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因式分解经典题目

第一讲：因式分解一提公因式法

2016.11.21

【知识要点】

1、分解因式的概念

把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式___________________ 。

2、分解因式与整式乘法的关系

分解因式与整式乘法是的恒等变形。

3?分解因式的一些注意点

(1)结果应该是的形式；(2)必

须分解到

每个因式都不能为止；

(3)如果结果有相同的因式，必须写成 ___________ 的形

式。

4?公因式

多项式中各项都含有的公共的因式，我们把这个因式叫做这个多项式的

5.提公因式法

如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括

号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的

方示叫做提公因式法.

6.确定公因式的方法

(1)系数公因式：应取多项式中各项系数

为；

(2)字母公因式：应取多项式中各项字母为

【学堂练习】

,哪些是分解因式，哪些不是？

(2) a -2b =(a 5)(a -5) -1

(4) x 2

4x 4 = (x 2)2

(6) (x _3)(x 1) =x 2 _2x_3

1.下列各式从左边到右边的变形 ⑴ X 2

X = x 2

(1 丄)；

X (3) (m n)(m _n)二 m 2 _ n 2 (5) 3x 2 -2xy x =x(3x -2y) 2 ?把下列各式分解因式

4 ? 3 4

(2) _ 4x y _ 6x y 2xy

例2?利用分解因式计算

(1) 2.9 1234.5 11.7 1234.5-4.6 1234.5

例3.已知a ? b 二一,ab = 2，求代数式a 2

b 2a 2

b 2

ab 2

的值

例4、利用因式分解说明：367 -612能被140整除。

【随堂练习】

下列各式从左到右的变形中是因式分解的是(

)

111

A 、(a 「1)(a b) = a a 「2

B 、 x -一2 = (x

)(x )

y y y

C 、x - y = ( . x y )C x - y)

D 、m(m 4) 4 = (m 2)2

已知二次三项式

2x 2 bx c 分解因式2(x-3)(x T)，则b,c 的值为(

)

4. 将3a(x - y) -b(x - y)用提公因式法分解因式，应提出的公因式是(

(1) 9a ? _6ab 3a

例1、把下列各式分解因式

(1) 2a(x _2y) _3b(x _2y)

? 3

(3) 2a(x -2y) b(2y _x)

234

(5) (x - y) -3(y - x) 2(y - x) (2) 2a(x _2y) _3b(2y _x) _4c(x _2y)

(4) 15b(3a-b) 25(b-3a)

(6) (a x)m 1(b x)n_l -(a x)m (b x)n

(2)

2 98

A 、b = 3, c - -1

B 、b - -6, c = 2

3 .下列各式的公因式是a 的是(

)

C 、 5a 10ab

b ~ -4,

c - -6

a 2 -4a ma

A、3a -b

B、3(x - y) D、3a b

5.把多项式m2(a -2) ? m(2 -a)分解因式的结果为( )

2 2

A、(a-2)(m m)

B、(a-2)(m —m)

C、m(a-2)(m-1)

D、m(a-2)(m 1)

6. ________________________________ 多项式 2x2y-xy的公因式是_______________________ ;多项式是 6a2b3-9ab2c3的公因式是__________________

7. _____________________________ 分解因式： xy _xy2 = 。 a(m _n) 3_b (n _ m)3 = (m _n)3 ( ___________________ )

2 2

8 .已知：a b=133,ab=1000 o a b ab 的值为__________________ o

9.把下列各式分解因式

(1)2a2b-6a2b2 2ab2(2) -3a2bc2 12a3b2c2 9a2bc3

(3)a(x - y) -b(x - y) (4)2(y - x)2 - x(x - y)

【课后强化】

1.3x2，mx-4分解因式为(3x，4)(x-1)，则m的值为_____________ o

2. _______________________________ -3xy -6mxy 9nxy =-3xy ( _______________________ )a(x - a) b(a - x) - c(x - a) = _________________ o

