程. . 5.求方程 sin y y x '=+的通解. 6.验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程,并求出它的通解.

拉格朗日插值实验报告

实验名称: 实验一拉格朗日插值 1引言 我们在生产生活中常常会遇到这样的问题: 某个实际问题中,函数f(x)在区间[a,b ]上存在 且连续,但却很难找到其表达式,只能通过实验和观测得到有限点上的函数表。显然,根据 这些点的函数值来求其它点的函数值是非常困难的。有些情况虽然可以写出表达式,但结构 复杂,使用不方便。所以我们总是希望根据已有的数据点(或函数表)来构造某个简单函数 P(x)作为f(x)的近似值。插值法是解决此类问题的一种比较古老的、 但却很常用的方法。它不 仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中,而且也是进一步学习数值计算方法的基础。 2实验目的和要求 运用Matlab 编写三个.m 文件,定义三种插值函数,要求一次性输入整函数表,并利用 计算机选择在插值计算中所需的节点。分别通过分段线性插值、分段二次插值和全区间上拉 格朗日插值计算 f(0.15),f(0.31),f(0.47)的近似值。已知函数表如下: 3算法原理与流程图 (1)原理 设函数y=在插值区间[a,b ]上连续,且在n+1个不同的插值节点a^X o ,x 1,…,x wb 上分别取 值 y o ,y 1,…,y n 。目的是要在一个性质优良、便于计算的插值函数类 ①中,求一简单函数P(x), 满足插值条 件P(X i )=y i (i=0,1,…”n)而在其他点x I 上,作为f(x)近似值。求插值函数P(x)的 方法称为插值法。在本实验中,采用拉格朗日插值法。 ①分段低次插值 当给定了 n+1个点X 0VXK …

常微分方程期末试题B答案

2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷(B) 一、填空题(每空2 分,共16分)。 1.李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件. 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线. 3.线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个,其中R ∈ x,n R Y∈. 4.二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关. 5.方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6.变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7.性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W. 8.方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题(每小题3 分,共15分)。 9.两个不同的线性齐次微分方程组( D )的基本解组. (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10.方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是(D ). (A)稳定焦点(B)不稳定焦点(C)鞍点(D)不稳定结点11.方程x(y2-1)d x+y(x2-1)d y=0的所有常数解是( C ). (A) 1± = x(B)1± = y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12.n 阶线性非齐次微分方程的所有解( D ). (A )构成一个线性空间 (B )构成一个1-n 维线性空间 (C )构成一个1+n 维线性空间 (D )不能构成一个线性空间 13.方程4d d +-=x y x y ( A )奇解. (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题(每小题8分,共48分) 。 14.求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解:令x y u =,则u x u y '+=', u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时,等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15.求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解:积分因子21)(x x =μ, 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程.取10=x ,00=y ,于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16.求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y =',得到2 2 2x xp p y +-= (*) ,两端同时关于求导,

数值分析拉格朗日插值法上机实验报告

课题一:拉格朗日插值法 1.实验目的 1.学习和掌握拉格朗日插值多项式。 2.运用拉格朗日插值多项式进行计算。 2.实验过程 作出插值点(1.00,0.00),(-1.00,-3.00),(2.00,4.00)二、算法步骤 已知:某些点的坐标以及点数。 输入:条件点数以及这些点的坐标。 输出:根据给定的点求出其对应的拉格朗日插值多项式的值。 3.程序流程: (1)输入已知点的个数; (2)分别输入已知点的X坐标; (3)分别输入已知点的Y坐标; 程序如下: #include #include #include float lagrange(float *x,float *y,float xx,int n) /*拉格朗日

插值算法*/ { int i,j; float *a,yy=0.0; /*a作为临时变量,记录拉格朗日插值多项*/ a=(float*)malloc(n*sizeof(float)); for(i=0;i<=n-1;i++) { a[i]=y[i]; for(j=0;j<=n-1;j++) if(j!=i) a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]); yy+=a[i]; } free(a); return yy; } int main() { int i; int n; float x[20],y[20],xx,yy; printf("Input n:");

scanf("%d",&n); if(n<=0) { printf("Error! The value of n must in (0,20)."); getch();return 1; } for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("x[%d]:",i); scanf("%f",&x[i]); } printf("\n"); for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("y[%d]:",i);scanf("%f",&y[i]); } printf("\n"); printf("Input xx:"); scanf("%f",&xx); yy=lagrange(x,y,xx,n); printf("x=%f,y=%f\n",xx,yy); getch(); } 举例如下:已知当x=1,-1,2时f(x)=0,-3,4,求f(1.5)的值。

