分式、函数综合练习题
数学练习题
一、选择题。
1、下列计算结果：①2a —1=a 2；②9312
=??
? ??--；③(－m)6÷(－m)2=(－m)3；④(a 2＋1)0=1；⑤(a ＋
b)—3
=
3
)
(1
b a +其中正确的有（ ）A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个
2、若(x －2)3－2x
=1，则x 的值为（
） A 、
2
3
B 、3
C 、2
D 、
23
或3 3、如图所示，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A →D →C →B →A ，设P 点经过的路程为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y ，则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系是（ ）
4、小高从家骑自行车上学校上学，先走上坡路到达点A ，再走下坡路到达点B ，最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所示，放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是（ ） A 、14分钟 B 、17分钟 C 、18分钟 D 、20分钟
5、若y 是z 的正比例函数，而z 是x 的一次函数，则y 是x 的（ ） A 、正比例函数 B 、一次函数
C 、其他函数
D 、构不成函数关系
6、在同一个直角坐标系中，对于函数：①y=－x －1；②y=x ＋1；③y=－x ＋1；④y=－2(x ＋1)的图象，下列说法正确的是（ ）
A 、通过点(－1,0)的是①和③
B 、交点在y 轴上的是②和④
C 、相互平行的是①和③
D 、关于x 轴对称的是②和③
7、如图。两个一次函数y=ax ＋b 与y=bx ＋a 在同一坐标系中的图象大致是（ ）
8、已知一次函数y=kx ＋b ，当0≤x ≤2时，对应的函数值y 的取值范围是－2≤x ≤4，则kb 的值为（ ）
A 、12
B 、—6
C 、—6或—12
D 、6或12 9、一次函数y=kx ＋k(k ≠0)和反比例函数x
k
y =(k ≠0)在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
10、若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)是反比例函数
x
3
图象上的点，且x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1、y 2、y 3的大小关系正确的是（ ） A 、y 3＞y 1＞y 2 B 、y 1＞y 2＞y 3 C 、y 2＞y 1＞y 3 D 、y 3＞y 2＞y 1
21、如图所示，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例
函数x
k k y 1
22++=的图象上。若点A 的坐标为(—2,—2)，则k 的值为（
）
A 、1
B 、—3
C 、4
D 、1或—3
二、填空题。 1、关于x 的分式方程
1131=-+-x x m 的解为正数，则m 的取值范围是 。
2、若关于x 的分式方程13
1=---x
x a x 无解，则a=
。 3、当m= 时，函数y=(m ＋3)x 2m ＋1
＋4x －5(x ≠0)是一个一次函数。 4、直线y=－x ，y=x ＋2与x 轴围成图形的周长是 （结果保留根号）。
5、如图所示，直线l :y=33
+-x 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，△AOB 与△ACB 关于直线l 对称，则点C 的坐标为 。
5题图
6题图
6、如图所示，直线83
4+-=x y 与x 轴、y 轴分析交于点A 和点B ，M 是OB 上的一点，若将△
ABM
沿AM 折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B ’处，则直线AM 的解析式为 。
7、在平面直角坐标系中xOy 中，已知反比例函数)0(2≠=
k x
k
y 满足；当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，若该反比例函数的图象与直线y=－x ＋x 3都经过点P ，且|OP|=7，则实数k= 。 三、解答题。
1、m 为何值时，关于x 的方程23
4222+=
-+-x
x mx x 会产生增根？
2、如果关于x 的方程42212
-=-+x m x x 的解也是不等式组???
??-≤-->-8
)3(2221x x x x
的一个解，求m 的取值范围。
5、一根弹簧的原长是12cm ，它能挂的重量不超过15kg ，且挂重量每增加1kg 就伸长0.5cm 。 （1）写出弹簧长度y(cm)与所挂重量x(kg)之间的函数关系； （2）写出自变量x 的取值范围； （3）画出这个函数的图象。
3、（1）若10a =20，10b =5－1，求9a ÷32b
的值；
（2）已知2x ＋5y －3=0，试求4x
·的值y
-??
