高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲不定方程

第七讲不定方程

前我们学习的方程一般都有唯一解，比如方程 3x 4 19只有一个解x 5，方程组

x 2y 5

只有一组解 2x 3y 8

什么样的方程，解不唯一呢？举个简单的例子，二元一次方程

唯一，因为每当y 取定一个数值时，x 就会有相应的取值和它对应，使方程成立，这样

一来就会有无穷多组解.

通常情况下，当未知数的个数大于方程个数时.，这个方程.(或 方程组).就会有无穷多个解.

可是方程的解那么多， 究竟哪个才是正确的呢？应该说， 如果不加任何额外的限制条件， 这 无穷多个解都是正确的. 但在实际情况中，我们通常会限定方程的解必须是自然数，

这

样一来，往往就只有少数几个解能符合要求，甚至在某些情况下所有的解都不对.

x 2y 5的解就不

対刖?所以这杆的方程才 囚平处方程啊 x+y=10

陕。一个右程龙么含右两个木 如

数啊”这样的力稈论町好 多桦

1

方程个数小于未知数个数

怖方 程如叫不罡方4T.

不定方程，顾名思义就是“不确定”的方程，这里的不确定主要体现在方程的解上.

之

本讲我们要学习的就是这样的一类方程（或方程组）：它们所含未知数的个数往往求下列方程的自然数解:

(1) x 2y 5 ;(2) 2x 3y 8 ;

(4) 4x 5y 20 .

本讲我们要学习的就是这样的一类方程（或方程组） ：它们所含未知数的个数往往

大于方程的个数， 而未知数本身又有一定的取值范围， 这个范围通常都是自然数——这 类方程就是“不定方程” ．

形如 ax by c （ a 、b 、c 为正整数）的方程是二元一次不定方程的标准形式．解 这样的方程， 最基本的方法就是枚举． 那怎样才能枚举出方程的全部自然数解呢？我们 下面结合例题来进行讲解．

例1．甲级铅笔 7角一支，乙级铅笔 3角一支，张明用 5元钱买这两种铅笔， 钱恰好花完． 请 问：

张明共买了多少支铅笔？

「分析」设张明买了甲级铅笔 x 支，乙级铅笔y 支，可以列出不定方程：7x 3y 50, 其中x 和y 都是自然数.怎么求解呢？

x 19 x 22 x 25

、、

y 4 y 2 y 0

的不定方程的自然数解时,

我们可以先找出一组解,之后其余的所有解都可由这一组解的

次变化 a 得到（注意变化的方向相反, 一个增加, 另一个就得减少, 才能保证 ax by 的 大小不变）

练习 1、（1）求 3x 5y 35的所有自然数解；（2）求11x 12y

160 的所有自然数解.

般地,如果

m

是ax n

by xm

ax by

c 的一组解,那么

yn 这

na

am ab

bn ab

am bn c .另外,

也是 ax by c 的一组解,理由相同.

2x 这条性质有什么用呢？我们以求

x 10

一组自然数解

x 10

.应用上面的规律,

y 10 然数）,所得结果仍然是

x 25

都是 2x 3y y0

增加 2,所得结果也是 b

（当n a 时）也是

3y 50的自然数解为例, 2x 3y 50的一组解, 所以

y 50的自然数解.另外x 每次减少

2x 是2x 3y 50的自然数解. 而且这样就已经求出了

2x 是：

因 b . ,

（当 m b 时） a

我们容易看出它有

13 x 16 x 19 x 22

8 、 y 、 6 y 、 4 y 2 、 3（只要 x 还是自然数） ,y 每次 x 7

x 4 x 1

、

、

也都

y

12 y 14 y

16

3y 50的自然数解,所以

50 的所有自然数解,它们

3y x 每次增加3, y 每次减少2 （只要y 还是自

x x 16 y6 ax by c （ a 、b 、c 为正整数）

7 x 10 x 13 、、 12 y 10 y 8 x 值每次变化 b , y 值每

例2．采购员去超市买鸡蛋．每个大盒里有23 个鸡蛋，每个小盒里有16 个鸡蛋．采购员要恰好买500 个鸡蛋，他一共要买多少盒？

「分析」采购员要买多少个大盒，多少个小盒？大盒个数与小盒个数之间有什么联系？

练习2、点心店里卖大、小两种蛋糕．一个大蛋糕恰好够7 个人吃，一个小蛋糕恰好够

4 个人吃，现在有100 个人要吃蛋糕，应该准备大、小蛋糕各多少个才不浪费？如果每个大蛋糕

10 元，每个小蛋糕7 元，那么至少要花多少钱？

前面的两道例题只要求方程的解是自然数即可，但有的问题除了要求“解必须是自然数”外，还会有一些其它的约束．下面我们就来看几道这样例题．

例3．甲、乙两个小队去植树．甲小队有一人植树12 棵，其余每人植树13 棵；乙小队有一人植树8 棵，其余每人植树10 棵．已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：甲、乙两小队共有多少人？

「分析」不妨设甲小队有X人，乙小队有y人?由“两小队植树棵数相等”，你能列出一个关于x与y的不定方程吗？所列出来的不定方程又该如何求解？

练习3、天气炎热，高思学校购置了大、小空调若干．每台大空调每天耗电38 度，每台小空调每天耗电13 度．已知所有大空调日耗电量之和恰好比所有小空调日耗电量之和少 1 度．请问：单位里最少购进了多少台空调？

例4．将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24 厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分最少是多少厘米？

「分析」不妨设已经截出了x根长36厘米的管子和y根长24厘米的管子.合金铝管如果刚好能够被用完，方程应该怎么列？列出来的方程有自然数解吗？

练习4、酒店里有500 升女儿红，李一白每次路过这里就打走35 升，杜二甫每次路过这里就打走21 升．那么若干天后，酒店剩余的女儿红最少是多少升？

二元一次不定方程只要找到一组自然数解，就能利用方程系数有规律地写出所有自然

数解?而含有更多未知数的不定方程又当如何求解呢?

例5.我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？这个

问题是说：每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱?要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？

「分析」题中有几个未知量？由这些未知量你能列出几个方程？

:；《张丘建算经》

■- 张丘建，北魏清河（今山东邢台市清河县）人，中国古代数学家，著有《张丘建算

.经》.该书的体例为问答式，条理精密、文辞古雅，是中国古代数学史上少有的杰作.

；；《张丘建算经》现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，

:各种等差数列问题的解决，某些不定方程问题的求解. 百鸡问题就是其中一个著名的不定方程问题.

- 张丘建所处的年代是中国古代的南北朝时期?尽管当时的中国战火连年，朝代更迭

::频繁，且一直处于分裂状态，但数学发展的脚步依然没有停下?与《张丘建算经》同时

代的算经还有《孙子算经》和《夏侯阳算经》，而与张丘建本人同时代的数学家还有大＞名鼎鼎的祖冲之.

