高数答案(下)习题册答案 第六版 下册 同济大学数学系 编
第八章 多元函数的微分法及其应用
§ 1 多元函数概念
一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=.
二、求下列函数的定义域：
1、2
221)
1(),(y
x y x y x f ---= };1|),{(22≠+x y y x 2、x
y
z arcsin
= };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限：
1、2
22)0,0(),(sin lim y x y
x y x +→ （0） 2、
x y x x y
3)2,(),()1(lim
+∞→ (6e )
四、证明极限 2
42)0,0(),(lim y x y
x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2
x y =趋于（0，0）时，极限为2
1
, 二者不相等，所以极限不存在
五、证明函数?????
=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时，
)0,0(01sin lim 2
2
)
0,0(),(f y
x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数
42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：
在整个xoy 面上连续。
六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222
§ 2 偏导数
1、设z=x
y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y
z y x z x
证明：x y
x y
x y
e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y
+=++=??+??y
z
y x z x
2、求空间曲线???
??=+=Γ2
1:2
2y y x z 在点（
1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设y
x
y xy y x f arcsin
)1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1) 4、设y
z
x u =, 求
x u ?? ，y u ?? ，z
u ??
解：1
-=??y z
x y z x u ，
x x y
z y u y z
ln 2-=?? x x y z u y z
ln 1=?? 5、设2
2
2
z y x u ++=，证明 : u z
u y u x u 2
222222=??+??+??
6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续是否可导（偏导）说明理由
?????≠+≠++=0,
00,1sin ),(222
22
2y x y x y
x x y x f )0,0(0),(lim 0
0f y x f y x ==→→ 连续； 2
01
sin lim )0,0(x f x x →= 不存在， 000
0lim
)0,0(0=--=→y f y y 7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 x
b x a f b x a f x )
,(),(lim
--+→
（2f x (a,b)） § 3 全微分 1、单选题
（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________
(A) 必要条件而非充分条件 （B ）充分条件而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 （2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___ (A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B ）偏导数连续，则全微分必存在 （C ）全微分存在，则偏导数必连续 （D ）全微分存在，而偏导数不一定存在
2、求下列函数的全微分：
1）x
y e z = )1(2
dy x dx x y e
dz x
y +-
=
2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=
3）z
y
x u = 解：xdz x z
y
xdy x z dx x z y du z y
z y
z y
ln ln 121-+=-
3、设)2cos(y x y z -=， 求)4
,0(π
dz
解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--= ∴)4
,
0(|π
dz =
dy dx 2
4
π
π
-
4、设2
2),,(y
x z
z y x f += 求：)1,2,1(df )542(251dz dy dx +--
5、讨论函数??
?
?
?=≠++=)
0,0(),(,0)0,0(),(,1sin )(),(2
2
22y x y x y
x y x y x f 在（0，0）点处
的连续性 、偏导数、 可微性 解：
)0,0(01sin
)(lim
2
2
22)
0,0(),(f y
x y x y x ==++→ 所以),(y x f 在（0，0）点处连续。
0)
0,0(),0(lim )0,0(,0)0,0()0,(lim
)0,0()0,0(),()0,0(),(=?-?==?-?=
→→y f y f f x f x f f y x y y x x
0)()(0
),(2
2→?+?-??y x y x f ，所以可微。
§4 多元复合函数的求导法则
1、 设t
v
e v t u u z ===,sin ,，求
dt
dz 解：dt
dz =1cos .(sin )lnsin (sin )t t
e t e t t t e t t e -?+??
2、 设,)
(32y
x y x z -+=，求
y
z x z ????,
23123(23)()3()ln(),x y x y z
x y x y x y x y y
---?=-+-++? 3、 设)(2x
y f x z n
=，f 可微，证明nz y z y x z x =??+??2 4、 设)2,(2
2
xy y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求22x z ??，y x z
???2， 2
2y
z ?? 解：
1222z
xf yf x
?''=+? , 1222z yf xf y ?''=-+? ,2
1112221222((2)2)22((2)2)z x f y f x f y f y f x x y
?'''''''''=-+++-+?? =2
21111222244()4f xyf x
y f xyf '''''''-+-+
222111122222484z f x f xyf y f x
?'''''''=+++?,222111122222484z f y f xyf x f y ?'''''''=-+-+? 5、 设)(),(y x g x y xy f z +=，其中f 具有二阶连续偏导数、g 具有二阶连续导数，求y
x z
???2
解：
1221
z y f y f g x x y
?'''=-+? ， 2111122122222231111()()z y x f y f x f f f x f g g x y x x x x y y
?'''''''''''''=++--+--??