3.把下列各式分解因式

2 2 2

(1) 3x y -6xy 12xyz (2) 3x (x - y) 6x(y - x)

(3)2(x-y)3 4(y-x)2(4) a(a b)(a-b)-a(a b)2

第二讲：因式分解一公式法、分组分解法

1.乘法公式逆变形

(1)平方差公式：a2—b2=(a b)(a—b)

(2)完全平方公式:a2 2ab b2 = (a b)2,a2 -2ab b2二(a -b)2

2.常见的两个二项式幂的变号规律:

①(a -b)2n =(b -a)2n；②(a -b严—(b-a)2n4. ( n 为正整数)

3.把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行：

(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式;

（2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；

（3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解方法。

【学堂练习】

1、如果9x2 kx 25是一个完全平方式，那么k的值是（）

A 15

B _15

C 30

D _30

2、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（）

A、-m2 4

B、- x2— y2

C、x2y2 -1

D、

（m-a 2_（m+a j

3、把下列各式分解因式：

（1）4a2-b2（2）16-9a2

（3）

16x2y2 -1

（4）m2 -12m 36 （5）x^x^ly2

（6）

-x2 2xy -y2

例1 ?用公式法分解因式:

（7）

【经典例题】

x 2 _ y 2 ax ay

(8) 4x 4

- a 2

-6a -9

(1 ) (a 2

b 2)2

-4a 2

b 2

(2) (x 2)2

-(y-3)2

(3)a2b2 -4ab 4

x4 -8x216

(5)16(x — 1)2一25(x 2)2

(6)(x2 -x)2 6(x2— x) 9 分组分解法

掌握分组分解法中使用“二二”、“一三”分组的不同题型的解题方法

分组后能运用公式(一三分组)

x2 - y2 -x y x2 -2xy y2 -1 a?—b?—C + 2bC 分组后能提公因式(二二分组) a x+ ay+ bx+ by ab —c+ b—ac

练习：把下列多项式分解因式：

1. ( 1) a b ab 1 (2)

a —ab+ ac—bc

2. ( 1 ) 7x2 3y xy 21x (2) 2ac -6ad be -3bd

3. ( 1 ) a2-9b2+2a-6b (2) x2 x「4y2「2y

4. (1) a2—2ab+ b2—c2(2) a2 -4b2 12bc -9c2

课外延伸

3.填空:

(1) ax + ay — bx — bv=(ax + ay)— (

)

)( )

(2) x 2 — 2y — 4y 2

+ x=( )+(

)

=( )(

)

(3) 4a 2— b 2 — 4c 2

4bc=( )—(

)

=( )(

)

4 ?用分组分解法分解因式 (1 ) 4ax 「4ay 「x y

( 2 )

2 2

a -9 8a

b 16b

(3 ) a 2

-b 2

-4a 4b

用分组分解法把 )

A . 1种

ab — c + b — ac 分解因式分组的方法有

种

2. (

A(用分组分解

C.(a 2

2 2

)_(c _2bc)

B . 2种

D . 4种

a 2

— b f a —b c 2

+ 2bc 的因式，分组正确的

是

C . 3

(4)

2 2 2

a -

b -

d 「2ad -2bc

5 .用合适的方法分解因式:

(1 ) 5m 2

a 4

-5m 2

b 4

(3 )

4a 2(m -n) b 2(n-m)

2 2

4m 9(m n) 12m(m n)

6.利用分解因式计算:

7 . a b = 3,ab = -2,求a 3

a 2

b ab 2

b 3

彳值。

【随堂练习】

1 .对于多项式x^x 3

X 2

-1有如下四种分组方法：其中分组合理的

是（

）

①（X 5

- X 3

） ?（X 2

- 1 ） ②（x 5

x 2

） -（x 3 1）

③（x 5

-x 「x 2

）-1

④ X 5

-（X 3

-X 2

1）

A ?①②

B ?①③

C .②④

D .③④

24 ABC 的三边满足a 4

+b 2

c 2

-a 2

c 2

-b 4

=0,则厶ABC 的形状是

3.已知a 22，利用分解因式，求代数式

2 ab

2 2 2 2

(2) 12m n -12m n 3m

(1 ) 1.222

9 -1.332

⑵ 2022 +202x196 十982

4、分解下列因式：(1)—3x3—12x2+ 36x

2 2 2

(x 1) -4x

(3) 2

m 2n-mn -2m

+ b2—a—

5、计算 : (1 ) 20032—2002 汉2004 (2) 55 - 452

992198 1

【课后强

化］

(1) 8/-2 (2) 16a2 -9b2(3) (4) (x2 1)2 -4x2( 5) X

第三讲因式分解一一十字相乘法

十字相乘法

、X2 px q型的二次三项式因式分解:

(x a)(x b) 蔓式柬法

-------- ?

因式分解

x2(a b)x ab

(其中P=a b，q=ab )

1、利用十字相乘法将下列各式因式分解(1)、x2+ 7x + 6

( 2)、

a2+ 2ab

3 2

a b ab - 2a b

2 2

y x - 2xy y

x2—5x —6

(3)、—5x+ 6

(4 )、a2—4a —21 (6)、m2+ 4m —12(5 )、t—2t —

(7 )、x2「4x 3 (8 )、

x2 6x —7

(9) x2 -12x -13

(10 )、a2 -10a -11 (11 )、 2

x 8x 15

(12)、x2—7x+ 6

(13 )、

(佝、

x4+ 5x2—6

x4+ 10x2+ 9

(14)、m4—6m2+ 8

(佝、(a b)2-3(a b) -4 (17)、(2x-y)2 -8(2x-y) 12

(18)

、(x25x)210( x25x) 24 (19)、

&2 _2x 2-11(x2—2x 片24

二、二次三项式ax2 bx c的分解：

如果二次项系数a分解成a i、a2，常数项c分解成d、C2 ;并且a1 c2 a2c1等于一次项系数b，

那么二次三项式：

2 2

ax bx c 二a

x (a

)x O|C

= (a〔x q )(a

x c

)

借助于画十字交叉线排列

1、利用十字相乘法将下列各式因式分解

(15) 3x 2

21x 36

2 2x 5x 2 2x 2

7x 3

3x 2

7x -6 2x 2

-5x 「

2x 2 - 7x 3 3x 2 8x - 3

2x 2

一

3x 一

2x 2 一

7x 6

3x 2 - 5x 2

2x 2

5x - 7 2x 2 一

7x 6

5x 2 - 3x - 2 2 5x 6x - 8

2 6x 2

-5x - 25

6x -7x 3

1 .把下列各式分解 ⑵7a 2

ab —21a —3b 因 ⑶ax 2

3x 2

—4a —12式

(4) 9m ? — 6m + 2n —

n ? (6) 1—m 2—n 2

+ 2mn

(5) 4x 2 — 4xy — a 2 + y 2

(7) m 2

亠3m -4

x 2

-2x -15

(8)

x 2

x -30

(9)

(10) x 2

10x -24

x 2+ xy — 12y 2

(11) x 2 -14x 24

(12)

(13) x 2 — 13xy — 36y 2

(14) a 2 — ab — 12b 2

(16)

x 4 7x 2

(17) x 2

2xy-8y 2

(18)

2 2

a 4a

b 3b

?因式分解的一般步骤：一提二代三分组

①、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；

②、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法；

③、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法；

④、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。

?因式分解几点注意与说明：

①、因式分解要进行到不能再分解为止；

②、结果中相同因式应写成幕的形式；

③、根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点,

因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。

因式分解综合复习

【考点分析】

考点1:分解因式的意义

1、下列从左到右的变形，属于分解因式的是( )

