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关于罗朗级数的讨论

数学分析数项级数

第十二章数项级数教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。教学时数：18学时 § 1 级数的收敛性一．概念： 1．级数：级数，无穷级数 ; 通项 ( 一般项 , 第项 ), 前项部分和等概念 ( 与中学的有关概念联系 ). 级数常简记为 . 2.级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想 . 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 . 例1讨论几何级数的敛散性.（这是一个重要例题！）解时, . 级数收敛 ; 时, 级数发散 ;

时, , , 级数发散 ; 时, , , 级数发散 . ( 注意从综上, 几何级数当且仅当时收敛, 且和为 0开始 ). 例2讨论级数的敛散性. 解（利用拆项求和的方法）例3讨论级数的敛散性. 解设, , = , . , . 例4 讨论级数的敛散性.

解, . 级数发散. 3.级数与数列的关系 : }, 收敛 {}收敛; 对应部分和数列{ }, 对应级数, 对该级数, 有=. 对每个数列{ }收敛级数收敛. 于是,数列{ 可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式 . 4. 级数与无穷积分的关系 : , 其中. 无穷积分可化为级数 ; 对每个级数, 定义函数 , 易见有 =.即级数可化为无穷积分. 综上所述 , 级数和无穷积分可以互化 , 它们有平行的理论和结果 . 可以用其中的一个研究另一个 . 级数收敛的充要条件——Cauchy准则：把部分和数列{} 二. 收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy准则 . 和N, Th ( Cauchy准则 ) 收敛

数项级数和函数项级数及其收敛性的判定

学号数项级数和函数项级数及其收敛性的判定学院名称：数学与信息科学学院专业名称：数学与应用数学年级班别：姓名：指导教师： 2012年5月

数项级数和函数项级数及其收敛性的判定摘要本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法. Several series and Function of series and the judgment of their convergence Abstract In this paper, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant method and logarithmic discriminant method. Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method 前言在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。判别正项级数和函数级数的敛散性是研究级数的主要问题,并且在实际中的应用也比较广泛，如正项级数的求和问题等。所以探讨正项级数和函数级数敛散性的判别法对于研究级数以及对于整个数学分析的学习与理解都有重要的作用。 1 正项级数及其收敛性一系列无穷多个数123,,,,, n u u u u 写成和式 123n u u u u +++ + 就称为无穷级数，记为1 n n u ∞ =∑。如果()0,1,2,3, n u n ≥=，那么无穷级数1 n n u ∞ =∑,就称为正项级数。

数项级数经典例题大全 (1)

第十二章数项级数 1 讨论几何级数 ∑∞ =0n n q 的敛散性. 解当1||q 时, , =n S 级数发散 ; 当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, () n n S )1(12 1 -+= , ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数 ∑∞ =0 n n q 当且仅当 1||

4、讨论级数∑ ∞ =-1352n n n 的敛散性. 解 5 2 , 5252352?>?=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散. 5、证明2-p 级数 ∑∞ =121 n n 收敛 . 证显然满足收敛的必要条件.令 21 n u n = , 则当 2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++p k p k p n n n n p n n k n k n k n u u u 112 2 1 ,1 11) )(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 | ∑=+p k k n u 1 |不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N . 6、判断级数∑∞ =1 1 s i n n n n 的敛散性. (验证 0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件) 7、证明调和级数∑ ∞ =11n n 发散. 证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n n n ln 1 1 211 )1ln(+<+++ <+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . ) 注: 此例为0→n u 但级数发散的例子. 8、考查级数 ∑∞ =+-1 2 11 n n n 的敛散性 . 解有 , 2 11 012222n n n n n <+-?>+- 9、判断级数 ()() +-+??-+??++????+??+)1(41951)1(32852951852515212n n