例6.卡莉娅到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖

10.4元一包，最后她共花了360元，且每种糖都买了?请问：卡莉娅买了多少包奶糖？

「分析」题目中出现了四种糖果，我们不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有x 包、y包、z包和w包，再由已知的单价、总价可以列出方程13x 17y 7.8z 10.4w 360 .这是一个四元一次方程，如果按通常的解法枚举出所有

解，势必会有太多可能性需要讨论，过于繁琐?而且题目也没要我们求出所有解，只要我们求出奶糖的数量即可.那有没有办法不求其它糖果，只求奶糖的数量呢？

练习6、求22x 26y 33z 65w 194的所有自然数解.

气象学家Lorenz 提出一篇论文，名叫“一只蝴蝶拍一下翅膀会不会在德克萨斯州引起 龙卷风？”论述某系统如果初期条件差一点点，结果会很不稳定，他把这种现象戏称做「蝴 蝶效应」?就像我们投掷骰子两次，无论我们如何刻意去投掷，两次的物理现象和投出的点 数也不一定是相同的.

Lorenz 为何要写这篇论文呢?

这故事发生在1961年的某个冬天，他如往常一般在办公室操作气象电脑.平时，他只 需要将温度、湿度、压力等气象数据输入，电脑就会依据三个内建的微分方程式，计算出下 一刻可能的气象数据，因此模拟出气象变化图.

这一天，Lorenz 想更进一步了解某段纪录的后续变化， 他把某时刻的气象数据重新输入

电脑，让电脑计算出更多的后续结果?当时，电脑处理数据资料的数度不快，在结果出来之 前，足够他喝杯咖啡并和友人闲聊一阵?在一小时后，结果出来了，不过令他目瞪口呆?结 果和原资讯两相比较，初期数据还差不多，越到后期，数据差异就越大了，就像是不同的两 笔资讯.而问题并不出在电脑，问题是他输入的数据差了

0.000127,而这些微的差异却造成

天壤之别?所以长期的准确预测天气是不可能的.

蝴蝶效应

课 内 外 堂

作业

5x 2 y 4z 60

1. （1）求5x 7y 31的所有自然数解；（2）求5x 2y 4z 60

的所有自然数解．x 2 y z 36

2. 在一次植树节的活动中，参加活动的男生每个人种11 棵树，女生每个人种7棵树，最

后所有人一共种了100棵树，那么参加活动的一共有多少人？

3. 一张纸上写有25个1.21 和25个1.3．现在要划去其中的一些数，使留下来的数的总和

为20.08，那么应划去多少个 1.3？

4. 樱木同学特别喜欢吃包子，每天早上都到学一食堂买包子吃．

（1）第一天早上，樱木同学花了6元买了一些冬菜包和豆香包，两种包子他都买了．已知冬菜包每个7 角，豆香包每个 5 角，那么樱木同学一共买了多少个包子？

（2）第二天早上，樱木同学去学一食堂的路上遇到了晴子．于是樱木邀请晴子一起去吃包子．到学一食堂后，两人除了吃冬菜包和豆香包以外还点了几串羊肉串．已知羊肉串每串1 .2元，最后一共花了18元，所点包子与羊肉串数量总和是25．那么两人最多吃了多少串羊肉串？

5. 甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书．已知甲班有1 人捐6册，有2人各捐7册，其

余都各捐11 册；乙班有 1 人捐6册，3人各捐8册，其余各捐 1 0册；丙班有2人各捐

4册，6人各捐7册，其余各捐9册．已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多

101 册，且每个班捐赠的册数都在400与600之间．各班各有多少人？

第七讲不定方程

例题：

例题1. 答案：14 或10

详解：由于方程两边除以 3 的余数相同, 7x 3y x mod3 , 50 2 mod3 ,所以x

除以3余2 .又因为7x 50，所以x是不超过7的自然数，只能取2或5.当x 2时，

y 50 2 7 3 12 , x y 14；当x 5 时, y 50 5 7 3 5 , x y 10．所

以张明共买了14支或10支铅笔．

例题2. 答案：26

详解：设买了大盒鸡蛋x盒，小盒鸡蛋y盒，则23x 16y 500 .考虑方程两边除以16 的余数，得：7x除以16的余数是4.首先要求7x是4的倍数，所以x是4的倍数，验证x 4、8、12、……发现满足7x除以16的余数是4的最小x值是12,相应的y的值是14,即x 12．由于12 16 且14 23,

所以方程没有其它自然数解,采购员一共

y 14

买了12 14 26 盒鸡蛋．

例题3. 答案：76

详解：设甲、乙两小队分别有x人和y人.则两队植树棵数分别为13x 1棵和10y 2

棵.由分析得：10y 13x 1 .将y 0、1、2、……代入方程验证x是否是自然数，可以求出方程的y

值最小的一组自然数解y 4，此时每队的植树棵数均为38棵.

x3

方程的所有其他的自然数解都可以由进行若干次的“y值增加13且同时x值增加10”

得到（也就是方程的其他所有自然数解是y 17, y 30, y 43,……），每次“ y

x 13 x 23 x 33

值增加13且同时x值增加10”意味着每队植树棵数增加130棵，38棵要变为四百多棵，意味

着要增加 3 次，符合要求的自然数解是y 43.所以甲队有33 人，乙队有

x 33

43 人，两队共有33 43 76 人.

例题4. 答案：8

详解：设已经截出了x根长36厘米的管子和y根长24厘米的管子，那么被截出的管

子一共长36x 24y厘米.由36,24 12，得：36x 24y一定是12的倍数.而380不是

12 的倍数，所以36x 24y 380是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽，那么最少会剩下

多少厘米呢？

由于36x 24y —定是12的倍数，小于 380且能被12整除的最大自然数是

372，而

36x 24y 372的自然数解是存在的，如

X 1

，也就是截出1根长36厘米的管子和

y 14

14根长24厘米的管子，能够使得截出的管子总长度达到最大值

372厘米?所以剩余

部分最少是380

372 8厘米.

x y z 100

详解：设公鸡、母鸡和小鸡分别买了 x 只、y 只和z 只?依题意，得： 1

?

要

5x 3y - z 100 3

求这个方程的自然数解， 我们用“消元”的想法把它转化成二元一次不定方程求自然 数解的问

题.我们选择“消去” z :将第二个方程乘以3,然后减去第一个方程， 得:

例题6.答案：12

详解：不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有

x 包、y 包、z 包和w 包，则

13x 17y 7.8z 10.4w 360 .把系数都化成整数，得：

65x 85 y 39z 52w 1800 .由于

我们只关心奶糖的数量，我们将未知数

y 分为一组，其余未知数分为另一组：

65x

39z 52w

85y

1800 .也就是 13 5x 3z 4w 85y

1800 .令 u 5x 3z 4w ，则

13u 85y 1800 .它的自然数解只有

U 60

，所以阿奇共买了 12包奶糖.

y 12

x 0

x 4

x 8

x 12

有自然数解是： y 25、 y 18、 y 11和 y 4 .所以我们有四种符合要求的买

z 75 z 78 z 81 z 84 x y 4

z 值分别为75、78、81、84都是自然数，于是原不定方程的所

鸡方案：公鸡 0只，母鸡25只，小鸡75只；公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；公

例题5.答案：有四种符合要求的买鸡方案：公鸡 母鸡18只，小鸡78只；公鸡8只，母鸡 小鸡84只 0只，母鸡25只，小鸡75只；公鸡4只, 11只，小鸡81只；公鸡12只，母鸡4只，

14x 8y 200，即 7x 4y

100，它的所有自然数解是

x 0 x 4 x 8 、 、

y

25

y 18

y

11

12 .它们对应的

鸡8只，母鸡 11只，小鸡81只；公鸡12只，母鸡4只，小鸡

84只.