RC一阶电路实验报告材料

实验二十一一阶线性电路过滤过程的观测 一、实验目的 1、测定RC一阶电路的零输入响应,零状态响应及完全响应。 2、学习电路时间常数的测量方法。 3、掌握有关微分电路和积分电路的概念。 4、学会用示波器测绘图形。 二、实验容 RC串联电路,在方波序列脉冲的重复激励下,当满足τ=RC<

时间常数的测量 R=4K

R=1K R=6K C=0.22U

R=1K R=1K

三、误差分析 1)实验过程中的读数误差 2)仪器的基本误差 3)导线连接不紧密产生的接触误差 四、实验总结 在RC一阶电路的R=2k,C=0.047u中理论值t=RC=0.094MS,在仿真实验中t=0.093.5ms 其相对误差为r=0.0005/0.094*100%=0.531%<5% 在误差允许的围测得的数值可以采用。 当T=t时,Uc(t)=0.368Us,此时所对应的时间就是t,亦可用零状态响应波形增长到0.632Us所对应的时间测量。 在RC的数值变化时,即t=RC也随之变化,t越小其响应变化就越快,反之越慢。 积分电路的形成条件:一个简单的RC串联电路序列脉冲的重复激励下,当满足t=RC>>T/2条件时,且由C端作为响应输出,即为积分电路。 积分电路波形变换的特征:积分电路可以使输出方波转换成三角波或斜波。积分电路可以使矩形脉冲波转换成锯齿波或三角波。 稍微改变电阻值或增大C值,RC值也会随之变化,t越大,锯齿波的线性越好。

(整理)常微分方程试题及参考答案

常微分方程试题 一、填空题(每小题3分,共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a,则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数,作变量变换________,方程可化为变 量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式 为x= (t),P=ψ(t),t为参数,则方程参数形式的通解为________. 5.方程=(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续,y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上,满 足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解. 7.方程=x2+xy,满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0 中a i(t) i=1,2,…,n是〔a,b〕上的连续函数,又x1(t),x2(t),…,x n(t)为方程n 个线性无关的解,则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是:________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵,x1(t),x2(t),…,x n(t)是方程组 x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为:x(t)=________的形式. 11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之 等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵,-2为A的三重特征值,则方程组x′=Ax的基 解矩阵exp A t=________. 13.方程组 的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = . 2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程

常微分方程的初等解法与求解技巧

师大学本科毕业论文(设计) 常微分方程的初等解法与求解技巧 姓名娟 院系数学与计算机科学学院 专业信息与计算科学 班级12510201 学号1251020126 指导教师王晓锋 答辩日期 成绩

常微分方程的初等解法与求解技巧 容摘要 常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用,同时它的应用在日常生活里随处可见,因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧,前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示,通过举例从中总结出其求解技巧,目的是掌握其求解技巧. 【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧

Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary Differential Equation Abstract Ordinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve. 【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques

插值法实验报告

实验二插值法 1、实验目的: 1、掌握直接利用拉格郎日插值多项式计算函数在已知点的函数值;观察拉格郎日插值的龙格现象。 2、了解Hermite插值法、三次样条插值法原理,结合计算公式,确定函数值。 2、实验要求: 1)认真分析题目的条件和要求,复习相关的理论知识,选择适当的解决方案和算法; 2)编写上机实验程序,作好上机前的准备工作; 3)上机调试程序,并试算各种方案,记录计算的结果(包括必要的中间结果); 4)分析和解释计算结果; 5)按照要求书写实验报告; 3、实验内容: 1) 用拉格郎日插值公式确定函数值;对函数f(x)进行拉格郎日插值,并对f(x)与插值多项式的曲线作比较。 已知函数表:(0.56160,0.82741)、(0.56280,0.82659)、(0.56401,0.82577)、(0.56521,0.82495)用三次拉格朗日插值多项式求x=0.5635时函数近似值。 2) 求满足插值条件的插值多项式及余项 1) 4、题目:插值法 5、原理: 拉格郎日插值原理: n次拉格朗日插值多项式为:L n (x)=y l (x)+y 1 l 1 (x)+y 2 l 2 (x)+…+y n l n (x)

