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《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案

第1章 线性空间和线性变换(详解)

1-1 证:用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行,第i 列的元素为1外,其余元素全为0的矩阵.用

ij E (,1,2,,1)i j i n <=- 表示n 阶矩阵中除第i 行,第j 列元素与第j 行第i 列元素为1外,其余元素全为0的矩阵.

显然,ii E ,ij E 都是对称矩阵,ii E 有(1)

2

n n -个.不难证明ii E ,ij E 是线性无关的,且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1)

2

n n +个矩阵线性表示,此即对称矩阵组成

(1)

2

n n +维线性空间. 同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1)

2

n n -.

评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1)

2

n n +维线性空间,只需找出

(1)2n n +个向量线性无关,并且集合中任何一个向量都可以用这(1)

2

n n +个向量线性表示即可.

1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令 解出1234,,,x x x x 即可.

1-3 解:方法一 设11223344x x x x =+++A E E E E

即 123412111111100311100000x x x x ??????????

=+++??????????

??????????

12341231211203x x x x x x x x x x +++++??

??=????+???

?

于是

12341231,2x x x x x x x +++=++=

1210,3x x x +==

解之得

12343,3,2,1x x x x ==-==-

即A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T

--.

方法二 应用同构的概念,22

R

?是一个四维空间,并且可将矩阵A 看做(1,2,0,3)T ,

1234,,,E E E E 可看做(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)T T T T .于是有

111111

0003111020100311000001021

000

30

00

11????????-????→????

????-????

因此A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --.

1-4 解:证:设112233440k k k k αααα+++=

12341234123134

12411111110110110110

k k k k k k k k k k k k k k k k k ????????+++????????????????

+++++??==??++++??

于是

12341230,0k k k k k k k +++=++= 1341240,0k k k k k k ++=++=

解之得

12340k k k k ====

故1234,,,αααα线性无关. 设

12341234123134

1241111111011011011a b x x x x c d x x x x x x x x x x x x x ??????????=+++??????????

??????????

+++++??=??

++++??

于是

12341230,0x x x x x x x +++=++= 1341240,0x x x x x x ++=++=

解之得

122,x b c d a x a c =++-=-

34,x a d x a b =-=-

1234,,,x x x x 即为所求坐标.

1-5 解:方法一 (用线性空间理论计算)

32312233410()121,,,021,1,(1),(1)p x x x x x y y x x x y y ????

????=+=????

????

????

????=---????

????

又由于

23

231,1,(1),(1)111101231,,,001

3000

1x x x x x x ??---??

????-????=????-?

???

于是()p x 在基23

1,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为

1

12341111130123060013060

00122y y y y -????????

????????-????????==????????

-????????

??????

??

方法二 将3

()12p x x =+根据幂级数公式按1x -展开可得

3

2323()12(1)(1)

(1)(1)(1)(1)(1)2!3!

36(1)6(1)2(1)p x x p p p p x x x x x x =+''''''=+-+

-+-=+-+-+- 因此()p x 在基23

1,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为[]3,6,6,2T

.

评注:按照向量坐标定义计算,第二种方法比第一种方法更简单一些.

1-6 解:①设

[][]12341234,,,,,,=ββββααααP

将1234,,,αααα与1234,,,ββββ代入上式得

2056100

113361100112101101

01

30011????????-???

?=????--???

?-????

P 故过渡矩阵

1

100

12

0561100133601101

12100111013112222

35

1422

19

1522311

2

82

2-????

????-?

??

?=????

--????

-????

??---????????=??????

??????

P

②设

1212343410(,,,)10y y y y ????

????

????=????

????

????

ξββββ

将1234,,,ββββ坐标代入上式后整理得

1

123479205618133602711211131

01

30227y y y y -??-??

??

????????-????????

??????==??

??????-????????

??

????????????

评注:只需将,i i αβ代入过渡矩阵的定义[][]12341234,,,,,,=ββββααααP 计算出

P .

1-7 解:因为

12121212{,}{,}{,,,}span span span +=ααββααββ

由于秩1212{,,,}3span =ααββ,且121,,ααβ是向量1212,,,ααββ的一个极大线性无关组,所以和空间的维数是3,基为121,,ααβ.

