最新九年级数学高频考点核心考点 圆专题复习 (28)

最新九年级数学高频考点核心考点 圆专题复习

第一讲 圆的有关性质

【回顾与思考】

【例题经典】

有关弦、半径、圆心到弦的距离之间的计算

例1 如图，在半径为5cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为

3cm ，则弦AB 的长是（ ）

A ．4cm

B ．6cm

C ．8cm

D ．10cm

圆心角、弧、弦和垂径定理的应用

例2如图所示，AB 是⊙O 的弦，半径OC 、OD 分别交AB

于点E 、F ，?且AE=BF ，请你找出弧AC 与弧BD 的数量关系，

并给予证明．

圆周角定理的应用

例3、如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC 的大小 是

( ) A 、60° B 、45° C 、30° D 、15°

例4 已知：如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于D ，

AE 是⊙O 的直径，若S △ABC =S ，⊙O 的半径为R ．

（1）求证：AB·AC=AD·AE；（2）求证：AB·AC·BC=4RS．

第二讲与圆有关的位置关系

与圆有关的位置关系

d r

d r

d r ?<

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??

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??

=

?

?

?

?

相交

直线与圆的位置关系相离

相切

圆与圆的位置关系

【例题经典】

直线与圆位置关系的判定

例1 （1）已知⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d，?若直线L与⊙O 有交点，则下列结论中正确的是（）A．d=r B．d≤r C．d≥r D．d>r （2）已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm，以点C为圆心作圆，当半径R=?_____?时，AB与⊙O相切．

第三讲圆的切线的性质和判定

现实情境?

?

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圆的切线的性质--三角形内切圆

应用:d=r

圆的切线的判定

判定定理

圆的切线性质与判定综合应用

【例题经典】

关于三角形内切圆的问题

例1如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（）A．130°B．100°C．50°D．65°

例2已知：如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的

切线，过点B?作BC?∥OP交⊙O于点C，连结AC．

(1)求证：△ABC∽△POA；（2）若AB=2，

求BC的长．（结果保留根号）

圆的切线的判定

例3已知：如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O外一点，PA⊥AB，?弦BC∥OP，请判断PC是否为⊙O的切线，说明理由．

第四讲圆与圆的位置关系

知识点：圆和圆的位置关系、两圆的连心线的性质、两圆的公切线

【例题经典】

两圆位置关系的识别

例1（1）已知两圆的半径分别为3和4，圆心距为8，?那么这两个圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外离D．外切

（2）如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（）A．相离B．外切C．内切D．相交

（3）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2和5，圆心距O1O2=3，?则这两圆的位置关系是（）

A．相离B．外切C．相交D．内切

（4）若⊙A和⊙B相切，它们的半径分别为8cm和2cm，?则圆心距AB为（）A．10cm B．6cm C．10cm或6cm D．以上答案均不对

例2 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=30°．

（1）求∠APB的度数；

中考数学精编—初中数学圆专题复习

初中数学圆的专题圆 一、知识点梳理 知识点1：圆的定义： 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的； 圆又是对称图形，是它的对称中心. 知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念 1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做 2. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的 . 3. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是 . 例1 P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______． 例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若 半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S 1，S 2 之间的关系是 （） A．S 1＜S 2 B．S 1 ＞S 2 C．S 1 =S 2 D．不确定 例3 如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分）

的面积为（） 例4 车轮半径为0.3m的自行车沿着一条直路行驶，车轮绕着轴心转动的转速为100转/分，则自行车的行驶速度（） A．3.6π千米/时 B．1.8π千米/时 C．30千米/时 D．15千米/时 例5 如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别 . 知识点4：垂径定理 垂直于弦的直径平分，并且平分； 平分弦(不是直径)的垂直于弦，并且平分 . 例1、如图（1）和图（2），MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点P，?∠APM=∠CPM．（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由． （2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

初三数学圆的经典讲义

圆 目录 圆的定义及相关概念 垂经定理及其推论 圆周角与圆心角 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 圆内接四边形 会用切线, 能证切线 切线长定理 三角形的内切圆 了解弦切角与圆幂定理（选学） 圆与圆的位置关系 圆的有关计算 一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法：

求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。 考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d， 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d＞r；②点在圆上?d=r；③点在圆内? d＜r； 【典型例题】 例1 在⊿ABC中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD是直径，? = ∠84 EOD，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。 M A B C