解析函数展开成罗朗级数的方法分析

解析函数展开成罗朗级数的方法分析摘要本文给出解析函数展开成罗朗级数的两类方法（即直接展开法和间接展开法）的分析．通过分析可见，由于直接法要求函数的各阶导数，显然困难，繁杂．因此，我们常采用间接法．关键词双边幂级数；罗朗级数；直接展开；间接展开１定义及定理定义：级数 2012()()c c z a c z a +-+-+ (1) .) (2 2 1 +-+---a z c a z c (2) 当且仅当r

罗朗定理：在圆环(0,)H r z a R r R <-<≥≤+∞：内解析的函数()f z 必可展成双边幂级数： n n n n z z c z f )()(0-= ∑∞ =-∞ = (4) 其中 ξξξπd a f i c n n ?Γ+-= 1) () (21 （ n=0,±1,…） (5) Γ为圆周)(||R r a <<=-ρρξ，并且展式是惟一的（即由f (z )及H 惟一地决定系数n c ）定义：(4)称为函数()f z 在点a 的罗朗展式，(5)称为其系数，而(4)右边的级数则称为罗朗级数． 2 方法分析要将一个解析函数展成罗朗级数，需要考虑的问题要比展为泰勒级数要多．首先罗朗级数是在圆环域内()f z 的奇点a 展开的，它的系数为： ξ ξξπd a f i c n n ?Γ+-= 1)() (21 可见，一个函数在不同的圆环域内有不同的罗朗展式，因此给定一个函数()f z 后，首先是找出它的奇点，进而要确定函数可以在哪个圆环域内展为罗朗级数．然后是找到展开的方式，即直接展开法和间接展开法． 2.1 直接展开法即：依据罗朗定理的系数公式ξξξπd a f i c n n ?Γ+-= 1) () (21，（n=0，±1，±2，…）先求出系数n c ，然后再写出∑∞ -∞ =-= n n n z z c z f )()(0．例1 在0<| z |<+∞内，将2)(z e z f z =展为罗朗级数．解：在复平面上除点在z 0=0外，发()f z 处处解析，所以f (z )在圆环域0<| z |<+∞内解析．取c 为圆周(0)c z ρρ'=<<∞：，则

级数求和的常用方法

1.7方程式法 (3) 1.8原级数转化为子序列求和 (3) 1.9数项级数化为函数项级数求和 (3) 1.10化数项级数为积分函数求原级数和 (4) 1.11三角型数项级数转化为复数系级数 (4) 1.12构造函数计算级数和 (5) 1.13级数讨论其子序列 (5) 1.14裂项法求级数和 (6) 1.15裂项+分拆组合法 (7) 1.16夹逼法求解级数和 (7) 2函数项级数求和 (8) 2.1方程式法 (8) 2.2积分型级数求和 (8) 2.3逐项求导求级数和 (9) 2.4逐项积分求级数和 (9) 2.5将原级数分解转化为已知级数 (10) 2.6利用傅里叶级数求级数和 (10) 2.7三角级数对应复数求级数和 (11) 2.8利用三角公式化简级数 (12) 2.9针对2.7的延伸 (12) 2.10添加项处理系数 (12) 2.11应用留数定理计算级数和 (13) 2.12利用Beta函数求级数和 (14) 参考文献 (15)

级数求和的常用方法级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题. 由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个n →∞的极限和.加之级数能求和的本身就困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期达到较高的事实性. 1数项级数求和 1.1等差级数求和等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公式可求和. 11((1) 22 n n a a n n s na d +-=+ = ），其中1a 为首项，d 为公差证明：12=++...+n s a a a ①，21s=+...++n a a a ② ①+②得：()12-112(+++...+(+)n n n s a a a a a a =+）因为等差级数11...+n n a a a a +== 所以1(2 n n a a s += ）此证明可导出一个方法“首尾相加法”见1.2. 1.2首尾相加法此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和. 例1:求01235...(21 )n n n n n c c c n c +++++. 解：01235...(21)n n n n n s c c c n c =+++++，210(21)...53n n n n n s n c c c c =++++，两式相加得：210 12(22)(...)(1)2n n n n n n s n c c c c n +=++++=+?，即： 01235...(21 )(1)2n n n n n n c c c n c n +++++=+. 1.3等比级数求和等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和. 当q =1，1s na =；当q ≠1，1(1) 1n a q s q -=-，其中1a 为首项，q 为公比. 证明：当q =1，易得1s na =，当q ≠1，11111=++...+n s a a q a q - ①， 2111=++...+n qs a q a q a q ②， ①-②得11(1)n q s a a q -=-.可以导出一种方法“错位相减”见下1.4