练习：

1. 答案： ( 1 )有三组解： x 0 ； x 5

；

x 10

10

；(2)有一组解：

x8

y 7 y 4

y

1 y6

简答： ( 1)考虑方程两边除以 3 的余数； ( 2) 考虑方程两边除以

11 的余数

2.

答案：有四种购买方案： 1 2个大蛋糕， 4个小蛋糕； 8个大蛋糕， 11 个小蛋糕； 4个大 蛋糕， 18 个小蛋糕； 0 个大蛋糕， 25 个小蛋糕；第一个方案最省钱，只要花

12 10 4 7 148 元 简答：求不定方程 7x 4y 100的自然数解即可.

3. 答案： 4 台

简答： 38x 13y 1 的最小自然数解

为

x 1， 最

少需要大空调 1 台，小空调 3 台

y

3

4. 答案：

3

简答： 注意 35x 21y 是7的倍数.

x7 x 6

x 5

5. 答案：

( 1) 有三组解： y 1 、 y

3 、 y

5； (2) 1； 2； 6

z2 x 1

x

简答： ( 1) 消去 x 可解；( 2)求 x y

z 9

的正整数解即可.

16x

12y 1 0z 100

6 x 0

15 ； y 14

0 z 8

3的余数；(2)消去未知数y ,转化成二元一次不定方程.

2. 答案： 12

x4

x 4

，所以参加活动的共有 4 8 12 人. y8

3. 答案： 17

作业：

x x2 1. 答案：( 1 )

x 2

；( 2) y

y3

z 简答：( 1 )考虑方程两边除以

简答：由 11x 7y 100 ，得：

简答：设留下来的数中有x 个 1.21 和y 个 1.3，则 1.21x 1.3y 20.08.由于总和的百分

位是8，说明x 8或18.仅当x 8相应的y 是整数，求得y 8，所以应该划去25 8 17 个 1.3.

4. 答案：( 1) 10；(2) 7

x5

简答：( 1)设买了冬菜包x 个，豆香包y 个.由7x 5y 60，得：x 5

，所以樱木同

y5

x24x17x10

学一共买了5 5 10个包子；( 2)由7x 5y 12z 180

,得：y0、

y5、y10 x y z 25135

z z z

x3

或y 15 ，所以羊肉串最多有7 串. z7

5. 答案：甲51 ；乙53；丙49 简答：设甲、乙、丙三个班分别有x 人、y 人、

z 人，则由已知可得：

20 11(x 3) 30 10(y 4) 28 11x 31 10y

，即，所以可知x 是除以10 余 1 的数，y

30 10(y 4) 50 9(z 8) 101 10y 89 9z

是除以9余8的数.又因为每班捐书册数在400与600之间，所以x只能取51,此时

才同时满足y是除以9余8的数，即为53,则z为49.

x 1 x 4 x

、、

y 16 y 14 y 这就告诉我们,在求形如

高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲 不定方程

第七讲 不定方程 不定方程，顾名思义就是“不确定”的方程，这里的不确定主要体现在方程的解上．之前我们学习的方程一般都有唯一解，比如方程3419x +=只有一个解5x =，方程组25238x y x y +=??+=?只有一组解12x y =??=? ． 什么样的方程，解不唯一呢？举个简单的例子，二元一次方程25x y +=的解就不唯一，因为每当y 取定一个数值时，x 就会有相应的取值和它对应，使方程成立，这样一来就会有无穷多组解．通常情况下，当未知数的个数大于方程个数时．．．．．．．．．．．．．．，这个方程（或．．．．．．方程组）就会有无穷多个解．．．．．．．．．．．． ． 可是方程的解那么多，究竟哪个才是正确的呢？应该说，如果不加任何额外的限制条件，这无穷多个解都是正确的．但在实际情况中，我们通常会限定方程的解必须是自然数，这样一来，往往就只有少数几个解能符合要求，甚至在某些情况下所有的解都不对． 练一练 求下列方程的自然数解： （1）25x y +=； （2）238x y +=； （3）321x y +=； （4）4520x y +=．

本讲我们要学习的就是这样的一类方程（或方程组）：它们所含未知数的个数往往大于方程的个数，而未知数本身又有一定的取值范围，这个范围通常都是自然数——这类方程就是“不定方程”． 形如ax by c +=（a 、b 、c 为正整数）的方程是二元一次不定方程的标准形式．解这样的方程，最基本的方法就是枚举．那怎样才能枚举出方程的全部自然数解呢？我们下面结合例题来进行讲解． 例1． 甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完．请 问：张明共买了多少支铅笔？ 「分析」设张明买了甲级铅笔x 支，乙级铅笔y 支，可以列出不定方程：7350x y +=，其中x 和y 都是自然数．怎么求解呢？ 练习1、（1）求3535x y +=的所有自然数解；（2）求1112160x y +=的所有自然数解． 一般地，如果x m y n =??=?是ax by c +=的一组解，那么x m b y n a =+??=-? （当n a ≥时）也是ax by c +=的一组解．这是因为()()()()a m b b n a am ab bn ab am bn c ++-=++-=+=．另外，x m b y n a =-??=+? （当m b ≥时）也是ax by c +=的一组解，理由相同． 这条性质有什么用呢？我们以求2350x y +=的自然数解为例，我们容易看出它有 一组自然数解1010x y =??=?．应用上面的规律，x 每次增加3，y 每次减少2（只要y 还是自然数），所得结果仍然是2350x y +=的一组解，所以138x y =??=?、166x y =??=?、194x y =??=?、222x y =??=?、250x y =??=?都是2350x y +=的自然数解．另外x 每次减少3（只要x 还是自然数），y 每次增加2，所得结果也是2350x y +=的自然数解，所以712x y =??=?、414x y =??=?、116x y =??=? 也都是2350x y +=的自然数解．而且这样就已经求出了2350x y +=的所有自然数解，它们是： 116x y =??=?、414x y =??=?、712x y =??=?、1010x y =??=?、138x y =??=?、166x y =??=?、194x y =??=?、222x y =??=?、250x y =??=?． 这就告诉我们，在求形如ax by c +=（a 、b 、c 为正整数）的不定方程的自然数解时，我们可以先找出一组解，之后其余的所有解都可由这一组解的x 值每次变化b ，y 值每次变化a 得到（注意变化的方向相反，一个增加，另一个就得减少，才能保证ax by +的大小不变）．