? ??321
4、重庆市城区道路“白改黑”工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投票书，从投票书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成。 （1）甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元，工程预算的施工费用为50万元。为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够了用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由。
5、春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候购票，经调查发现，每天开始售票时，约有400人排队购票，同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，售票时售票厅每分钟新增购票人数4人，每分钟每个售票窗口出售的票数3张，某一天售票厅排队等候购票的人数y(人)与售票时间x(分)的关系如图所示，已知售票的前a 分钟只开放了两个售票窗口（规定每人只购一张票）。 （1）求a 的值；
（2）求售票到60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数；
（3）若要在开始售票后半小时内让所有的排队的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客随到随购，至少需要同时开放几个售票窗口。
分式函数
第 1 页 共 4 页 一次分式函数 班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、 理解分式函数的概念 2、 掌握一次分式函数的图像画法及性质 【教学过程】 一、知识梳理： 1． 一次分函数的定义 我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。 2． 一次分函数(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的图象和性质 2.1 图象：其图象如图所示. 2.2定义域： ? ?????-≠a b x x ； 2.3 值域：? ?????≠ a c y y ； 2.4 对称中心：??? ? ?- a c a b ,；
2.5 渐近线方程：b x a =- 和c y a =； 2.6 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当ad 一、选择题 1. （广东珠海）若分式 b a a ＋2的a 、b 的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值 （ ） A ．是原来的20倍 B ．是原来的10倍 C ． 是原来的10 1 倍 D ．不变 2. 计算-22+（-2）2-（- 12）-1的正确结果是（ ） A 、2 B 、-2 C 、6 D 、10 3. （四川遂宁）下列分式是最简分式的（ ） Ａ． a 22 B ． a 2 C ． 2 2b a + D ． 2 22ab a - 5.（丽江）计算10 ()(12 -+= ． 6. （江苏徐州）0132--= ． 7. （江苏镇江常州）计算：－(－ 12)＝ ；︱－12︱＝ ； 01()2-= ；11 ()2 --= ． 8. （云南保山）计算101 ()(12 -+= . 9. （北京）计算：?-++?--)2(2730cos 2)2 1(1π． 10. 计算：|-3|+20110×2-1． 11. （重庆江津区）下列式子是分式的是（ ） A 、 2 x B 、 1x x + C 、2x y + D 、x π 12. （四川眉山）化简m m n m n -÷-2)(的结果是（ ） A ．﹣m ﹣1 B ．﹣m+1 C ．﹣mn+m D ．﹣mn ﹣n 13．（南充）若分式1 2 x x -+的值为零，则x 的值是（ ） A 、0 B 、1 C 、﹣1 D 、﹣2 14. （四川遂宁）下列分式是最简分式的（ ） Ａ． b a a 232 B ． a a a 32- C ． 2 2b a b a ++ D ． 2 22b a ab a -- 15. （浙江丽水）计算111 a a a - --的结果为（ ） A 、 1 1 a a +- B 、1 a a - C 、﹣1 D 、2 17. （天津）若分式21 1 x x -+的值为0，则x 的值等于 ． 18. （郴州）当x= 时，分式 的值为0． 20. （北京）若分式 x 的值为0，则x 的值等于 ． 21. （福建省漳州市）分式方程 2 11 x =+的解是（ ） A 、﹣1 B 、0 C 、1 D 、3 2 22. （黑龙江省黑河）分式方程 11x x --= ()() 12m x x -+有增根，则m 的值为（ ） A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 D 、3 23. （新疆建设兵团）方程2x ＋1 1－x ＝4的解为 ． 24. （天水）如图，点A 、B 在数轴上，它们所对应的数分别是﹣4与 22 35 x x +-，且点A 、B 到原点的距离相等．则x = ． 25. （海南）方程 2 +x x ＝3的解是 ． （2）解分式方程一定注意要验根． 26. （湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田）化简)2()24 2( 2+÷-+-m m m m 的结果是 A ．