数项级数的概念与基本性质

8.1数项级数的概念与基本性质教学目的理解级数的概念和基本性质教学重点级数的基本性质，收敛的必要条件，几何级数教学难点有穷项相加与无穷项相加的差异教学过程 1.导入以前我们学习的加法是将有限个数相加，这种加法易于计算但无法满足应用的需要．在许多技术问题中常要求我们将无穷多个数相加，这种加法叫做无穷级数．无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具．无穷级数分为常数项级数和函数项级数，常数项级数是函数项级数的特殊情况，是函数项级数的基础． 2.讲授新课 2.1常数项级数的概念定义8.1 设给定数列}{n a ，我们把形如 ∑∞ == ++++1 21n n n a a a a （8.1.1）的式子称为一个无穷级数，简称级数．其中第n 项n a 称为级数 ∑∞ =1 n n a 的通项（或一般项）．如果级数中的每一项都是常数，我们称此级数为数项级数. 例如，等差数列各项的和 +-+++++++])1([)2()(1111d n a d a d a a 称为算术级数．等比数列各项的和 +++++-1 12 111n q a q a q a a 称为等比级数，也称为几何级数．级数 1 1n n ∞ =∑ =111123n +++++ 称为调和级数．级数（8.1.1）的前n 项和为： 121 n n k k k S a a a a ===+++∑ ，

称n S 为级数 ∑∞ =1 n n a 的前n 项部分和，简称部分和． 2.2常数项级数收敛与发散定义8.2 若级数(8.1.1)的部分和数列}{n S 的极限存在，即 S S n n =∞ →lim (常数) 则称极限S 为无穷级数 ∑∞ =1n n a 的和．记作 ++++==∑∞ =n n n a a a a S 211 此时称级数 ∑∞ =1 n n a 收敛；如果数列}{n S 没有极限，则称级数 ∑∞ =1 n n a 发散，这时级数没有和．显然，当级数收敛时，其部分和n S 是级数和S 的近似值，它们之间的差 ++=-=++21n n n n a a S S r 叫做级数的余项．用近似值n S 代替S 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差为||n r ．例１讨论几何级数 +++++=∑∞ =-n n n aq aq aq a aq 21 1 的敛散性，其中0≠a ，q 是公比．结论：几何级数 ∑∞ =-1 1 n n aq ，当1||

数项级数经典例题大全

第十二章数项级数 1 讨论几何级数∑∞ =0n n q 的敛散性. 解当1||q 时, , =n S 级数发散 ; 当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, () n n S )1(12 1 -+= , ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数 ∑∞ =0n n q 当且仅当1||

4、讨论级数∑ ∞ =-1352n n n 的敛散性. 解 5 2 , 5252352?>?=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散. 5、证明 2-p 级数∑∞ =12 1 n n 收敛 . 证显然满足收敛的必要条件.令21 n u n = , 则当2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++p k p k p n n n n p n n k n k n k n u u u 112 2 1 ,1 11) )(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 | ∑=+p k k n u 1 |不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N . 6、判断级数∑∞ =1 1 sin n n n 的敛散性. (验证0→ /n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件) 7、证明调和级数∑ ∞ =11 n n 发散. 证法一(用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二(证明{n S }发散.利用不等式n n n ln 1 1 211 )1ln(+<+++ <+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . ) 注: 此例为0→n u 但级数发散的例子. 8、考查级数 ∑∞ =+-1 2 11 n n n 的敛散性 . 解有 , 2 11 012222n n n n n <+-?>+- 9、判断级数 ()() +-+??-+??++????+??+)1(41951)1(32852951852515212n n

