直线与平面的垂直判定和性质经典例题(教师)
典型例题一
例1下列图形中，满足唯一性的是（ ）．
A ．过直线外一点作与该直线垂直的直线
B ．过直线外一点与该直线平行的平面
C ．过平面外一点与平面平行的直线
D ．过一点作已知平面的垂线
分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关． 解：A ．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．
B ．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．
C ．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．
D ．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点A 、平面α，过点A 有两条直线AB 、AC 都垂直于α，由于AB 、AC 为相交直线，不妨设AB 、AC 所确定的平面为β，α与β的交线为l ，则必有l AB ⊥，l AC ⊥，又由于AB 、AC 、l 都在平面β内，这样在β内经过A 点就有两条直线和直线
l 垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．
故选D ．
说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．
典型例题二
例2 已知下列命题：
（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影； （2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；
（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；
（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（ ）．
A ．（1）、（2）
B ．（2）、（3）
C ．（3）、（4）
D ．（2）、（4）
分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形． 解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系；
（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行； （3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直； （4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性． 故选D ． 说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如在正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为棱1AA 和1BB 上的点，G 为棱BC 上的点，且1BB EF ⊥，EG FC ⊥1，求FG D 1∠．
典型例题三
例3 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是1BB 的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：
⊥OE 平面1ACD ．
分析：本题考查的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明⊥OE 平面1ACD ，只要
在平面
1ACD 内找两条相交直线与OE 垂直．
证明：连结D B 1、D A 1、BD ，在△BD B 1中， ∵O E 、分别是B B 1和DB 的中点， ∴D B EO 1//． ∵⊥11A B 面D D AA 11，
∴1DA 为1DB 在面D D AA 11内的射影．又∵D A AD 11⊥，∴11DB AD ⊥． 同理可证，C D D B 11⊥．
又∵111D CD AD = ，1AD 、?C D 1面1ACD ，
∴⊥D B 1平面1ACD ．∵EO D B //1，∴⊥EO 平面1ACD ．
另证：连结CE AE 、，O D 1，设正方体1DB 的棱长为a ，易证CE AE =． 又∵OC AO =，∴AC OE ⊥． 在正方体1DB 中易求出：
a a a DO
DD O D 26222
2
2
2
11=???? ??+=
+=
，
a a a OB
BE
OE 232222
2
2
2
=???
? ??+???
??=
+= (
)
a a a
E
B B D E D 23222
2
2
12111=??
?
??+=
+=．
∵2
12
21E D OE
O D =+，∴OE O D ⊥1．
∵O AC O D = 1，O D 1、?AC 平面1ACD ，∴⊥OE 平面1ACD ．
说明：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法．在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用．
典型例题四
例4 如图，在△ABC 中， 90=∠B ，⊥SA 平面ABC ，点A 在SB 和SC 上的射影分别为N M 、，求证：SC MN ⊥．
分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思想．欲证MN SC ⊥，可证⊥SC 面AMN ，为此须证AN SC ⊥，进而可转化为证明⊥AN 平面SBC ，而已知SB AN ⊥，所以只要证BC AN ⊥即可．由于图中线线垂直、线面垂直关系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直．
证明：∵⊥SA 面ABC ，?BC 平面ABC ，
∴BC SA ⊥．
∵
90=∠B ，即BC AB ⊥，A SA BA = ，∴⊥BC 平面SAB ． ∵?AN 平面SAB ．∴AN BC ⊥．
又∵SB AN ⊥，B BC SB = ，∴⊥AN 平面SBC ． ∵?SC 平面SBC ，∴SC AN ⊥， 又∵SC AM ⊥，A AN AM = ，
∴⊥SC 平面AMN ．∵?MN 平面AMN ．∴MN SC ⊥． 另证：由上面可证⊥AN 平面SBC ．
∴MN 为AM 在平面SBC 内的射影．∵SC AM ⊥，∴SC MN ⊥．
说明：在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直．立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的．本题若改为下题，想想如何证：已知⊥SA ⊙O 所在平面，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上任意一点（C 与B A 、不重合）．过点A 作SB 的垂面交SB 、SC 于点N M 、，求证：SC AN ⊥．
典型例题五
例5 如图，AB 为平面α的斜线，B 为斜足，AH 垂直平面α于H 点，BC 为平面α内的直线，θ=∠ABH ，α=∠HBC ，β=∠ABC ，求证：θαβcos cos cos ?=．
分析：本题考查的是线面角的定义和计算．要证明三个角余弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形中求出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理．
证明：过H 点作HD 垂直BC 于D 点，连AD ． ∵α⊥AH ，
∴AD 在平面α内射影为HD ．∵HD BC ⊥，α?BC ， ∴AD BC ⊥．
在Rt △ABH 中有：BA BH =θcos ①在Rt △BHD 中有：BH
BD =
αcos ②
在Rt △ABD 中有：BA
BD =
βcos ③由①、②、③可得：αθβcos cos cos ?=．
说明：由此题结论易知：斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小
的角．若平面的斜线与平面所成角为θ，则斜线与平面内其它直线所成角β的范围为?
?
?
??
?2πθ，
典型例题六
例6 如图，已知正方形ABCD 边长为4，⊥CG 平面ABCD ，2=CG ，F E 、分别是AD AB 、中点，
求点B 到平面GEF 的距离． 分析：此题是1991年高考题，考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力．本题是求平面外一点到平面的距离，可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离．为此要寻找过点B 与平面GEF 平行的直线，因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等． 证明：连结AC BD 、，EF 和BD 分别交AC 于O H 、，连GH ，作GH OK ⊥于K ． ∵ABCD 为正方形，F E 、分别为AD AB 、的中点，
∴BD EF //，H 为AO 中点．
∵EF BD //，?BD 平面GFE ，∴//BD 平面GFE ． ∴BD 与平面GFE 的距离就是O 点到平面EFG 的距离．