6、 设),,(z y x F u =，),(y x f z =，)(x y ?=，求dx
du
解：
dx
du ))(()(321x f f F x F F y x ??''+'
'+''+'=。 7、设),(v u z z =，且变换?
??+=-=ay x v y x u 2 可把方程+??226x z y x z ???222y z
??-=0 化为 02=???v u z ， 其中z 具有二阶连续偏导数，求常数a 的值 )3(=a
证明：v z
u z x z ??+??=??
v z a u z y z ??+??-=??2 2222222v
u v u z u z x z ??+???+??=?? 22
22222244v u a v u z a u z
y z ??+???-??=?? 222222)2(2v
u a v u z a u z y x z ??+???-+??-=??? 得：0)6()
510(2222=??-++???+v
u a a v u z a a=3 8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,a f =)1,1(/1,b f =)1,1(/2 又，{})],(,[,)(x x f x f x f x =? 求 ).1(?和)1(/? (1) , (a+ab+ab 2+b 3)
§ 5 隐函数的求导公式
1、 设y x y y +=ln ，求
dx
dy 解：令(,)ln F x y y y x y =--，11,ln ,ln x y dy F F y dx y
=-=∴
=
2、 设),(y x z z =由方程)(2
22y
z yf z y x =++确定，其中f 可微，证明
xz y
z xy x z z y x 22)
(222=??+??-- 3、 设),(y x z z =由方程z
y e z x +=所确定，其中f 可微，求y x z ???2
,1,)1(z z y z z x z x z +-=??+=?? y
x z
???23)1(z x z +-=
4、 设?
??+==++2
22221y x z z y x ，求dx dy ，dx dz
( dy x dx y =-，0dz dx =) 5、 设),(y x z z =由方程0),,(=+xz z y xy F 所确定，F 可微，求
y
z
x z ????, 解：令(,,)F x y z =(,,)F xy y z xz + ，则
13122323,y x z z F F F y zF F x F z
z x F y F F xF F xF ''''++??=-=-=-=-??''''
++ 6、设),(y x f z =由方程0=-++++y x z e y x z 所确定，求dz (dy dx dz --=) 7、设z=z(x,y)由方程 y z yz x xy =-+3)cos(3所确定，求
x z ??, y
z
?? , )sin(3)
cos(3ln .32yz xy z yz y x z xy ++=?? , )
sin(31
)sin(3ln 3.2yz xy z yz xz x y z xy +--=
??
§ 6 微分法在几何中的应用
1、 求螺旋线t z t y t x 3,sin 2,cos 2=== 在对应于4
π
=
t
处的切线及法平面方程
解：切线方程为
343
z π
-
== 法平面方程0)4
3(3)2(2)2(2=-
+-+--π
z y x
2、 求曲线???+==++2
2222250
y
x z z y x 在（3，4，5）处的切线及法平面方程 解：切线方程为
5
3443-=
--=-z y x ，法平面方程：034=-y x 3、 求曲面9322
2
2
=++z y x 在（1，-1，2）处的切平面及法线方程 解：切平面方程为0)2(2)1(3)1(2=-++--z y x 及法线方程
2
2
3121-=
-+=-z y x 4、 设),(v u f 可微，证明由方程0),(=--bz ay bz ax f 所确定的曲面在任一点处的切平面与一定
向量平行
证明：令),(),,(bz ay bz ax f z y x F --=，则
),,(,,,21212121'
-'-''=∴'-'-='='=bf bf a f a f bf bf F a f F a f F z y x
0),,(=?∴a b b ，所以在（000,,z y x ）处的切平面与定向量（a b b ,,）平行。 5、 证明曲面3
23
23
23
2a
z
y
x
=++0
(>a ）上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方
和为2
a
证明：令=),,(z y x F 3
2323232a z y x -++，则,3
2,32,323
1
3131---===z F y F x F z y x
在任一点()000,,z y x 处的切平面方程为0)()()(03
1003
1003
10=-+-+--
-
-z z z y y y x x x
在在三个坐标轴上的截距分别为,,,3
23
103
23103
23
1
0a z a y a x 在三个坐标轴上的截距的平方和为2a
证明曲面)(x
y
xf z