数项级数

CH 9 数项级数 1．上、下极限定义：对有界数列}{n a ,...},sup{lim }{sup lim lim 21++∞ →>∞→∞ →===k k k n k n k n n a a a a H ,...},inf{lim }{inf lim lim 21++∞ →>∞→∞ →===k k k n k n k n n a a a a H 如果对数列 }{n a 无上界，+∞==∞ →n n a H lim 。如果对数列}{n a 无下界，。 -∞==∞ →n n a H lim 。性质1 设n n a H ∞ →=lim ，则（1）当H 是有限时，对H 的任何ε领域),(εε+-H H 在数列}{n a 中有无穷多项属于这领域，而在),(+∞-εH 中只有有限多项。（2）当+∞=H 时，对0>?N ，在}{n a 中必有无穷多项大于N 。（3）当-∞=H 时，-∞=∞ →n n a lim 。性质2 设n n a h ∞ →=lim ，则（1）当h 为有限时，对h 的任何ε领域),(εε+-h h ，在数列}{n a 中有无穷多项属于这个领域，而只有有限项小于ε-h 。（2）当-∞=h 时，对0>?N ，在}{n a 中必有无穷多项小于N -。（3）当+∞=h 时，+∞==∞ →n n a h lim 。性质3 设H 为}{n a 的上极限，那么H 必是}{n a 中所有收敛子列的极限中的最大值。设h 为}{n a 的下极限，那么h 必是}{n a 中所有收敛子列的极限中的最小值。推论：A a n n =∞ →lim （有限或无穷大）的充要条件是:A a a n n n n ==∞ →∞ →lim lim . 2．数项级数的概念及性质定义: 若级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列}{n S 收敛于有限值S ,即

数项级数求和方法的探究

数项级数求和方法的探究摘要级数，重要的数学工具。一方面，它对于数学和其他学科及技术研究与发展方面都起到了非常重要的作用并发挥了其重要影响。另一方面，级数还和我们的日常生活息息相关，我们要合理的掌握利用级数，也要去发掘更为广泛的应用领域，为日后的研究打下坚实的基础。目前在国内并没有系统全面的研究级数求和的方法，级数求和首先要考虑级数的收敛性，并且有着比较繁多的方法和很强的技巧性。本文在借鉴国内外大量资料的基础上，选取了一些常用的数项级数求和的方法，如等差求和，等比求和，错位相减求和，原级数化为函数项级数、积分函数求和等，并且每种方法都选取了典型题目加以分析，尽量使理论与应用相结合，化繁为简。本文当中也特别介绍了如裂项法求和，夹逼法求和，幂级数求和等方法，并举出例子，在实例中说明方法，用实例体会这些方法在求和时的应用。本文对数项级数的有关概念，收敛的定义做出了简要的说明。级数的敛散性是决定级数求和的先决条件，但是本文的重点在于讨论级数求和的方法，所以对级数敛散性的讨论略过不谈，并且本文中所提到的有关级数都是收敛的。关键词：级数收敛数项级数求和裂项法求和幂级数求和

Abstract Series, the important mathematical tools. On the one hand, it is for the mathematics and other science and technology research and development has played a very important role and exert important influence. On the other hand, the series also is closely linked with our daily life, we should reasonably grasp the use of series, also want to explore more widely used in the field, a solid foundation for the future research. At present in domestic and no systematic research methods series comprehensive summation, summation of series should first consider the convergence of series, and have a comparison method and skills are very strong.In this paper, on the basis of numerous data home and abroad, some selected numerical series common summation method, such as the arithmetic sum, geometric sum, dislocation subtraction sum, positive numbers into the function series, integral function and so on, and each method selects a typical topic analysis as far as possible, so that the combination of theory and application, simplified.This paper also particularly introduces such as crack a summation, clamping force summation, and the method of power series, and examples, explain the method in the example, with the example of the application of these methods in the sum of. In this paper, the related concepts of series, convergence definition and theorem gives proof, and give some typical examples to explain. The convergence of series is prerequisite to the summation, but the focus of this paper is to discuss the method of summation of series, the series convergence discussion over does not talk, and the series is mentioned in this article are convergent. Key words: Series ConvergenceA number of series summation Methods and skillsSeeking and split method Summing a series of powers ，

