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2015年中考数学真题 尺规作图题型

尺规作图

一.选择题

1. (2015?浙江衢州,第7题3分)数学课上,老师让学生尺规作图画,使其斜边

,一条直角边.小明的作法如图所示,你认为这种作法中判断是直

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角的依据是【】

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A.勾股定理B.直径所对的圆周角是直角

C.勾股定理的逆定理D.90°的圆周角所对的弦是直径

【答案】B.

【考点】尺规作图(复杂作图);圆周角定理.

【分析】小明的作法是:①取,作的垂直平分线交于点;

②以点为圆心,长为半径画圆;

③以点为圆心,长为半径画弧,与交于点;

④连接.

则即为所求.

从以上作法可知,是直角的依据是:直径所对的圆周角是直角.

故选B.

2. (2015?浙江嘉兴,第9题4分)数学活动课上,四位同学围绕作图问题:“如图,已知直线l和l外一点P,用直尺和圆规作直线PQ,使PQ⊥l与点Q.”分别作出了下列四个图形. 其中做法错误的是(▲)

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[ww~w.

考点:作图—基本作图..

分析:A、根据作法无法判定PQ⊥l;

B、以P为圆心大于P到直线l的距离为半径画弧,交直线l,于两点,再以两点为圆心,大于它们的长为半径画弧,得出其交点,进而作出判断;

C、根据直径所对的圆周角等于90°作出判断;

D、根据全等三角形的判定和性质即可作出判断.

解答:解:根据分析可知,

选项B、C、D都能够得到PQ⊥l于点Q;选项A不能够得到PQ⊥l于点Q.

故选:A.

点评:此题主要考查了过直线外以及过直线上一点作已知直线的垂线,熟练掌握基本作图方法是解题关键.

3.(2015?山东潍坊第9 题3分)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:第一步,分别以点A、D为圆心,以大于AD的长为半径在AD两侧作弧,交于两点M、N;第二步,连接MN分别交AB、AC于点E、F;

第三步,连接DE、DF.

若BD=6,AF=4,CD=3,则BE的长是()

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考点:平行线分线段成比例;菱形的判定与性质;作图—基本作图..

分析:根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线,推出AE=DE,AF=DF,求出DE∥AC,DF∥AE,得出四边形AEDF是菱形,根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF,根据平行线分线段成比例定理得出=,代入求出即可.

解答:解:∵根据作法可知:MN是线段AD的垂直平分线,

∴AE=DE,AF=DF,

∴∠EAD=∠EDA,

∵AD平分∠BAC,

∴∠BAD=∠CAD,

∴∠EDA=∠CAD,

∴DE∥AC,

同理DF∥AE,

∴四边形AEDF是菱形,

∴AE=DE=DF=AF,

∵AF=4,

∴AE=DE=DF=AF=4,

∵DE∥AC,

∴=,

∵BD=6,AE=4,CD=3,

∴=,

∴BE=8,

故选D.

点评:本题考查了平行线分线段成比例定理,菱形的性质和判定,线段垂直平分线性质,等腰三角形的性质的应用,能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键,注意:一组平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.

4.(2015?山东潍坊第9 题3分)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:第一步,分别以点A、D为圆心,以大于AD的长为半径在AD两侧作弧,交于两点M、N;第二步,连接MN分别交AB、AC于点E、F;

第三步,连接DE、DF.

若BD=6,AF=4,CD=3,则BE的长是()

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考点:平行线分线段成比例;菱形的判定与性质;作图—基本作图..

分析:根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线,推出AE=DE,AF=DF,求出DE∥AC,DF∥AE,得出四边形AEDF是菱形,根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF,根据平行线分线段成比例定理得出=,代入求出即可.

解答:解:∵根据作法可知:MN是线段AD的垂直平分线,

∴AE=DE,AF=DF,

∴∠EAD=∠EDA,

∵AD平分∠BAC,

∴∠BAD=∠CAD,

∴∠EDA=∠CAD,

∴DE∥AC,

同理DF∥AE,

∴四边形AEDF是菱形,

∴AE=DE=DF=AF,

∵AF=4,

∴AE=DE=DF=AF=4,

∵DE∥AC,

∴=,

∵BD=6,AE=4,CD=3,

∴=,

∴BE=8,

故选D.