小学六年级奥数工程问题及答案

小学六年级奥数工程问题及答案 工程问题 1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？ 解： 1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率 9/80×5＝45/80表示5小时后进水量 1-45/80＝35/80表示还要的进水量 35/80÷（9/80-1/10）＝35表示还要35小时注满 答：5小时后还要35小时就能将水池注满。 2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？ 解：由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。 又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。 设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天 1/20*（16-x）+7/100*x＝1 x＝10 答：甲乙最短合作10天 3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？ 解： 由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量 （1/4+1/5）×2＝9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。 根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。 所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小时的工作量。 1/10÷2＝1/20表示乙的工作效率。 1÷1/20＝20小时表示乙单独完成需要20小时。 答：乙单独完成需要20小时。 4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？ 解：由题意可知 1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲＝1 1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5＝1

四年级奥数解方程例题

我们学过这样填括号的题，如( )+8=15．括号里的数怎样求解呢？ 这个我们可以利用加减法的关系来求解，我们知道，一个加数十另一个加数=和，那么，求其中的一个加数，就可以用和减去另一个加数，因为15 -8=7，所以括号里填7．括号里的未知数还可以用x来表示，那么x+8=l5．X=15-8．X=7． 这就是运用一元一次方程来解决问题，显得十分简便，本讲内容主要向大家介绍它的意义和作用． 1．概念 (1)方程：含有未知数的等式，叫做方程； (2)方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； (3)解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 2．解方程的依据 解方程主要依据加法与减法、乘法与除法的互逆关系： 一个加数=和一另一个加数 被减数=差十减数 减数=被减数—差 一个因数=积÷另一个因数 被除数=商×除数 除数=被除数÷商 3．解方程的步骤 (1)根据四则运算中各部分间的相互关系，求出x； (2)把x的值代入原方程检验． 【例1】在2x+l、3+5=6+2、x-1<5、3x—15中，是方程，这个方程的解是 分析方程必须符合两个条件：一是“等式”，二是“含有未知数”．2x+1虽含有未知数，但不是等式；3+5=6+2虽是等式但不含未知数，也不是方程；x-1<8是不等式；3x=15既是等式又含有未知数，所以它是方程．当x=5时，左右两边的值都是15，所以x=5是方程3x=15的解． 解在2x+l、3+5=6+2、x-1<8.、3x = 15中，3x=15是方程，这个方程的解是x=5．说明方程是等式，等式不一定是方程，两者之间关系如图所示． 【例2】解方程2x+5=17. 解把2x看成一个加数，根据“一个加数=和一另一个加数”得2x =17 -5，化简得2x=12，X=6． 检验：把x=6代人原方程得左边=2×6+5=17, 则左边=右边，所以x=6原方程的解．说明(1)以后解方程，除要求写出检验过程的以外，都用口算进行检验。 (2)因为方程是含有未知数的等式，所以每一个方程都有一个等号和两个相等的式子，在解方程的过程中不能连等，一般每一行中只写一个方程，而且方程中的等号要写得上下对齐． (1)填空题： ①____+5=17 ②30—=12 ③1000×____=0 ④÷4=8 (2)解下列方程： ①x+2.5=3 ②x—0.l=1 ③999一x=9 ④x÷5=20÷4 【例3】38与一个数的4倍的和是70，求这个数． 解：设这个数为x

六年级奥数竞赛试题及答案

六年级奥数竞赛试题 一.计算: ⑴. =?+???+?+?+?100991431321211 ⑵. 13471711613122374?+?+?= ⑶. 222345567566345567+??+= ⑷. 45 13612812111511016131+++++++= 二.填空: ⑴.甲、乙两数是自然数,如果甲数的 65恰好是乙数的4 1.那么甲、乙两数之和的最小值是 . ⑵.某班学生参加一次考试,成绩分优、良、及格、不及格四等.已知该班有21的学生得优,有31的学生得良,有71的学生得及格.如果该班学生人数不超过60人,则该班不及格的学生有 人. ⑶.一条公路,甲队独修24天完成,乙队独修30天完成.甲乙两队合修若干天后,乙队停工休息,甲队继续修了6天完成,乙队修了 天. ⑷. 用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字,能够组成 个没有重复数字的三位数. ⑸.“IMO ”是国际数学奥林匹克的缩写,把这三个字母写成三种不同颜色,现有五种不同颜色的笔,按上述要求能写出 _______种不同颜色搭配的“IMO ”. ⑹不定方程172112=+y x 的整数解是 . ⑺一个正方体的表面积是384平方分米，体积是512立方分米，这个正方体棱长的总和是 .

⑻. 把19个边长为2厘米的正方体重叠起来堆成如右图所示的立方体, 这个立方体的表面积是 平方厘米. ⑼.两车同时从甲乙两地相对开出,甲每小时行48千米,乙车每小时行54千米,相遇时两车离中点36千米,甲乙两地相距 千米. ⑽.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有 _人. ⑾.从学校到少年宫有4条东西的马路和3条南北的马路相通(如图),李楠从学校出发,步行到少年宫(只许向东或向南行进),最多有 种走法. ⑿.算出圆内正方形的面积为 . ⒀.如图所求,圆的周长是厘米,圆的面积与长方形的面积正好相等.图中阴影部分的周 长是 厘米.)14.3(=π ⒁.一付扑克牌共有54张(包括大王、小王),至少从中取 张牌,才能保证其中必有3种花色. ⒂.规定:6※2=6+66=72,2※3=2+22+222=246, 1※4=1+11+111+1111=※5= . ⒃.甲、乙、丙、丁四位学生在广场上踢足球，打碎了玻璃窗，有人问他们时，他们这样说： 甲：“玻璃是丙也可能是丁打碎的”； 乙：“是丁打碎的”； 丙：“我没有打坏玻璃”； 丁：“我才不干这种事”； 深深了解学生的老师说：“他们中有三位决不会说谎话”。那么，到底是谁打碎了玻璃 答: 是 打碎了玻璃。 北 少年宫 学校6厘米

小学数学六年级奥数竞赛试题及答案详解

小学数学六年级奥数竞赛试题及答案详解 （时间：90分钟） 姓名： 成绩 一、填空题： 1. 11111111 1357911131517612203042567290 ++++++++=（ ） 2. “趣味数学”表示四个不同的数字： 则“趣味数学”为（ ） 3. 某钢厂四月份产钢8400吨，五月份比四月份多产 ，两个月产量和正好是第二季度计划产量的75％，则第二季度计划产钢（ ）吨． 4. 把 化为小数，则小数点后的第100个数字是（ ），小数点后100个数字的和是（ ） 5. 水结成冰的时候，体积增加了原来的 ，那么，冰再化成水时，体积会减少（ ） 6. 两只同样大的量杯，甲杯装着半杯纯酒精，乙杯装半杯水．从甲杯倒出一些酒精到乙杯内．混合均匀后，再从乙杯倒同样的体积混合液到甲杯中，则这时甲杯中含水和乙杯中含酒精的体积（ ）大 7. 加工一批零件，甲、乙二人合作需12天完成；现由甲先工作3天，然后由乙工作2 天还剩这批零件的 没完成.已知甲每天比乙少加工4个则这批零件共有（ ）个 8. 一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图所示．它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米，瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米，则瓶内酒精体积是（ ）立方厘米． 9. 有一个算式，上边方格里都是整数，右边答案只写出了四舍五入后的 近似值.则算式上边三个方格中的数依次分别是（ ） 10. 一个四位数，使它恰好等于两个相同自然数的乘积，则这个四位数是（ ） 二、解答题： 11. 如图，阴影部分是正方形，则最大长方形的周长是多少厘米？ 1 7 1 7 111 4 5 1.16357++≈xxyy