0 B ．1 C ．—1 D ．（m ＋2）2 分式型函数求值域的方法总结 一、形如()ax b f x cx d += + (,0a o b ≠≠)（一次式比一次式）在定义域内求值域。 例1：求21()32 x f x x +=+（2)3x ≠-的值域。 解：242()133()2323()3x f x x x +-=-++=123332 x -+∵1122330,323323x x -≠∴-≠++ ∴其值域为}2/3y y ?≠?? 一般性结论，()ax b f x cx d += + (,0a o b ≠≠)如果定义域为{x /d x c ≠-},则值域}/a y y c ?≠?? 注：本题所用方法即为分离常数法，分离常数之后，分子便不含有x 项，使计算变得简便。 例2：求21()32x f x x += +，()1,2x ∈的值域。 分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。 解：21()32x f x x +=+=123332x -+，是由1 3y x =-向左平移23，向上平移23得出，通过图像观察，其值域为35,58?? ??? 小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。 x 分析：此类函数中，当0a <，函数为单调函数，较简单，在此我们不做讨论，当0a >时， 对函数求导，'2()1,a f x x =-'()0f x > 时，(x ∈-∞? +∞），'()0f x <时， (x ∈?，根据函数单调性，我们可以做出此类函数的大致图像，其我们常 其图像 例3：求4()2,((1,4)f x x x x =+ ∈上的值域。 解：将函数整理成2()2()f x x x =+，根据双钩函数的性质，我们可以判断此函数在单调递减，在)+∞1，4出的函数值，我们可以知道在1处取的最大值，所以其值域为) ?? 三、用双钩函数解决形如2()mx n f x ax bx c +=++（0,0m a ≠≠），2()ax bx c f x mx n ++=+（0,0m a ≠≠）在定义内求值域的问题。 例3：已知0t >，则则函数241t t y t -+=的最小值为_______. 解：24114t t y t t t -+==+-，t o >∴由基本不等式地2y ≥- 分式的典型练习题 1、若分式4 242--x x 的值为零，则x 等于 。若分式961|2|2+---x x x 的值为0，则x = 。 2、若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是 ；分式5 12++x x 的值为负，则x 应满足 。 3、分式方程3-x x +1=3-x m 有增根，则m= ； 4、若关于x 的分式方程3232 -=--x m x x 无解，则m 的值为 。 5、已知a=25,25-=+b ,求2++b a a b 得值为_________。 6、若将分式a+b ab (a 、b 均为正数）中的字母a 、b 的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值为（ ） A ．扩大为原来的2倍 B ．缩小为原来的12 C ．不变 D ．缩小为原来的14 7、把分式0.122 0.30.25x x -+的x 系数化为整数，那么0.122 0.30.25x x -+= ． 8、不改变分式的值，使231 72x x x -+-+-的分子和分母中x 的最高次项的系数都是正数， 应该是（ ） A. 231 72x x x ++- B. 231 72x x x --- C. 23172x x x +-+ D. 231 72x x x --+ 9、若分式212()() x x x +--的值为0，则x 的取值范围为 （ ） (A) 21x x =-=或 (B) 1x = (C) 2x ≠± (D) 2x ≠ 10、▲不论x 取何值，分式m x x +-21 2总有意义，求m 的取值范围。 11、（1）已知0132=+-x x ，求① 221x x +的值。 ② 求441 x x +的值 （2）已知31 =+x x ，求1242 ++x x x 的值。 12、▲若112323,2x xy y x y x xy y +--=--则分式=___ 13、已知21)2)(1(43-+-=---x B x A x x x 是恒等式，求A 和B 的值。 一次分式函数最值问题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 拆分函数解析式结构，巧解问题 --------------函数()ax b f x cx d +=+值域（最值）问题的解法 在高中，初学函数之时，我们接触的具体函数并不多。前面我们已经给出了一元二次函数值域（最值）的求法步骤。除此，还有一类()(0)ax b f x c cx d +=≠+函数也很常见，它也是今后解决其他复杂函数值域（最值）问题的基础。此类函数看似生疏，而实际这类函数的图像，就是我们初中学过的反比例函数图像。 此类问题有三种类型，一种是函数式子决定定义域，不额外附加函数定义域；另一种是附加定义域。还有一种是可转化为()(0)ax b f x c cx d += ≠+型的函数，此类随着学习的深入，再行和大家见面。 下面我们以具体实例，说明如何依据函数解析式的结构特征，选择适当的方法步骤解决问题。 【例题1】：求函数21()3 x f x x +=-的值域； 【思路切入】：从函数结构可以得出，函数定义域由分式决定，为 {|3}x x R x ∈≠且，此时，将函数解析式的结构进行拆分变换，不难得出反比例函数结构，如此，得到解法程序： 1、将函数分解为反比例的结构； 2、根据反比例结构特性，或者利用图像，或者利用数式属性得到函数值域。 