推理与证明
(一)合情推理与演绎推理
1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用。
2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理。3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。(二)直接证明与间接证明
1.了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。
2.了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证法的思考过程、特点。(三)数学归纳法
了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
1.推理与证明的内容是高考的新增内容,主要以选择填空的形式出现。2.推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。
第1课时 合情推理与演绎推理
2.合情推理包括 和 ;
归纳推理:从个别事实中推演出 ,这样的推理通常称为归纳推理;归纳推理的思维过程是: 、 、 .
类比推理:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也 或 ,这样的推理称为类比推理,类比推理的思维过程是: 、 、 .3.演绎推理:演绎推理是 ,按照严格的逻辑法则得到的 推理过程;三段论常用格式为:①M 是P ,② ,③S 是P ;其中①是 ,它提供了一个个一般性原理;②是 ,它指出了一个个特殊对象;③是 ,它根据一般原理,对特殊情况作出的判断.
4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程,归纳和类比是合情推理常用的思维方法;在解决问题的过程中,合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用,有得于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程.
23150sin 90sin 30222=
++ ; 2
3125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题:
________________________________________=
2
3
( * )并给出( * )式的证明.解:一般形式: 2
3)120(sin )60(sin sin 222=
++++
ααα证明:左边 = 2
)
2402cos(12)1202cos(122cos 1 +-++-+-ααα =
)]2402cos()1202cos(2[cos 21
23 ++++-ααα= -+-+- 240cos 2cos 120sin 2sin 120cos 2cos 2[cos 2
123ααα]240sin 2sin α =
]2sin 232cos 212sin 232cos 212[cos 2123ααααα+----= 右边=2
3(将一般形式写成 2
2
2
3
sin (60)sin sin (60),2
ααα-+++=
2223
sin (240)sin (120)sin 2
ααα??-+-+=
等均正确。)变式训练1:设)()(,cos )('
010x f x f x x f ==,'
21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x +=,n ∈N ,
则=)(2008x f
解:x cos ,由归纳推理可知其周期是4
例2. 在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,
按图所标边长,由勾股定理有:.
2
22b a c +=设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O —LMN ,如果用321,,s s s 表示三个侧面面积,4s 表示截面面积,那么你类比得到的结论是 .
解:2423222
1S
S S S =++。
变式训练2:在△ABC 中,若∠C=90°,AC=b,BC=a ,则△ABC 的外接圆的半径2
2
2b a r +=,把上面的结论推广到空间,写出相类似的结论。
答案:本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形,
所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。
取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A —BCD ,且AB=a ,AC=b ,AD=c ,
则此三棱锥的外接球的半径是2
2
22c b a r ++=
。例3. 请你把不等式“若21,a a 是正实数,则有211
2
2
221a a a a a a +≥+”推广到一般情形,并证
明你的结论。
答案: 推广的结论:若 n a a a ,,,21 都是正数,
n n n n a a a a a a a a a a a ++≥+++-211
21232
2
221证明: ∵n a a a ,,,21 都是正数 ∴ 122212a a a a ≥+,2
112
2
2a a a a ≥+………,121
2--≥+n n n n a a a a ,n
n a a a a 2112
≥+n n n n a a a a a a a a a a a ++≥+++-211
21232
2
221变式训练3:观察式子:47
4
131211,3531211,23211222222
<+++<++<
+,…,则可归纳出式子为( )A 、12113
12
112
2
2
-<+++n n
B 、121131211222+<+++n n
C 、n n n 121312112
2
2
-<
++
+
D 、122131211222+<+++n n
n
答案:C 。解析:用n=2代入选项判断。
例4. 有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线b ?/平面α,直线a ≠
?平面α,直线b ∥平面α,则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误
的,这是因为 ( )
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误答案:A 。解析:直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。
变式训练4:“ AC,BD 是菱形ABCD 的对角线,∴AC,BD 互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。
答案:菱形对角线互相垂直且平分
第2课时 直接证明与间接证明⑴
1.直接证明:直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明;直接证明的两种基本方法——分析法和综合法
⑴ 综合法 —— ;⑵分析法 —— ;
2. 间接证明:间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法;反证法即从 开始,经过正确的推理,说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法(归谬法).
