量子力学考研真题与量子力学考点总结
量子力学考研真题与量子力学考点总结
8粒子在势场V中运动并处于束缚定态中，试证明粒子所受势场作用力的平均值为零。[中国科学院2006研]
【解题的思路】
直接利用势场中作用力的表达式，求解其平均值，然后利用与哈密顿量的对易关系就可得出结果。
【分析】
在势场V中，粒子所受作用力为
因此作用力F的平均值为
得证。
【知识储备】
①束缚态：在无穷远处，粒子的波函数为零的状态。
②
即
③在某一表象下，算符F ∧
在ψ态中的平均值为
29两个无相互作用的粒子置于一维无限深方势阱（0＜x ＜a ）中，对于以下两种情况，写出两粒子体系可具有的两个最低能量值，相应的简并度，以及上述能级对应的所有二粒子波函数：
（1）两个自旋为1/2的可区分粒子； （2）两个自旋为1/2的全同粒子。
[中国科学院2007研]
【解题的思路】
对于可解模型一维无限深势阱，可以通过定态薛定谔方程来求解相应的本征波函数和本征值，由可区分粒子和全同粒子的性质，可以构造相应的两粒子波函数。
【分析】
（1）对于一维无限深势阱中的单粒子，由定态薛定谔方程可得 波函数为
本征能量为
对于两个可区分粒子 基态
能量
波函数
因此，能级简并度为4。第一激发态
或者
能量
波函数
因此，能级简并度为8。
（2）对于两个全同粒子，自旋1/2为费米子，则总波函数满足交换反对称关系。基态
能量
波函数
能级非简并。
第一激发态
或者
能量
波函数
能级简并度为4。
【知识储备】
①一维无限深方势阱
若势能满足
在阱内（|x|＜a），体系所满足的定态薛定谔方程是
在阱外（|x|＞a），定态薛定谔方程是
体系的能量本征值
本征函数
②全同粒子
a．全同粒子定义
在量子力学中，把内禀属性（静质量、电荷、自旋等）相同的微观粒子称为全同粒子。
b．全同性原理
全同性原理：由于全同粒子的不可区分性，使得由全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。
描述全同粒子体系的波函数只能是对称的或反对称的，而且这种对称性不随时间改变。
c．两个电子的自旋函数
若不考虑两电子自旋相互作用，两电子对称自旋波函数χS和反对称自旋波函数χA，分别写为
【拓展发散】
两个自旋为1的全同粒子，即玻色子，求解相应的波函数和能量，以及简并度。30假设自由空间中有两个质量为m、自旋为/2的粒子，它们按如下自旋相关
势相互作用，其中r为两粒子之间的距离，g＞0为常量，而（i ＝l，2）为分别作用于第i个粒子自旋的Pauli矩阵。
（1）请写出该两粒子体系的一组可对易力学量完全集；
（2）请给出该体系各束缚定态的能级g；
（3）请写出该体系的基态，并注明相应的量子数。
[中国科学技术大学2012研]
【解题的思路】
①可以选取和哈密顿量对易的力学量算符，来确定一组可对易力学量完全集；
②直接利用定态薛定谔方程求解本征能量和本征态。
【分析】
（1）体系的哈密顿量可以写为
令，则，与哈密顿量对易。对于，此结果是显然的。
对于
体系的角动量显然也与哈密顿量及自旋对易。因此力学量组
即为体系的一组可对易力学量完全集。
（2）为考虑体系的束缚态，需要在质心系中考查，哈密顿量可改写为
其中为质心动量。由于质心的运动相当于一自由粒子，体系的波函数首先可分离为空间部分和自旋部分，空间部分可以进一步分解为质心部分和与体系内部结构相关的部分。略去质心部分，将波函数写成力学量完全集的本征函数
由于
满足
其中。
令
可知只有，才会出现束缚态。
将写为
可知
将上述方程与氢原子情形时相类比，可知束缚态能级为
（3）对于体系的基态为
相应的量子数
其中为玻尔半径。
【知识储备】 ①定态薛定谔方程
②体系的总角动量满足角动量的一般对易关系
J →×J →＝i ?J →
分量形式
[J ∧x ，J ∧y ]＝i ?J ∧z ；[J ∧y ，J ∧z ]＝i ?J ∧x ；[J ∧z ，J ∧x ]＝i ?J ∧y
或统一写成
[J ∧i ，J ∧j ]＝i ?εijk J ∧k
其中的i ，j ，k 分别表示x ，y ，z 分量，如果i ，j ，k 有两者或两者以上相同则ε
ijk 为
0，其他情况则为1或－1。
31粒子在势场中运动（），试求系统能级和能级方程。
[中国科学院2007研] 【解题的思路】
对于不随时间变化的势场，明显可以直接使用定态薛定谔方程求解本征波函数和本征能级，针对本题提供的δ势场，需要充分利用δ函数的性质。
【分析】
粒子在无限深δ势场中运动，由定态薛定谔方程可得 当x ＞a 或x ＜－a 时
当－a ＜x ＜a 时
对两边在积分可得
①当x≠0时
其中
求解可得
带入①可得，则B＝0，所以
因为
所以
即
【知识储备】
①定态薛定谔方程
②波函数必须满足的三个基本条件
有限性：波函数必须是有限的，因为概率不可能为无限大；
单值性：波函数一定是单值的，因为任一体积元内出现的概率只有一种；
连续性：波函数必须处处连续，因为概率不会在某处发生突变。
