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新课标最新北师大版2018-2019学年高中数学必修1第二章4.2二次函数的性质课时导学及解析

北师大版高中数学必修一

4.2 二次函数的性质

问题导学

一、二次函数的对称性和单调性

活动与探究1

已知函数f(x)＝－2x 2－4x ＋c.

(1)求该函数图像的对称轴；

(2)若f(－5)＝4，求f(3)的值．

迁移与应用

若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 满足f(－2)＝f(4)．

(1)求f(x)图像的对称轴；

(2)比较f(－1)与f(5)的大小．

1．二次函数图像的对称轴通常有以下三种求法：

(1)利用配方法求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴为x ＝－b 2a

. (2)若二次函数f(x)对任意x 1，x 2∈R 都有f(x 1)＝f(x 2)，则对称轴为x ＝x 1＋x 22

. (3)若二次函数y ＝f(x)对定义域内所有x 都有f(a ＋x)＝f(a －x)，则对称轴为x ＝a(a 为常数)．

2．利用对称性，结合开口方向，可以比较二次函数函数值的大小．

(1)若抛物线开口向上，则离对称轴越近，函数值越小；

(2)若抛物线开口向下，则离对称轴越近，函数值越大．

二、二次函数在某区间上的最值(值域)

活动与探究2

已知函数f(x)＝－x 2＋kx ＋k 在区间[2,4]上具有单调性，求实数k 的取值范围．

迁移与应用

已知二次函数f(x)＝x 2＋2(m －2)x ＋m －m 2，若函数在区间[2，＋∞)上为增加的，求m

的取值范围．

(1)利用二次函数的单调性可以求解函数解析式中参数的范围，这是函数单调性的逆向

思维问题．解答此类问题的关键在于借助二次函数的对称轴，通过集合间的关系建立变量之间的关系，进而求解参数的取值范围．

(2)函数在区间(a ，b)上单调与函数的单调区间是(a ，b)的含义不同，注意区分．前者只能说明(a ，b)是相应单调区间的一个子集；而后者说明a ，b 就是增减区间的分界点，即函数在a ，b 两侧具有相反的单调性．

活动与探究3

已知函数f(x)＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．

(1)当a ＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；

(2)用a 表示出函数f(x)在区间[－5,5]上的最值．

迁移与应用

1．函数y ＝3x 2－6x ＋1，x ∈[0,3]的最大值是__________，最小值是__________．

2．设f(x)＝x 2－4x －4，x ∈[t ，t ＋1](t ∈R)，求函数f(x)的最小值g(t)的解析式．

求二次函数在某区间上的最值问题，要注意：

(1)考虑二次函数的对称轴在该区间的两侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；

(2)当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大．

三、二次函数的实际应用问题

活动与探究4

某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元，市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x 万元，每辆汽车的销售利润为y 万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．

(1)求y 与x 之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x 的取值范围；

(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z 万元，试写出z 与x 之间的函数关系式；

(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？

迁移与应用

某动物园为迎接大熊猫，要建造两间一面靠墙的大小相同且紧挨着的长方形熊猫居室，若可供建造围墙的材料长30米，那么宽为__________米时，所建造的熊猫居室面积最大，最大面积是__________平方米．

解实际应用问题的方法步骤

当堂检测

1．函数f(x)＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称，则( )．

A ．m ＝－2

B ．m ＝2

C ．m ＝－1

D ．m ＝1

2．函数y ＝x 2＋bx ＋c 在x ∈[0，＋∞)上是递增的，则( )．

A ．b ≥0

B ．b ≤0

C ．b ＞0

D ．b ＜0

3．函数f(x)＝－2x 2＋4x －1在区间[－1,4]上的最大值与最小值分别是( )．

A ．1，－7

B ．1，－17

C ．－7，－17

D ．－7，－16

4．某电子产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数解析式为y ＝－3x 2＋90x ，要使利润

获得最大值，则产量应为( )．

A ．10件

B ．15件

C ．20件

D ．30件

5．已知函数y ＝f(x)＝3x 2＋2x ＋1.

(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴；

(2)求函数的最小值；

(3)已知f ? ????－23＝1，不计算函数值，求f(0)；

(4)不直接计算函数值，试比较f ? ????－34与f ? ??

??154的大小．提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精

华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。

答案：

课前预习导学

【预习导引】

上下－b 2a ? ????－b 2a ，4ac －b 24a ? ????－∞，－b 2a ??????－b 2a ，＋∞ ? ??

??－∞，－b 2a ????

??－b 2a ，＋∞ 低－b 2a 4ac －b 24a 高－b 2a 4ac －b 24a 预习交流1 (1)提示：二次函数的单调区间主要取决于其开口方向(与a 有关)和对称

轴(与－b 2a

有关)． (2)提示：二次函数在一个闭区间上一定同时存在最大值与最小值，并且最值都是在该闭区间的端点或二次函数的对称轴处取到．

预习交流2 提示：直线x ＝a.