方法一 设1212{,}{,}span span ∈ξααββ ,于是由交空间定义可知

123411212111011030117k k k k -????????????????

--????????+++=????????????????????????

解之得

1222122,4,3(k l k l l l l =-==-为任意数)

于是

11222[5,2,3,4]T k k l =+=-ξαα(很显然1122l l ββ=+ξ)

所以交空间的维数为1,基为[5,2,3,4]T -. 方法二 不难知

12121212{,}{,},{,}{,}span span span span ''==ααααββββ

其中2213

[2,2,0,1],[,2,1,0]3

T

T ''=--=-

αβ.又12{,}span 'αα也是线性方程组 134

2

3422x x x x x x =-??

=-? 的解空间.12{,}span 'ββ是线性方程组

1

3423413232x x x x x x ?=-+??

?=

-? 的解空间,所以所求的交空间就是线性方程组

1342341342342213232x x x x x x x x x x x x =

-??=-??

?

=-+??

=

-?? 的解空间,容易求出其基础解系为[5,2,3,4]T -,所以交空间的维数为1,基为

[5,2,3,4]T -.

评注:本题有几个知识点是很重要的.12(1){,,,}n span ααα 的基底就是

12,,,n

ααα 的极大线性无关组.维数等于秩

12{,,,}n ααα .1212(2){,}{,}span span +ααββ1212{,,,}span =ααββ.(3)方法

一的思路,求交1212{,}{,}span span ααββ 就是求向量ξ,既可由12,αα线性表示,又可由12,ββ线性表示的那部分向量.(4)方法二是借用“两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联立方程组的解空间”,将本题已知条件改造为齐次线性方

程组来求解.

1-8解:

(1):解出方程组12341

23420

510640x x x x x x x x ---=??

---=?(Ⅰ)的基础解系,即是1V 的基, 解出方程组123420x x x x -++=(Ⅱ)的基础解系,即是2V 的基;

(2): 解出方程组12341234123

42051064020

x x x x x x x x x x x x ---=??

---=??-++=?的基础解系,即为12V V ?的基;

(3):设{}{}1121,,,,,k l V span V span ααββ== ,则11,,,,,k l ααββ 的极大无关组即是12V V +的基. 1-9解:仿上题解.

1-10解: 仿上题解.

1-11 证:设

21

0121()()()0k k l l l l --++++=ξξξξ A A A

用1

k -A

从左侧成①式两端,由()0k

=ξA

可得

1

0()0k l -=ξA

因为1

()0k -≠ξA

,所以00l =,代入①可得

21

121()()()0k k l l l --+++=ξξξ A A A

用2

k -A

从左侧乘②式两端,由()0k

=ξA

可得00l =,继续下去,可得210k l l -=== ,于是21

,(),(),,()k -ξξξξ A A A

线性无关.

1-12 解:由1-11可知,n 个向量2

1

0,(),(),,()n -≠ξξξξ A A

A

线性无关,它是V 的

一个基.又由

21

2121

21[,(),(),,()]

[(),(),,()][(),(),,(),0]

000010000

100[,(),(),,()]00000

010n n n n n n

----?==??

????

??

=?

?

????

??

??ξξξξξξξξξξξξξξ A A A A A A A A A A

A A A 所以A 在2

1

,(),(),,()n -ξξξξ A A

A

下矩阵表示为n 阶矩阵

00001000010000000

010????????

??????

??

??

评注:n 维线性空间V 中任何一组n 个线性无关的向量组都可以构成V 的一个基,

因此2

1

,(),(),,()n -ξξξξ A A A

是V 的一个基.

1-13证: 设()()()111,,,,,,,,,,,r s m r s A A ξξξββααα== 设11,,,,,,r r s ξξξξξ 是的极大无关组,

则可以证明11,,,,,,r r s ααααα 是的极大无关组. 1-14 解:(1)由题意知

123123[,,][,,]=ααααααA A

123123111[,,][,,]011001??

??=??

????

βββααα

设A 在基123,,βββ下的矩阵表示是B ,则

1

11

111231110

111030110012150012443462

3

8--??

??????????==-??????????????????????=---??????