32一维谐振子系统哈密顿量为，设受到微扰的作用，试求对第n个谐振子能级的一级微扰修正。[中国科学院2007研]
【解题的思路】
对于一维谐振子模型，可以利用定态薛定谔方程求解其本征波函数和本征能级，在不随时间变化的微扰的作用下，可以直接代入定态非简并微扰理论求解修正能级，在计算的过程中，可以充分利用谐振子本征波函数的推导关系式和维里定理，这样可以简化计算。
【分析】
由定态薛定谔方程求解一维谐振子可得
本征波函数为
对于微扰有
根据定态微扰第n级的一级修正为
对于谐振子势场，由维里定理可得
由
可得
所以
【知识储备】
①一维线性谐振子
势能满足方程
本征值
振子的基态（n＝0）能量，零点能
本征函数
其中
常用公式总结：
②维里定理
粒子在r的n次方的势场中运动，则粒子的平均动能和平均势能满足关系式
③非简并定态微扰
微扰作用下的哈密顿量
H＝H0＋H′
第n个能级的近似表示
波函数的近似表示
33两个自旋为的粒子，两个粒子分别为，，求系统处于单态和三重态的概率。[中国科学院2008研]
【解题的思路】
对于两个自旋为的粒子，它们为费米子，可以通过它们各自的波函数，将其写为三重态和单态的形式，则可以显而易见的求解出分别在三重态和单态的几率。
【分析】
因为两个粒子分别为
则它们两个粒子系统的状态为
其中为单态，、为三重态。
因此，系统处于单态的概率为，系统处于单态和三重态的概率为
。
【知识储备】
单态和三重态
若不考虑两电子自旋相互作用，两电子对称自旋波函数χS和反对称自旋波函数χA，分别写为
其中，（）表示第1（2）个电子处于自旋向上或向下的态。χA 是两电子自旋反平行的态，总自旋为零，此态是单态；χS是三重简并的，被称为三重态。
34对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为，为参数，用变分法求基态能量和波函数，并与严格解比较。[复旦大学2001研]
【解题的思路】
当外界扰动不能判断是否大小时，可以使用变分法，具体操作可以根据变分法程序化的步骤进行计算，最后得出结果，可以通过实验数据来判断变分法选取参数的优劣，在此基础上，可以通过调整参数来得到更加优化的解答。
【分析】
首先由波函数的归一化条件，得出试探波函数的归一化形式为
选择为参量。能量的平均值为
由可得。
所以基态波函数为
能量为
由薛定谔方程求解的一维谐振子的基态波函数和能量为
比较两种结果，它们相同。 【知识储备】
①变分法求体系基态能量方法总结
分析具体的物理问题和研究对象，在微扰法的适用条件不满足的情况下，可以选择变分法求解，步骤如下：
a ．根据具体的物理系统和研究者的经验，选取含有参数λ的尝试波函数ψ（λ）；
b ．计算H 的平均能量H —
（λ），它是变分参量λ的函数；
c ．由极值条件求解λ数值；
d ．带入H —（λ），求出H —
（λ）的最小值，所求结果即为基态能量的上限。
②一维谐振子本征函数
其中
【拓展发散】
当在非简谐振子哈密顿量或者任何其它的哈密顿量时，都可以利用同样的变分法的操作方法进行计算，变分法对于扰动的大小和特性没有限制，因此变分法在很多定性问题方面有很广泛的应用。
35两个自旋为1/2的粒子组成的体系由哈密顿量描述，其中分别是两个粒子的自旋，是它们的z分量，A，B为常数，求该哈密顿量的所有能级。[复旦大学2004研]
【解题的思路】
对于哈密顿量，选择恰当合适的共同本征态，利用自旋角动量的合成和总自旋角动量与各自分量的关系求解。
【分析】由两个自旋为1/2的粒子组成的体系，为总自旋，即
并且对应的z分量有
所以
即
因此哈密顿量可以改写为
根据自旋角动量的合成规则
则或者。
当时，；
当时，。
因此带入哈密顿量，可得所有能级为
或者
或者
【知识储备】
两个角动量合成
①耦合表象
a．力学量组相互对易，其共同本征矢构成正交归一系；
b．以此本征矢为基矢的表象称为耦合表象；
c．耦合表象的基矢记为，或简记为。
②无耦合表象
a．力学量组也相互对易，相应的表象称为无耦合表象；
b．无耦合表象的基矢为。
③需满足；。其中，j＝|j1－j2|，……，j1＋j2；m＝－j，－j＋1，……，j－1，j。
36有一个质量为m的粒子处在长度为a的一维无限深势阱中，
，t＝0时粒子波函数，求：（1）归一化常数A；
（2）粒子能量的平均值；
（3）t＝0时粒子能量的几率分布；
（4）任意t＞0时波函数的级数表达式。
[南京大学2001研] 【解题的思路】
①由波函数的归一化公式即可求得A；
②对于力学量的平均值可以直接带入平均值公式求解；
③任意波函数都可以由某一个完备集展开，相应的能量的完备集也可以，对于求解某一个能级的几率分布，只需要对展开式中本征波函数的振幅平方即可；
④含时薛定谔方程可以求解t时刻波函数的具体形式。
【分析】
（1）由波函数的归一化
所以
（2）利用定态薛定谔方程求解一维无限深势阱可得
本征波函数为
本征能量为
将用完备集展开可得
因此由傅里叶变化可得
所以粒子的平均能量为
（3）粒子的本征能量为的几率为
（4）粒子在任意时刻t的波函数为
【知识储备】
①波函数的归一化条件