∵AC BD ⊥，∴AC EF ⊥．∵⊥GC 面ABCD ，∴EF GC ⊥． ∵C AC GC = ，∴⊥EF 平面GCH ． ∵?OK 平面GCH ，∴OK EF ⊥．
又∵GH OK ⊥，H EF GH = ，∴⊥OK 平面GEF ．即OK 长就是点B 到平面GEF 的距离． ∵正方形边长为4，2=CG ，∴24=AC ，2=HO ，23=HC ．
在Rt △HCG 中，222
2
=+=
CG
HC
HG ．在Rt △GCH 中，11
112=?=HG
GC HO OK ．
说明：求点到平面的距离常用三种方法：一是直接法．由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长．用此法的关键在于准确找到垂足位置．如本题可用下列证法：延长CB 交FE 的延长线于M ，连结GM ，作ME BP ⊥于P ，作CG BN //交MG 于N ，连结PN ，再作PN BH ⊥于H ，可得⊥BH 平面GFE ，BH 长即为B 点到平面EFG 的距离．二是转移法．将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离．三是体积法．已知棱锥的体积和底面的面积．求顶点到底面的距离，可逆用体积公式．
典型例题七
例7 如图所示，直角ABC ?所在平面外一点S ，且SC SB SA ==．
(1)求证：点S 与斜边AC 中点D 的连线SD ⊥面ABC ；(2)若直角边BC BA =，求证：BD ⊥面SAC ．
分析：由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直．
证明：(1)在等腰SAC ?中，D 为AC 中点，∴AC SD ⊥．取AB 中点E ，连DE 、SE ．
∵BC ED //，AB BC ⊥，∴AB DE ⊥．又AB SE ⊥，∴AB ⊥面SED ，∴SD AB ⊥． ∴SD ⊥面ABC （AB 、AC 是面ABC 内两相交直线）．
(2)∵BC BA =，∴AC BD ⊥．又∵SD ⊥面ABC ，∴BD SD ⊥．∵D AC SD = ，∴BD ⊥面SAC ．
说明：证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直．寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等．
典型例题八
例8 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． 已知：b a //，α⊥a ．求证：α⊥b ．
分析：由线面垂直的判定定理知，只需在α内找到两条相交直线与b 垂直即可．
证明：如图所示，在平面α内作两条相交直线m 、n ．∵α⊥a ，∴m a ⊥，n a ⊥． 又∵a b //，从而有m b ⊥，n b ⊥．由作图知m 、n 为α内两条相交直线．∴α⊥b ． 说明：本题的结论可以作为判定线面垂直的依据，即当要证的直线与平面的垂直关系不明确或不易证出时，可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直．
典型例题九
例9 如图所示，已知平面α 平面β=EF ，A 为α、β外一点，α⊥AB 于B ，β⊥AC 于C ，
α⊥CD 于D ．证明：EF BD ⊥．
分析：先证A 、B 、C 、D 四点共面，再证明EF ⊥平面ABCD ，从而得到EF BD ⊥． 证明：∵α⊥AB ，α⊥CD ，∴CD AB //．∴A 、B 、C 、D 四点共面． ∵α⊥AB ，β⊥AC ，EF =βα ，∴EF AB ⊥，EF AC ⊥．
又A AC AB = ，∴EF ⊥平面ABCD ．∴BD EF ⊥． 说明：与线面平行和线线平行交替使用一样，线面垂直和线线垂直也常互为条件和结论．即要证线面垂直，先找线线垂直；要证线线垂直，先找线面垂直．本题证明“A 、B 、C 、D 四点共面”非常重要，仅由EF ⊥平面ABC ，就断定BD EF ⊥，则证明是无效的．
典型例题十
例10 平面α内有一半圆，直径AB ，过A 作SA ⊥平面α，在半圆上任取一点M ，连SM 、SB ，且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影．
(1)求证：SB NH ⊥；(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？
(3)这个图形中有多少个直角三角形？(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？ 分析：注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断．
(1)证明：连AM 、BM ．如上图所示，∵AB 为已知圆的直径，∴BM AM ⊥．
∵SA ⊥平面α，α?BM ，∴MB SA ⊥．∵A SA AM = ，∴BM ⊥平面SAM ． ∵AN ?平面SAM ，∴AN BM ⊥．
∵SM AN ⊥于N ，M SM BM = ，∴AN ⊥平面SMB ．
∵SB AH ⊥于H ，且NH 是AH 在平面SMB 的射影，∴SB NH ⊥．
解(2)：由(1)知，SA ⊥平面AMB ，BM ⊥平面SAM ，AN ⊥平面SMB ． ∵AH SB ⊥且HN SB ⊥，∴SB ⊥平面ANH ， ∴图中共有4个线面垂直关系．
(3)∵SA ⊥平面AMB ，∴SAB ?、SAM ?均为直角三角形． ∵BM ⊥平面SAM ，∴BAM ?、BMS ?均为直角三角形．
∵AN ⊥平面SMB ，∴ANS ?、ANM ?、ANH ?均为直角三角形．
∵SB ⊥平面ANH ，∴SHA ?、BHA ?、SHN ?、BHN ?均为直角三角形． 综上，图中共有11个直角三角形．
(4)由SA ⊥平面AMB 知，AM SA ⊥，AB SA ⊥，BM SA ⊥． 由BM ⊥平面SAM 知，AM BM ⊥，SM BM ⊥，AN BM ⊥． 由AN ⊥平面SMB 知，SM AN ⊥，SB AN ⊥，NH AN ⊥． 由SB ⊥平面ANH 知，AH SB ⊥，HN SB ⊥． 综上，图中共有11对互相垂直的直线．
说明：为了保证(2)(3)(4)答案不出错，首先应找准(2)的答案，由“线⊥面”可得到“线⊥面内线”，当“线⊥面内线”且相交时，可得到直角三角形；当“线⊥面内线”且不相交时，可得到异面且垂直的一对直线．
典型例题十一
例11 如图所示，?=∠90BAC ．在平面α内，PA 是α的斜线，?=∠=∠60PAC PAB ．求PA 与平面α所成的角．
分析：求PA 与平面α所成角，关键是确定PA 在平面α上射影AO 的位置．由PAC PAB ∠=∠，可考虑通过构造直角三角形，通过全等三角形来确定AO 位置，构造直角三角形则需用三垂线定理． 解：如图所示，过P 作α⊥PO 于O ．连结AO ，
则AO 为AP 在面α上的射影，PAO ∠为PA 与平面α所成的角．作AC OM ⊥，由三重线定理可得AC PM ⊥．作AB ON ⊥，同理可得AB PN ⊥．
由PAC PAB ∠=∠，?=∠=∠90PNA PMA ，PA PA =， 可得PMA ?≌PNA ?，∴PN PM =．
∵OM 、ON 分别为PM 、PN 在α内射影，∴ON OM =．所以点O 在BAC ∠的平分线上． 设a PA =，又?=∠60PAM ，∴a AM 2
1=，?=∠45OAM ，
∴a AM AO 2
22=
=
．在POA ?中，2
2cos =
=
∠PA
AO PAO ，
∴?=∠45PAO ，即PA 与α所成角为?45． 说明：
(1)本题在得出PA 在面α上的射影为BAC ∠的平分线后，可由公式βαθcos cos cos ?=来计算PA 与平面α所成的角，此时?==∠60θPAC ，α=∠PAO ，?==∠45βCAO ．
(2)由PA 与平面α上射影为BAC ∠平分线还可推出下面结论：四面体ABC P -中，若PAC PAB ∠=∠，PBC PBA ∠=∠，则点A 在面ABC 上的射影为ABC ?的内心．
典型例题十二
例12 如图所示，在平面β内有ABC ?，在平面β外有点S ，斜线AC SA ⊥，BC SB ⊥，且斜线
SA 、SB 分别与平面β所成的角相等，设点S 与平面β的距离为cm 4，BC AC ⊥，且cm AB 6=．求
点S 与直线AB 的距离．
分析：由点S 向平面β引垂线，考查垂足D 的位置，连DB 、DA ，推得AC DA ⊥，BC DB ⊥，又
?=∠90ACB ，故A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点．
解：作SD ⊥平面β，垂足为D ，连DA 、DB ．∵AC SA ⊥，BC DB ⊥，
∴由三垂线定理的逆定理，有：AC DA ⊥，BC DB ⊥，
又BC AC ⊥，∴ACBD 为矩形．又∵SB SA =，∴DB DA =，∴ACBD 为正方形， ∴AB 、CD 互相垂直平分．设O 为AB 、CD 的交点，连结SO ，
根据三垂线定理，有AB SO ⊥，则SO 为S 到AB 的距离．在SOD Rt ?中，cm SD 4=，
cm AB DO 32
1==
，∴cm SO 5=．
因此，点S 到AB 的距离为cm 5．
说明：由本例可得到点到直线距离的作法：
(1)若点、直线在确定平面内，可直接由点向直线引垂线，这点和垂足的距离即为所求．
(2)若点在直线所在平面外，可由三垂线定理确定：由这点向平面引垂线得垂足，由垂足引直线的垂线得斜足，则这点与斜足的距离为点到直线的距离．