点评:本题考查了平行线分线段成比例定理,菱形的性质和判定,线段垂直平分线性质,等腰三角形的性质的应用,能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键,注意:一组平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.

二.填空题

1、(2015?四川自贡,第15题4分)如图,将线段AB放在边长为1的小正方形网格,点A

点B均落在格点上,请用无刻度直尺在线段AB上画出点P,

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使AP=并保留作图痕迹.

考点:矩形、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定.

分析:

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本题根据勾股定理可求出在网格中的AB,由于网格线中的对边平行,

所以找点较容易,只需连接一对角线与AB的交点P

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就满足AP=;根据的是

平行线所截得相似三角形的对应边成比例AP

2

PB

=, 所以

AP2

AB3

=

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,则

2

AP AB

3

==.

略解:见图作法.

2.(2015?北京市,第16题,3分)阅读下面材料:

2015年中考数学真题  尺规作图题型

15题

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15题

在数学课上,老师提出如下问题:

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小芸的作法如下:

2015年中考数学真题  尺规作图题型

老师说:“小芸的作法正确.”

请回答:小芸的作图依据是_________________________.

【考点】点、线

【难度】容易

【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上;两个点确定一条直线。【点评】本题考查线段的基本概念。

三.解答题

1. (2015山东济宁,19,8分)(本题满分8分)

如图,在△ABC中,AB=AC,∠DAC是△ABC的一个外角.

实践与操作:

根据要求尺规作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法).

(1)作∠DAC的平分线AM;

(2)作线段AC的垂直平分线,与AM交于点F,与BC边交于点E,连接AE、CF. 猜想并证明:

判断四边形AECF的形状并加以证明.

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【答案】

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试题解析:(1)

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(2)猜想:四边形AECF是菱形

证明:∵AB=AC,AM平分∠CAD

∴∠B=∠ACB,∠CAD=2∠CAM

∵∠CAD是△ABC的外角

∴∠CAD=∠B+∠ACB

∴∠CAD=2∠ACB

∴∠CAM=∠ACB

∴AF∥CE

∵EF垂直平分AC

∴OA=OC, ∠AOF=∠COE=

∴AOF≌△COE

∴AF=CE

在四边形AECF中,AF∥CE,AF=CE

∴四边形AECF是平行四边形

又∵EF⊥AC

∴四边形AECF是菱形

考点:角平分线,线段的垂直平分线的基本作图,等腰三角形的内外角,三角形全等,菱形的判定

2.(2015?广东省,第19题,6分)如图,已知锐角△ABC.

(1)过点A作BC边的垂线MN,交BC于点D(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);

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【答案】解:(1)作图如答图所示,AD为所作.

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【考点】尺规作图(基本作图)

【分析】(1)①以点A 为圆心画弧交BC 于点E 、F ; ②分别以点E 、F 为圆心,大于

1

2

EF 长为半径画弧,两交于点G ; ③连接AG ,即为BC 边的垂线MN ,交BC 于点D .

3. (2015?浙江杭州,第21题10分)

“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形,记这些三角形的三边分别为a ,b ,c ,并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度

(1)用记号(a ,b ,c )(a ≤b ≤c )表示一个满足条件的三角形,如(2,3,3)表示边长分别为2,3,3个单位长度的一个三角形,请列举出所有满足条件的三角形

(2)用直尺和圆规作出三边满足a

单位长度

【答案】解:(1)(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4),(3,4,4),(4,4,4).

(2)由(1)可知,只有(2,3,4),即2,3,4a b c === 时满足a

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【考点】三角形三边关系;列举法的应用;尺规作图.

【分析】(1)应用列举法,根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形. (2)首先判断满足条件的三角形只有一个:2,3,4a b c === ,再作图: ①作射线AB ,且取AB =4;

②以点A 为圆心,3为半径画弧;以点B 为圆心,2为半径画弧,两弧交于点C ; ③连接AC 、BC .

则ABC ?即为满足条件的三角形.