【解析】：原函数可化为212677()2333 x x f x x x x +-+===+---， 7303 x x ≠≠-且 ，2y ∴≠，函数()f x 值域为{|2}y y R y ∈≠且； 【例题2】：求函数21(),(2,4]1x f x x x -=∈-的值域； 分式及分式方程精典练习题 一、填空题： ⒈当x 时，分式1 223+-x x 有意义；当x 时，分式x x --112的值等于零. ⒉分式ab c 32、bc a 3、ac b 25的最简公分母是 ； ⒊化简：2 42--x x ＝ . ⒋当x 、y 满足关系式________时， )(2)(5y x x y --=－25 ⒌化简=-+-a b b b a a . ⒍分式方程3 13-=+-x m x x 有增根，则m ＝ . ⒎若121-x 与)4(3 1+x 互为倒数，则x= . ⒏某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树口棵。实际每小时植树的棵数是原计划的1．2倍，那么实际比原计划提前了 小时完成任务 9、已知关于x 的方程32 2=-+x m x 的解是正数，则m 的取值范围为_____________． 二、选择题： ⒈下列约分正确的是( ) A 、326x x x = B 、0=++y x y x C 、x xy x y x 12=++ D 、2 14222=y x xy ⒉用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+= C ．2310y y -+= D ．2310y y --= ⒊下列分式中，计算正确的是( ) A 、32)(3)(2+=+++a c b a c b B 、b a b a b a +=++122 C 、1)()(22 -=+-b a b a D 、x y y x xy y x -=---1222 ⒋下列各式中，从左到右的变形正确的是( ) A 、y x y x y x y x ---=--+- B 、y x y x y x y x +-=--+- 一次型分式函数图象的研究 教学目标 1．通过对反比例函数图象的研究，重新认识反比例函数图象． 2．会用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象． 教学重点 用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象． 教学难点 用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象． 教学过程 一、复习 1．复习已学过的函数的解析式与图象：一次函数（正比例函数）；二次函数；反比例函数． 2．学生谈对反比例函数)0(≠=k x k y 的认识． 二、基本函数作图 例1．作下列函数图象 （1）x y 3=； （2）x y 2-=． 归纳1：反比例函数是以坐标轴为渐近线（无限接近）的双曲线，原点是图象的中心对称 点；对于（1），点)3,3(是该双曲线的一个顶点． 归纳2：一般地，函数)0(≠=k x k y 的图象是双曲线，以坐标轴为渐近线，原点是图象的中心对称点．当0>k 时图象分布在一、三象限，图象与直线x y =的交点是双曲线的顶点；当0 归纳：1-→x x 图象向右平移1个单位；2)()(-=→=x f y x f y 图象向下平移2个单位， 等等． 练习：指出函数3 21--=x y 的图象由那个函数经过怎样的平移得到，并作出函数3 21--=x y 的图象． 例3．作函数123--=x x y 的图象，并归纳一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=图象与函数函数)0(≠=k x k y 的图象的关系． 归纳：一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=本质上是一个反比例函数，两者的图象一般只相差一个平移． 练习：作函数21++=x x y 的图象． 四．“二线一点”法作图探究 例4．已知函数4 23-+=x x y ． （1）作函数的图象； （2）并指出函数自变量x 的取值范围（即函数的定义域）；因变量y 的取值范围（即 函数的值域）． （3）x 的取值范围2≠x ，y 的取值范围2 1≠y 反映在图象上的特点是什么？ （函数图象与直线2=x , 21=y 没有交点，即2=x , 2 1=y 是对应双曲线的渐近线） （4）找到了双曲线的渐近线，根据双曲线图象的大致形状，只要知道图象在“一、 三象限”还是在“二、四象限”就可以画出其大致图象．如何根据函数4 23-+=x x y 的解析式直接来确定“象限”？（一般找与坐标轴的交点来确定） （5）对于一般的一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=如何来确定渐近线，即确定x 与y 的取值范围？ （6）观察例4、例3，发现与系数d c b a ,,,关系． 例5．作函数1 23--=x x y 的图象． 归纳：对于一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=的作法： （1）先确定x 与y 的取值范围：c d x -≠，c a y ≠，即找到双曲线的渐近线c d x -=，c a y =； （2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”； （3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象． 