(3)处理距离问题的基本步骤是：作、证、算，即作出符合要求的辅助线，然后证明所作距离符合定义，再通过解直角三角形进行计算．
典型例题十三
例13 如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：SB AE ⊥，SD AG ⊥．
分析：本题考查线面垂直的判定与性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想．由于图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可．欲证SB AE ⊥，可证⊥AE 平面SBC ，为此须证BC AE ⊥、SC AE ⊥，进而转化证明⊥BC 平面SAB 、⊥SC 平面AEFG ．
证明：∵SA ⊥平面ABCD ，?BC 平面ABCD ，∴BC SA ⊥． 又∵ABCD 为正方形，∴AB BC ⊥．∴⊥BC 平面ASB ． ∵?AE 平面ASB ，∴AE BC ⊥． 又∵⊥SC 平面AEFG ，∴AE SC ⊥． ∴⊥AE 平面SBC ．又∵?SB 平面SBC ， ∴SB AE ⊥，同理可证SD AG ⊥．
说明：(1)证明线线垂直，常用的方法有：同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理，三垂线定理与它的逆定理，以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直．(2)本题的证明过程中反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系，充分体现了数学化思想的优越性．
典型例题十四
例14 如图，求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上．
已知：BAC ∠在平面α内，点α?P ，AB PE ⊥，AC PF ⊥，α⊥PO ，垂足分别是E 、F 、O ，PF PE =．求证：CAO BAO ∠=∠．
证明：∵α⊥PO ，
∴OE 为PE 在α内的射影．∵PE AB ⊥，α平面?AB ，∴OE AB ⊥． 同理可证：OF AC ⊥．又∵α⊥PO ，PF PE =，OF OE =， ∴CAO BAO ∠=∠．
说明：本题是一个较为典型的题目，与此题类似的有下面命题：从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，则斜射线在平面内的射影，是这个角的平分线所在的直线．由此结论和上一个例题很容易求解下面这道题：已知?=∠90ACB ，S 为平面A C B 外一点，?=∠=∠60SCB SCA ，求SC 与平面ACB 所成角．
典型例题十五
例15 判断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号． (1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．（ ） (2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．（ ） (3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．（ ）
(4)过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内．（ ）
(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．（ ）
解(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行②异面，因此应打“×”号 (2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．①若为平行，则该命题应打“×”号；若为相交，则该命题应打“√”，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内无这数条线的位置关系，则该命题应打“×”号．
(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，∴该命题应打“√”．
(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A 垂直于直线a 的平面惟一，因此，过点A 且与直线a 垂直的直线都在过点A 且与直线a 垂直的平面内，∴该命题应打“√”号．
(5)三条共点直线两两垂直，设为a ，b ，c 且a ，b ，c 共点于O ，
∵b a ⊥，c a ⊥，0=c b ，且b ，c 确定一平面，设为α，则α⊥a ，
同理可知b 垂直于由a ，c 确定的平面，c 垂直于由了确定的平面，∴该命题应打“√”号．
说明：本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．
典型例题十六
例16 如图，已知空间四边形ABCD 的边AC BC =，BD AD =，引CD BE ⊥，E 为垂足，作BE AH ⊥于H ，求证：BCD AH 平面⊥．
分析：若证BCD AH 平面⊥，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证AH 垂直平面BCD 中两条相交直线即可．
证明：取AB 中点F ，连CF 、DF ， ∵BC AC =，∴AB CF ⊥．
又∵BD AD =，∴AB DF ⊥，∴CDF AB 平面⊥， 又CDF CD 平面?，∴AB CD ⊥
又BE CD ⊥，∴ABE CD 平面⊥，AH CD ⊥， 又BE AH ⊥，∴BCD AH 平面⊥．
典型例题十七
例17 如果平面α与α外一条直线a 都垂直b ，那么α//a ． 已知：直线α?a ，b a 直线⊥，α⊥b ．求证：α//a ．
分析：若证线面平行，只须设法在平面α内找到一条直线'a ，使得'//a a ，由线面平行判定定理得证． 证明：(1)如图，若a 与b 相交，则由a 、b 确定平面β，设'a =αβ ．
αααβαα////,,'
'
'
''
a a a a a a
b a a b a
b a b ???
????????????⊥⊥?????⊥又∵． (2)如图，若a 与b 不相交，
则在a 上任取一点A ，过A 作b b //'，a 、'b 确定平面β，设'a =αβ ．
αααβααα////,,////'
'
'''
''''
''
a a a a a a a
b a b a b b b a b a b b b b ????????????
?????⊥????⊥⊥???????⊥????⊥又又∵又∵． 典型例题十八
例18 如图，已知在ABC ?中，?=∠60BAC ，线段ABC AD 平面⊥，DBC AH 平面⊥，H 为垂足．求证：H 不可能是DBC ?的垂心．
分析：根据本题所证结论，可采用反证法予以证明．
证明：如图所示，假设H 是DBC ?的垂心，则DC BH ⊥．∵DBC AH 平面⊥，∴AH DC ⊥， ∴ABH DC 平面⊥，∴DC AB ⊥．又∵ABC DA 平面⊥，∴DA AB ⊥， ∴DAC AB 平面⊥，
∴AC AB ⊥，这与已知?=∠60BAC 矛盾，
∴假设不成立，故H 不可能是DBC ?的垂心．
说明：本题只要满足?≠∠90BAC ，此题的结论总成立．不妨给予证明．
典型例题十九
例19 在空间，下列哪些命题是正确的（ ）．
①平行于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ③平行于同一个平面的两条直线互相平行④垂直于不一个平面的两条直线互相平行
A ．仅②不正确
B ．仅①、④正确
C ．仅①正确
D ．四个命题都正确
分析：①该命题就是平行公理，即课本中的公理4，因此该命题是正确的；②如图，直线a ⊥平面α，α?b ，α?c ，且A c b = ，则b a ⊥，c a ⊥，即平面α内两条直交直线b ，c 都垂直于同一条直线a ，但b ，c 的位置关系并不是平行．另外，b ，c 的位置关系也可以是异面，如果把直线b 平移到平面α外，此时与a 的位置关系仍是垂直，但此时，b ，c 的位置关系是异面．
③如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，易知ABCD B A 平面//11，ABCD D A 平面//11，但11111A D A B A = ，因此该命题是错误的．
④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的． 综上可知①、④正确．∴应选B ．
典型例题二十
例20 设a ，b 为异面直线，AB 为它们的公垂线 (1)若a ，b 都平行于平面α，则α⊥AB ；
(2)若a ，b 分别垂直于平面α、β，且c =βα ，则c AB //．
分析：依据直线和平面垂直的判定定理证明α⊥AB ；证明线与线的平行，由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明c AB //．
图１ 图２
证明：(1)如图1，在α内任取一点P ，设直线a 与点P 确定的平面与平面α的交线为'
a ，
设直线b 与点P 确定的平面与平面α的交线为'
b
∵α//a ，α//b ，∴'//a a ，'
//b b 又∵a AB ⊥，b AB ⊥，∴'a AB ⊥，'b AB ⊥， ∴α⊥AB ．
(2)如图2，过B 作α⊥'BB ，则a BB //'
，