人教版九年级数学圆和正多边形专题

圆和正多边形 教学目标：了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形。 教学重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、?边长之间的关系。 教学难点：理解四者：正多边形半径、中心角、?弦心距、边长之间的关系． 正多边形是轴对称图形，正n 边形有n 条对称轴；?正2n 边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对角线交点。 知识结构及知识点： 1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。 2、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 正n 边形每一个内角的度数为：(n-2)*180°/n 正n 边形的一个中心角的度数为：360°/n 正多边形的中心角与外角的大小相等。 3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是180°。 4、圆内接正n 边形的性质（n ≥3，且为自然数）： (1) 当n 为奇数时，圆内接正n 边形是轴对称图形，有n 条对称轴；但不是中心对称图形。 (2) 当n 为偶数时，圆内接正n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心，即外接圆的圆心。 5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系：(设圆内接正多边形的半径为r ，边心距为d) （1）圆内接正三角形：d=12 r （2）圆内接正四边形：d=22 r （3）圆内接正六边形：2 r 6、常见圆内接正多边形半径r 与边长x 的关系： （1）圆内接正三角形：（2）圆内接正四边形：x= 22r （3）圆内接正六边形：x=r 7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关，要做半径为R 的正n 边形，只要把半径为R 的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。 （1）用量角器等分圆周。 （2）用尺规等分圆（适用于特殊的正n 边形）。 8、定理1：把圆分成n(n≥3)等份： (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形；

人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含答案

24.1.1 圆 知识点一圆的定义 o叫作圆圆的定义：第一种：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点 心，线段0A叫作半径。第二种：圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长， 也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（ 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 24.1.2垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD, AB是弦，且CDLAE， C ~|M A B AM=BM 垂足为M AC=BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如 上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M CDLABAM=BMAC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 （3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心 圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。 24.1.4圆周角 知识点一圆周角定理

初三数学重点难点总复习专题圆生

初三数学重点难点总复 习专题圆生 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

2018年九年级数学总复习— 圆专题复习 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r +； 外切（图2）?有一个交点?d R r =+； 相交（图3）?有两个交点?R r d R r -<<+； A

内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 例题1、 基本概念 1．下面四个命题中正确的一个是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）． A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B ．过弦的中点的直线必过圆心 C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D ．弦的垂线平分弦所对的弧 图4 图5 B D

初三数学讲义

初三数学讲义（10）（圆） 知识梳理： 1.圆定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合 2. 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。（不能 直接用）即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 3. 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =； ③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 4. 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ B D

圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 5. 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 6. 切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。7、切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠ B A

九年级 圆的专题-初三数学关于圆的大题

九年级 圆的专题（含答案） 1. 求证：若半径为R 的圆内接四边形对角线垂直，则以对角线交点到四边射影为顶点的四边形有内 切圆，且此圆半径不大于2 R ． 解析 如图，已知圆内接四边形ABCD ，AC BD ⊥，垂足为P ，P 在AB 、BC 、CD 、DA 上的射影分别为E 、F 、G 、H ，则由几组四点共圆易知 sin sin sin 2AC BD EH FG AP BAD CP BCD AC BAD R ?+=∠+?∠=∠∠= ，同理EF HG +也是此值，因此四边形EFGH 有内切圆． 由于FEP CBD CAD HEP ∠=∠=∠=∠，故EP 平分FEH ∠，同理HP 、GP 、FP 平分另外3个角，P 为四边形EFGH 的内心．于是内切圆半径sin sin sin 2AD r PF PFG PF ACD PF PC ACB R =?∠=?∠=?=?∠? 2 2 24222AD PC AB AD PC PA R R R R R R ???==≤=．取到等号仅当P 为圆心时． 2. 如图(a)，已知O e 的直径为AB ，1O e 过点O ，且与O e 内切于点B ．C 为O e 上的点，OC 与 1O e 交于点D ， 且满足OD CD >，点E 在线段OD 上，使得D 为线段CE 的中点，连结BE 并延长，与1O e 交于点F ，求证：BOC △∽1DO F △． 解析 如图(b)，连结BD ，因为OB 为1O e 的直径，所以90ODB ∠=?，结合DC DE =，可得BDE △≌BDC △． 设BC 与1O e 交于点M ，连结OM ，则90OMB ∠=?，于是OM 平分COB ∠，从而有 122222BOC DOM DBM DBC DBE DBF DO F ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠． 又因为BOC ∠，1DO F ∠分别是等腰BOC △，1DO F △的顶角，所以BOC △∽1DO F △． 3. I 是ABC △的内心，线段AI 延长交ABC △的外接圆于D ，若3AB =，4AC =，且IBC DBC S S =△△， 求BC ． 解析 如图，设BC 与AD 交于E ，则IE ED x ==，2BD CD ID x ===，又设AE y =，由于在等腰三角 形BCD 中，有熟知的结论22BD DE BE CE AE ED -=?=?，此即23x yx =，3y x =，故2AB AC AI BC IE +==， 72 BC =． C F G P H D B E A (b) (a)O 1A O B M E C D F O 1 O B E C D F