例1.若c b a ,,均为实数,且6
2,3
2,2
2222π
π
π
+-=+-=+-=x z c z y b y x a 。
求证:c b a ,,中至少有一个大于0。
答案:(用反证法)
假设c b a ,,都不大于0,即0,0,0≤≤≤c b a ,则有0≤++c b a ,
而3)6
3
2
()1()1()1()6
2()3
2()2
2(222222-+
+
+-+-+-=+-++-++-=++π
π
ππ
π
π
z y x x z z y y x c b a
=3
)1()1()1(222-+-+-+-πz y x ∴222)1(,)1(,)1(---z y x 均大于或等于0,03>-π,∴0>++c b a ,这与假设0≤++c b a 矛盾,故c b a ,,中至少有一个大于0。
变式训练1:用反证法证明命题“ab N b a ,,∈可以被5整除,那么b a ,中至少有一个能被5整
除。”那么假设的内容是
答案:a,b 中没有一个能被5整除。解析:“至少有n 个”的否定是“最多有n-1个”。例2. △ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列,
求证:
c
b a
c b b a ++=+++3
11。答案:证明:要证c
b a
c b b a ++=+++311,即需证
3=+++++++c b c
b a b a
c b a 。即证
1=+++c
b a
b a
c 。又需证))(()()(c b b a b a a c b c ++=+++,需证2
22b ac a c +=+∵△ABC 三个内角A 、B 、C 成等差数列。∴B=60°。
由余弦定理,有 60cos 2222ca a c b -+=,即ac a c b -+=222。∴222b ac a c +=+成立,命题得证。
变式训练2:用分析法证明:若a >0,则21
212
2-+
≥-+a
a a a 。答案:证明:要证21
212
2-+
≥-+
a
a a a ,
只需证21
212
2++
≥++
a
a a a 。∵a >0,∴两边均大于零,因此只需证222
2)21
()21(++
≥++a
a a
a 只需证)1
(22221
1441222
22
2a a a
a a
a a
a +++++
≥++++
,只需证)1
(22122a a a a +≥
+,只需证)21(2112222++≥+a
a a a ,
即证212
2≥+
a a ,它显然成立。∴原不等式成立。
例3.已知数列{}n a ,0≥n a ,01=a ,)(12
12
1?++∈=-+N n a a a n n n .
记
n n a a a S +++= 21.)
1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=
. 求证:当?
∈N n 时, (1)1+ 解:(1)证明:用数学归纳法证明. ①当1n =时,因为2a 是方程2 10x x +-=的正根,所以12a a <. ②假设当* ()n k k =∈N 时,1k k a a +<, 因为22 1k k a a +-222211(1)(1)k k k k a a a a ++++=+--+- 2121()(1)k k k k a a a a ++++=-++, 所以12k k a a ++<. 即当1n k =+时,1n n a a +<也成立. 根据①和②,可知1n n a a +<对任何* n ∈N 都成立. (2)证明:由22 111k k k a a a +++-=,121k n =-,,,(2n ≥), 得2 2231()(1)n n a a a a n a +++ +--=. 因为10a =,所以2 1n n S n a =--. 由1n n a a +<及22 11121n n n a a a ++=+-<得1n a <, 所以2n S n >-. (3)证明:由22 1112k k k k a a a a +++=+≥,得 111 (2313)12k k k a k n n a a ++=-+≤,,,,≥ 所以 2342 1 (3)(1)(1)(1) 2n n n a a a a a a -+++≤ ≥, 于是 2222 23221 1 (3)(1)(1) (1) 2()22 n n n n n n a a n a a a a a ---=<++++≤ ≥, 故当3n ≥时,2 111132 2 n n T -<++++ <, 又因为123T T T <<, 所以3n T <. 推理与证明章节测试题 1.考察下列一组不等式: ,5252522 2 3 3 ?+?>+ ,5252523 3 4 4 ?+?>+ ,525252322355?+?>+.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广, 使以上的不等式成为推广不等式的特例,则推广的不等式可以是 . 2.已知数列{}n a 满足12a =,111n n n a a a ++= -(* n ∈N ),则3a 的值为 , 1232007a a a a ????的值为 . 3. 已知2() (1),(1)1()2f x f x f f x += =+ *x N ∈() ,猜想(f x )的表达式为( ) A.4()22x f x =+; B.2()1f x x =+; C.1 ()1 f x x =+; D.2()21f x x =+. 