课堂合作探究

【问题导学】

活动与探究1 思路分析：(1)通过配方可得对称轴方程；(2)可先由f(－5)＝4求得c 的值，确定解析式后再计算f(3)的值，也可直接利用对称性计算．

解：(1)由于f(x)＝－2x 2－4x ＋c ＝－2(x ＋1)2＋c ＋2.

所以其图像的对称轴为x ＝－1.

(2)方法一：由f(－5)＝4可得－2×(－5)2－4×(－5)＋c ＝4，

于是c ＝34，因此f(x)＝－2x 2－4x ＋34.

所以f(3)＝－2×32－4×3＋34＝4.

方法二：由于f(x)的图像关于x ＝－1对称，

又－5和3关于x ＝－1对称，

所以f(－5)＝f(3)，而f(－5)＝4，故f(3)＝4.

迁移与应用解：(1)由于f(－2)＝f(4)，而－2和4关于x ＝1对称，所以f(x)图像的对称轴是x ＝1.

(2)函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 图像的开口向上，对称轴为x ＝1，所以离对称轴越近，函数

值越小．

而|－1－1|＝2，|5－1|＝4，

所以f(－1)＜f(5)．活动与探究2 思路分析：首先求出f(x)的单调区间，要使f(x)在[2,4]上具有单调性，须使区间[2,4]为f(x)单调区间的子集．从而建立不等式求解k 的取值范围．

解：f(x)＝－x 2＋kx ＋k ＝－? ??

??x －k 22＋k 2＋4k 4， f(x)的图像是开口向下的抛物线，对称轴是直线x ＝k 2

. 要使f(x)在区间[2,4]上具有单调性，

高中数学北师大版必修1全册知识点总结

高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集， R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等

A B = 真子集 A ≠ ?B （或 B ≠ ?A ） B A ?，且B 中至少有一元素不属于A （1）A ≠ ??（A 为非空子集） (2)若A B ≠ ?且B C ≠ ?，则 A C ≠ ? B A 集合相等 A B = A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A (1)A ?B (2)B ?A A(B) （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有 21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集 A B I {|,x x A ∈且}x B ∈ （1）A A A =I （2）A ?=?I （3）A B A ?I A B B ?I B A 并集 A B U {|,x x A ∈或}x B ∈ （1）A A A =U （2）A A ?=U （3）A B A ?U A B B ?U B A

高中数学必修1第二章课后习题解答

新课程标准数学必修1第二章课后习题解答第二章基本初等函数（I ） 2．1指数函数练习（P54） 1. a 2 1=a ,a 4 3=43a ,a 5 3-= 5 3 1 a ,a 3 2- = 3 2 1 a . 2. (1)32x =x 3 2, (2)43)(b a +=(a +b )4 3, (3)32 n)-(m =(m -n )3 2, (4)4n)-(m =(m -n )2,(5)5 6q p =p 3q 2 5,(6) m m 3=m 2 13- =m 2 5. 3. (1)(4936)23 =［(76)2］23 =(76)3=343 216; (2)23×35.1×612=2×32 1×(2 3)31×(3×22)61=231311--×361 3121++=2×3=6; (3)a 21a 4 1a 8 1- =a 8 14121-+=a 8 5 ; (4)2x 3 1- (21x 31-2x 32-)=x 3131+--4x 32 21--=1-4x -1=1x 4 -. 练习（P58） 1.如图图2-1-2-14 2.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =3 2 -x 的定义域为｛x |x ≥2｝; (2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(2 1 )x 1 的定义域是｛x ∣x ≠0｝. 3.y =2x (x ∈N *) 习题2.1 A 组（P59） 1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y .

2解：(1) 6 2 3 b a a b =212 162 122 12 3)(?? ?b a a b =2 3 232121--?b a =a 0b 0=1. (2)a a a 2 12 1=21212 1a a a ?=2121a a ?=a 2 1. (3) 4 15643)(m m m m m ???= 4 16 54 13 12 1m m m m m ??= 4 165413121+++m m =m 0=1. 点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行. 3.解：对于（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.答案：1.710 0; 对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按1 2,最后按即可. 答案：2.881 0; 对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可. 答案：4.728 8; 对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可. 答案：8.825 0. 4.解：(1)a 3 1a 4 3a 12 7=a 1274331++=a 35; (2)a 32a 4 3÷a 6 5=a 6 54332-+=a 12 7; (3)(x 3 1y 43-)12=124 3123 1?-?y x =x 4y -9; (4)4a 32b 3 1- ÷(32-a 31-b 31 -)=(3 2-×4)31 313 1 32+-+b a =-6ab 0=-6a ; (5))2516(4 6 2r t s -2 3-= ) 2 3(4) 2 3(2) 2 3(6)23(2) 2 3 (45 2-?-?-?--?-?r t s =6393652----r t s =3 6964125s r r ; (6)(-2x 4 1y 3 1-)(3x 2 1-y 3 2)(-4x 41y 3 2)=［-2×3×(-4)］x 3 232314 12141++-+-y x =24y ; (7)(2x 21+3y 4 1-)(2x 2 1-3y 4 1-)=(2x 21)2 -(3y 41-)2=4x -9y 2 1 - ; (8)4x 4 1 (-3x 4 1y 3 1-)÷(-6x 2 1 - y 3 2- )=3 2 3121 41416 43+-++-?-y x =2xy 31 . 点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.