n=1时,称为线性插值, L 1(x)=y (x-x 1 )/(x -x 1 )+y 1 (x-x )/(x 1 -x )=y +(y 1 -x )(x-x )/(x 1 -x ) n=2时,称为二次插值或抛物线插值, L 2(x)=y (x-x 1 )(x-x 2 )/(x -x 1 )/(x -x 2 )+y 1 (x-x )(x-x 2 )/(x 1 -x )/(x 1 -x 2 )+y 2 (x -x 0)(x-x 1 )/(x 2 -x )/(x 2 -x 1 ) n=i时, Li= (X-X0)……(X-X i-1)(x-x i+1) ……(x-x n) (X-X0)……(X-X i-1)(x-x i+1) ……(x-x n) 6、设计思想: 拉格朗日插值法是根据n + 1个点x0, x1, ... x n(x0 < x1 < ... x n)的函数值f (x0), f (x1) , ... , f (x n)推出n次多項式p(x),然后n次多項式p (x)求出任意的点x对应的函数值f (x)的算法。 7、对应程序: 1 ) 三次拉格朗日插值多项式求x=0.5635时函数近似值 #include"stdio.h" #define n 5 void main() { int i,j; float x[n],y[n]; float x1; float a=1; float b=1; float lx=0; printf("\n请输入想要求解的X:\n x="); scanf("%f",&x1); printf("请输入所有点的横纵坐标:\n"); for(i=1;i

RC一阶电路的响应测试实验报告

? 实验七 RC 一阶电路的响应测试 一、实验目的 1. 测定RC 一阶电路的零输入响应、零状态响应及完全响应。 2. 学习电路时间常数的测量方法。 3. 掌握有关微分电路和积分电路的概念。 4. 进一步学会用示波器观测波形。 二、原理说明 1. 动态网络的过渡过程是十分短暂的单次变化过程。要用普通示波器观察过渡过程和测量有关的参数,就必须使这种单次变化的过程重复出现。为此,我们利用信号发生器输出的方波来模拟阶跃激励信号,即利用方波输出的上升沿作为零状态响应的正阶跃激励信号;利用方波的下降沿作为零输入响应的负阶跃激励信号。只要选择方波的重复周期远大于电路的时间常数τ,那么电路在这样的方波序列脉冲信号的激励下,它的响应就和直流电接通与断开的过渡过程是基本相同的。 2.图7-1(b )所示的 RC 一阶电路的零输入响应和零状态响应分别按指数规律衰减和增长,其变化的快慢决定于电路的时间常数τ。 3. 时间常数τ的测定方法: 用示波器测量零输入响应的波形如图7-1(a)所示。 根据一阶微分方程的求解得知u c =U m e -t/RC =U m e -t/τ 。当t =τ时,Uc(τ)=0.368U m 。 此时所对应的时间就等于τ。亦可用零状态响应波形增加到0.632U m 所对应的时间测得,如图13-1(c)所示。 a) 零输入响应 (b) RC 一阶电路 (c) 零状态响应 图 7-1 4. 微分电路和积分电路是RC 一阶电路中较典型的电路, 它对电路元件参数和输入信号的周期有着特定的要求。一个简单的 RC 串联电路, 在方波序列脉冲的重复激励下, 当 满足τ=RC<< 2 T 时(T 为方波脉冲的重复周期),且由R 两端的电压作为响应输出,则该电路就是一个微分电路。因为此时电路的输出信号电压与输入信号电压的微分成正比。如图 0.368t t t t 0.6320 000c u u U m c u c u u U m U m U m

常微分方程习题及答案.[1]

第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1.任意微分方程都有通解。( ) 2.微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3.函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4.函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5.微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6.y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7.xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8.052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9. 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1.在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2.x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3.x e y 2-=''的通解是 。 4.x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5.124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6.微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。

