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高中数学选修2-2推理与证明教案及章节测试

推理与证明

(一)合情推理与演绎推理

1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用。

2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理。3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。(二)直接证明与间接证明

1.了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。

2.了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证法的思考过程、特点。(三)数学归纳法

了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

1.推理与证明的内容是高考的新增内容,主要以选择填空的形式出现。2.推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。

第1课时 合情推理与演绎推理

2.合情推理包括 和 ;

归纳推理:从个别事实中推演出 ,这样的推理通常称为归纳推理;归纳推理的思维过程是: 、 、 .

类比推理:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也 或 ,这样的推理称为类比推理,类比推理的思维过程是: 、 、 .3.演绎推理:演绎推理是 ,按照严格的逻辑法则得到的 推理过程;三段论常用格式为:①M 是P ,② ,③S 是P ;其中①是 ,它提供了一个个一般性原理;②是 ,它指出了一个个特殊对象;③是 ,它根据一般原理,对特殊情况作出的判断.

4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程,归纳和类比是合情推理常用的思维方法;在解决问题的过程中,合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用,有得于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程.

23150sin 90sin 30222=

++ ; 2

3125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题:

________________________________________=

2

3

( * )并给出( * )式的证明.解:一般形式: 2

3)120(sin )60(sin sin 222=

++++

ααα证明:左边 = 2

)

2402cos(12)1202cos(122cos 1 +-++-+-ααα =

)]2402cos()1202cos(2[cos 21

23 ++++-ααα= -+-+- 240cos 2cos 120sin 2sin 120cos 2cos 2[cos 2

123ααα]240sin 2sin α =

]2sin 232cos 212sin 232cos 212[cos 2123ααααα+----= 右边=2

3(将一般形式写成 2

2

2

3

sin (60)sin sin (60),2

ααα-+++=

2223

sin (240)sin (120)sin 2

ααα??-+-+=

等均正确。)变式训练1:设)()(,cos )('

010x f x f x x f ==,'

21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x +=,n ∈N ,

则=)(2008x f

解:x cos ,由归纳推理可知其周期是4

例2. 在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,

按图所标边长,由勾股定理有:.

2

22b a c +=设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O —LMN ,如果用321,,s s s 表示三个侧面面积,4s 表示截面面积,那么你类比得到的结论是 .

解:2423222

1S

S S S =++。

变式训练2:在△ABC 中,若∠C=90°,AC=b,BC=a ,则△ABC 的外接圆的半径2

2

2b a r +=,把上面的结论推广到空间,写出相类似的结论。

答案:本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形,

所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。

取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A —BCD ,且AB=a ,AC=b ,AD=c ,

则此三棱锥的外接球的半径是2

2

22c b a r ++=

。例3. 请你把不等式“若21,a a 是正实数,则有211

2

2

221a a a a a a +≥+”推广到一般情形,并证

明你的结论。

答案: 推广的结论:若 n a a a ,,,21 都是正数,

n n n n a a a a a a a a a a a ++≥+++-211

21232

2

221证明: ∵n a a a ,,,21 都是正数 ∴ 122212a a a a ≥+,2

112

2

2a a a a ≥+………,121

2--≥+n n n n a a a a ,n

n a a a a 2112

≥+n n n n a a a a a a a a a a a ++≥+++-211

21232

2

221变式训练3:观察式子:47

4

131211,3531211,23211222222

<+++<++<

+,…,则可归纳出式子为( )A 、12113

12

112

2

2

-<+++n n

B 、121131211222+<+++n n

C 、n n n 121312112

2

2

-<

++

+

D 、122131211222+<+++n n

n

答案:C 。解析:用n=2代入选项判断。

例4. 有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线b ?/平面α,直线a ≠

?平面α,直线b ∥平面α,则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误

的,这是因为 ( )

A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.非以上错误答案:A 。解析:直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。

变式训练4:“ AC,BD 是菱形ABCD 的对角线,∴AC,BD 互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。

答案:菱形对角线互相垂直且平分

第2课时 直接证明与间接证明⑴

1.直接证明:直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明;直接证明的两种基本方法——分析法和综合法

⑴ 综合法 —— ;⑵分析法 —— ;

2. 间接证明:间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法;反证法即从 开始,经过正确的推理,说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法(归谬法).