奥数 解方程

解方程 解方程中需要掌握的一般方法： 一、 二、 三、合并含未知数的式子：根据乘法分配律 四、去括号:乘法分配律; 括号前面是减号,去掉括号要改号;括号前面是加号,去掉括号不改号. 五、两边是分数形式的方程，运用交叉相乘法，转化为不是分数形式的方程。 六、解方程步骤要规范，求出得数后可以检验。 解方程实际上就是利用等式的性质将等式一步一步变形，最后变成x= 的形式，就求出了未知数的值，即方程的解。 解方程的一般步骤： （1）去括号； （2）整理不含未知数的数：利用等式的基本性质消去等号一边的数 （3）如果等号左右两边都出现含未知数x 的式子，则要利用等式的基本性质把等号一边的x 消掉； （4）合并含未知数x 的式子； （5）使含未知数x 的式子出现在等号的一边，不含未知数的数出现在等号的另一边； （6）等号左右两边同除以未知数x 前的乘数； 补充：【把一个式子从等号的一边移到另一边，要改变式子的符号。一般情况下，把含有未知数的式子移到等号的右边，把其他数移到等号的右边。（4x=3x +50=>4x -3x =50;5+2x=7=>2x=7-5）】 一、利用等式的基本性质： 20-x=9 5÷x=3 2(x+1)=6 43-5x=23 (10-7.5)x=0.125×8 (5x-12) ×8=24 (3x-101)÷2=8 二、根据乘法分配律，合并含未知数的式子： 当出现多个含未知数的式子时，我们要利用乘法分配律，将含有未知数的式子合并 等号左右两边都出现含未知数x 的式子，则要利用等式的基本性质把等号一边的x 消掉 5x=50+4x 8-2x=9-4x 9x-400=6x+200 6437+=-x x 三、去括号：①乘法分配律; ②括号前面是减号,去掉括号要改号;括号前面是加号,去掉括号不改号. 在方程中，如果出现除号，只要把方程两边同乘以除数 5÷（x+1）=2 ()72423-=÷+x x ()()52144=+÷+x x 四、两边是分数形式的方程，运用交叉相乘法，转化为不是分数形式的方程。 （1）324004006.0=++x x (2)2723=-x (3) 1579=-+x x (4) 37615=+x 综合练习 设未知数解方程 （1）审题：分析题意，分析题中的数量关系，找出等量关系 （2）设未知数，一般用字母x 表示 （3）解方程

小学六年级奥数试题

小学六年级奥数试题 1、已知自然数n满足n5=1889568，求n。 2、计算：（2+5+8+…+1997）—（1+4+7+…+1996）。 3、甲、乙两人速度的比是13∶11，两人分别从A、B两地同时出发，若相向而行，半个小时可相遇，若同向而行，问甲需几个小时才能追上乙？ 4、一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。若甲做1小时后，乙接替甲做一小时，再由甲接替乙做一小时…两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？ 5、一串数：2，0，0，6，1，0，1，3，2，0，0，6，1，0，1，3，2，0，0，6，1，0，1，3，2，0，…共有xx个数字，问：（1）一共写了多少个0？ （2）这xx个数字的和是多少？ 6、5点过几分，分针与时针成120度角？ 7、一人以1米/秒的速度沿铁路边步行，一列长260米的火车迎面驶来，从他身边通过花去13秒钟。求火车的速度。 8、有两块合金，第一块含金90%，第二块含金80%，利用它们铸成一块含金82.5%的合金240克，问第一块合金和第二块合金各应取多少克？ 9、把28拆成若干个自然数（可以相同）的和，再求出若干个自然数的积。问如何拆才能使乘积最大？ 10、甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印了不同的号码。赵说：

甲是2号，乙是3号；钱说：丙是4号，乙是2号；孙说：丁是2号，丙是3号：李说：丁是1号，乙是3号。又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么，丙的号码是多少？ 11、求方程5x+10y=145的自然数解。 12、一个长方体的高减少2厘米后，成为了一个正方体，表面积则减少了48平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 13、把一个棱长为3厘米的正方体分割成若干个小正方体，这些小正方体的棱长必须是整数。如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么，最少可以分割成多少个小正方体？ 14、有20个自然数，其中奇数比偶数多，它们的总和是100，那么这20个数中至少有多少个偶数？ 15、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不增加，反而以固定的数度在减少。已知某块牧场的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天，照此计算可供多少头牛吃10天？ 16、一块西红柿地今年获得丰收。第一天收摘了全部的 8 3 ，装了3筐还余12千克，第二把剩下的全部收完，正好装了6筐。问：这块地共收摘了多少千克西红柿？

小学五年级经典奥数题：列方程解应用题

小学五年级经典奥数题：列方程解应用题 1、有10分和20分的邮票共18张，总面值为2.80元，问10分和20分邮票各有多少张? 2、小兔妈妈采蘑菇，晴天每天可采16只，雨天每天只能采11只，它一共采了195只，平均每天采13只，这几天中有几天下雨?几天晴天? 3、五年一班有52人做手工，男生每人做3件，女生每人做2件，已知男生比女生多做36件，求五年一班男女生各有多少人? 4、学校组织暑假旅游，一共用了10辆车，大客车每辆坐100人，小客车每辆坐60人，大客车比小客车一共多坐了520人，问大小客车各几辆? 5、一架飞机飞行于两城之间顺风需要6小时30分，逆风时需要7小时，已知风速是每小时26千米，求两城之间的距离是多少千米? 6、甲、乙两人分别从AB两地同时出发，如果两人同向而行，经过13分钟，甲赶上乙。如两人相向而行，经过3分钟两人相遇。已知乙每分钟行25千米，问AB两地相距多少米? 7、有大、中、小卡车共42辆，每次共运货315箱，已知每辆大卡车每次能运10箱，中卡车每辆每次运8箱，小卡车每辆每次可运5箱，又知中卡车的辆数和小卡车同样多，求大卡车有多少辆? 8、蜘蛛有8只脚，晴蜓有6只脚和2双翅膀，蝉有6只脚和一对翅膀，现在有这三种小虫共16只，共有110条腿，14对翅膀，问每只小虫各有多少只?

9、学校组织新年联欢会，用于奖品的铅笔、圆珠笔、钢笔共232支，价值100元，其中铅笔的数量是圆珠笔的4倍，已知每支铅笔0.2元，每支圆珠笔0.9元，每支钢笔2.1元。三种笔各值多少元? 10、一个两位数，个位数是十位上的数的3倍，若把这个十位上的数与个位上的数对调，那么所得的两位数比原来的大54，求原两位数。 11、一个两位数，个位上的数字与十位上的数字和为10，如果把十位的数字与个位上数字对调，新数就比原数少36，求原来的两位数? 12、有一个三位数，其各位数字之和是16，十位数字是个位数字与百位数字之和，若把百位数字与个位数字对调，那么新数比原数在594，求原数?