则'BB AB ⊥又∵b AB ⊥，∴AB 垂直于由b 和'BB 确定的平面．
∵β⊥b ，∴c b ⊥，α⊥'
BB ，∴c BB ⊥'．∴c 也垂直于由'BB 和b 确定的平面．
故AB c //．
说明：由第(2)问的证明可以看出：利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造出平面，使
所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线'BB ，构造出平面，即由相交直线b 与'BB 确定的平面．然后借助于题目中的其他垂直关系证得．
典型例题二十一
例21 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，EF 为异面直线D A 1与AC 的公垂线，求证：1//BD EF ．
分析：证明1//BD EF ，构造与EF 、1BD 都垂直的平面是关键．由于EF 是AC 和D A 1的公垂线，这一条件对构造线面垂直十分有用．
证明：连结11C A ，由于11//C A AC ，AC EF ⊥，∴11C A EF ⊥．
又D A EF 1⊥，1111A C A D A = ，∴D C A EF 11平面⊥． ① ∵11111D C B A BB 平面⊥，111111D C B A C A 平面?， ∴111C A BB ⊥．∵四边形1111D C B A 为正方形，
∴1111D B C A ⊥，1111B BB D B = ，∴D D BB C A 1111平面⊥， 而D D BB BD 111平面?，∴111BD C A ⊥．
同理11BD DC ⊥，1111C C A DC = ，∴D C A BD 111平面⊥． ② 由①、②可知：1//BD EF ．
典型例题二十二
例22 如图，已知P 为ABC ?外一点，PA 、PB 、PC 两两垂直，a PC PB PA ===，求P 点到平面ABC 的距离．
分析：欲求点到平面的距离，可先过点作平面的垂线，进一步求出垂线段的长．
解：过P 作ABC PO 平面⊥于O 点，连AO 、BO 、CO ，∴AO PO ⊥，BO PO ⊥，CO PO ⊥ ∵a PC PB PA ===，∴PAO ?≌PBO ?≌PCO ?， ∴OC OB OA ==，∴O 为ABC ?的外心． ∵PA 、PB 、PC 两两垂直， ∴a CA BC AB 2===，ABC ?为正三角形，
∴a AB AO 3
633=
=
，∴a AO
PA PO 3
32
2
=
-=
．因此点P 到平面ABC 的距离
a 3
3．
说明：(1)求点到平面距离的基本程序是：首先找到或作出要求的距离；然后使所求距离在某一个三角形中；最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离．
(2)求距离问题转化到解三角形有关问题后，在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理及有关三角函数知识．
(3)点到平面距离是立体几何中一个重要内容，高考命题中出现较多，应充分注意，除了上面提到方法之外，还有其他一些方法，比如以后学习的等积法，希望同学们在学习过程不断总结．
典型例题二十三
例23 如图，已知在长方体1111D C B A ABCD -中，棱51=AA ，12=AB ，求直线11C B 和平面1
1BCD A
的距离．
分析：求线面距离，其基本方法是在线上选一点，作出点面距，距离然后根据求点面距的有关方法求解．
解：如图，∵BC C B //11，且1111BCD A C B 平面?，11BCD A BC 平面?，
∴1111//BCD A C B 平面．从而点1B 到平面11BCD A 的距离即为所求． 过点1B 作B A E B 11⊥于E ，
∵11ABB A BC 平面⊥，且B B AA E B 111平面?， ∴E B BC 1⊥．又B B A BC =1 ， ∴111BCD A E B 平面⊥． 即线段E B 1的长即为所求， 在B B A Rt 11?中，13
601251252
2
11
111=
+?=
?=
B
A B
B B A E B ，
∴直线11C B 到平面11BCD A 的距离为
13
60．
说明：本题考查长方体的性质，线面距离的概念等基础知识以及计算能力和转化的数学思想，解答本题的关键是把线面距离转化为点面距离，进而转化为点线距离，再通过解三角形求解，这种转化的思想非常重要，数学解题的过程就是将复杂转化为简单，将未知转化为已知，从而求解．
典型例题二十四
例24 AD 、BC 分别为两条异面直线上的两条线段，已知这两条异面直线所成的角为?30，cm AD 8=，BC AB ⊥，BC DC ⊥．求线段BC 的长．
分析：首先依据题意，画出图形，利用平移，将异面直线AD 、BC 所成的角、垂直关系转化到某一个或某几个平面内，应用平面几何有关知识计算出BC 之长．
解：如图，在平面α内，过A 作BC AE //，过C 作AB CE //，两线交于E ． ∵BC AE //，
∴DAE ∠就是AD 、BC 所成的角，?=∠30DAE ．∵BC AB ⊥， ∴四边形ABCE 是矩形．连DE ，
∵CD BC ⊥，CE BC ⊥，且C CE CD = ， ∴CDE BC 平面⊥．
∵BC AE //，∴CDE AE 平面⊥．∵CDE DE 平面?，∴DE AE ⊥． 在AED Rt ?中，得34=AE ，∴)(34cm AE BC ==．
说明：解决空间问题，常常将空间关系转化一个或几个平面上来，只有将空间问题归化到平面上来，才能应用平面几何知识解题，而平移变换是转化的重要手段．
《直线与平面垂直的性质》教学设计
《直线与平面垂直的性质》教学设计 教学内容 人教版新教材数学第二册第二章第三节第3课 教材分析 直线与平面垂直问题是直线与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。 学情分析 1.学生思维活跃，参与意识、自主探究能力较强，故采用启发、探究式教学。 2.学生的抽象概括能力和空间想象力有待提高，故采用多媒体辅助教学。 教学目标 1.知识与技能 （1）培养学生的几何直观能力和知识的应用能力，使他们在直观感知的基础上进一步学会证明. （2）掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。 （3）掌握等价转化思想在解决问题中的运用. 2.情感态度与价值观 （1）发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精神. （2）让学生亲从问题解决过程中认识事物发展、变化的规律. 教学重、难点 1.重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。 2.难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。 教学理念 学生是学习和发展的主体，教师是教学活动的组织者和引导者. 设计思路 直线与平面垂直的性质定理是判定线线平行的有效方法，学生学习的重点是直线与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的性质定理的应用，强调直线与平面垂直的性质定理证明中反证法的学习，应让学生清楚，对于一些条件简单而结论复杂的问题或正面较难证明的
问题，可考虑用反证法；教学中要引导学生认识到，定理的证明过程实质是应用转化思想的过程，将立体几何问题转化为平面几何问题来解决，线面垂直问题转化为线线垂直问题来解决，这种转化的数学思想方法在立体几何的证明和解题中体现的尤为明显。 教学过程 （一）复习引入 师：判断直线和平面垂直的方法有几种？ 生：定义、例题2结论、判定定理。 师：各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用？ 生：若能确定直线与平面内任意一直线垂直，则运用定义说明。 若能说明所证直线和平面内的一条直线平行，则可运用例题结论说明。 若能说明直线和平面内两相交直线垂直，则可运用判定定理去完成判定。 师：在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？ 判断下列命题是否正确： 1、在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 2、在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 3、垂直于同一平面的两直线互相平行。 4、垂直于同一直线的两平面互相平行。 师：直线和平面是否垂直的判定方法上节课我们已研究过，这节课我们来共同探讨直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？ （二）创设情景 如图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱A A′、B B′、 C C′、 D D′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什 么位置关系？ （三）讲解新课 例1 已知：aα ⊥。求证：b∥a ⊥，bα 师：此问题是在aα ⊥的条件下，研究a和b ⊥，bα 是否平行，若从正面去证明b∥a，则较困难。而利用反证 法来完成此题，相对较为容易，但难在辅助线b’的作出, 这也是立体几何开始的这部分较难的一个证明.在老师的知 道下,学生尝试证明,稍后教师指正.