练习：用平移法与“二线一点”法分别作函数1 32+-=x x y 的图象． ☆3一3 有理函數之積分(部分分式法) ●部分分式法 部分分式法：就是將一個分式化成數個分式的和。其步驟與原則如下 (1)檢查原分式，看分子的次數有沒有比分母低，如果沒有，依照公式 =+被除式餘式 商式除式除式 將原分式化成帶分式的形態 (2)將分母作因式分解，按照多項式的性質得知，得到的因式只可能出現 下面四種可能 ①ax b + ②2 ax bx c ++ ③()n ax b + ④2 ()n ax bx c ++ (3)按照下面的形態將原分式化成數個分式的和 ①所有的因式都是一次不重複的 12 11221122 () ()() () n n n n n A A A P x a x b a x b a x b a x b a x b a x b = ++ + ++++++ ②重複的一次因式 122 ()()() () n n n A A A P x ax b ax b ax b ax b =+++ ++++ ③所有的因式都是二次不重複的 222 111222() ()() () n n n P x a x b x c a x b x c a x b x c ++++++ 1122 22 2 111222n n n n n A x B A x B A x B a x b x c a x b x c a x b x c +++=+++++++++ ④重複的二次因式 2()()n P x ax bx c ++112 2222 2() () n n n A x B A x B A x B ax bx c ax bx c ax bx c +++=+++ ++++++ 例題1. 求21 4 x dx x +-? Sol ： 24(2)(2 )x x x -=+- 令 2 1422 x A B x x x +=+-+- 【等號兩邊同乘2 4(2)(2)x x x -+-或】 ?1(2)(2) x A x B x +=-++ 令2x =-代入? 41A -=-1 4 A ∴= 令2x =代入?43B =34 B ∴= ∴原式143413 ()ln 2ln 22244 dx x x C x x =+=++-++-? 提示： 公式 11 ln dx ax b C ax b a =+++? 例題2. 求32232 x x dx x x -++? 分式知识点和典型习题 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义 1、下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： . 2、下列分式中，最简分式有（ ） 32222 2222222 212,,,,312a x y m n m a ab b x x y m n m a ab b -++-++---- A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3、下列各式： 2b a -，x x 3+，πy +5，() 14 32 +x ，b a b a -+，)(1y x m -中，是分式的共有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型二：考查分式有意义的条件 1、当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 4 4+-x x （2） 2 32+x x （3） 1 22-x （4） 3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件 1、当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2） 4 2||2--x x （3） 6 53222----x x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 1、（1）当x 为何值时，分式x -84 为正； （2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负； （3）当x 为何值时，分式 3 2+-x x 为非负数. （二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质：M B M A M B M A B A ÷÷= ??= 2．分式的变号法则： b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 1、不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x y x 4 13132 21+- （2） b a b a +-04.003.02.0 （3）b a b a 10 141534.0-+ 题型二：分数的系数变号 2、不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y x y x --+- （2）b a a --- （3）b a --- 苏州市学案 一、课前准备： 【自主梳理】 1．一次分函数的定义 我们把形如y cx d (a ax b 2．一次分函数的图象和性质y cx d ( a 0, ad bc ) ax b 2.1 图象：其图象如图所示 . y x b a b c o x (, ) a a ax+b 一次分式型函数y = cx+d (x∈D) 0, ad bc) 的函数称为一次分函数。 