例1.若c b a ,,均为实数,且6

2,3

2,2

2222π

π

π

+-=+-=+-=x z c z y b y x a 。

求证:c b a ,,中至少有一个大于0。

答案:(用反证法)

假设c b a ,,都不大于0,即0,0,0≤≤≤c b a ,则有0≤++c b a ,

而3)6

3

2

()1()1()1()6

2()3

2()2

2(222222-+

+

+-+-+-=+-++-++-=++π

π

ππ

π

π

z y x x z z y y x c b a

=3

)1()1()1(222-+-+-+-πz y x ∴222)1(,)1(,)1(---z y x 均大于或等于0,03>-π,∴0>++c b a ,这与假设0≤++c b a 矛盾,故c b a ,,中至少有一个大于0。

变式训练1:用反证法证明命题“ab N b a ,,∈可以被5整除,那么b a ,中至少有一个能被5整

除。”那么假设的内容是

答案:a,b 中没有一个能被5整除。解析:“至少有n 个”的否定是“最多有n-1个”。例2. △ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列,

求证:

c

b a

c b b a ++=+++3

11。答案:证明:要证c

b a

c b b a ++=+++311,即需证

3=+++++++c b c

b a b a

c b a 。即证

1=+++c

b a

b a

c 。又需证))(()()(c b b a b a a c b c ++=+++,需证2

22b ac a c +=+∵△ABC 三个内角A 、B 、C 成等差数列。∴B=60°。

由余弦定理,有 60cos 2222ca a c b -+=,即ac a c b -+=222。∴222b ac a c +=+成立,命题得证。

变式训练2:用分析法证明:若a >0,则21

212

2-+

≥-+a

a a a 。答案:证明:要证21

212

2-+

≥-+

a

a a a ,

只需证21

212

2++

≥++

a

a a a 。∵a >0,∴两边均大于零,因此只需证222

2)21

()21(++

≥++a

a a

a 只需证)1

(22221

1441222

22

2a a a

a a

a a

a +++++

≥++++

,只需证)1

(22122a a a a +≥

+,只需证)21(2112222++≥+a

a a a ,

即证212

2≥+

a a ,它显然成立。∴原不等式成立。

例3.已知数列{}n a ,0≥n a ,01=a ,)(12

12

1?++∈=-+N n a a a n n n .

n n a a a S +++= 21.)

1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=

. 求证:当?

∈N n 时, (1)1+n S n ; (3)3

解:(1)证明:用数学归纳法证明.

①当1n =时,因为2a 是方程2

10x x +-=的正根,所以12a a <.

②假设当*

()n k k =∈N 时,1k k a a +<,

因为22

1k k a a +-222211(1)(1)k k k k a a a a ++++=+--+-

2121()(1)k k k k a a a a ++++=-++, 所以12k k a a ++<.

即当1n k =+时,1n n a a +<也成立.

根据①和②,可知1n n a a +<对任何*

n ∈N 都成立.

(2)证明:由22

111k k k a a a +++-=,121k n =-,,,(2n ≥),

得2

2231()(1)n n a a a a n a +++

+--=.

因为10a =,所以2

1n n S n a =--.

由1n n a a +<及22

11121n n n a a a ++=+-<得1n a <,

所以2n S n >-.

(3)证明:由22

1112k k k k a a a a +++=+≥,得

111

(2313)12k k k

a k n n a a ++=-+≤,,,,≥

所以

2342

1

(3)(1)(1)(1)

2n n n a a a a a a -+++≤

≥,

于是

2222

23221

1

(3)(1)(1)

(1)

2()22

n n n n n n a a n a a a a a ---=<++++≤

≥, 故当3n ≥时,2

111132

2

n n T -<++++

<,

又因为123T T T <<, 所以3n T <.

推理与证明章节测试题

1.考察下列一组不等式: ,5252522

2

3

3

?+?>+ ,5252523

3

4

4

?+?>+

,525252322355?+?>+.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广,

使以上的不等式成为推广不等式的特例,则推广的不等式可以是 . 2.已知数列{}n a 满足12a =,111n n n

a a a ++=

-(*

n ∈N ),则3a 的值为 , 1232007a a a a ????的值为 .