直线和平面垂直的性质定理
直线和平面垂直的性质定理 （1课时）李忠志 三维目标： 知识与技能 1、掌握直线与平面垂直的性质。 2、能运用性质定理解决一些简单问题。 3、了解垂直的判定定理与性质定理间的相互联系。 过程与方法 培养学生的直观能力，让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识，通过探索发现线面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力、发散思维和类比的能力。 情感、态度与价值观 通过实物模型或学生自己制作模型进行操作演示，让学生参与到教学活动中来，激发学生的学习欲望和探究精神。 教学重点 直线与平面垂直的性质。 教学难点 性质定理的探求及证明中反证法的学习和掌握。 教学过程 一、问题引入： 问1：垂直于同一条直线的两条直线是否平行？为什么？ 问2：平行于同一条直线的两条直线是否平行？为什么？
问3：平行于同一平面的两条直线是否平行？为什么？ 问4：垂直于同一平面的两条直线是否平行？为什么？ 问5：若a α⊥，b α?，则a b ⊥吗？ 问6：若a b ∥，a α⊥，则b α⊥吗？ 问7：问5的逆命题成立吗？即 a α⊥，b α⊥，则a b ∥吗？ 二、推进新课： 直线和平面垂直的性质定理：如果两条 直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行。 已知：如图，,a b αα⊥⊥ 求证：//a b 证明：（反证法）假定b 不平行于a ，则b 与a 相交或异面； （1）若a 与b 相交，设a b A = ， ∵,a b αα⊥⊥ ∴过点A 有两条直线与平面α垂直， 此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾， ∴a 与b 不相交； （2）若a 与b 异面，设b O α= ，过O 作//b a '， ∵a α⊥ ∴b α'⊥ 又∵b α⊥且b b O '= ， ∴过点O 有直线b '和b 垂直于α与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾， ∴b 与a 不异面，综上假设不成立， ∴//a b ．
2.3直线、平面垂直的判定及其性质 教案设计1
直线和平面垂直的判定与性质（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．直线和平面垂直的定义及相关概念． 2．直线和平面垂直的判定定理． 3．线线平行的性质定理（即例题1）． （二）能力训练点 1．要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的添加． 2．讲直线和平面垂直时，应注意引导学生把直线和平面关系转化为直线和直线的关系．如直线和平面垂直，只须这条直线垂直于这个平面的两条相交直线，向学生渗透转化思想的应用． （三）德育渗透点 引导学生认识到，定理的证明过程实质是应用转化思想的过程：立体几何的问题转化为平面几何的问题来解决，线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决．转化思想是重要的数学思想方法，在立体几何的证明和解题中，是一种常用的思想方法． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点 （1）掌握直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面的任何一条直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直． （2）掌握直线和平面垂直的判定定理： （3）掌握线线平行的性质定理： 若a∥b，a⊥α则b⊥α．
2．教学难点：在于线、面垂直定义的理解和判定定理的证明；同时还要解决好定理证明过程中，辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过B点的两条直线说明“任意”直线的问题． 3．教学疑点：判定定理的条件中，“相交”是关键，“两条”也是一个重要条件，对于初学立体几何的学生来讲，是不好理解的，教师应该用实例说明这两个条件缺一不可． 三、课时安排 本课题共安排2课时，本节课为第一课时． 四、学生活动设计（略） 五、教学步骤 （一）温故知新，引入课题 1．空间两条直线有哪几种位置关系？ （三种：相交直线、平行直线、异面直线） 2．经过一点和一条直线垂直的直线有几条？ （从两条直线互相垂直的定义可知：经过一点有无数多条直线和已知直线垂直） 3．空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？ （直线在平面、直线和平面相交、直线和平面平行．） 4．怎样判定直线和平面平行？ 师：我们已经知道，判定直线和平面平行的问题可以转化为考察直线和直线平行的关系．今天我们转入学习直线和平面相交的一种特殊情形——直线和平面垂直，这个问题同样可以从两条直线垂直的关系入手． （板书课题：§1．9直线和平面垂直） （二）猜想推测，激发兴趣 1．教师演示课本上的实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象．从而引入概念：一条直线和平面的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．
直线与平面垂直性质定理练习题
, 直线与平面垂直的性质 一、选择题 1．下列说法正确的是( ) A ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α B ．若直线l 与平面α垂直，则l 与α内的任一直线垂直 C ．若E 、F 分别为△ABC 中AB 、BC 边上的中点，则EF 与经过AC 边的所有平面平行 D ．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直 2．若M 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) , ① ?????m ∥n m ⊥α?n ⊥α； ② ? ????m ⊥αn ⊥α?M ∥n ； ③ ?????m ⊥αn ∥α?M ⊥n; ④ ?????m ∥αm ⊥n ?n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知直线PG ⊥平面α于G ，直线EF ?α，且PF ⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是( ) A ．PE >PG >PF B ．PG >PF >PE C ．PE >PF >PG D ．PF >P E >PG 4．PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系不正确的是( ) . A ．PA ⊥BC B ．B C ⊥平面PAC C ．AC ⊥PB D ．PC ⊥BC 5．下列命题： ①垂直于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一直线的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两条直线平行； ④垂直于同一平面的两平面平行． 其中正确的个数是( ) ' A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且PA ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( ) A ．垂心 B ．内心 C ．外心 D ．重心 二、填空题 7．线段AB 在平面α的同侧，A 、B 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为________． 8．直线a 和b 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内，使a ∥b 成立的条件是________．(只填序号) ①a 和b 垂直于正方体的同一个面；②a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面；③a 和b 平行于同一条棱；④a 和b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直． 9．如图所示，平面ABC ⊥平面ABD ，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，△ABD 是正三角形，O 为AB 中点，则图中直角三角形的个数为________． 、
平面与平面垂直的判定教案
《平面与平面垂直的判定》 【课题】平面与平面垂直的判定 【教材】普通高中课程标准实验教科书数学2 必修 人民教育出版社 一．教学目标 1．教材分析 ⑴教学内容 《平面与平面垂直的判定》〉普通高中课程标准实验教科书（必修2·人民教育出版社）“§2.3 直线、平面垂直判定及其性质”的第二节课，主要内容是，二面角的概念和平面与平面垂直的判定定理的归纳与应用。 ⑵地位与作用 本节课学习平台是学生已学习了空间两直线位置关系，空间直线和平面位置关系,特别是已学习了直线和平面垂直判定定理,二面角的平面角,这是学习本节内容的基础，而本节内容是多面体、旋转体的学习基础，所以，本节的学习有着极其重要的地位。 2.学法分析 二面角是空间角，概念与度量严谨而抽象；判定定理内容不要求证明，要做到抽象概括确实有很大困难，所以本课采用类比发现式教学法，即体现大量的实例，让学生通过直观感知，操作确认，归纳数学原理，并作一定的应用。 3．教学目标
依据上面的教材分析和学情分析，制定如下教学目标． ⑴知识与技能 ①体会二面角的概念与度量 ②归纳两个平面垂直的判定定理内容 ③应用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题 ⑵过程与方法 ①通过二面角的概念的探索和推导过程，渗透类比迁移的思想； ②通过归纳两个平面垂直的判定定理内容，训练并提升学生抽象概括水平 ③通过使用定理的过程，提升学生类比化归水平，培养学生降低空间维数的思想．通过问题获得数学知识，经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程； ⑶情感态度与价值观 直观感知，操作确认数学定理，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学生的学习兴趣． 二．教学重点、难点 1．教学重点 ⑴两个平面垂直的判定定理及应用； 2．教学难点 二面角的概念及度量方法，两个平面垂直的判定定理的归纳概括三．教学过程
直线、平面垂直的判定及其性质