B P AP (2)由于0A ≠,故0=AX 只有零解,所以A 的核是零空间.由维数定理可知

A 的值域是线性空间3R .

1-15解:已知()()2323,,,,A αααααα=11A

(1) 求得式()()2323,,,,P εεεααα=11中的过渡矩阵P ,则1

B P AP -=即为所求; (2)仿教材例1.5.1.(见<矩阵分析>史荣昌编著.北京理工大学出版社.)

1-16解:

设()23,,A ααα=1,则{}23(),,;()R A span N A ααα=1就是齐次方程组0Ax = 的解空间. 1-17证:

由矩阵的乘法定义知AB BA 与的主对角线上元素相等,故知AB BA 与的迹相等;再由1-18 题可证. 1-18证:

对k 用数学归纳法证。

1-19证:设2

2

2,,=,=1-1A A αλααλααλαλ==则即即或。

1-20证:设2

2

2,,=,=10A A A αλααλ

ααλαλ==则即即或。

1-21解:设-1

1

,0A A αλαλααλ

=≠=其中,则。

1-22证:设111

,--=B P AP E B E P AP P E A P E A λλλλ---==-=-则。

1-23解:仿线性代数教材例题。

1-24 证:若

123410010000000001001k k k k ?????????+?+?+?=????????????????

即 1

2340k k k k ??

=?

???

所以 12340k k k k ==== 因此满足

1112123214220k k k k +++=E E E E

的1234,,,k k k k 只能全为零,于是11122122E ,E ,E ,E 线性无关.

1-25 证:容易验证等式

0-+123ααα=

所以,,123ααα线性相关.

1-26 证:先证:[]n x R 中的元素

211,,,,n x x x -

是线性无关的.设

21012110n n k k x k x k x --?+?+?++?=

由于[]n x R 中x 是变量,所以欲使上式对于任何x 都成立的充分必要条件是

0110n k k k -====

于是2

1

1,,,,n x x x

- 线性无关.

对于[]n x R 中任何一个向量(多项式)

[]210121()n n n f x a a x a x a x x --=++++∈R

均可由211,,,,n x x x - 线性表出,这表明:211,,,,n x x x - 是[]n x R 的基,于是[]n

x R 是n 维的.

不难验证:211,,(),,()n x a x a x a ---- 也是[]n x R 的一组基.因为

(1)2

1

()()()()()()()()2!(1)!

n n f a f a f x f a f a x a x a x a n --'''=+-+-++-- 故()f x 在这组基下的坐标为

(1)()()(),(),,,

2!(1)!

n f a f a f a f a n -'''-

1-27 解:A 的核空间就是0x =A 的解空间,所以0x =A 的基础解系就是核空间的基.对A

作初等行变换后得

1

2110

213

0121213212550

00022

120

00

0????????-?

??

?=→???????

?--?????

?

A 因此0x =A 的解为

134

23423

22

x x x x x x =--??

?=--?? 其中34,x x 为自由变量.不难知0x =A 的基础解系可以取为

12(4,3,2,0)(1,2,0,1)T T ?=--?=--?αα 或 1

2(4,3,2,0)(6,7,2,2)

T T

'?=--?'=--?αα 它们都可以作为A 的核空间的基,核空间是二维的.

1-28 解:设(1,2,1,1)T

=α在所给基1234α,α,α,α下的坐标为1234,,,k k k k ,故

11223344+k k k k =++ααααα

1234(1,2,1,1)(1,1,1,1)(1,1,1,1)(1,1,1,1)(1,1,1,1)T T T T T k k k k =+--+--+--

1234123412341234(,,,)

k k k k k k k k k k k k k k k k =++++---+---+于是有

12341234

123412341211

k k k k k k k k k k k k k k k k +++=??+--=??

-+-=??--+=? 解之得

12345111

,,,4444

k k k k ===-=-

所以α在所给基1234α,α,α,α下的坐标为5111(,,,)4444

T

--.

1-29 解:设

123412111111101011100111k k k k ??????????

=+++????????????????????

1234

123124

134k k k k k k k k k k k k k +++++??

=?

?++++??

于是有

1234123

1241

341

210k k k k k k k k k k k k k +++=??++=??