=上任意一点)0(),,,(0000≠x z y x M 处的切平面都通过原点
7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t, 总有),,(),,(z y x F t tz ty tx F k
=
k 为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点 证明 ：),,(),,(z y x F t tz ty tx F k = 两边对t 求导，并令t=1 ),,(z y x kF zF yF xF z y x =++
设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：
))(,,(0000x x z y x F x -+))(,,(0000y y z y x F y -+))(,,(0000z z z y x F z -=0 此平面过原点（0，0，0）
§ 7 方向导数与梯度
1、 设函数
22),(y xy x y x f +-=， 1）求该函数在点（1，3）处的梯度。
2）在点（1，3）处沿着方向l 的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向 解：梯度为 ,5)3,1(j i gradf +-= θθsin 5cos )
3,1(+-=??l
f , 方向导数达到最大值的方向为)5,1(-=s ，方向导数达
到
最小值的方向为)5,1(-=-s 。
2、 求函数222zx yz xy u
++=在（1，2，-1）处沿方向角为0001509060===γβα的方
向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。 解：：方向导数 为
2
3
31)
1,2,1(+
=??-l
u ，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向 j gradu 352)1,2,1(-+=-，此时最大值为
38)
1,2,1(=??-l
u
3、 求函数32z xy u
=在（1，1，-1）处沿曲线32,,t z t y t x ===在（1，1，1）处的切线正方
向（对应于t 增大的方向）的方向导数。 解：：
223323,2,z xy z
u xyz y u z y x u =??=??=??，)3,2,1(=，∴该函数在点（1，1，-1）处的方 向导数为
14
4)
1,1,1(=
??-l
u
， 4、求函数)ln(2
2
2
x z y u ++=在（1，1，-1）处的梯度。 解：：
2222222222,2,2z
y x z z u z y x y y u z y x x x u ++=??++=??++=??，
j gradu 3
23232)1,1,1(-+=
-
§ 8 多元函数的极值及求法
1、求函数22233),(22+--+=y x y x y x f 的极值。
答案：（31，3
1
）极小值点
2．求函数y x y x y x f ln 18ln 2),(22--+=的极值 答案：极小值3ln 1810)3,1(-=f
3. 函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点（1，1）处取得极值，求常数a (-5) 4、求函数122++=y x z 在条件03=-+y x 下的条件极值
解：)3(1),,(22-++++=y x y x y x F λλ
???==00y
x F F )32,32(? ，极小值为211
5、 欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为
3元/平方，侧面造价均为1元/
平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。 （长和宽2米，高3米）
6、 在球面22225r z y x =++（0,0,0>>>z y x ）上求一点，使函数
z y x z y x f ln 3ln ln ),,(++= 达到极大值，并求此时的极大值。利用此极大值证
明c b a ,,? 有5
3)5
(
27c b a abc ++≤ 证明：令z y x L ln 3ln ln ++=)5(2
2
2
2
r z y x -+++λ 令
0,0,0=??=??=??z
L y L x L ，22225r z y x =++解得驻点r z r y x 3,===。所以函数z y x z y x f ln 3ln ln ),,(++=在r z r y x 3,===处达到极大值。极大值为)33ln(5r 。即5
3
33r xyz ≤?5
2225
23222)5
(
27)(27)(z y x r z y x ++=≤，令,,,222c z b y a x ===得5
3)5
(
27c b a abc ++≤。
7、求椭球面12
322
2=++z y x 被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的
长度
解： )()12
3(222
212
2
2
z y x z y x z y x F +++-+++++=λλ
?????
?
?????