7.x y 1 =所满足的微分方程是 。 8.x y y 2='的通解为 。 9. 0=+ x dy y dx 的通解为 。 10. ()25 11 2+=+- x x y dx dy ,其对应的齐次方程的通解为 。 11.方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12.3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1.微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A .3 B .4 C .5 D . 2 2.微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A .3 B .5 C .4 D . 2 3.下列函数中,哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A .x y 2= B .2x y = C .x y 2-= D . x y -= 4.微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A .13+=x y B .()3 2+=x y C .()2 C x y += D . ()3 1x C y += 5.函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A .0=+'y y B .02=+'y y C .0=+y y n D . x y y cos =+'' 6.x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( ),其中1C ,2C 为任意常数。 A .通解 B .特解 C .是方程所有的解 D . 上述都不对 7.y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A .1+=x e y B .x e y 2= C .22x e y ?= D . x e y ?=3 8.微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A .x a y sin *= B .x a y cos *?=

常微分方程解题方法总结.docx

常微分方程解题方法总结 来源:文都教育 复习过半,课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来,如何将零散的知识点有机地结合起来,而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆,使知识自成体系,建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴,他强调读 书要 “由薄到厚、由厚到薄 ”,对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例, 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容, 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多, 遇到具体的题 目不知该如何下手, 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结,一目了然,便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时,得到 dy f (x)dx , g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果; dx 当 g( 0 ) 0 时,则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法:令 u y xdu udx ,代入 ,则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 dy P ( x)dx P ( x) dx Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx

伯努利方程解法:令 dy P( x) y Q( x) y n(n≠0,1) 代入得到dx —u y1 n,有 du(1 n) y n dy , du(1 n) P(x)u(1 n)Q(x) dx 求解特征方程: 2pq 0三种情况: 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根: 1 ,2 通解: y c1 e 1x c2 e 2x (2)两个相等实根:12 通解: y c1c2 x e x (3)一对共轭复根:i , 通解: y e x c1 cos x c2 sin x 通解为y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况: x ( 1)f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根,令特解y Q m ( x)e x;若是特征方程的单根,令特 解 y xQ m ( x)e x;若是特征方程的重根, 令特解 y*x2Q m (x)e x; (2)f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x] 当i不是特征值时,令 欢迎下载2

实验九 积分与微分电路

实验九积分与微分电路 学院:信息科学与技术学院专业:电子信息工程 姓名:刘晓旭 学号:2011117147

一.实验目的 1.掌握集成运算放大器的特点、性能及使用方法。 2.掌握比例求和电路、微积分电路的测试和分析方法。 3.掌握各电路的工作原理和理论计算方法。 二.实验仪器 1.数字万用表2.直流稳压电源3.双踪示波器4.信号发生器5.交流毫伏表。三.预习要求 1.分析图7-8 实验电路,若输入正弦波,u o 与u i 的相位差是多少?当输入信号为100Hz、有 效值为2V时,u o =? 2.图7-8 电路中,若输入方波,u o 与u i 的相位差?当输入信号为160Hz幅值为1V时,输出 u o =? 3.拟定实验步骤,做好记录表格。 四.实验原理 集成运放可以构成积分及微分运算电路,如下图所示: 微积分电路的运算关系为: 五.实验内容: 1.积分电路 按照上图连接积分电路,检查无误后接通+12,-12V直流电源。 (1)取U i=-1v,用示波器观察波形u0,并测量运放输出电压的正向饱和电压值。