直线、平面垂直的判定及其性质 最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 . 知 识 梳 理 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l 与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理 (1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)范围：??? ???0，π2. 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π]. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )
平面与平面垂直的性质(教案)
平面与平面垂直的性质（教案） 教学目的 通过对面面垂直性质定理的探索、证明，培养学生的观察、分析、论证等思维能力 教学目标： 1 理解掌握面面垂直的性质定理 2 能初步运用性质定理解决问题 教学重点难点： 重点：理解掌握面面垂直的性质定理 难点：运用性质定理解决实际问题 教学过程： (一) 复习提问 师：请大家回顾一下，怎样判断线面垂直和面面垂直？（提问） 生：线面垂直判定定理： 如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面. 生：面面垂直判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. (二)引入新课 师：今天我们要学习“两个平面垂直的性质”，先来看下面问题：如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，判断下面结论的正误。 1)平面ADD′A′⊥平面ABCD 2) DD′⊥面ABCD 3)AD′⊥面ABCD
师：我们发现：平面ADD′A′⊥平面ABCD，平面ADD′A′∩平面ABCD = AD，D′是平面ADD′A′内一点，过D′点可作无数条直线，这些直线中有与平面ABCD垂直的，也有不垂直的，那么，满足什么条件的直线能与平面ABCD垂直呢？ （提出问题，引发思维,并引导学生积极寻找这些直线与交线AD的关系）生：（略） 师：平面ADD′A′⊥平面ABCD，平面ADD′A′内的任一点，平面内过该点且垂直于交线的直线垂直于平面ABCD。 （三）新课 已知：面α⊥面β，α∩β = a, AB α , AB⊥a于B， 求证：AB⊥β (让学生思考怎样证明) 师：(分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于 平面内两条相交直线，而题中条件已有一条， 故可过该直线作辅助线） 证明：在平面β内过B作BE⊥a，又∵AB⊥a， ∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角，又∵α⊥β， ∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE 又∵AB⊥a, BE∩a = B, ∴AB⊥β 1.面面垂直的性质定理： 两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. （用符号语言表述）若α⊥β，α∩β = a, AB α , AB⊥a于B，则AB⊥β 师：从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，而前面我们知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明。这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。同学们在学习中要认真理解和体会。 2. 例题分析 例1．空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都为 正三角形，面ABD⊥面BCD，试在平面BCD 内找一点，使AE⊥面BCD 解：在ΔABD中，∵AB=AD,取BD的中点E， 连结AE，则AE为BD的中线
平面与平面垂直的判定说课稿
平面与平面垂直的判定 说课稿 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
《2.3.2平面与平面垂直的判定》说课稿 说课人：高长福 我说的课是高中新课标《数学》必修2第二章第2节内容《平面与平面垂直的判定》。 一、教材分析： 1．教材地位和作用 本节课的主要内容有两个：（1）二面角和二面角的平面角的概念，（2）平面与平面们垂直的判定。由于平面与平面垂直的概念是建立在二面角的基础之上，且二面角的平面角不但定量地描述了两相交平面的相对位置，同时也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个汇集点，所以搞好二面角的学习，对学生掌握线面垂直、面面垂直的知识。乃至空间思维能力的培养都具有十分重要的意义。2．教学目标课程目标： （1）通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面垂直的判定定理。 （2）能运用平面与平面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。 根据上面对教材的分析及课程标准，并结合学生的认知水平和思维特点，确定本节课的教学目标： （1）借助对图片、实例的观察、类比、抽象、概括二面角的概念，面面垂直的定义。并能正确理解定义。 （2）通过直观感知、操作确认，归纳出二面角平面角的定义，平面与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。
（3）让学生亲身经历数学研究的全过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。3、本节课的教学重点： （1）二面角及平面角概念的形成过程；（2）面面垂直的判定定理的运用。难点：（1）二面角的平面角的形成过程及寻找方法； （2）面面垂直的判定定理的运用。 二、学情与学法分析： 目前高一学生已学过空间线面、面面的平行和线面的垂直关系，对空间线线、线面、面面三者之间的转化关系比较了解，且（2）班学生思维较活跃，参与意识、自主探究能力有所提高，具备学习本节课所需的知识和能力。针对目前学生的年龄特点和心理特征以及他们的知识水平，采用诱导、启发式教学方法。用由浅入深的问题引导学生自己去发现问题、产生概念、形成定理。在定理的运用过程中培养学生的思维能力、论证能力，并通过引导学生对定理及例题图形的认识，加深学生对定理的理解，达到培养学生空间想象能力的目的。 本节课结合多媒体教学，尽可能调动学生思维的积极性，激发学生的学习兴趣，让学生始终处于主动学习的状态，体现学生的主体地位和教师的主导作用。本节课中，教师引导学生从具体例子入手总结出定理，体会数学中由“特殊”到“一般”的研究规律；通过判定定理，将“面面垂直”的问题转化为“线面垂直”的问题去处理，体会转化思想在数学的应用。 三、课堂结构设计： 二面角的概念建构→创设情境——感知概念
直线、平面垂直的判定及其性质(二)(讲义)含答案
直线、平面垂直的判定及其性质（二）（讲义） ?知识点睛 一、直线与平面垂直（线面垂直） 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_____________． a b α ∵_________，b⊥α， ∴___________． 其他性质： 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面； 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线也垂直于另一个平面． 二、平面与平面垂直（面面垂直） 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内_____________的直线与另一个平面垂直． α a l β ∵α⊥β，α∩β=l，________，________， ∴a⊥β． 其他性质： 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面； 如果一平面垂直于两平行平面中的一个平面，那么它必垂直于另一个平面．
?精讲精练 1.已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l， m的位置关系是（） A．平行B．异面C．相交D．垂直 2.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是（） A．m∥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β=m，n?α C．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β 3.若m，n，l是互不重合的直线，α，β，γ是互不重合的平面，给 出下列命题： ①若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥α或n⊥β； ②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n； ③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线； ④若α∩β=m，m∥n，且n?α，n?β，则n∥α且n∥β； ⑤若α∩β=m，β∩γ=n，α∩γ=l，且α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，则m⊥n，m ⊥l，n⊥l．其中正确命题的序号是________________． 4.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC 的长为（） B C D A A B． 2 a C． 2 a D．a
《平面与平面垂直的判定》教学设计(优质课)
平面与平面垂直的判定 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念； （2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用； （3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用. 2．过程与方法 （1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程； （2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理. 3．情态、态度与价值观 通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力. （二）教学重点、难点 重点：平面与平面垂直的判定； 难点：如何度量二面角的大小. （三）教学方法 实物观察、类比归纳、语言表达，讲练结合. 义的？
一、二面角 ．二面角 ）半平面 . ）二面角 . 、β的二面角记作二面角
. ．二面角的平面角 如图（1）在二面角任取一点O，以点 . . ] 二、平面与平面垂直. .