=++=++=++==++==++=01230220203
22222
212121z y x z y x z z F y y F x x F y y x
λλλλλλ )3(2312λλ+-=x ，122λλ+-=y ，)1(212λλ+-=z
22221)(d z y x -=++-=λ 6
13
111±-=
λ 长半轴 61311+， 短半轴 61311-
第八章 自测题
一、选择题：（每题2分，共14分）
1、设有二元函数?????=≠+=),0,0(),(,
0),
0,0(),(,),(422
y x y x y x y x y x f 则 [ ]
A 、),(lim )0,0(),(y x f y x →存在；
B 、),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在；
C 、),(lim )0,0(),(y x f y x →存在， 且),(y x f 在(0,0)处不连续；
D 、),(lim
)
0,0(),(y x f y x →存在， 且),(y x f 在(0,0)处连续。
2、函数),(y x f 在),(000y x P 各一阶偏导数存在且连续是),(y x f 在),(000y x P 连续的[ ]
A 、必要条件；
B 、充分条件；
C 、充要条件；
D 、既非必要也非充分条件。
3、函数???
??=≠-=y x y x y x xy
y x f ,
0,,),( 在(0,0)点处 [ ]
A 、极限值为1；
B 、极限值为-1；
C 、连续；
D 、无极限。
4、),(y x f z =在),(000y x P 处),(y x f x ，),(y x f y 存在是函数在该点可微分的 [ ] （A ）必要条件； （B ）充分条件；
（C ）充要条件； （D ）既非必要亦非充分条件。 5、点)0,0(O 是函数2
xy z =的 [ ]
（A ）极小值点； （ B ）驻点但非极值点； （C ）极大值点； （D ）最大值点。
6、曲面3=+-xy z e z
在点P (2,1,0)处的切平面方程是 [ ]
（A ）042=-+y x ； （B ）42=-+z y x ； （C ）042=-+y x ； （D ）052=-+
y x
7、已知函数(,,),(,),(,)u f t x y x s t y s t ?φ===均有一阶连续偏导数，那么
u
t
?=?[ ] (A)x t y t f f ?φ+; (B) t x t y t f f f ?φ++; (C) t t f f ?φ?+?; (D) t t t f f f ?φ+?+? 二、填空题：（每题３分，共18分）
1、=+→2
22)0,0(),(sin lim y x y
x y x （ 0 ）
２、设xyz
e z y x
f =),,(，则=????z
y x f 3（ )31(222z y x xyz e xyz ++ ）
３、设???
??=≠=,0,
0,0,)
sin(),(2xy xy y xy y x f 则=)1,0(x f ( 0 )
４、设x
y x z )2(+=，则在点)0,1(处的全微分.)2(dy dx dz +=
５、曲线?????==z
x x
y 22
在点)1,1,1(0P 处的切线方程为
(
4
1
1121-=-=-z y x ) ６、曲线???=+-=++4
6423222z y x x z y x 在点(1,1,1)处的切线方程为( 01
1121-=
-=-z y x ) 三、计算题（每题6分）
1、设)ln(),(2
2y x x y x f +=，求),(y x f 的一阶偏导数
2
22
2
2
2)ln(),(y
x x y x y x f x +++= ， 222),(y x xy y x f y +=。 2、设????
?
?+=y x x y x f ln ),(，求此函数在点)1,1(0P 处的全微分。并求该函数在该点处沿着从 P 0到)1,2(1-P 方向的方向导数 ( dy dx df 21)
1,1(-= ，5
2
=??l f ) ３、设f x y y x f z ,,2???
?
?=具有各二阶连续偏导数，求y x z ???2
解：y x z ???22112x xf -'='2f "-"+"+22
312113
2f x y yf f x y
x z ???2
４、设??