六年级奥数考点：不定方程问题

考点：不定方程问题 一、知识要点 当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x－3y＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x－3y＝9的解有： x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6 y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3 如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。 解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。 对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。 解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。 二、精讲精练 【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。 先将原方程变形，y＝23－3x 4 。可列表试验求解： 所以方程3x+4y＝23的自然数解为 X=1 x=5

Y=5 y=2 练习1 1、（课后）求3x+2y＝25的自然数解。 2、求4x+5y＝37的自然数解。 3、求5x－3y＝16的最小自然数解。 【例题2】求下列方程组的正整数解。 5x+7y+3z＝25 3x－y－6z＝2 这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。 5x+7y+3z＝25 ① 3x－y－6z＝2 ② 由①×2+②，得13x+13y＝52 X+y＝4 ③ 把③式变形，得y＝4－x。 因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3. 当x＝1时，y＝3 当x＝2时，y＝2 当x＝3时，y＝1 把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。 x＝2，y＝2时，z也无正整数解。 x＝3时，y＝1时，z＝1.

重点小学新六年级数学奥赛竞赛题附参考答案

学习奥数的重要性 小学六年级数学奥赛竞赛题1.学习奥数是一种很好的思维训练。奥数包含了发散思维、收敛思维、换元思维、反向思维、逆向思维、逻辑思维、空间思维、立体思维等二十几种思维方式。通过学习奥数，可以帮助孩子开拓思路，提高思维能力，进而有效提高分析问题和解决问题的能力，与此同时，智商水平也会得以相应的提高。 2.学习奥数能提高逻辑思维能力。奥数是不同于且高于普通数学的数学内容，求解奥数题，大多没有现成的公式可套，但有规律可循，讲究的是个“巧”字；不经过分析判断、逻辑推理乃至“抽丝剥茧”，是完成不了奥数题的。所以，学习奥数对提高孩子的逻辑推理和抽象思维能力大有帮助 3.为中学学好数理化打下基础。等到孩子上了中学，课程难度加大，特别是数理化是三门很重要的课程。如果孩子在小学阶段通过学习奥数让他的思维能力得以提高，那么对他学好数理化帮助很大。小学奥数学得好的孩子对中学阶段那点数理化大都能轻 松对付。 4.学习奥数对孩子的意志品质是一种锻炼。大部分孩子刚学奥数时都是兴趣盎然、信心百倍，但随着课程的深入，难度也相应加大，这个时候是最能考验人的：少部分孩子凭着天分，凭着在困难面前的百折不挠和愈挫愈坚的毅力，坚持了下来、学了进去、收到了成效；一部分孩子在家长的“威逼利诱”之下，硬着头皮熬了下来；不少孩子更是或因天资不足、或惧怕困难、或受不了这份苦、再或是其它原因而在中途打了退堂鼓。我以为，只要能坚持学下来，不论最后取得什么样的结果，都会有所收获的，特别是对孩子的意志力是一次很好的锻炼，这对他今后的学习和生活都大有益处。 小学六年级数学奥赛竞赛题 一、计算 1．×+÷+×． 2．×+×． 3．1999+999×999． 4．8+98+998+9998+99998． 5．（﹣×25十75%×）÷15×1997． 二、填空题 6．六（1）班男、女生人数的比是8：7． （1）女生人数是男生人数的_________（2）男生人数占全班人数的_________ （3）女生人数占全班人数的_________（4）全班有45人，男生有_________人． 7．甲数和乙数的比是2：5，乙数和丙数的比是4：7，已知甲数是16，求甲、乙、丙三个数的和是_________．8．甲数和乙数的比7：3，乙数和丙数的比是6：5，丙数是甲数的_________，甲数和丙数的比是_________：_________． 9．的倒数是_________，的倒数是_________． 10．一根铁丝长3米，剪去1/3后还剩_________米；一根铁丝长3米，剪去1/3米后还剩_________米．11．甲、乙合做一件工作，甲做的部分占乙的，乙做的占全部工作的_________． 12．周长相等的正方形和圆形，_________的面积大． 13．_________÷40=15：_________═=_________% 14．把、、37%、按从大到小的顺序排列是_________． 15．4米是5米的_________%，5米比4米多_________%，4米比5米少_________%

六年级奥数—— 不定方程

第六讲 不定方程 【知识要点】 1、许多数学家需要用方程或方程组来求解。要想获得未知数的唯一解，能独立列出的方程个数必须与未知数的个数相等。如果方程个数少于未知数的个数，则称之为不定方程或不定方程组，以为此时未知数一般有无数多个解，解是不确定的。但如果结合具体问题，增加一些对解的限制条件，如只求自然数解等，这样的不定方程的解就只有有限个或唯一一个了。必须注意，限制条件中，有些是明显的，有些则是隐藏的。 2、求不定方程的自然数解或正整数解，关键是充分利用整除特征，尝试找出第一解；对于其他的所有解，可通过解的规律，逐一罗列出来，并不困难。 【例题精讲】 例1：求下列方程的整数解（x ＞0，y ＞0）。 （1）5x+10y=14； （2）11x+3y=89. 【思路点拨】 5和10有公因数5，而14没有公因数5，所以原方程无整数解；y=29－ 3211-x ，11x －2能被3整除且x ＜9。 模仿练习：（1）求满足方程5x+3y=40的自然数解。 （2）设A 和B 都是自然数，且满足11A +7B =77 57，求A+B 的值。 例2：某单位职工到郊外植树，其中3 1的职工各带了一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中有女职工多少人？ 【思路点拨】 设有女职工x 人，男职工y 人，那么有孩子 3 y x +人，这个条件说明3|x+y 。 模仿练习：某小学共有大、中、小宿舍12间，能住80人。每间大宿舍能住8人，每间中宿舍能住7人，每间小宿舍能住5人。问中、小宿舍共有多少间？ 例3：有四个自然数A 、B 、C 、D ，它们的和不超过400.A 除以B 商5余5；A 除以C 商6余6；A 除以D 商7余7，这四个自然数的和是多少？ 【思路点拨】 A=5B+5=6C+6=7D+7，A 一定是5,6,7的公倍数。 模仿练习：有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都小于10，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别是13、15、23。问这三张牌的数字是多少？

小学六年级奥数测试题及答案-小学奥数题100道及答案六年级

小学六年级奥数测试题及答案 奥数（一） 一、填空题： 3．一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有______个． 5.图中空白部分占正方形面积的______分之______. 6．甲、乙两条船，在同一条河上相距210千米．若两船相向而行，则2小时相遇；若同向而行，则14小时甲赶上乙，则甲船的速度为______． 7．将11至17这七个数字，填入图中的○内，使每条线上的三个数的和相等． 8．甲、乙、丙三人，平均体重60千克，甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，甲比丙重3千克，则乙的体重为______千克． 9．有一个数，除以3的余数是2，除以4的余数是1，则这个数除以12的余数是______． 10．现有七枚硬币均正面（有面值的面）朝上排成一列，若每次翻动其中的六枚，能否经过若干次的 翻动，使七枚硬币的反面朝上______（填能或不能）． 二、解答题： 1．浓度为70％的酒精溶液500克与浓度为50％的酒精溶液300克，混合后所得到的酒精溶液的浓度 是多少？ 2．数一数图中共有三角形多少个？