个平面垂直. 是圆周上不同于A、B的任意一点， . 条件， 的直径，
成一个四面体，使G1，G2， 重合后的点记为G，则在四面体 答：面ABC⊥面BCD 面ABD⊥面BCD
备选例题 例1 如图，平面角为锐角的二面角EF αβ--，A ∈EF ，AG α?，∠GAE = 45°若AG 与β所成角为30°，求二面角EF αβ--的平面角. 【分析】首先在图形中作出有关的量，AG 与β所成的角(过G 到β的垂线段GH ，连AH ，∠GAH = 30°)，二面角EF αβ-- 的平面角，注意在作平面角是要试图与GAH 建立联系，抓住 GH ⊥β这一特殊条件，作HB ⊥EF ，连接GB ，利用相关关系即可解决问题. 【解析】作GH ⊥β于 H ，作HB ⊥EF 于B ，连结GB ， 则CB ⊥EF ，∠GBH 是二面角的平面角. 又∠GAH 是AG 与β所成的角， 设AG = a ，则1,2GB GH a ==，sin GH GBH GB ∠=. 所以∠GBH = 45° 反思研究：本题的成功之处在于作图时注意建立各量之间的有效联系. 例2 如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，直线SC ⊥平面ABCD ， E 是S A 的中点，求证：平面EDB ⊥平面ABCD ． 【分析】要证面面垂直，需证线面垂直．这里需 要寻找已知条件“SC ⊥平面ABCD ”与需证结论 “平面EDB ⊥平面ABCD ”之间的桥梁． 【证明】连结AC 、BD ，交点为F ，连结EF ， ∴EF 是△SAC 的中位线，∴EF ∥SC ． ∵SC ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ． B S C
《平面与平面垂直的性质》教学设计
《平面与平面垂直的性质》教学设计 一、教材分析： 直线与平面垂直问题是直线与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。 二、学情分析： 1.学生思维活跃，参与意识和自主探究能力较强，故采用启发、探究式教学方法；通过一系列的问题及层层递进的的教学活动，引导学生进行主动的思考、探究。帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过度，从而完成定义的建构和定理的发现。 2.学生抽象概括能力和空间想象能力有待提高，故采用多媒体辅助教学。让学生在认知过程中，着重掌握原认知过程，使学生把独立思考与多向交流相结合。 三、根据本课教材的特点,新大纲对本节课的教学要求,结合学生身心发展的合理需要,确定了以下教学目标: （1）知识与技能目标： ①让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确认识； ②能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生空间观念. （2）过程与方法目标： ①了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系，掌握等价转化思想在解决问题中的运用. ②通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生逻辑推理能力。 ③发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精神. （3）情感、态度与价值观目标： 让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣. 四、教学重点与难点： （1）教学重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。 （2）教学难点：运用性质定理解决实际问题。 五、教学设计思路： 1、复习导入： （1）线面垂直判定定理： 如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面. （2）面面垂直判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. 2、探究发现： （1）创设情境：已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质？试说明理由！ 设计说明： 感知在相邻的两个相互垂直的平面内，有哪些特殊的直线和平面关系，然后通过操作，确定两个平面垂直的性质定理的合理性，引导学生通过模型观察，讨论在两个平面相互垂直的情况下，能够推出一些什么样的结论。
直线与平面垂直性质定理练习题
2.3.3 直线与平面垂直的性质 一、选择题 1．下列说法正确的是( ) A ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α B ．若直线l 与平面α垂直，则l 与α内的任一直线垂直 C ．若E 、F 分别为△ABC 中AB 、BC 边上的中点，则EF 与经过AC 边的所有平面平行 D ．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直 2．若M 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) ① ?????m ∥n m ⊥α?n ⊥α； ② ? ????m ⊥αn ⊥α?M ∥n ； ③ ?????m ⊥αn ∥α?M ⊥n; ④ ? ????m ∥αm ⊥n ?n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知直线PG ⊥平面α于G ，直线EF ?α，且PF ⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是( ) A ．PE >PG >PF B ．PG >PF >PE C ．PE >PF >PG D ．PF >P E >PG 4．P A 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系不正确的是( ) A ．P A ⊥BC B ．B C ⊥平面P AC C ．AC ⊥PB D ．PC ⊥BC 5．下列命题： ①垂直于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一直线的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两条直线平行； ④垂直于同一平面的两平面平行． 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且P A ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( ) A ．垂心 B ．内心 C ．外心 D ．重心 二、填空题 7．线段AB 在平面α的同侧，A 、B 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为________． 8．直线a 和b 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内，使a ∥b 成立的条件是________．(只填序号) ①a 和b 垂直于正方体的同一个面；②a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面；③a 和b 平行于同一条棱；④a 和b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直． 9．如图所示，平面ABC ⊥平面ABD ，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，△ABD 是正三角形，O 为AB 中点，则图中直角三角形的个数为________．
平面与平面垂直的判定 优秀教案
平面与平面垂直的判定和性质 第一课时 教学目标： 1．理解二面角的有关概念，能画出二面角． 2．会求二面角的平面角． 教具准备：投影胶片、三角板． 教学过程： ［设置情境］ 看看日常生活中常见的例子：公路上的坡面与水平面，打开的门与门框所在的平面等．它们中的两个面成一定的角度．为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角．那么，怎么定义两个平面所成的角呢？ ［探索研究］ 1．二面角 （1）半平面 平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面． （2）二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． （3）二面角的画法：分直立式与平卧式两种．图1，记作二面角βα--AB ． ①直立式 ②平卧式 图1 2．二面角的平面角 教师提出问题：平面几何中可以把角理解为一个旋转量，同样，一个二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的，也是一个旋转量．这说明二面角不仅有大小．而且其大小是惟一确定的． 平面与平面的位置关系，总的说来只有相交或平行两种情况．为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，我们有必要来研究二面角的度量问题．从而提问：二面角的大小应该怎么度量？ 让学生主动动手操作并与同学讨论交流，尝试找到度量二面角大小的方法． 现给出二面角的平面角的定义： 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． 如图2，二面角βα--l ，l O ∈，α?AO ，β?BO ，l AO ⊥，l BO ⊥．AOB ∠是二面角βα--l 的平面角．
直线与直线直线与平面平面与平面垂直的判定与性质汇总
【课题】9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质 【教学目标】 知识目标：（1）了解空间两条直线垂直的概念； （2）掌握与平面垂直的判定方法与性质，平面与平面垂直的判定方法与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力． 【教学重点】直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质． 【教学难点】判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直． 【教学设计】 在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条. 例1是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为90即可. 在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解． 两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣． 例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面 B AC内找到一条直线AC与平面B1BDD1 1 垂直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目. 【教学备品】教学课件． 【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】