3. 已知2()

(1),(1)1()2f x f x f f x +=

=+ *x N ∈()

,猜想(f x )的表达式为( ) A.4()22x f x =+; B.2()1f x x =+; C.1

()1

f x x =+; D.2()21f x x =+.

4. 某纺织厂的一个车间有技术工人m 名(m N *

∈),编号分别为1、2、3、……、m ,

有n 台(n N *

∈)织布机,编号分别为1、2、3、……、n ,定义记号i j a :若第i 名工人

操作了第j 号织布机,规定1i j a =,否则0i j a =,则等式41424343n a a a a +++

+=的

实际意义是( )

A 、第4名工人操作了3台织布机;

B 、第4名工人操作了n 台织布机;

C 、第3名工人操作了4台织布机;

D 、第3名工人操作了n 台织布机.

5. 已知*111()1()23f n n N n

=++++∈,计算得3(2)2f =,(4)2f >,5(8)2f >,

(16)3f >,7

(32)2

f >,由此推测:当2n ≥时,有

6. 观察下图中各正方形图案,每条边上有(2)n n ≥个圆圈,每个图案中圆圈的总数是n S ,按此规律推出:当2n ≥时,n S 与n 的关系式

24n S == 38n S == 412n S ==

7.观察下式:1=12

,2+3+4=32

,3+4+5+6+7=52

,4+5+6+7+8+9+10=72

,…,则可得出一般结

论: . 8.函数()f x 由下表定义:

……

若05a =,1()n n a f a +=,0,1,2,

n =,则2007a = .

9.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______颗珠宝;则前n 件首饰所用珠宝总数为_ 颗.(结果用n 表示)

10.

那么2003应该在第 行,第 列。

11.如右上图,一个小朋友按如图所示的规则练习数数,1大拇指,2食指,3中指,4无名指,5小指,6无名指,...,一直数到2008时,对应的指头是 (填指头的名称). 12.在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,……中,第25项为_____.

13.观察下列的图形中小正方形的个数,则第n 个图中有 个小正方形.

14.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第n 个图案中需用黑色

瓷砖___________块.(用含n 的代数式表示)

图1 图2

图3

15.如图所示,面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为

()1,2,3,4i a i =,此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为

()1,2,3,4i h i =,若3124

1234a a a a k ====,则.()4

1

2i i S ih k ==∑类比以上性质,体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为()1,2,3,4i S i =, 此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为()1,2,3,4i H i =,若

31241234

S S S S K ====, 则()4

1

i

i iH ==∑ ( B )

A.

4V K B. 3V K C. 2V K D. V

K

16.设O 是ABC 内一点,ABC 三边上的高分别为,,A B C h h h ,O 到三边的距离依次为

,,a b c l l l ,则

a b c

A B C

l l l h h h ++=__ _______,类比到空间,O 是四面体ABCD 内一点,四顶点到对面的距离分别为,,,A B C D h h h h ,O 到这四个面的距离依次为,,,a b c d l l l l ,则有_ __

17.在Rt ABC ?中,两直角边分别为a 、b ,设h 为斜边上的高,则

222

111h a b =+,由此类比:三棱锥S ABC -中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直,且长度分别为a 、b 、c ,设棱锥底面ABC 上的高为h ,则 .

18、若数列{}n a 是等差数列,对于)(1

21n n a a a n

b +++= ,则数列{}n b 也是等差数列。

类比上述性质,若数列{}n c 是各项都为正数的等比数列,对于0>n d ,则n d = 时,数列{}n d 也是等比数列。

19.已知△ABC 三边a ,b ,c 的长都是整数,且a b c ≤≤,如果b =m (m ∈N*),则这样的三角形共有 个(用m 表示).

20.如图的三角形数阵中,满足:(1)第1行的数为1;(2)第n (n≥2)行首尾两数均为n ,其余的数都等于它肩上的两个数相加.则第n 行(n≥2)中第2个数是________(用n 表示).

122343

477451114115616252516

6

21.在△ABC 中,C

B C

B A cos cos sin sin sin ++=

,判断△ABC 的形状并证明.