++=??++=? 解之得

12341,1,0,1k k k k ====-

所以A 在已给基下的坐标为(1,1,0,1)T

-.

1-30 解:因为

()11x a a x -=-?+?

222()()121x a a a x x -=-?-?+? 33223()()133x a a a x a x x -=-?+?-?+

112321(1)(2)

()()1(1)()()2

n n n n n n n x a a n a x a x x --------=-?+--?+

-?++

故由2

1

1,,,,n x x x

- 到2

1

1,,(),,()

n x a x a x a ---- 的过渡矩阵为

231

22

3

1()()()012()3()(1)()(1)(2)00

13()()200

001n n n a a a a a a n a n n a a ---??

----??

----???

?----???

?

??

?

?

??

1-31 解:将矩阵[]1234

1234α,α,α,αβ,β,β,β作初等行变换得

[]12341234α,α,α,αβ,β,β,β

11112

02121211113111002110111

122

2---????--?

?=??-?

???→1

00100101001101001001110

0010010????????????

上式表明由基1234α,α,α,α到基1234β,β,β,β的关系为(为什么?)

10011

101()()01110

01

0?????

?=??????

12341234β,β,β,βα,α,α,α 所以由1234α,α,α,α到1234β,β,β,β的过渡矩阵为

1001110101110

01

0????????????

设1234,,,x x x x T ξ=()在1234β,β,β,β下的坐标为1234,,,y y y y ,即

112

212343344(,,,)()x y x y x y x y ???? ? ? ? ?== ? ? ? ?????

1234ξεεεεβ,β,β,β

其中1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)T

T

T

T

====εεεε则

112

21234334420211113(,,,)()02111222x y x y x y x y -????

?? ? ??? ? ??

?== ? ?

?? ? ?

?

?????

??

1234ξεεεεβ,β,β,β

于是

1

11223344123412342021111302111

2224681146811131313131313131323912131313131327813131313182613131313y x y x y x y x x x x x x x x x --????

?? ? ??? ? ?

??= ? ?

?? ? ?

????????

??----+??

??????-- ??? ?==?? ???---

?????????

--??1234123412343913131313327813131313182613

131313x x x x x x x x x x x x ??????

??

-+-????

??---+??????-++-??

1-32 解:(1)由定理知

121212{,,,}V V span +=ααββ

121,,ααβ是向量组1212,,,ααββ的极大无关组,故它是12V V +的基,

12dim()3V V +=.

(2)设12V V ∈α ,即1V ∈α且2V ∈α,于是

11223142k k k k =+=+αααββ 将1212,,,ααββ的坐标代入上式,解之得 1243452

0,,33

k k k k k ===- 于是

1122455

5(,,5,)33

3

T

k k k =+=--ααα 所以12V V 的基为555(,,5,)333

T

--,维数为1.

又解交空间12V V 的向量实质上就是求在2V 中向量1122k k +ββ也能由12,αα线

性表示的这部分向量,即确定12,k k 使得

秩121122(,,,)k k +=ααββ秩12(,)αα 此即

12121212121212214115511550

12333330032110

00k k k k k k k k k k k k k k -++????????++???

?→????

--+????

-+??

?? 于是 12122

320,3

k k k k +==-

代入

112221222

()

3

555(,,5,)

333

T

k k k k +=-+=--ββββ

所以12V V 的基为55

5(,,5,)333

T

--,12dim()1V V +=.

1-33 解:方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的交空间就是这两个方程组的所有公共解所构成的空间,此

即方程组

12

451234

123451234530240426340242470

x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--=??-+-=??

-++-=??+-+-=? 的解空间.容易求得该方程组的基础解系为(1,1,1,0,0),(12,0,5,2,6)T

T

--,它就是所求12V V 的基,12dim()2V V = .

1-34 解:(1)不难看出12,αα是线性齐次方程组(Ⅰ)

312

42

2x x x x x =-??

=? (Ⅰ) 的基础解系,方程组(Ⅰ)的解空间为1V .而12,ββ是线性齐次方程组(Ⅱ)

214

34

233x x x x x =+??

=-? (Ⅱ) 的基础解系,方程组(Ⅱ)的解空间为2V .