???=+≠+++=0,00,1sin ),(222
22
222y x y x y
x y x y x f 求),(y x f x 和),(y x f y 。 x x x x f x f x x 2
001sin lim 0)0,0()0,(lim →→=--不存在，故)0,0(x f 不存在，同理，)0,0(y f 也不存在。 当)0,0(),(≠y x 时，有
222/32222221
cos )(21sin ),(y x y x x y
x y x x y x f x ++-++=
2
22/3222
22
21
cos )(21sin
),(y
x y x y y x y x y y x f y ++-
++=
５、设),(y x f z =由方程0=-++++y
x z e
y x z 所确定，求dz ( dy dx dz --=)
６、设])(,)([x y y x f z +-=ψ?，f 具有连续的二阶偏导数，ψ?,可导，求y
x z
???2
21)(f x f x z '+''=??? )]([)]()[(22211211
2y f f y f f x y
x z
ψψ?'''+''-+'''+''-'=??? 221211
)(]1)()([)(f y f y x f x '''+''-''+'''-=ψψ?? ７、设?????=+-=-+0
02
222
2υυu xy u y x 确定函数),(),,(y x y x u u υυ==，求y x u ????υ,。 2
2
22222
2222,2)
(24,)(24υυυυυυυυυυυ+-=??++=??+-=
??++=??u xy yu y u xy y y u u y x x u u xu x u
８、设)(12
22222z y x f z
y x u ++++=，式中f 二阶可导，求222222z u y u x u ??+??+??
解：记222z y x r
++=，则 1)()(-?==r r f r
r f u
y r r f r r f y u x r r f r r f x u 33)()(,)()(-'=??-'=??，z r r f r r f z u 3)()(-'=?? 3
25222)
()()]()([3)(r r f r r f x r r f r r f r f r x u -'+?-'-''=?? 类似地，有
3
25222)()()]()([3)(r
r f r r f y r r f r r f r f r y u -'+?-'-''=?? 3
25222)
()()]()([3)(r r f r r f z r r f r r f r f r z u -'+?-'-''=??
3
252222222)]
()([3)]()([3)(r r f r r f r r r f r r f r f r z u y u x u -'+?-'-''=??+??+?? r
r f )
(''= 四、（１０分）试分解正数a 为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。
设三个正数为z y x ,,，则a z y x =++，记z
y x F 1
11++=
，令 )(1
11a z y x z
y x -+++++=
λ? 则由
??
??????
??
?
=++=+-==+-==+-=a
z y x z y x z y
x
1
101222
λ?λ?λ? 解出3a z y x ===。 五、证明题：（１０分）
试证：曲面)(z y f x z -+=上任一点处的切平面都平行于一条直线，式中f 连续可导。
证明：曲面在任一点),,(z y x M 处的切平面的法向量为
{}f f n '+'--=1,,1
定直线L 的方向向量若为{
}1,1,1=s ，则 0=?s n ，即s n ⊥
则曲面上任一点的切平面平行于以(1,1,1)为方向的定直线。
第九章
重积分
§ 1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值
dxdy y x I D
??+=22 其中D 为：422≤+y x
( dxdy y x I D
??+=22=πππ3
16
2.4..312.4.=
-) 2、设D 为圆域,0,222>≤+a a y x 若积分
dxdy y x a D
??
--2
2
2
=12π
，求a 的值。
解：
dxdy y x a D
??
--2
2
2
=3
.34.21a π 81
=a
3、设D 由圆,2)1()2(22围成=-+-y x 求??D
dxdy 3
解：由于D 的面积为π2, 故??D
dxdy 3=π6
4、设D ：}10,53|),{(≤≤≤≤y x y x ，
????+=+=D
D
dxdy y x I dxdy y x I 221)][ln(,)ln(，比较1I , 与2I 的大小关系
解：在D 上，)ln(y x +≤ 2)][ln(y x +,故1I ≤2I
5、 设f(t)连续，则由平面 z=0，柱面 ,122=+y x 和曲面2)]([xy f z =所围的
立体的体积，可用二重积分表示为??≤+=
1
:2
2
2)]([y x D dxdy xy f V
6、根据二重积分的性质估计下列积分的值
??D
ydxdy x 22sin sin ππ≤≤≤≤y x D 0,0:
(≤0??D
ydxdy x 22sin sin 2π≤)
7、设f(x,y)为有界闭区域D ：222a y x ≤+上的连续函数，求 ??→D
a dxdy y x f a ),(1lim 2
0π
解：利用积分中值定理及连续性有)0,0(),(lim ),(1lim
8
2
0f f dxdy y x f a a D a =
=→→??ηξπ
§ 2 二重积分的计算法
1、设??