(2)取U i=1V,测量运放的负向饱和电压值。 (3)将电路中的积分电容改为改为0.1uF,u i分别输入1KHz幅值为2v的方波和正弦信号,观察u i和u o的大小及相位关系,并记录波形,计算电路的有效积分时间。 (4)改变电路的输入信号的频率,观察u i和u o的相位,幅值关系。 2.微分电路 实验电路如上图所示。 (1)输入正弦波信号,f=500Hz,有效值为1v,用示波器观察u i和u o的波形并测量输出电压值。 (2)改变正弦波频率(20Hz-40Hz),观察u i和u o的相位,幅值变化情况并记录。 (3)输入方波,f=200Hz,U=5V,用示波器观察u0波形,并重复上述实验。 (4)输入三角波,f=200Hz,U=2V,用示波器观察u0波形,并重复上述实验 3.积分-微分电路 实验电路如图所示 (1)输入f=200Hz,u=6V的方波信号,用示波器观察u i和u o的波形并记录。 (2)将f改为500Hz,重复上述实验。 解答: 1.(1)取U i=-1v,用示波器观察波形u0,并测量运放输出电压的正向饱和电压值 电路仿真图如下图所示:

2018常微分方程考研复试真题及答案

常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数,是线性方程还是非线性方程,并说明理由; (1) t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 (2) dx dy =x 2+y 2 ; (3)dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4.验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解,进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程 7.什么是求解常微分方程的初等积分法 8.分离变量一阶方程的特征是什么 9.求下列方程的通解 (1) y ` =sinx (2) x 2 y 2 y ` +1=y (3) tgx dx dy =1+y (4) dx dy =exp(2x-y) (5) dx dy =21y 2- (6) x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx (7)( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11.试给出一阶方程y ` =f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二

个方程的关系。 12.求解齐次方程通常用什么初等变换,新旧函数导数关系如何 13.求解下列方程 dx dy =2 22y x xy - 14.求解下列方程 (1)(x+2y )dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27

(整理)常微分方程(含解答)

第八章 常微分方程 【教学要求】 一、了解微分方程的基本概念:微分方程,微分方程的阶、解、特解、通解、初始条件和初值问题,线性微分方程。 二、熟练掌握一阶可分离变量微分方程的解法。 三、熟练掌握一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+' 的解法——常数变易法和公式法。 四、理解线性微分方程解的性质和解的结构。 五、熟练掌握二阶线性常系数齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的解法——特征根法。 会根据特征根的三种情况,熟练地写出方程的通解,并根据定解的条件写出方程特解。 六、熟练掌握二阶线性常系数非齐次微分方程qy y p y +'+'' )(x f =,当自由项f (x )为某些特殊情况时的解法——待定系数法。 所谓f (x )为某些特殊情况是指f (x )为多项式函数,指数函数 或它们的和或乘积形式、三角函数x x x ββαsin cos ,e 。 关键是依据f (x )的形式及特征根的情况,设出特解y *,代入原方程,定出y *的系数。 【教学重点】 一阶可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性常系数微分方程的解法。 【典型例题】 。的阶数是微分方程例)(e )(12x y y y =-'+'' 2.1.B A 4. 3.D C 解:B 。的特解形式是微分方程例)( e 232x x y y y +=+'-'' x x x b ax B b ax A e )(.e ).(++ x x c b ax D cx b ax C e ).(e ).(++++ 解:C 是一阶线性微分方程。下列方程中例)( ,3 x x y y x B y A y x cos sin 1.e .2=+'='+ y x y D y y x y C ='=+'+''.0 . 解:B ???=='++1)1(0)1(4y y x y y 求解初值问题例 ??-=+x x y y y d )1(d 解:由变量可分离法得 c x y y ln ln 1ln +-=+∴ 代入上式得通解为由21ln ln 1)1(=?=c y x y y 211=+ 的特解。满足求解微分方程例1)0(e 252==-'y x y y x 解:由公式法得 ]d e e 2[e d 12d 1c x x y x x x +???=---?

微积分电路 实验报告

模拟电路实验报告 微积分电路

一.实验目的 1.微积分电路的工作原理及计算方法。 2.微积分电路的测试分析方法。 二.实验仪器 数字万用表 信号发生器 示波器 交流毫伏表 直流稳压电源 三.实验原理 实验原理可以构成积分和微分运算电路: 微分电路的运算关系:u 。=-RC dt du i 积分电路的运算关系:u 。=-RC 1 i u dt 四.实验内容 1.积分电路 连接积分电路,检查无误后接通+12v 和-12v 直流电源。 ①取ui=-1v,用示波器观察波形u 。,并测量运放输出电压的正向饱和电压值。(即为积分带最大时,为11.118v ) ②取ui=1v,测量运放的负向饱和电压值。(为-11.118v ) 由于波形上下波动很快,所以无法在实验实测其饱和电压值。 ③将电路中的积分电容改为0.1uF ,ui 分别输入1KHz 幅值为2v 的方波和正弦信号,观察u i 和u 。的大小及相位关系,并记录波形,计算电路的有效积分时间。