罗朗级数

第5章：解析函数的罗朗级数展式与孤立奇点 §1 解析函数的罗朗级数展式一、教学目标或要求：掌握解析函数的罗朗展式二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：解析函数的罗朗展式解析函数的罗朗展式与泰勒级数的关系例题重点：解析函数的罗朗展式难点：例题三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：1－2 §1 解析函数的罗朗级数展式 1. 双边幂级数称级数 +-++-++-+ +-+ =---∞ -∞ =∑ n n n n n n n a z c a z c c a z c a z c a z c )()() ()(101（5.3）为双边幂级数，其中a 与),2,1,0( ±±=n c n 为复常数，称),2,1,0( ±±=n c n 为双边幂级数（5.3）的系数．当与都收敛时，称双边幂级数收敛。类似地,可定义双边幂级数的绝对收敛、一致收敛、内闭一致收敛。.收敛区域 (正则部分或解析部分)在收敛圆内表示一个解析函数；对（主要部分），令，则上

述级数化为，设它的收敛区域为, 换回到原来的变量, 即知原级数在内收敛，表示一个解析函数 (也是绝对收敛且内闭一致收敛的)；因此，双边幂级数在圆环内表示一个解析函数。特别地，当主要部分恒为零时,双边幂级数即为幂级数,在某个收敛圆内表示一个解析函数。定理5.1 设双边幂级数的收敛圆环为 , 则（1）在内绝对收敛且内闭一致收敛于；（2）在内解析；（3）在内可逐项求导次。 2.解析函数的罗朗展式定理 5.2 若级数（5.3）的收敛圆环为)0(:+∞≤<≤<-

(完整版)级数的概念与性质

第十一章无穷级数教学内容目录： §1—§8 本章主要内容：常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义，无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数，调和级数，P级数，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，交错级数，莱布尼兹定理，绝对收敛和条件收敛。幂级数：幂级数概念，阿贝尔（Abel）定理，幂级数的收敛半径与收敛区间，幂级数的四则运算，和的连续性、逐项积分与逐项微分。泰勒级数，函数展开为幂级数的唯一性，函数（、 e x cos sin ln(1+x)、(1+x)m等）的幂级数展开式，幂级数在近、x x 、似计算中的应用举例，“欧拉（Euler）公式。函数项级数：函数项级数的一般概念，收效域及和函数。教学目的与要求： 1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。 2、掌握几何级数和P—级数的收敛性。 3、掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 4、理解交错级数的审敛法（莱布尼兹定理）。 5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7、掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。 8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。 9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10、掌握应用e x,sinx,cox,en(1+x)和(1+x)u的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的的函数间接展开成幂级数的方法。 11、了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirchet）条件，会将定义在（-π,π）上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在（-π,π）上的函数展开为正弦或余弦级数。

【大学复变函数课件-洛朗级数】

【大学复变函数课件-洛朗级数】洛朗级数第一节洛朗展式双边幂级数设级数（）它在收敛圆内绝对且内闭一致收敛到解析函数；考虑函数项级数（）作代换则（）即为，它在收敛圆内绝对且内闭一致收敛到解析函数，从而（）在区域内绝对且内闭一致收敛到解析函数；当且仅当时，（）（）有共同的收敛区域，此时，称为双边幂级数。关于双边幂级数的性质，见p185 定理定理1 （洛朗定理）设函数f(z)在圆环：内解析，那么在H内其中，是圆是一个满足的任何数，并且展式是唯一的。证明：，作圆周和使含于圆环内，于是在圆环内解析。由柯西积分公式，其中现考虑而沿，，（在上一致收敛）由于函数沿有界，所以故当：，其中展式的唯一性：设任意取某正整数，在上有界，，故，展式唯一。注解：我们称为f(z)的解析部分，而称为其主要部分。例1、求函数分别在圆环1|z|2及内的洛朗级数式。解：如果1|z|2，那么利用当时的幂级数展式我们得如果，那么同样，我们有例2、及在内的洛朗级数展式是：例3、在内的洛朗级数展式是：。例4、求函数在圆环1|z|3内的洛朗级数展式。解：由于1|z|3，那么利用当时的幂级数展式我们得，而所以，有第二节解析函数的孤立奇点1．解析函数的孤立奇点的定义设函数f(z)在去掉圆心的圆盘内确定并且解析，那么我们称为f(z)的孤立奇点。在D内，f(z)有洛朗展式其中是圆。例如，0是的孤立奇点。