y o c x y a y c b c ( , ) a ad bc a a x b ad bc a 2.2 定义域：2.3 值域：x x b ； a y y c ； a 2.4 对称中心：b , c； a a 2.5 渐近线方程： x b和 y c ； a a 2.6 单调性：当 ad>bc 时，函数在区间 ( , b ) 和 ( b , ) 分别单调递减； 当 ad 【自我检测】 1．函数 y 1 1 ．的图象是 x 1 y y y y 1 1 1 1 O 1 x O 1 -1 O x -1 O x x (A) (B) (C) (D) 2．函数 f ( x) 3x 1 的定义域是 ． 1 x x x 1 3． y 0 的值域是 ． x 4．函数 f ( x) 2x 1 的单调增区间是 ． x 3 5．函数 f ( x) 2x 1 的对称中心是 ． x 3 6．函数 f ( x) x 是 函数．（填 “奇 ”“偶 ”“非奇非 偶 ”） x 二、课堂活动： 【例 1】填空题： （ 1）函数 f ( x) 2x 1 （ x 2,5 ），则 f x 的值域是 ________． x 3 （ 2）函数 f ( x) 2x 1 （ x 5, 4 (2,5) ），则 f x 的值域是 ________． x 3 （ 3）已知函数 f x 2x 1 ，若 x N ， f x f 5 恒成立，则 a 的取值范围是 ． x a （ 4）若函数 f (x) 2x 1 的图象关于直线 y ＝ x 对称，则实数 a ＝ . x a 2 】（ 2004 年 江 苏 ） 设 函 数 f ( x) x 【 例 (x R) ， 区 间 M=[a ， b](a 求分式函数值域的几种方法-精品 2020-12-12 【关键字】情况、方法、条件、领域、问题、难点、良好、沟通、发现、掌握、研究、特点、关键、理想、思想、需要、途径、重点、反映、检验、化解、分析、树立、解决、方向 摘要：在高中数学教学、乃至高中毕业会考题和高考中，经常遇到求分式函数值域的问 题.关于分式函数的值域的求法，是高中数学教学中的一个难点.通过对分式函数的研究总结了求其值域的常见几种方法：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等. 关键词：分式函数 值域 方法. 1 引言 求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决函数最值问题的一个重要工具．关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，归纳起来，常用的方法有：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题运用以上初等方法进行分析． 2 求分式函数值域的常见方法 2.1 用配方法求分式函数的值域 如果分式函数变形后可以转化为2 122 a y b a x b x c =+++的形式则我们可以将它的分母配方，用直接法求得函数的值域. 例1 求2 1 231 y x x =-+的值域. 解：2 131248y x = ? ?-- ?? ?， 因为2 31248x ? ?-- ?? ?≥18-， 所以函数的值域为：(],8-∞-∪()0,+∞. 例2 求函数221 x x y x x -=-+的值域. 解：2 1 11 y x x -= +-+， 因为2 2112x x x ? ?-+=- ?? ?34+≥34， 所以34- ≤21 01 x x -<-+， 故函数的值域为1,13?? -???? . 先配方后再用直接法求值域的时候，要注意自变量的取值范围.取“=”的条件. 2.2 利用判别式法求分式函数的值域 我们知道若()200,,ax bx c a a b R ++=≠∈有实根，则24b ac ?=-≥0常常利用这一结论来求分式函数的值域. 例1 求2234 34 x x y x x -+=++的值域. 解：将函数变形为()()()2133440y x y x y -+++-=①， 当1y ≠时①式是一个关于x 的一元二次方程. 因为x 可以是任意实数， 所以?≥0， 即()()()334144y y y +---7507y y =-+-≥0， 解得， 17 ≤ y ≤1或1y <≤7， 又当1y =时，0x =， 故函数的值域为1,77?? ???? . 例2 函数22 21 x bx c y x ++=+的值域为[]1,3，求b ，c 的值. 解：化为()20y x bx y c --+-=， ⑴当2y ≠时()()42x R b y y c ∈??=---≥0， ?()224428y c y c b -++-≥0， 反比例函数、一次分式函数 班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、 理解分式函数的概念 2、 掌握一次分式函数的图像画法及性质 3、 掌握反比例函数的性质 【教学过程】 一、 知识梳理： 2、 一次分函数的定义 我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。 4、 一次分函数(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的图象和性质 图象：其图象如图所示. 