3．一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，求出这个四位数． 奥数（一）答案 一、填空题： 1．（1） 3．（6个） 设原两位数为10a+b，则交换个位与十位以后，新两位数为10b+a，两者之差为（10a+b）-（10b+a）=9（a-b）=27，即a-b=3，a、b为一位自然数，即96，85，74，63，52，41满足条件．4．（99） 5．（二分之一） 把原图中靠左边的半圆换成面积与它相等的右半部的半圆，得右图，图 6．（60千米/时） 两船相向而行，2小时相遇．两船速度和210÷2=105（千米/时）；两船同向行，14小时甲赶上乙，所以甲船速-乙船速=210÷14=15（千米/时），由和差问题可得甲：（105+15）÷2=60（千米/时）．乙：60-15=45（千米/时）．

【小学数学】小学六年级奥数重点知识点：长方体和正方体知识点带试题解析

（一）长方体和正方体的特征 （二）长方体和正方体的棱长总和 （三）长方体和正方体的表面积 1.概念：长方体或正方体6个面的总面积;叫做它们的表面积。 2.计算公式： 重点提示：不足6个面的实际问题根据具体情况计算;例如鱼缸、无盖纸盒等。

（四）长方体和正方体的体积、容积

2.体积（容积）单位进率换算： 1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1升=1000毫升 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 奥数练习题 【题目1】： 一个长方体和一个正方体的棱长之和相等。已知长方体的长是6分米;宽是4分米;高是2分米;求正方体的表面积和体积？ 【解析】： 要求出正方体的表面积和体积;必须先求出正方体的棱长。 长方体有12条棱分为3组：4条长、4条宽、4条高;正方体有12条棱;每条棱的长度都相等。 设这个正方体的棱长为x分米;根据题意;可以列出方程： 12x=（6＋4＋2）×4 解得：x﹦4 正方体的棱长为4分米。 所以正方体的表面积为：42×6﹦96（平方分米）。 正方体的体积为：43﹦64（立方分米）。 【题目2】： 一块长方形铁片（厚度不计）;四个角剪去边长为2.8分米的正方形;焊成一个长方体铁皮盒;可以盛水546升。已知这块长方形铁皮的长是21.2分米;求长方形铁皮的面积。 【解析】： 546升﹦546立方分米;即焊成的铁皮盒的容积为546立方分米。厚度不计;铁皮盒的容积也就相当于它的体积。

如上图;铁皮盒的体积为546立方分米;铁片盒的高为2.8分米;铁皮盒底面的长为：21.2－2.8×2﹦15.6（分米）。 所以;铁皮盒底面的宽为：546÷2.8÷15.6﹦12.5（分米）。 则铁皮原来的宽为：12.5＋2.8×2﹦18.1（分米）。 由长方形铁皮原来的长、宽;可以求出它的面积为： 21.2×18.1﹦383.72（平方分米）。 【题目3】： 一个长方体;如果从它的高度方向锯掉3厘米的一段;正好得到一个正方体;但表面积减少了72平方厘米;原来长方体的体积是多少？ 【解析】： 如下图： 从长方体高度方向锯掉3厘米的一段;表面积减少部分就是高3厘米的长方体的四个侧面和一个上面;同时表面积又增加了一个切面;切面面积正好与原长方体上面的面积相等;互相抵消。因此;剩下正方体表面积比原长方体表面积减少的72 平方厘米;就是高3厘米的长方体的侧面积。 所以长方体的底面周长为：72÷3﹦24（厘米）。 剩下部分是个正方体;即长方体底面是正方形;所以长方体的底面边长即所得正方体的棱长为：24÷4﹦6（厘米）。 所以原长方体的体积为： 6×6×（6＋3）﹦324（立方厘米）。 【题目4】： 如图;一个正方体切去一个长方体后;剩下图形的体积和表面积各是多少？（长度单位：厘米） 【解析】： 原正方体棱长为8厘米。

六年级奥数专题讲义：不定方程与整数分拆

六年级奥数专题讲义：不定方程与整数分拆 求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法,与此相关或涉及整数分拆的数论问题． 补充说明：对于不定方程的解法,本讲主要利用同余的性质来求解,对于同余性质读者可参考 《思维导引详解》五年级[第15讲 余数问题]. 解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解． 本讲讲解顺序：③?包括1、2、3题?④?②?①包括4、5题?③?包括6、7题,其中③④步骤中加入百鸡问题． 复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程． 整数分拆问题：11、12、13、14、15． 1．在两位数中,能被其各位数字之和整除,而且除得的商恰好是4的数有多少个? 【分析与解】 设这个两位数为ab ,则数字和为a b +,这个数可以表达为 10a b +,有()()104a b a b +÷+= 即1044a b a b +=+,亦即2b a =． 注意到a 和b 都是0到9的整数,且a 不能为0,因此a 只能为1、2、3或4,相应地b 的取值为2、4、6、8． 综上分析,满足题目条件的两位数共有4个,它们是12、24、36和48． 2．设A 和B 都是自然数,并且满足 1711333 A B +=,那么A+B 等于多少? 【分析与解】 将等式两边通分,有3A+llB=17,显然有B=l,A=2时满足,此时A+B=2+1=3．

3．甲级铅笔7分钱一支,乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支? 【分析与解】设购买甲级铅笔x支,乙级铅笔y支． 有7x+3y=50,这个不定方程的解法有多种,在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方法： 将系数与常数对3取模(系数7,3中,3最小)： 得x=2(mod 3),所以x可以取2,此时y取12；x还可以取2+3=5,此时y取5； 即 2 12 x y = ? ? = ? 、 5 5 x y = ? ? = ? ,对应x y +为14、10 所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支． 4．有纸币60张,其中1分、l角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元? 【分析与解】设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张和d张, 列方程如下： 由 () () 601 101001000100002 a b c d a b c d +++= ?? ? +++= ?? (2)(1)得9999999940 b c d ++=③ 注意到③式左边是9的倍数,而右边不是9的倍数,因此无整数解,即这些纸币的总面值不能恰好为100元． 5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管,加工损耗忽