一般地，对于上述函数f(z)，按照它的洛朗展式中含负幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下： ⑴如果在的主要部分为，那么我们说是f(z)的可去奇点，这时因为令，就得到在整个圆盘内的解析函数f(z)； ⑵如果在的主要部分是有限多项：我们称是f(z)的阶极点； ⑶如果在的主要部分是无限多项，我们称是f(z)的本性奇点。例如，0分别是的可去奇点、单极点及本性奇点。 2．孤立奇点的判定定理1 是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：，其中是一个复数。证明：（必要性）。由假设，在内，f(z)有洛朗级数展式：因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R，所以它的和函数在内解析，于是显然存在着。（充分性）。设在内，f(z)的洛朗级数展式是由假设，存在着两个正数M及，使得在内，那么取，使得，我们有当n=-1,-2,-3,…时，在上式中令趋近于0，就得到。于是是f(z)的可去奇点。推论1 是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数，使得f(z)在内有界。下面研究极点的特征。设函数f(z)在内解析，是f(z)的阶极点，那么在内，f(z)有洛朗展式：在这里则在这里是一个在内解析的函数，并且。反之，如果函数f(z)在内可以表示成为上面的形状，而是一个在内解析的函数，并且，那么可以推出是f(z)的m阶极点。定理2 是f(z)的极点的必要与充分条件是：。证明：必要性是显然的，我们只证明充分性。在定理的假设下，存在着某个正数，使得在内，，于是在内解析，不等于零，而且。因此是F(z)的一个可去奇点，从而在内，有洛朗级数展式：我们有。由于在内，，可以设。由此得，其中在内解析，并且不等

第九章数项级数

1 第九章数项级数 § 1 数项级数的收敛性一、本次课主要内容级数的收敛与发散概念；收敛性必要条件；收敛级数的性质二、教学目的与要求明确认识级数是研究函数的一个重要工具；无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；理解解数项级数，级数的基本性质。三、教学重点难点 1. 数项级数的概念与收敛的转化； 2. 数项级数的性质的理解与运用。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。五、作业与习题布置 P8 1（7），（8） P8 2（1），（3）

2 一．概念： 1．级数：级数，无穷级数 ; 通项 ( 一般项 , 第项 ), 前项部分和等概念 ( 与中学的有关概念联系 ). 级数常简记为. 2.级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想 . 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 . 例1讨论几何级数的敛散性.（这是一个重要例题！）解时, . 级数收敛 ; 时, 级数发散 ; 时, , , 级数发散 ; 时, , , 级数发散 . 综上, 几何级数当且仅当时收敛, 且和为 ( 注意从0开始 ). 例2 讨论级数的敛散性. 解（利用拆项求和的方法）例3讨论级数的敛散性. 解设, , =

3 , . , . 例4讨论级数的敛散性. 解, . 级数发散. 3.级数与数列的关系: }, 收敛 {}收敛; 对应部分和数列{ }, 对应级数, 对该级数, 有=. 对每个数列{ 于是,数列{ }收敛级数收敛. 4. 级数与无穷积分的关系 : , 其中. 无穷积分可化为级数 ; 对每个级数, 定义函数 , 易见有 =.即级数可化为无穷积分.