22.已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax 2+2bx +c =0,bx 2+2cx +a =0,cx 2+2ax +b =0至少有一个方程有两个相异实根.应假设

23.ABC ?中,已知B a b sin 323=,且C A cos cos =,求证:ABC ?为等边三角形。

24.如图,),(111y x P 、),(222y x P 、…、),(n n n y x P )0(21n y y y <<<< 是曲线C :

)0(32≥=y x y 上的n 个点,点)0,(i i a A (n i 3,2,1=)在x 轴的正半轴上,且i

i i P A A 1-?是正三角形(0A 是坐标原点). (1)写出1a 、2a 、3a ;

(2)求出点)0,(n n a A (n *∈N )的横坐标n a 关于n 的表达式并证明.

推理与证明章节测试题答案

1. *

(,0,,,,)n

n

m k

k

m

a b a b a b a b m k n m n k N +>+>+=∈ 3.1,32

-

3. B.

4. A

5.*21

(2)()2

n

n f n N +>

∈ 6. 22

(2)n n --

7.2*(1)(32)(21),n n n n n N +-++-=-∈

8.4 9.

*(1)(41)

6

n n n n N +-∈

10.251,3 12.食指

12.在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,……中,第25项为__7____.

13.2322

n n -+

14. 48n +

15、B 提示:平面面积法类比到空间体积法

16. 1. 提示:平面面积法类比到空间体积法 17..

22221111h a b c

=++

18*n N ∈提示:等差数列类比到等比数列,算术平均数)

(1

21n n a a a n

b +++=

类比到几何平均数*n d n N ∈

19.

(1)

2

m m + 20.222

n n -+

21.解:π=++++=

C B A C

B C

B A ,cos cos sin sin sin

)sin()sin(cos sin cos sin C B C A C A B A +++=+∴ 0cos )sin (sin cos sin cos sin =+=+∴A B C A B A C

2

0cos ,0sin sin π

=

?=∴≠+A A B C

所以三角形ABC 是直角三角形

22. 三个方程中都没有两个相异实根

证明:假设三个方程中都没有两个相异实根,

则Δ1=4b 2-4ac ≤0,Δ2=4c 2-4ab ≤0,Δ3=4a 2

-4bc ≤0.

相加有a 2-2ab +b 2+b 2-2bc +c 2+c 2-2ac +a 2

≤0,

(a -b )2+(b -c )2+(c -a )2

≤0. ①

由题意a 、b 、c 互不相等,∴①式不能成立.

∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.

方法总结:反证法步骤—假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立. 凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法. 23.解: 分析:由3

2,

323sin sin sin 32sin 3sin 323π

π=?=?=?=A A B A B B a b 由C A C A =?=cos cos B C A ==

=∴3

π

所以ABC ?为等边三角形

24.如图,),(111y x P 、),(222y x P 、…、),(n n n y x P )0(21n y y y <<<< 是曲线C :

)0(32≥=y x y 上的n 个点,点)0,(i i a A (n i 3,2,1=)在x 轴的正半轴上,且i

i i P A A 1-?是正三角形(0A 是坐标原点). (1)写出1a 、2a 、3a ;

(2)求出点)0,(n n a A (n *∈N )的 横坐标n a 关于n 的表达式并证明.

解:(Ⅰ);12,6,2321===a a a ……………….6分 (2)依题意,得2

3,211---?=+=

n n n n n n a a y a a x ,由此及n n x y ?=32

得 )(2

3

)23(121--+=-?

n n n n a a a a , 即)(2)(12

1n n n n a a a a +=---.

由(Ⅰ)可猜想:)(),1(*

∈+=N n n n a n .

下面用数学归纳法予以证明: (1)当1n =时,命题显然成立;

(2)假定当n k =时命题成立,即有(1)n a k k =+,则当1n k =+时,由归纳假设及

211()2()k k k k a a a a ++-=+

得211[(1)]2[(1)]k k a k k k k a ++-+=++,即

2211()2(1)[(1)][(1)(2)]0k k a k k a k k k k ++-+++-?++=,

解之得

1(1)(2)k a k k +=++(1(1)k k a k k a +=-<不合题意,舍去),

即当1n k =+时,命题成立.

由(1)、(2)知:命题成立.……………….10分

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