第 2 页 共 4 页 定义域：_________________；值域：____________________； 对称中心：___________________；渐近线方程：______________________； 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当ad 二次分式函数值域的求法 甘肃 王新宏 一 定义域为R 的二次分式函数用“判别式”法 解题步骤：1 把函数转化为关于x 的二次方程 2 方程有实根，△≥0 3 求的函数值域 1：求y =2 2222+++-x x x x 的值域 解：∵x 2+x+2>0恒成立 由y =2 2222+++-x x x x 得， （y -2）x 2+(y+1)x+y-2=0 ①当y-2=0时，即y=2时，方程为x=0∈R ②当y-2≠0时，即y ≠2时, ∵x ∈R ∴方程（y -2）x 2+(y+1)x+y-2=0有实根 ∴△=(y+1)2 -(y-2) ×(y-2) ≥0 ∴3y 2-18y+15≤0 ∴1≤y ≤5 ∴函数值域为[]5,1 练习1：求y =432+x x 的值域 ?? ????-43,43 二 分母最高次幂为一次的二次分式函数值域常转化为“√”函数或用“均值不等式”来做。 先来学习“√”函数。 形如y =x+ x k (x>0 ,k>0)的函数，叫“√”函数 图像 单调性：在x ∈[] k ,0时，单调递减。在x ∈[] +∞,k 时，单调递减。 值域：[]+∞,2k 解题步骤：①令分母为t,求出t 的范围 ②把原函数化为关于t 的函数 ③利用“√”函数的单调性或均值不等式来求值域 例2 求y =12122-+-x x x （32 1≤ 分式型函数求值域的方法探讨 在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。 一、形如d cx b ax x f ++= )((0,≠≠b o a )（一次式比一次式）在定义域内求值域。 例1：求2 312)(++=x x x f （)32-≠x 的值域。 解：23134)32(3)32(2)(+--++=x x x x f =233132+-x 32233132,02331≠+-∴≠+-x x ∴其值域为}? ??≠32/y y 一般性结论，d cx b ax x f ++=)((0,≠≠b o a )如果定义域为{/x c d x -≠},则值域 }? ??≠c a y y / 例2：求2 312)(++=x x x f ，()2,1∈x 的值域。 分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。 解：2312)(++=x x x f =233132+-x ，是由x y 31 -=向左平移32，向上平移32得出，通过图像观察，其值域为?? ? ??85,53 小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。 二、形如求x a x x f + =)(（)0≠a 的值域。 分析：此类函数中，当0a 时， 对函数求导，,1)(2'x a x f -=0)('>x f 时，),(a x -∞∈?+∞,a ），0)(' 第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?= ,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如 A B (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义 2、当分子为零且分母不为零时，分式值为零。 【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）31+-x x （2）4 2||2--x x 一次分式函数最值问题Last revision on 21 December 2020 拆分函数解析式结构，巧解问题 --------------函数()ax b f x cx d +=+值域（最值）问题的解法 在高中，初学函数之时，我们接触的具体函数并不多。前面我们已经给出了一元二次函数值域（最值）的求法步骤。除此，还有一类()(0)ax b f x c cx d +=≠+函数也很常见，它也是今后解决其他复杂函数值域（最值）问题的基础。此类函数看似生疏，而实际这类函数的图像，就是我们初中学过的反比例函数图像。 此类问题有三种类型，一种是函数式子决定定义域，不额外附加函数定义域；另一种是附加定义域。还有一种是可转化为()(0)ax b f x c cx d += ≠+型的函数，此类随着学习的深入，再行和大家见面。 下面我们以具体实例，说明如何依据函数解析式的结构特征，选择适当的方法步骤解决问题。 【例题1】：求函数21()3 x f x x +=-的值域； 【思路切入】：从函数结构可以得出，函数定义域由分式决定，为 {|3}x x R x ∈≠且，此时，将函数解析式的结构进行拆分变换，不难得出反比例函数结构，如此，得到解法程序： 1、将函数分解为反比例的结构； 2、根据反比例结构特性，或者利用图像，或者利用数式属性得到函数值域。 【解析】：原函数可化为212677()2333 x x f x x x x +-+===+---， 7303 x x ≠≠-且 ，2y ∴≠，函数()f x 值域为{|2}y y R y ∈≠且； 【例题2】：求函数21(),(2,4]1x f x x x -=∈-的值域； 分式的加减法 分式的加减法： （1）23+34=34?+ 34 ?= （2）ab ab 610-= （3）1a +1b =ab +ab = （4）b a 21+21ab = 因为最简公分母是___________，所以 b a 21+2 1ab = ＝_____________________ ＝_____________________ ＝_____________________-. 提示：通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂 的积作为公分母（叫做最简公分母）.