+=D
dxdy y x
I 1
，其中D 是由抛物线12+=x y 与直线y=2x ，x=0所围成的区域，则I=（ ）
A ： 212ln 3ln 87+--
B ： 21
2ln 3ln 89-+
C ： 2
1
2ln 3ln 89-- D ： 412ln 3ln 89--
2、设D 是由不等式1≤+y x 所确定的有界区域，则二重积分??+D
dxdy y x )(为
（ ）
A ：0
B ： 31
C ：3
2
D ： 1
3、设D 是由曲线xy=1与直线x=1,x=2及y=2所围成的区域，则二重积分 ??D
xy dxdy ye 为（ ）
A ：e e e 2
1
2124-- B ：21
242121e e e e -+-
C ：e e 2
1
214+ D ：2421e e -
4、 设f(x,y)是连续函数，则二次积分dy y x f dx x x ?
?++-2
11
1
),(为（ ）
A dx y x f dy dx y x f dy y y ????----+1
1
2
111102),(),( B dx y x f dy y ??--1
11
0),( C dx y x f dy dx y x f dy y y ????-----+1
1
2
11
11
02),(),( D dx y x f dy y ??---1
1
2
02),(
5、设有界闭域D 1、D 2关于oy 轴对称，f 是域D=D 1+D 2上的连续函数，则二重 积分??D
dxdy y x f )(2为（ ）
A ??1
),(22D dxdy y x f B ??2
2),(4D dxdy y x f
C ??1
),(42D dxdy y x f D
??2
2
),(21D dxdy y x f 6、设D 1是由ox 轴、oy 轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f 是域D:|x|+|y|≤1 上的连续函数，则二重积分??D
dxdy y x f )(22为（ ）
A ??1
),(222D dxdy y x f B ??1
),(422D dxdy y x f
C ??1
),(822D dxdy y x f D
??1
),(21
22D dxdy y x f 7、.设f(x,y)为连续函数，则??a
x
dy y x f dx 0
),(为( )
A ??a a y
dx y x f dy 0
),( B ??a y
a
dx y x f dy 0
),(
C ??a y dx y x f dy 0
),( D ??a x
dx y x f dy 0
),(
8、求 ??
=D
dxdy y
x I 2
2 ，其中 :D 由x=2,y=x,xy=1所围成. (49
)
9、设I=??
3
1
ln 0
),(x
dy y x f dx ,交换积分次序后I 为：
I=??
31
ln 0
),(x
dy y x f dx =?
?3
ln 0
3
),(y e
dx y x f dy
10、改变二次积分的次序： ????-+4240
200),(),(x
x dy y x f dx dy y x f dx = ??
2
12
2
1x
x
dx y
dx x
11、设 D={(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1} ,求??+D
y x dxdy e 的值
解：??+D
y
x dxdy e
=????-==+1
21
10
1
)1())((e dy e dx e dy e
dx y x
l y
x
12设 I=??--D
dxdy y x R 222,其中D 是由x 2+y 2=Rx 所围城的区域，求I (331
R π)
13、计算二重积分??-+D
dxdy y x |4|22，其中D 是圆域922≤+y x
解：??-+D
dxdy y x |4|2
2
==
-+-????rdr r d rdr r d ππθθ20
3
2
220
2
2
)4()4(2
41π 14、计算二重积分??D
y x dxdy e
}
,m ax{22，其中D={(x,y)| 0≤x ≤1,0≤y ≤1}
解： ??D
y x dxdy e
}
22,max{=11
1
2
2
-=+????e dx e d dy e dx y
y x
x y
15、计算二重积分??
++D
dxdy y
x y x 2
2，D ：.1,12
2≥+≤+y x y x 解：??++D
dxdy y x y x 22=24)sin (cos 201sin cos 12πθθθπ
θθ-=+??+rdr r r d
§ 3 三重积分 1、设Ω是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所围成的空间有界域，则???Ω
xdxdydz 为
( )
A ??
?--1
210
1
y
x y xdz d dx B ?
?
?---210
210
1
y y
x xdy dz dx
C ?
?