4. 某纺织厂的一个车间有技术工人m 名(m N * ∈),编号分别为1、2、3、……、m , 有n 台(n N * ∈)织布机,编号分别为1、2、3、……、n ,定义记号i j a :若第i 名工人 操作了第j 号织布机,规定1i j a =,否则0i j a =,则等式41424343n a a a a +++ +=的 实际意义是( ) A 、第4名工人操作了3台织布机; B 、第4名工人操作了n 台织布机; C 、第3名工人操作了4台织布机; D 、第3名工人操作了n 台织布机. 5. 已知*111()1()23f n n N n =++++∈,计算得3(2)2f =,(4)2f >,5(8)2f >, (16)3f >,7 (32)2 f >,由此推测:当2n ≥时,有 6. 观察下图中各正方形图案,每条边上有(2)n n ≥个圆圈,每个图案中圆圈的总数是n S ,按此规律推出:当2n ≥时,n S 与n 的关系式 24n S == 38n S == 412n S == 7.观察下式:1=12 ,2+3+4=32 ,3+4+5+6+7=52 ,4+5+6+7+8+9+10=72 ,…,则可得出一般结 论: . 8.函数()f x 由下表定义: …… 若05a =,1()n n a f a +=,0,1,2, n =,则2007a = . 9.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______颗珠宝;则前n 件首饰所用珠宝总数为_ 颗.(结果用n 表示) 10. 那么2003应该在第 行,第 列。 11.如右上图,一个小朋友按如图所示的规则练习数数,1大拇指,2食指,3中指,4无名指,5小指,6无名指,...,一直数到2008时,对应的指头是 (填指头的名称). 12.在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,……中,第25项为_____. 13.观察下列的图形中小正方形的个数,则第n 个图中有 个小正方形. 14.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第n 个图案中需用黑色 瓷砖___________块.(用含n 的代数式表示) 图1 图2 图3 15.如图所示,面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为 ()1,2,3,4i a i =,此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为 ()1,2,3,4i h i =,若3124 1234a a a a k ====,则.()4 1 2i i S ih k ==∑类比以上性质,体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为()1,2,3,4i S i =, 此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为()1,2,3,4i H i =,若 31241234 S S S S K ====, 则()4 1 i i iH ==∑ ( B ) A. 4V K B. 3V K C. 2V K D. V K 16.设O 是ABC 内一点,ABC 三边上的高分别为,,A B C h h h ,O 到三边的距离依次为 ,,a b c l l l ,则 a b c A B C l l l h h h ++=__ _______,类比到空间,O 是四面体ABCD 内一点,四顶点到对面的距离分别为,,,A B C D h h h h ,O 到这四个面的距离依次为,,,a b c d l l l l ,则有_ __ 17.在Rt ABC ?中,两直角边分别为a 、b ,设h 为斜边上的高,则 222 111h a b =+,由此类比:三棱锥S ABC -中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直,且长度分别为a 、b 、c ,设棱锥底面ABC 上的高为h ,则 . 18、若数列{}n a 是等差数列,对于)(1 21n n a a a n b +++= ,则数列{}n b 也是等差数列。 类比上述性质,若数列{}n c 是各项都为正数的等比数列,对于0>n d ,则n d = 时,数列{}n d 也是等比数列。 19.已知△ABC 三边a ,b ,c 的长都是整数,且a b c ≤≤,如果b =m (m ∈N*),则这样的三角形共有 个(用m 表示). 20.如图的三角形数阵中,满足:(1)第1行的数为1;(2)第n (n≥2)行首尾两数均为n ,其余的数都等于它肩上的两个数相加.则第n 行(n≥2)中第2个数是________(用n 表示). 122343 477451114115616252516 6 21.在△ABC 中,C B C B A cos cos sin sin sin ++= ,判断△ABC 的形状并证明. 22.