高中数学必修二第二章经典练习题

绝密★启用前 201*年**中学同步教学测试试卷 **测试试卷考试围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号一二三四五总分得分注意事项： 1．答题前填写好自己的、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单项选择 1. 在空间，下列哪些命题是正确的（）． ①平行于同一条直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ③平行于同一个平面的两条直线互相平行 ④垂直于不一个平面的两条直线互相平行 A．仅②不正确B．仅①、④正确 C．仅①正确D．四个命题都正确 2. 如果直线 a是平面α的斜线，那么在平面α（） A 不存在与a平行的直线 B 不存在与a垂直的直线 C 与a垂直的直线只有一条 D 与a平行的直线有无数条3. 平面α有一四边形ABCD，P为α外一点，P点到四边形ABCD各边的距离相等，则这个四边形（） A 必有外接圆 B 必有切圆 C 既有切圆又有外接圆 D 必是正方形 4. 已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( ) A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC C．直线BC∥平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45° 5. 若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交 6. 设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( ) A．不存在B．只有1个 C．恰有4个D．有无数多个 7. 设P是△ABC所在平面外一点，P到△ABC各顶点的距离相等，而且P 到△ABC各边的距离也相等，那么△ABC（） A 是非等腰的直角三角形 B 是等腰直角三角形 C 是等边三角形 D 不是A、B、C所述的三角形 8. 已知正四棱锥S ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中

高一数学必修一第二章知识总结

高一数学必修一第二章知识总结一、指数函数（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，? ? ?<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定： )1,,,0(* >∈>= n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1 * >∈>= =- n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质（1）r a 〃s r r a a += ),,0(R s r a ∈>；（2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）s r r a a a b =)( ),,0(R s r a ∈>．（二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；

（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；二、对数函数（一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式．两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．指数式与对数式的互化幂值真数指数对数（二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log 〃=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a n a m log log = ；（2）a b b a log 1log = ．（二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5 log 5 x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○ 2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．

(北师大版)高一数学必修1全套教案

第一章集合课题:§0 高中入学第一课（学法指导）教学目标：了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求，了解新课程标准的基本思路，了解高考意向，掌握高中数学学习基本方法，激发学生学习数学兴趣，强调布置有关数学学习要求和安排。教学过程：一、欢迎词： 1、祝贺同学们通过自己的努力，进入高一级学校深造。希望同学们能够以新的行动，圆满完成高中三年的学习任务，并祝愿同学们取得优异成绩，实现宏伟目标。 2、同学们军训辛苦了，收获应是：吃苦耐劳、严肃认真、严格要求 3、我将和同学们共同学习高中数学，暂定一年，… 4、本节课和同学们谈谈几个问题：为什么要学数学？如何学数学？高中数学知识结

构？新课程标准的基本思路？本期数学教学、活动安排？作业要求？二、几个问题： 1.为什么要学数学：数学是各科之研究工具，渗透到各个领域；活脑，训练思维；计算机等高科技应用的需要；生活实践应用的需要。 2.如何学数学：请几个同学发表自己的看法→共同完善归纳为四点：抓好自学和预习；带着问题认真听课；独立完成作业；及时复习。注重自学能力的培养，在学习中有的放矢，形成学习能力。高中数学由于高考要求，学习时与初中有所不同，精通书本知识外，还要适当加大难度，即能够思考完成一些课后练习册，教材上每章复习参考题一定要题题会做。适当阅读一些课外资料，如订阅一份数学报刊，购买一本同步辅导资料. 3.高中数学知识结构：书本：高一上期（必修①、②），高一下期（必

修③、④），高二上期（必修⑤、选修系列），高二下期（选修系列），高三年级：复习资料。知识：密切联系，必修（五个模块）＋选修系列（4个系列，分别有2、3、6、10个模块）能力：运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。 4.新课程标准的基本理念： ①构建共同基础，提供发展平台；②提供多样课程，适应个性选择；③倡导积极主动、勇于探索的学习方式；④注重提高学生的数学思维能力；⑤发展学生的数学应用意识；⑥与时俱进地认识“双基”；⑦强调本质，注意适度形式化；⑧体现数学的文化价值；⑨注重信息技术与数学课程的整合；⑩建立合理、科学的评价体系。 5.本期数学教学、活动安排：本期学习内容：高一必修①、②，共72课时，