小学六年级奥数测试题及答案

小学六年级奥数测试题及答案 1、2009＋200.9＋20.09＋2.009＋991＋99.1＋9.91＋0.991＝（）。 2、2009×2009×2009×2009×2009×2009×2009×2009的积的个位数是（）。 3、99999×7＋11111×37＝（）。 4、观察前三个算式，找出规律，在最后的式子中的括号内填入合适的数。 123456789×9＝1111111101；123456789×18＝2222222202； 123456789×27＝3333333303；123456789×（）＝8888888808 5、在2008年北京奥运会上，中国运动健儿勇夺金、银、铜牌100枚。其中，金牌数比银牌数的2倍多9枚，铜牌数比银牌数多7枚。请算一算：中国运动健儿获得金牌（）枚，银牌（）枚，铜牌（）枚。 6、列车通过420米长的海底隧道用16秒；通过一座120米长的桥梁用10秒。列车的车身长（）米。 7、4条直线最多能把一个长方形割成（）块。 8、有5位同学参加数学比赛，比赛分数都为整数。5人中最高分数100分，最低分数是60分，且每人所得分数不相同，5人的平均分数是85分。请估算一下，排在第三的那位同学最少得（）分。 9、箱子里有红球30个，白球20个，黄球15个，蓝球25个。那么最少要从箱子里摸出（）个球，才能保证摸出的球有红球，白球，黄球，和蓝球。 10、开学前打扫教室，小明30分钟能打扫完毕；小芬却要50分钟才能打扫完毕。现在小明先打扫6分钟，然后小芬也来参加一起打扫，那么，还要（）分钟就可以打扫完毕。11、科学家进行一项科学实验，每隔2小时做一次记录，做第六次记录时，挂钟时针指向“11”，做第一次记录时，时针指向（）。 12、一辆客车和一辆货车从a，b两地同时相向开出。出发后2小时，两车相距282千米；出发后5小时，两车相遇。请回答：a，b两地相距（）千米。 13、把19个棱长为1厘米的正方体重叠起来，如右图，拼成 一个立体图形，求这个立体图形的表面积是（）平 方厘米。 15、100名学生当上全区儿童运动会的“志愿者”，男同学2人一组，女同学3人一组，刚好41组。男志愿者有（）名，女志愿者有（）名。 奥数答案 1. 3333 2. 1 3. 1111100 4. 72 5. 51 21 28 6. 380 7. 11 8. 84 9. 76 10. 15 11. 1

【数学】小学六年级数学知识点归纳

小学六年级数学知识点归纳 六年级上册 知识点概念总结 1.分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。 2.分数乘法的计算法则： 分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。但分子分母不能为零.。 3.分数乘法意义 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。一个数与分数相乘，可以看作是求这个数的几分之几是多少。 4.分数乘整数：数形结合、转化化归 5.倒数：乘积是1的两个数叫做互为倒数。 6.分数的倒数 找一个分数的倒数，例如3/4 把3/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是4/3。3/4是4/3的倒数，也可以说4/3是3/4的倒数。 7.整数的倒数 找一个整数的倒数，例如12，把12化成分数，即12/1 ，再把12/1这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是1/12 ，12是1/12的倒数。 8.小数的倒数： 普通算法：找一个小数的倒数，例如0.25 ，把0.25化成分数，即1/4 ，再把1/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是4/1 9.用1计算法：也可以用1去除以这个数，例如0.25 ，1/0.25等于4 ，所以0.25的倒数4 ，因为乘积是1的两个数互为倒数。分数、整数也都使用这种规律。 10.分数除法：分数除法是分数乘法的逆运算。 11.分数除法计算法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 12.分数除法的意义：与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数。 13.分数除法应用题：先找单位1。单位1已知，求部分量或对应分率用乘法，求单位1用除法。 14.比和比例：

六年级奥数不定方程

六年级奥数不定方程Prepared on 21 November 2021

第六讲不定方程 【知识要点】 1、许多数学家需要用方程或方程组来求解。要想获得未知数的唯一解，能独立列出的方程个数必须与未知数的个数相等。如果方程个数少于未知数的个数，则称之为不定方程或不定方程组，以为此时未知数一般有无数多个解，解是不确定的。但如果结合具体问题，增加一些对解的限制条件，如只求自然数解等，这样的不定方程的解就只有有限个或唯一一个了。必须注意，限制条件中，有些是明显的，有些则是隐藏的。 2、求不定方程的自然数解或正整数解，关键是充分利用整除特征，尝试找出第一解；对于其他的所有解，可通过解的规律，逐一罗列出来，并不困难。 【例题精讲】 例1：求下列方程的整数解（x＞0，y＞0）。 （1）5x+10y=14； （2）11x+3y=89. 【思路点拨】 5和10有公因数5，而14没有公因数5，所以原方程无整数解；y=29－ 32 11 x，11x－2能被3整除且x＜9。 模仿练习：（1）求满足方程5x+3y=40的自然数解。

（2）设A 和B 都是自然数，且满足11A +7B =77 57，求A+B 的值。 例2：某单位职工到郊外植树，其中3 1的职工各带了一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中有女职工多少人 【思路点拨】 设有女职工x 人，男职工y 人，那么有孩子 3y x +人，这个条件说明3|x+y 。 模仿练习：某小学共有大、中、小宿舍12间，能住80人。每间大宿舍能住8人，每间中宿舍能住7人，每间小宿舍能住5人。问中、小宿舍共有多少间 例3：有四个自然数A 、B 、C 、D ，它们的和不超过除以B 商5余5；A 除以C 商6余6；A 除以D 商7余7，这四个自然数的和是多少 【思路点拨】 A=5B+5=6C+6=7D+7，A 一定是5,6,7的公倍数。 模仿练习：有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都小于10，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别是13、15、23。问这三张牌的数字是多少 例4：求解不定方程组? ??=++=++)2(36753)1(52975z y x z y x 的正整数解。 【思路点拨】

小学六年级奥数题及答案详解

六年级奥数题及答案 1、电影票原价每张若干元,现在每张降低3元出售,观众增加一半,收入增加五分之一,一张电影票原价多少元？ 解：设一张电影票价x元 (x-3)×（1+1/2）=(1+1/5)x (1+1/5)x这一步是什么意思，为什么这么做 (x-3){现在电影票的单价}×（1+1/2){假如原来观众总数为整体1，则现在的观众人数为（1+2/1)} 左边算式求出了总收入 (1+1/5）x{其实这个算式应该是：1x*（1+5/1）把原观众人数看成整体1，则原来应收入1x元，而现在增加了原来的五分之一，就应该再*（1+5/1），减缩后得到（1+1/5x）} 如此计算后得到总收入，使方程左右相等 2、甲乙在银行存款共9600元，如果两人分别取出自己存款的40%，再从甲存款中提120元给乙。这时两人钱相等，求乙的存款 答案 取40％后，存款有 9600×（1－40％）＝5760（元） 这时，乙有：5760÷2＋120＝3000（元） 乙原来有：3000÷（1－40％）＝5000（元） 3、由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖，如果增加10颗奶糖后，巧克力糖占总数的60%。再增加30颗巧克力糖后，巧克力糖占总数的75%,那么原混合糖中有奶糖多少颗？巧克力糖多少颗？ 答案 加10颗奶糖，巧克力占总数的60%，说明此时奶糖占40%， 巧克力是奶糖的60/40=1.5倍 再增加30颗巧克力，巧克力占75%，奶糖占25%，巧克力是奶糖的3倍 增加了3-1.5=1.5倍，说明30颗占1.5倍 奶糖=30/1.5=20颗 巧克力=1.5*20=30颗 奶糖=20-10=10颗 4、小明和小亮各有一些玻璃球，小明说：“你有球的个数比我少1/4！”小亮说：“你要是能给我你的1/6，我就比你多2个了。”小明原有玻璃球多少个？ 答案 小明说：“你有球的个数比我少1/4！”，则想成小明的球的个数为4份，则小亮的球的个数为3份