已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax 2+2bx +c =0,bx 2+2cx +a =0,cx 2+2ax +b =0至少有一个方程有两个相异实根.应假设 23.ABC ?中,已知B a b sin 323=,且C A cos cos =,求证:ABC ?为等边三角形。 24.如图,),(111y x P 、),(222y x P 、…、),(n n n y x P )0(21n y y y <<<< 是曲线C : )0(32≥=y x y 上的n 个点,点)0,(i i a A (n i 3,2,1=)在x 轴的正半轴上,且i i i P A A 1-?是正三角形(0A 是坐标原点). (1)写出1a 、2a 、3a ; (2)求出点)0,(n n a A (n *∈N )的横坐标n a 关于n 的表达式并证明. 推理与证明章节测试题答案 1. * (,0,,,,)n n m k k m a b a b a b a b m k n m n k N +>+>+=∈ 3.1,32 - 3. B. 4. A 5.*21 (2)()2 n n f n N +> ∈ 6. 22 (2)n n -- 7.2*(1)(32)(21),n n n n n N +-++-=-∈ 8.4 9. *(1)(41) 6 n n n n N +-∈ 10.251,3 12.食指 12.在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,……中,第25项为__7____. 13.2322 n n -+ 14. 48n + 15、B 提示:平面面积法类比到空间体积法 16. 1. 提示:平面面积法类比到空间体积法 17.. 22221111h a b c =++ 18*n N ∈提示:等差数列类比到等比数列,算术平均数) (1 21n n a a a n b +++= 类比到几何平均数*n d n N ∈ 19. (1) 2 m m + 20.222 n n -+ 21.解:π=++++= C B A C B C B A ,cos cos sin sin sin )sin()sin(cos sin cos sin C B C A C A B A +++=+∴ 0cos )sin (sin cos sin cos sin =+=+∴A B C A B A C 2 0cos ,0sin sin π = ?=∴≠+A A B C 所以三角形ABC 是直角三角形 22. 三个方程中都没有两个相异实根 证明:假设三个方程中都没有两个相异实根, 则Δ1=4b 2-4ac ≤0,Δ2=4c 2-4ab ≤0,Δ3=4a 2 -4bc ≤0. 相加有a 2-2ab +b 2+b 2-2bc +c 2+c 2-2ac +a 2 ≤0, (a -b )2+(b -c )2+(c -a )2 ≤0. ① 由题意a 、b 、c 互不相等,∴①式不能成立. ∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根. 方法总结:反证法步骤—假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立. 凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法. 23.解: 分析:由3 2, 323sin sin sin 32sin 3sin 323π π=?=?=?=A A B A B B a b 由C A C A =?=cos cos B C A == =∴3 π 所以ABC ?为等边三角形 24.如图,),(111y x P 、),(222y x P 、…、),(n n n y x P )0(21n y y y <<<< 是曲线C : )0(32≥=y x y 上的n 个点,点)0,(i i a A (n i 3,2,1=)在x 轴的正半轴上,且i i i P A A 1-?是正三角形(0A 是坐标原点). (1)写出1a 、2a 、3a ; (2)求出点)0,(n n a A (n *∈N )的 横坐标n a 关于n 的表达式并证明. 解:(Ⅰ);12,6,2321===a a a ……………….6分 (2)依题意,得2 3,211---?=+= n n n n n n a a y a a x ,由此及n n x y ?=32 得 )(2 3 )23(121--+=-? n n n n a a a a , 即)(2)(12 1n n n n a a a a +=---. 由(Ⅰ)可猜想:)(),1(* ∈+=N n n n a n . 下面用数学归纳法予以证明: (1)当1n =时,命题显然成立; (2)假定当n k =时命题成立,即有(1)n a k k =+,则当1n k =+时,由归纳假设及 211()2()k k k k a a a a ++-=+ 得211[(1)]2[(1)]k k a k k k k a ++-+=++,即 2211()2(1)[(1)][(1)(2)]0k k a k k a k k k k ++-+++-?++=, 解之得 1(1)(2)k a k k +=++(1(1)k k a k k a +=-<不合题意,舍去), 即当1n k =+时,命题成立. 由(1)、(2)知:命题成立.……………….10分