?---210
210
1
x y
x xdz dy dx D ???10
1
10
xdz dy dx
2、设Ω是由曲面x 2+y 2=2z ,及z=2所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分???Ω
dxdydz z y x f ),,(表示为累次积分，I=（ ）
A ???1
20
20
2
ρπθρθρρθz)dz ,sin ,cos f(d d B ???2
20
20
2
ρπρθρθρρθdz z),sin ,cos f(d d
C ???20
22
20
2ρπρθρθρρθdz z),sin ,cos f(d d D ???20
2
20
dz z),sin ,cos f(d d ρθρθρρθπ
3、设Ω是由1222≤++z y x 所确定的有界闭域，求三重积分???Ω
dv e z ||
解：???Ω
dv e z |
|=???--≤+1
1
1|
|2
22)(
z y x z dz dxdy e =2?=-1
22)1(ππdz z e
z
4、设Ω是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所围成的空间区域，求???Ω
dxdydz z xy 32
(1/364)
5、设Ω是球域：12
2
2
≤++z y x ，求???Ω
++++++dxdydz z y x z y x z 1)
1ln(2
22222 (0) 6、计算???+Q
dxdydz y x )(22 其中Ω为：平面z=2与曲面2222z y x =+所围成的
区域 (
π5
64
) 7、计算???Q
zdxdydz x 2其中Ω是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x 2所围成的闭区域
(2/27))
8、设函数f(u)有连续导数，且f(0)=0,求dxdydz z y x f t t z y x t )(1lim 2
2
22
2224
0???≤++→++π
解：dxdydz z y x f t
t z y x t ???≤++→++2
2222
2240(1lim π
=)0(')(4lim
sin )(1lim 4
20
220
40f t
dr
r f r dr r r f d d t
t
t t
t ==???
?→→??θππ
π
§4 重积分的应用
1、(1)、由面积22y x +=2x, 22y x +=4x,y=x,y=0所围成的图形面积为（ ）
A )2(41+π
B )2(21+π
C )2(4
3
+π D 2+π
(2) 、位于两圆θρsin 2=与θρsin 4=之间，质量分布均匀的薄板重心坐标是( )
A (0,35)
B (0,36)
C (0,37)
D (0,3
8
)
(3)、由抛物面x y z 422=+和平面x=2所围成的质量分布均匀的物体的重心坐标是 （ ）
A (0,0,34)
B (0,0,3
5) C (0,0,45) D (0,0,47
)
(4)、 质量分布均匀(密度为μ)的立方体所占有空间区
域:}10,10,10|),,{(≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ,该立方体到oz 轴的转动惯量I Z =( ) A
31μ B 32μ C μ D 3
4μ 2、求均匀上半球体(半径为R)的质心 解：显然质心在z 轴上，故x=y=0,z=
???Ω
=
831
R zdv V
故质心为(0,0,R 3
8) 4、 曲面2213y x z --=将球面25222=++z y x 分割成三部分，由上至下依次记 这三部分曲面的面积为 s 1, s 2, s 3, 求s 1:s 2:s 3 解：π102559
2
2
2=--=
??
≤+dxdy y
x y x 1S π2025516
2
2
2=--=
??
≤+dxdy y
x y x 3S
π70=2S
5、求曲面xy Rz =包含在圆柱222R y x =+内部的那部分面积
解：3
)122(22
2222
2
R dxdy R y x R R y x π-=++=
??
≤+S
6、求圆柱体Rx y x 222≤+包含在抛物面Rz y x 222=+和xoy 平面之间那部分立 体的体积
解：43)(2132
222R dxdy y x R Rx
y x π=
+=??≤+V 第九章 自测题 一、选择题: （40分） 1、?
?-x dy y x f dx 10
1
0),(=( )
A ??
-10
10
),(dx y x f dy x
B ?
?-x
dx y x f dy 10
10
),( C ??1
1
),(dx y x f dy D ?
?-y
dx y x f dy 10
1
),(.
2、设D 为222a y x ≤+,当=a ( )时,π=--??D
dxdy y x a 222.
A 1
B 3
23 C 343 D 32
1
3、设??+=D
dxdy y x I )(22,其中D 由222a y x =+所围成,则I =( B ).
A 4
02
20a rdr a d a
πθπ
=?? B 402202
1
a rdr r d a
πθπ=???;
C 302203
2
a dr r d a πθπ=?? D 402202a adr a d a πθπ=???.
4、设Ω是由三个坐标面与平面z y x -+2=1所围成的空间区域,则 ???Ω
xdxdydz =( ).
A
481 B 481- C 24
1 D 241
- .