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4.(2015?甘肃兰州,第22题,5分)如图,在图中求作⊙P ,使⊙P 满足以线段MN 为弦,且圆心P 到

∠AOB 两边的距离相等(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔加黑)。

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【考点解剖】本题考查线段垂直平分线的性质,角平分线的性质,基本作图

【知识准备】角平分线上的点到角两边的距离相等, 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等

【思路点拔】MN 是⊙P 的弦,那么圆心P 到弦的两个端点的距离相等,所以圆心P 在线段MN 的垂直平分线上;

圆心P 到∠AOB 两边的距离相等,则P 在∠AOB 的角平分线上, 所以,圆心P 在线段MN 的垂直平分线和∠AOB 的角平分线的交点。 【解答过程】作线段MN 的垂直平分线l ; 作∠AOB 的角平分线,并记之与l 的交点为P ; 以P 为圆心,PM 为半径作圆,则⊙P 为所求图形。

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【易错点津】无论是否要求写出作图过程,千万不要漏写结论。

在书写结论时,一定要写明哪个图形是所求作的图形,是哪一条线段?还是哪个角?或者是哪个点等,千万不要笼统地说“如图为所求图形”。

例如在本题中,所求的图形是一个圆,那么结论就应该很明确地说“⊙P 为所求图形”。 【题目星级】★★★★

5. (2015?浙江省台州市,第24题)定义:如图1,点M ,N 把线段AB 分割成AM ,MN 和BN ,若以AM ,MN ,BN 为边的三角形是一个直角三角形,则称点M ,N 是线段AB 的勾股分割点

(1)已知点M ,N 是线段AB 的勾股分割点,若AM =2,MN =3求BN 的长;

(2)如图2,在△ABC 中,FG 是中位线,点D ,E 是线段BC 的勾股分割点,且EC >DE ≥BD ,连接AD ,AE 分别交FG 于点M ,N ,求证:点M ,N 是线段FG 的勾股分割点

(3)已知点C 是线段AB 上的一定点,其位置如图3所示,请在BC 上画一点D ,使C ,D 是线段AB 的勾股分割点(要求尺规作图,保留作图痕迹,画出一种情形即可) (4)如图4,已知点M ,N 是线段AB 的勾股分割点,MN >AM ≥BN ,△AMC ,△MND 和△NBM 均是等边三角形,AE 分别交CM ,DM ,DN 于点F ,G ,H ,若H 是DN 的中点,试探究AMF S ?,BEN S ?和MNHG S 四边形的数量关系,并说明理由

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6.(2015?广东梅州,第21题9分)如图,已知△ABC,按如下步骤作图:

①以A为圆心,AB长为半径画弧;

②以C为圆心,CB长为半径画弧,两弧相交于点D;

③连接BD,与AC交于点E,连接AD,C D.

(1)求证:△ABC≌△ADC;

(2)若∠BAC=30°,∠BCA=45°,AC=4,求BE的长.

2015年中考数学真题  尺规作图题型

考点:全等三角形的判定与性质;作图—复杂作图.

分析:(1)利用SSS定理证得结论;

(2)设BE=x,利用特殊角的三角函数易得AE的长,由∠BCA=45°易得CE=BE=x,解得x,得CE的长.

解答:(1)证明:在△ABC与△ADC中,

2015年中考数学真题  尺规作图题型

∴△ABC≌△ADC(SSS);

(2)解:设BE=x,

∵∠BAC=30°,

∴∠ABE=60°,

∴AE=tan60°?x=x,

∵△ABC≌△ADC,

∴CB=CD,∠BCA=∠DCA,

∵∠BCA=45°,

∴∠BCA=∠DCA=90°,

∴∠CBD=∠CDB=45°,

∴CE=BE=x,

∴x+x=4,

∴x=2﹣2,

∴BE=2﹣2.

点评:本题主要考查了全等三角形的判定及性质,特殊角的三角函数,利用方程思想,综合运用全等三角形的性质和判定定理是解答此题的关键.