交空间12V V 实质上是(Ⅰ)与(Ⅱ)公共解的空间,即方程组

312

42

21434

2233x x x x x x x x x x =-??=??

=+??=-? (Ⅲ) 的解空间.不难求得方程组(Ⅲ)的基础解系为(1,1,3,1)T

---,此即12V V 的基,

维数为1.

(2)

121212*********{,,,}{,,}

{,,}{,,}

V V span span span span +====ααββααβααβαββ

所以12dim()3V V +=,基为121,,ααβ.

1-35 解:1122123()(1,1,0),()(2,1,1)2T T ==+==++αββαβββA A 于是所求矩阵为

32

121101???

??=??

????A

1-36 解:D (1)0=,D ()1x =,D 2()2x x =, ,D 1

()n n x nx -=,于是所

求矩阵为

(1)

010********n n n ?+??

????=??????D 注 对于线性映射D :1[][]n n R x R x +→ D (())()d

f x f x dx

= 在基2

1,,,,n

x x x 与基2

1

1,,,,n x x x

- 下的矩阵表示为

(1)(1)

010*********

000n n n +?+??

????

??

=??

??????D

1-37 解:

22231

11

(1),(),

0021

(),,

031()0n n n

x x S dt x S x tdt x x S x t dt x x S x

t dt x n

--========????

于是所求矩阵为

(1)0001001

002100n n

n +???????

???

?

=??

??

?????

?S

1-38 解:(1)核子空间就是求3

R ∈X 满足()0=x A ,由于3

R ∈X .故

11232

3(,,)x x x ????=??????

X ααα

于是

11123212233()(,,)(,)x x x x x x ????

????==????????????

x αααββA A A 所以所求X 的坐标123,,x x x 应是齐次方程组

1231110012x x x ??

-????

=???

?????

??

的解空间,求的它的基础解系为

1233,2,1x x x ==-=

因此核子空间()N A 的基是11223312332(5,4,4),T x x x ++=-+=-αααααα dim ()1N =A .

注:()N A 的基不是(3,2,1)T -.而是12332-+ααα.为什么?()N A 的基是 (3,2,1)T -. (2)A 的值域

123112121122

12(){(),(),()}

{,,2}{,}{,}R span span span span R ==+-+=+==αααββββββββββA A A A

1-39 解:(1)不难求得

1112()'==-ααααA

22123()'==-++αααααA 33123()2'==-++αααααA

因此A 在123,,ααα下矩阵表示为

11111

2011--?? ?

=- ? ???A (2)设112323(,,)k k k ?? ?

= ? ???

ξααα,即

123110121

203111k k k ?????? ? ???

= ? ??? ? ???---??????

解之得

12310,4,9k k k ==-=- 所以ξ在基123,,ααα下坐标为(10,4,9)T

--.

()ξA 在基123,,ααα下坐标可由式112

2n n y x y x y x ???? ? ? ? ?= ? ? ? ?????A 得

123111102311

2432011913y y y --????????

? ??? ?

=--=- ? ??? ? ? ??? ?--???????? (3)ξ在基123,,'''ααα下坐标为

11010110141

20415911196A -????????

? ??? ?-=-=- ? ??? ? ? ??? ?-----???????? ()ξA 在基123,,'''ααα下坐标为

12310123103212032413111139A -????????

? ??? ?-=-=- ? ??? ? ? ??? ?------????????

1-40 解:22

R

?是4维线性空间,利用同构的概念,可把题中矩阵写成向量形式

12341234(1,0,1,1),(0,1,1,1),

(1,1,0,2),(1,3,1,0)()(1,1,0,0),()(0,0,0,0),()(0,0,1,1),()(0,1,0,1),

T T T T

T

T

T T ========ααααααααA A A A

于是

123412341234(,,,)((),(),(),())

1

0001001(,,,)001000111011011311011

120=??????==??

??

????????=??

??

??

ααααααααααααA A A A A A A

于是

1

10111

00001131001110100101

1200011130148370148110148110024

-?????????

???=??

??

??

??

??

??

??-???

???-??=?

???-??????-??

A

注 根据同构映射的定义,22

R

?中矩阵11122122

a a a a ???

?

??可以看做4

R 中向量11122122

(,,,)T a a a a .