a. 输入1KHz 的方波时(记录为幅值) b. 输入1KHz 的方波时(记录为幅值) 有效积分时间:31010?==RC τ6101.0-??=0.001s ④改变电路的输入信号的频率,观察ui 和u 。的相位,幅值关系。(输入为正弦波) 随着频率变大,幅值变小,相位不变。 2.微分电路 在输入端串联滑动变阻,改进微分电路,滑动变阻器可以减少电路反馈滞后与内部滞后产生自激引起的失真。

①输入正弦波信号,f=500Hz,有效值为1v,用示波器观察Ui和U。的波形并测量输出电压值。(记录为幅值) 仿真值:ui=1.4V u。=4.3V 实验值:ui=1.4V u。=4.5V 此时滑动变阻为1k欧姆,波形无失真。 ②改变正弦波频率(20Hz——40Hz),观察Ui和U。的相位,幅值变化的情况并记录。(记录为幅值) 随着频率的增大,幅值也在增大,相位没有变化。 ③输入方波,f=200Hz,U=±5v,用示波器观察U。波形,并重复上述实验。 实验:输入方波,f=200Hz,U=±5v,滑动变阻为45k欧姆。 ④输入三角波,f=200Hz,U=±2v,用示波器观察U。波形,重复上述实验。 仿真波形为:输出为4v. 实验:输入方波,f=200Hz,U=±5v,滑动变阻为45k欧姆。 3.积分——微分电路: 在输入端串联滑动变阻,改进微分电路,滑动变阻器可以减少电路反馈滞后与内部滞后产生自激引起的失真。

常微分方程应用题和答案

应 用 题(每题10分) 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零,又()f x '存在并对任意,x y 恒有 ()()()f x y f x f y +=,求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =,其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= (1)求()F x 所满足的一阶微分方程; (2)求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?,求()f x 。 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导,()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=,且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ,求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续,5 (1)2 f =,且对所有,(0,)x t ∈+∞,满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??,求()f x 。 6、求连续函数()f x ,使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?,试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=, 其中21 ()01x x x ?? 。试求在(,)-∞∞内的连续函 数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程,且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ,其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ,且线段PQ 被x 轴平分。 (1)求曲线()y f x =的方程; (2)已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ,试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =,使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为

计算方法上机实验报告——拉格朗日插值问题

计算方法上机实验报告——拉格朗日插值问题 一、方法原理 n次拉格朗日插值多项式为:Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x) n=1时,称为线性插值,L1(x)=y0(x-x1)/(x0-x1)+y1(x-x0)/(x1-x0)=y0+(y1-x0)(x-x0)/(x1-x0) n=2时,称为二次插值或抛物线插值,精度相对高些 L2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)/(x0-x2)+y1(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)/(x1-x 2)+y2(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)/(x2-x1) 二、主要思路 使用线性方程组求系数构造插值公式相对复杂,可改用构造方法来插值。 对节点xi(i=0,1,…,n)中任一点xk(0<=k<=n)作一n次多项式lk(xk),使它在该点上取值为1,而在其余点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)上为0,则插值多项式为Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x) 上式表明:n个点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)都是lk(x)的零点。可求得lk 三.计算方法及过程:1.输入节点的个数n 2.输入各个节点的横纵坐标 3.输入插值点 4.调用函数,返回z 函数语句与形参说明 程序源代码如下: 形参与函数类型 参数意义 intn 节点的个数 doublex[n](double*x) 存放n个节点的值 doubley[n](double*y) 存放n个节点相对应的函数值 doublep 指定插值点的值 doublefun() 函数返回一个双精度实型函数值,即插值点p处的近似函数值 #include #include usingnamespacestd; #defineN100 doublefun(double*x,double*y,intn,doublep); voidmain() {inti,n; cout<<"输入节点的个数n:"; cin>>n;

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