高考数学概率统计专题复习(专题训练)

高考数学《概率统计》复习

知识结构

1.注意：互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件。

2.

（1）试验的所有可能结果为有限个，每次试验只出现其中的一个结果；（2）每一个试验结果

出现的可能性相等。（3）古典概型的概率公式：P(A)＝事件A包含的可能结果数

试验的所有可能结果数

＝

m

n.

3.几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（或面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。几何概型的概率公式：设某一事件（也是S中的某一区域），

S包含A，它的量度大小（长度、面积或体积）为

()A

μ

，考虑到均匀分布性，事件A发生的

概率

() ()

()

A P A

S

μ

μ

=

.

4.统计学中的几个基本概念：

（1）样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。

（2）平均数计算公式：一般地，如果有n 个数n x x x ,,,21???，则n 21n x x x x +???++=.

（3）加权平均数：如果n 个数中，出现次，出现次，…，出现次

（这里n f f f k =+???++21），那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表示为n 2211n n f x f x f x x +???++=，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中k f f f ,,,21???叫做权。

（4）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

（5）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

（6）方差：在一组数据n x x x ,,,21???中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，通常用“s 2”表示。方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定。 （7）方差计算公式：])()()[(1222212x x x x x x n s n -+???+-+-=.

简化计算公式，有：])[(122222212x n x x x n s n -+???++=

也可写成22222212])[(1x x x x n s n -+???++=.

此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。

（8）标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s ”表示，即

])()()[(1222212x x x x x x n s s n -+???+-+-==

（9）如果一组数据n x x x x ???、

、、321的平均数为x ，方差为2s ，标准差为s ， 则数据b ax b ax b ax b ax n +???+++、

、、321的平均数为b x a +，方差为22s a ，标准差为as . 5.抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。

（1）简单随机抽样：设一个总体的个体数为N ，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。如从含有N 个个体的总体中抽取一个容量为n 的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为N

1；在1x 1f 2x 2f k x k f x x

整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为N

n .简单随机抽样的特点：逐个不放回抽样、等概率抽样，体现了抽样的客观性与公平性，是其他复杂抽样方法的基础。

随机抽样常用方法：①抽签法：先将总体中的所有个体（共有N 个）编号（号码可从1到N ），并把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可用小球、卡片、纸条等制作），然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽一个号签，连续抽取n 次，就得到一个容量为n 的样本。适用范围：总体的个体数不多时。优点：简便易行。

②随机数表法： 随机数表抽样“三步曲”：第一步，将总体中的个体编号；第二步，选定开始的数字；第三步，获取样本号码。

（2）系统抽样（又叫等距抽样）：当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样叫做系统抽样。系统抽样的步骤：①采用随机的方式将总体中的个体编号，为简便起见，有时可直接采用个体所带有的号码，如考生的准考证号、街道上各户的门牌号等等。②为将整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔k ：当

N n （N 为总体中的个体的个数，n 为样本容量）是整数时，k=N n ；当N n

不是整数时，通过简单随机抽样先从总体中剔除一些个体使剩下的总体中个体的个数N '能被n 整除，这时k=N n

'.③在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号l .④按照事先确定的规则抽取样本（通常是将l 加上间隔k ，得到第2个编号l +k,第3个编号l +2k ，这样继续下去，直到获取整个样本）。系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，它与简单随机抽样的联系在于：将总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的；总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔。

（3）分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，所分成的部分叫做层。

不放回抽样和放回抽样：在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放回总体，称这样的抽样为不放回抽样。随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样。如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样。