A. (x+3)(x —2)=x +x—6

B. ax—ay+1=a(x—y)+1

B. ax+1 和1+ay

考点3:运用公式法分解因式

1. 如果9 x kx 25是一个完全平方式，那么k 的值是()

A 、 15

B 、 ±

C 、 30

D 3±

2. (1)( 2009 年北京)分解因式： -a

14ab 49b = ___________ 。

(2) _________________________________________ ( 2005年上海市)分解因式： m 4 -16n 4 = __________________________________________________ 。 3. 分解下列因式：

1 2 2 2 2 (1) — m -3n

(2) a b -14ab 49

(3) 9 a -b 2 -16 a b 2 考点4:分组分解法分解因式

(1) 4x 2 -2x -y 2

- y

(4) 9 a - b 2

24 a - b 16

(2) 4m 2 -9n 2 -4m 1

(4)

a 2

_ 4a 4 _ c

考点5:综合运用提公因式法、公式法分解因式

1、(1)分解因式：4m 3-m= ____________ ;

(2)分解因式：8x 2 y-8xy+2y=

(4) a 2(16x —y 1) b 2(y 一1

—16x)

3 (1-a 2)(1-b 2)-4ab

C . (a — b)2

和一a + b 4、分解下列因式

2n+2 n+2

n+1 2n+3

(1) — 8x y + 12x y

D . a 2— b 2

和(a + b)(a + 1)

(2) xy(x — y) + 2xy(y —

(3) 16 (x —y ) 2

— 24xy (y — x )

(4) - 27x 2(3x _ y )2 _9y(y _3x )

(1) 8a 4

— 2a 2

(3) (a -b)2 -4m 2(b -a)2

2、分解下列因式:

(2) 9x 2 m -n _ y 2 n _m

考点6:分解因式的应用

1、利用因式分解方法计算：

(1) 4.45 13.7 445 0.889-44.5 0.26

2、已知 b —a=6,ab=7，求 a 2

b —ab 2

的值。

2 2

3、A ABC 的三边满足 a-2bc=c-2ab ，则△ ABC 是( )

A 、等腰三角形

B 、直角三角形

C 、等边三角形

D 、锐角三角形

4、若a 为整数，证明(2a 1)2

-1能被8整除。

【随堂小测】

1、下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是 ( )

(A) (a+3)(a-3)=a 2

-9

(B) x 2

+x-5=(x-

2 2

(D) x 2+ 仁x(x+1)

2、把多项式m (a-2)+ m(2-a)分解因式等于(

)

2 2

(A) (a-2)(m 2

+m) (B) (a-2)(m 2

-m) (C) m(a-2)(m-1) (D) m(a-2)(m+1)

3、下列多项式中不能用平方差公式分解的是(

)

2 2

(D) 16m -25n p

2 2 2 2

(A) -a +b

(B) -x -y

2 2 2

4、下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是(

)

(A) m ■ 1 — (B) -

x 2 2xy-y 2 (C) - a 2

n 14ab 49b 2

(D)— - ？n 1 3

5、把多项式p 2

a -1 ? p 1 -a 分解因式的结果是(

)

A 、a-1 p 2 p

B 、a-1 p 2 - p

C 、pa-1 p -1

D 、pa-1 p 1

6、已知 x 2 y 2 2x -6y 10 二 0,则x y =()

A 、2

B 、一 2

C 、4

D 、一 4

7、若三角形的三边长分别为a 、b 、c,满足a 2b-a 2c ? b 2c-b 3 =0，则这个三角形是()

(2) 8002 -1600 798 7982

A、等腰三角形

B、直角三角形

C、等边三角形

D、三角形的形状不确定

6、已知x+y=6, xy=4,贝U x y+xy 的值为________ 。

7、分解因式：m -4m= _____________ 。

2 2

8、若ax +24x+b=(mx-3)，贝U a= ____ , b= _____ , m= ______ 。

9、16 (x-y) —24xy (y-x) = 8 (x- y) ( _________________________ )