过 程 行为 行为 意图 间 *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例1 如图9-43，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，判断直线AB 和DD 1是否垂直． 解 AB 和DD 1是异面直线，而BB 1∥DD 1，AB ⊥BB 1，根据异面直线所成的角的定义， 可知AB 与DD 1成直角．因此1AB DD . 图9-43 说明 强调 引领 讲解 说明 观察 思考 主动 求解 通过例题进一步领会 10 *运用知识 强化练习 1．垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ 2．在图9?43所示的正方体中，找出与直线AB 垂直的棱，并指出它们与直线1AA 的位置关系． 提问 指导 思考 解答 了解 知识 掌握 情况 14 *创设情境 兴趣导入 【问题】 前面我们学过直线与平面垂直的概念.根据定义判断直线与平面垂直，需要判定直线与平面内的任意一条直线都垂直，这是比较困难的．那么，如何判定直线和平面垂直呢？ 【观察】 我们来看看实践中工人师傅是如何做的． 如图9?44所示，检验一根圆木柱和板面是否垂 直．工人师傅的做法是，把直角尺的一条直角边放在板面 上，看曲尺的另一条直角边是否和圆木柱吻合，然后把直角尺换个位置，照样再检查一次（应当注意，直角尺与板面的交线，在两次检查中不能为同一条直线）．如果两次检查，圆木柱都能和直角尺的直角边完全吻合，就判定圆木柱和板面垂直． 质疑 引导 分析 思考 带领 学生 分析 17 *动脑思考 探索新知 【新知识】 从大量的实践与观察中，归纳出直线与平面垂直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直． 讲解 说明 理解 带领 学生 分析 图9?44
高中数学必修二《平面与平面垂直的判定》优秀教学设计
2.3.2平面与平面垂直的判定 一、教学目标 1、知识与技能 （1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念； （2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用； （3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。 2、过程与方法 （1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程； （2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。 3、情态与价值 通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。 二、学情分析 学生通过学习直线与直线的垂直，直线与平面的垂直，已经初步掌握了线线垂直与线面垂直的判定。这为学生学习平面与平面的垂直判定打下了良好的基础。但是，有一部分学生空间想象力和逻辑思维能力较差，在学习的过程中仍有一定的难度，而平面与平面的垂直关系是继教材直线与直线的垂直、直线与平面的垂直之后的迁移与拓展。因此，在教学中，教师尽量通过多媒体辅助教学，帮助学生提高空间想象能力，同时，尽量让学生多参与，培养自主探索能力。 三、教学重点、难点。 重点：平面与平面垂直的判定； 难点：如何度量二面角的大小。 四、教学过程 （一）创设情景，揭示课题 问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？ 问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？ 以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多
问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察、研探。 （二）研探新知 1、二面角的有关概念 老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示） 2、二面角的度量 二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。 教师特别指出： （1）在表示二面角的平面角时，要求“OA ⊥L ” ，“OB ⊥L ”； （2）∠AOB 的大小与点O 在L 上的位置无关；(为什么？) （3）当二面角的平面角是直角时，这两个平 面的位置关系怎样？承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，获得两个平面互相垂直的判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
直线、平面垂直的判定及其性质-练习题1(答案)
】 直线、平面垂直的判定及其性质 一、选择题 1、“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l⊥”的（） A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 2、如果一条直线l与平面的一条垂线垂直，那么直线l与平面的位置关系是（） A、l B、l⊥ C、l∥ D、l或l∥ 3、若两直线a⊥b，且a⊥平面，则b与的位置关系是（） A、相交 B、b∥ C、b D、b∥，或b · 4、a∥α，则a平行于α内的( ) A、一条确定的直线 B、任意一条直线 C、所有直线 D、无数多条平行线 5、如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的 ( ) A、一条直线不相交 B、两条直线不相交 C、无数条直线不相交 D、任意一条直线都不相交 6、若直线l上有两点P、Q到平面α的距离相等，则直线l与平面α的位置关系是( ) A、平行 B、相交 — C、平行或相交 D、平行、相交或在平面α内 二、填空题 7、过直线外一点作直线的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面 有个. 8、过平面外一点作该平面的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个. 9、过一点可作________个平面与已知平面垂直. . 10、过平面α的一条斜线可作_________个平面与平面α垂直.
11、过平面α的一条平行线可作_________个平面与平面α垂直. 三、解答题 （ 12、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 13、过一点和已知平面垂直的直线只有一条 ] 14、有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）,C D，如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么 > 15、已知直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l 求证：AP在α内
直线、平面垂直的判定及其性质
直线、平面垂直的判定及其性质 1.直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法 ②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条________直线都垂直，则该直线和此平面垂直. ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也________这个平面. (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内________直线. ②垂直于同一个平面的两条直线________. ③垂直于同一直线的两平面________. 2.斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角. 3.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法 ②利用判定定理：一个平面过另一个平面的____________，则这两个平面垂直. (2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直，则一个平面内垂直于________的直线垂直于另一个平面. 4.二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱________的射线，则两射线所成的 角叫做二面角的平面角. 1.若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线有________条. 2.过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接P A、PB、PC， (1)若P A＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的________点. (2)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心. (3)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心. 3.m、n是空间中两条不同直线，α、β是两个不同平面，下面有四个命题： ①m⊥α，n∥β，α∥β?m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α?n∥β； ③m⊥n，α∥β，m∥α?n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β?n⊥β. 其中，所有真命题的编号是________.
平面与平面垂直的性质定理教学设计
平面与平面垂直的性质定理教学设计 一．教材分析 （1）教材的地位和作用：《平面与平面垂直的性质》选自《普通高中课程标准实验教科书》数学第二册（人 教A版）第三节第4课时，平面与平面垂直问题是 平面与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求 解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设 辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系 把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明 和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的 空间想象力和逻辑推理能力，这些都是学生今后学 习和工作中必备的数学素养。 （2）从知识体系看，“平面与平面垂直的性质”是线面垂直与面面垂直内容的延续，不仅可以加深利用线 面垂直证线线垂直，也可以实现面面垂直的证明。 因此，我们可以说线面垂直关系是线线垂直关系的 纽带，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直 的相互转化。 二．学情分析： （1）学生已有的知识结构：在学习本课之前，学生已掌握了线线垂直、线面垂直及面面垂直的概念，
判定定理，及线面垂直的性质定理，学生已具备 了对空间几何图形的一定水平层次的想象能力和 一定的逻辑推理能力和分析问题的能力。 （2）教学对象：高一年级的学生，已有一定的立体感，学习兴趣较浓，具有一定的想象能力和分析问题、 解决问题的能力。但由于年龄的原因，思维尽管 活跃，敏捷，却缺乏冷静，深刻，因而片面，不 够严谨。这个阶段的学生还以抽象逻辑思维为主 要发展趋势，他们的思维正在从经验性的逻辑思 维向抽象的逻辑思维发展，仍需依赖一定的具体 形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。本课借 助生活中丰富的典型实例，让学生通过实验、分 析、猜想、归纳、论证等活动过程，从中了解和 体验空间线面、面面之间的垂直关系，在实验、 猜想和论证中发展学生的逻辑推理能力、空间想 象能力和分析问题、解决问题的能力。 （3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与线面垂直的性质定理及应用进行类比，这是积 极因素，应因式利导，不利因素是学生的抽象概 括能力和空间想象力有待提高，故采用多媒体辅 助教学。 三．设计理念