例如第（1）小题中的两个分式b a 21和21ab ，它们的最简公分母是 （5）y x -1+y x +1 因为最简公分母是___________，所以 y x -1+y x +1 = （6）1()x x y -+y x +1 因为最简公分母是___________，所以 1()x x y -+y x +1 = 练习A ： （1） a a 21+= （2） b c a c -= （3）a c b a c b ++- （4）b a b b a a +++= （5）a b b b a a －+-= （6）x x -++1111 = （7）231x ＋x 43； 因为最简公分母是_____，所以 231x ＋x 43 ＝2134x ?＋34 x ＝ + ＝ （8）221y x -+xy x +21 因为 x 2－y 2＝（x+y ）( ), x 2＋xy ＝x( ), 所以221y x -与xy x +21的最简公分母为＿＿＿＿＿，因此221y x -+xy x +21 ＝1()x y +＋1 x ＝+ （9）231x +xy 125； 因为最简公分母是___________ = （10） 24a b a b -； 秒杀高考题型之必考的几类初等函数（分式一次型函数、二次函数、指数函数） 【秒杀题型一】：分式一次型函数：()ax b d y x cx d c += ≠-+。 『秒杀策略』：反比例函数()k f x x =推广为分式函数：()ax b d y x cx d c +=≠-+→把分子变量去掉，可转化 为：t y m x n =+-，图象为双曲线，有以下性质： ①定义域：,x R x n ∈≠； ②值域：,y R y m ∈≠，a m c =； ③单调性：单调区间为()(),,,n n -∞+∞，当0t >时为减函数，反之为增函数； ④对称中心：(),n m 。 秒杀方法：在选择题中考查增减性时．．．．．．．．．．．，．如选项中有分式．．．．．．．一次型．．．函数．．，．一般情况下．．．．．优先考虑．．．．此选项。．．．． 1.(高考题)函数1 11--=x y 的图象是 ( ) 2.(高考题)在区间(),0-∞上为增函数的是 ( ) A.0.5log ()y x =-- B.1x y x = - C.2(1)y x =-+ D.21y x =+ 3.(高考题)函数()21 )(≥-=x x x x f 的最大值为 。 【秒杀题型二】：二次函数。 『秒杀策略』：二次函数解析式设法有三种：根据条件特点采用对应设法。①一般式：2y ax bx c =++； ②两根式：12()()y a x x x x =--; ③顶点式：2()y a x h k =-+。 1.(高考题)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价()b b a >以及常数()01x x <<确定实际销售价格()c a x b a =+-，这里x 被称为乐观系数。经验表明， 分式方程应用题分类解析 分式方程应用性问题联系实际比较广泛，灵活运用分式的基本性质，有助于解决应用问题中出现的分式化简、计算、求值等题目，运用分式的计算有助于解决日常生活实际问题． 一、营销类应用性问题 例1 某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料0.5kg 少3元，比乙种原料0.5kg 多1元，问混合后的单价0.5kg 是多少元？ 分析：市场经济中，常遇到营销类应用性问题，与价格有关的是：单价、总价、平均价等，要了解它们的意义，建立它们之间的关系式． 步骤：①这个问题涉及到的量有 ②等量关系是 ③设 ⑤列方程为 二、工程类应用性问题 例2 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的 3 2 ，厂家需付甲、丙两队共5500元． ⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？ ⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。 分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为x 天，y 天，z 天，可列出分式方程组． 步骤：①这个问题涉及到的量有 ②等量关系是 ③设 ④列表为 ⑤列方程为 三、行程中的应用性问题 例3 甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度． 分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等． 步骤：①这个问题涉及到的量有 ②等量关系是 ③设 ⑤列方程为 四、轮船顺逆水应用问题 例4 轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度。 分析：此题的等量关系很明显：顺水航行30千米的时间= 逆水中航行20千米的时间，即 顺水航行速度千米30=逆水航行速度 千米 20．设船在静水中的速度为x 千米／时，又知水流速度，于是顺水航行速 度、逆水航行速度可用未知数表示，问题可解决． 步骤：①这个问题涉及到的量有 ②等量关系是 ③设 ⑤列方程为八年级数学经典练习题(分式及分式方程)汇总
附录2(分式函数求值域方法总结)
分式的典型练习题(打印版)
一次分式函数最值问题
分式及分式方程精典练习题分析
一次分式型函数学案
有理函数之积分(部分分式法)
《分式》典型练习题
一次分式函数
求分式函数值域的几种方法-精品
反比例、分式函数
次分式函数值域的求法
分式函数求值域
初二数学分式典型例题复习和考点总结
一次分式函数最值问题
分式加减法经典习题
题型08 必考的几类初等函数(分式一次型函数、二次函数、指数函数)(原卷版)
分式方程(经典题型)