6.统计估计：

（1）概率估计：用频率来估计概率。

（2）参数估计： ①样本的平均值作为总体均值的点估计值，)(121n x x x n

x +++= ； ②样本的方差（标准差）作为总体方差（标准差）的点估计值，

])()()[(1-1222212x x x x x x n s n -++-+-= ； 注意：不是除以n ，而是除以n-1，除以n-1是为了消除系统性偏差。

③],[s x s x +-叫做均值的σ的区间估计；把]2,2[s x s x +-叫做均值的σ2的区间估计；

（3）计算平均数和方差时，常取各区间段的中点值进行计算；

例1.给出以下结论：

①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；

③互斥事件不一定对立；④事件A 与B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率；

⑤事件A 与B 互斥，则有P (A )＝1－P (B )；

其中，正确命题为_________________（填序号）

例2.（2014浙江）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1，2)个球放入甲盒中。放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1，2)，则p 1_______p 2（比较大小）

例3.在区间[-π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+π有零点的概率为___________

例4.下列四个结论，其中正确的有______________（填序号）

①在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等；

②如果一组数据中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变；

③一个样本的方差是s2=120[(x1-3)2+(x2-3)2+…+(x20-3)2]，则这组样本数据的总和等于60；

④数据a1，a2，a3，…，an 的方差为 δ2，则数据2a1，2a2，2a3，…，2an 的方差为4δ2．

例5.某学校为了调查高三年级的200名文科学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查；第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查，则这两种抽样的方法依次为（ ）

A.分层抽样，简单随机抽样

B.简单随机抽样，分层抽样

C.分层抽样，系统抽样

D.简单随机抽样，系统抽样

变式训练：

1.正三棱锥A-BCD 的所有棱长都相等，从该三棱锥6条棱的中点任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的2个三角形全等的概率为_________

2.如图，某地区有7条南北向街道，5条东西街道，从A 点走向B 点最短的走法中，必须经过C 点的概率__________

3.（2014陕西）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________

4.（2011陕西）甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是_______

5.（2016山东）在],[11－上随机的取一个数k ，则事件“直线kx y =与圆

9522=+)(y x －相 交”发生的概率为__________

6.（2016全国II ）从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n 个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为___________

7.甲乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是_________

8.甲每次解答一道几何体所用的时间在5至7分钟，乙每次解答一道几何体所用的时间在6至8分钟，现甲、乙各解同一道几何体，则乙比甲先解答完的概率为__________

[]

0,12n 1x 2x n x 1y 2y n y ()11,x y ()22,x y (),n n x y m π

9.（2015湖北）在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“

12x y +≥”的概率， 2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“

12xy ≤”的概率，则（ ） A.123p p p << B.231p p p << C.312p p p << D.321p p p <<

10.已知矩形ABCD 中，AB=32，AD=1，在矩形ABCD 内部随机取一个点E ，则

3

2π≥∠A E B 的概率为__________________

11.如图所示，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点(点E 与B 1不重合)，且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G.若AB ＝2AA 1＝2a ，EF ＝a ，B 1E ＝B 1F ，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，则该点取自于几何体A 1ABFE-D 1DCGH 内的概率为__________

12.已知三个正数a ，b ，c 满足a

（1）若a ，b ，c 是从{110，210，…910}中任取的三个数，求a ，b ，c 能构成三角形三边长的概率；

（2）若a ，b ，c 是从(0，1)中任取的三个数，求a ，b ，c 能构成三角形三边长的概率。

13.已知数据

12,,,n x x x ???的平均数为x ，数据12,,,m y y y ???的平均数为y ，且x y ≠， 若12,,,n x x x ???，12,,,m y y y ???的平均数()1z ax a y =+-. 则当102a <<

时，,n m 的大小关系为（ ）

A.m n <

B.n m <

C.m n =

D.2n m <

14.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至少命中一次的概率为1625， 则该队员每次罚球的命中率为___________

15.某班级有50名学生，现用系统抽样的方法从这50名学生中抽出10名学生，将这50

名学生

随机编号为1～50号，并按编号顺序平均分成10组(1～5号，6～10号，…，46～50号)，若在第三组抽到的编号是13，则在第七组抽到的编号是______

16.（2013湖北）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的平均值为_______

17.（2010全国Ⅰ）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用。设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3，各专家独立评审。

（1）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

（2）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．