7.(2015?广东佛山,第18题6分)如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,请你用尺规作图将△ABC分成两个全等的三角形,并说明这两个三角形全等的理由.(保留作图痕迹,不写作法)

2015年中考数学真题  尺规作图题型

考点:作图—应用与设计作图;全等三角形的判定;等腰三角形的性质.

专题:作图题.

分析:作出底边BC的垂直平分线,交BC于点D,利用三线合一得到D为BC的中点,可

得出三角形ADB与三角形ADC全等.

解答:解:作出BC的垂直平分线,交BC于点D,

∵AB=AC,

∴AD平分∠BAC,即∠BAD=∠CAD,

在△ABD和△ACD中,

2015年中考数学真题  尺规作图题型

∴△ABD≌△ACD(SAS).

2015年中考数学真题  尺规作图题型

点评:此题考查了作图﹣应用于设计作图,全等三角形的判定,以及等腰三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键.

8.(2015?甘肃武威,第21题6分)如图,已知在△ABC中,∠A=90°

(1)请用圆规和直尺作出⊙P,使圆心P在AC边上,且与AB,BC两边都相切(保留作图痕迹,不写作法和证明).

(2)若∠B=60°,AB=3,求⊙P的面积.

2015年中考数学真题  尺规作图题型

考点:作图—复杂作图;切线的性质.

分析:(1)作∠ABC的平分线交AC于P,再以P为圆心P A为半径即可作出⊙P;(2)根据角平分线的性质得到∠ABP=30°,根据三角函数可得AP=,再根据圆的面积公式即可求解.

解答:解:(1)如图所示,则⊙P为所求作的圆.

2015年中考数学真题  尺规作图题型

(2)∵∠B =60°,BP 平分∠ABC , ∴∠ABP =30°, ∵tan ∠ABP =,

∴AP =

∴S ⊙P =3π.

点评:本题主要考查了作图﹣复杂作图,角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等.同时考查了圆的面积.

9.(2015·湖北省孝感市,第20题8分) 如图,一条公路的转弯处是一段圆弧().

(1)用直尺和圆规作出所在圆的圆心O ;(要求保留作图痕迹,不写作法)(4分)

(2)若的中点C 到弦AB 的距离为20m ,80 AB m ,求

所在圆的半径.(4分)

考点:作图—复杂作图;勾股定理;垂径定理的应用.. 专题:作图题.

分析:(1)连结AC 、BC ,分别作AC 和BC 的垂直平分线,两垂直平分线的交点为点O ,如图1;

)

20(题第A

B

C

(2)连接OA,OC,OC交AB于D,如图2,根据垂径定理的推论,由C为的中点得到OC⊥AB,AD=BD=AB=40,则CD=20,设⊙O的半径为r,在Rt△OAD中利用勾股定理得到r2=(r﹣20)2+402,然后解方程即可.

解答:

解:(1)如图1,

2015年中考数学真题  尺规作图题型

点O为所求;

(2)连接OA,OC,OC交AB于D,如图2,

∵C为的中点,

∴OC⊥AB,

∴AD=BD=AB=40,

设⊙O的半径为r,则OA=r,OD=OD﹣CD=r﹣20,

在Rt△OAD中,∵OA2=OD2+BD2,

∴r2=(r﹣20)2+402,解得r=50,

即所在圆的半径是50m.

2015年中考数学真题  尺规作图题型

点评:本题考查了作图﹣复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法;解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了勾股定理和垂径定理.

l及外一点A.

10 , (2015山东青岛,第15题,3分)已知:线段c,直线l

求作:Rt△ABC,使直角边为AC(AC⊥l,垂足为C)斜边AB=C.

2015年中考数学真题  尺规作图题型

【答案】略.

2015年中考数学真题  尺规作图题型

考点:作图

11 , (2015?淄博第19题,7分)如图,在△ABC中,AB=4cm,AC=6cm.

(1)作图:作BC边的垂直平分线分别交与AC,BC于点D,E(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);

(2)在(1)的条件下,连结BD,求△ABD的周长.

2015年中考数学真题  尺规作图题型

考点:作图—复杂作图..

分析:(1)运用作垂直平分线的方法作图,

(2)运用垂直平分线的性质得出BD=DC,利用△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC即可求