九年级数学圆的知识点总结大全

圆知识点总结 知识回顾 圆的周长： C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr2 圆环面积计算方法：S=πR2-πr2或S=π（R2-r2）(R是大圆半径，r是小圆半径） 知识要点 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r

外离（图1）? 无交点 ? d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理 顶点到圆心的角，叫圆心角。 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此 图4 图5 B D

初三数学圆知识点复习专题经典

《圆》 一、圆的概念 概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r +； 外切（图2）?有一个交点?d R r =+； 相交（图3）?有两个交点?R r d R r -<<+； 内切（图4）?有一个交点?d R r =-； 内含（图5）?无交点?d R r <-； A

r R d 图3 r R d 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 例题1、 基本概念 1．下面四个命题中正确的一个是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）． A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B ．过弦的中点的直线必过圆心 C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D ．弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大 深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. r R d 图4 r R d 图5 r R d O E D C A O C D A B

2017-2018九年级数学上册 圆中的基本概念及定理讲义 (新版)新人教版

圆中的基本概念及定理（讲义） 课前预习 在小学的时候，我们知道“一中同长”表示的是圆，中心称为，固定的线段长称为，还知道半径为r 的圆的周长为，面积为 ． 在七年级我们学习了圆的另外一种说法：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O 称为圆心，线段OA 称为半径． 一条弧AB 和经过这条弧的两条半径OA，OB 所组成的图形叫做扇形．顶点在圆心的角叫做圆心角．

知识点睛 1.在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个 端点A 所形成的图形叫做．其固定的端点O叫做，线段OA 叫做．以点O 为圆心的圆，记作，读作“圆O”． 2.圆中概念： 弧：，弧包括和； 弦：； 圆周角：； 圆心角：； 弦心距：； 等圆：； 等弧：． 3.圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是； 圆是中心对称图形，其对称中心为．4.圆中基本定理： *（1）垂径定理： ．推论： ．（2）四组量关系定理：在中，如果 、、、 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． （3）圆周角定理：．推论1：． 推论2：， ．推论3：． 注：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边 形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆． 圆中处理问题的思路： ①找圆心，连半径，转移边； ②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式； ③遇直径，找直角，由直角，找直径； ④由弧找角，由角看弧．

C D A R B 精讲精练 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为 M ，下列结论不一定成立 的是（ ） ︵ ︵ A ．CM =DM B ． C B =B D C ．∠ACD =∠ADC D ．OM =MB 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC ，若 AB = 的半径为 ． ，则⊙O 3. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10 mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为 mm ． 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图，圆拱桥桥拱的跨度 AB =12 m ，桥拱高 CD =4 m ，则拱桥的直径为 ． 5. 如图，在⊙O 中，直径 CD 垂直于弦 AB ，垂足为 E ，连接 OB ， CB ．已知⊙O 的半径为 2，AB = 2 ，则∠BCD = ． 6 3

(完整版)九年级数学中考圆专题复习

九年级圆专题复习 第21题圆这道题对于升学考高中的学生来说是一道必得分题，随着中考复习的逐步深入，学生从知识上对于这道题已经很熟练了，都知道这道题的第（2）问主要考查圆与相似、三角函数、勾股定理等等。如果不进行归类，学生的脑海中还是显得比较杂，比较乱。在复习的过程中，教师如何引导学生进行归类，如何提升学生的转化能力，这些则是教学最需要突破的地方。如果教师能够引导学生对第21题考查的题型结构进行有效的归类，那么学生在面对这道题的时候，首先将这道题归纳为几个重要的熟悉的题型，然后利用自己对这几个题型的熟练理解，则可以大大提高解决问题的速度和准确性。 一、历年题型对比分析及2017年中考题型预测 1. （2013?武汉四月调考）在圆O 中，AB 为直径，PC 为弦，且PA=PC. （1）如图1，求证：OP//BC ； （2）如图2，DE 切圆O 于点C ，若DE//AB ，求tan ∠A 的值。 2. （2013?武汉中考）如图，已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是弧AB 的中点，连接PA 、PB 、PC （1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3 ； （2）如图②，若sin ∠BPC= 25 24 ,求tan ∠PAB 的值。 3. （2014?武汉四月调考）已知：P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，点C 为⊙O 上一点． （1）如图1，若AC 为直径，求证：OP ∥BC ； （2）如图2，若sin ∠P=，求tan ∠C 的值．

4.（2014?武汉中考）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、P 是弧AB 上两点，AB ＝13，AC ＝5 (1) 如图(1)，若点P 是弧AB 的中点，求PA 的长 (2) 如图(2)，若点P 是弧BC 的中点，求PA 得长 5.（2015?武汉四月调考）已知：⊙O 为Rt △ABC 的外接圆，点D 在边AC 上，AD ＝AO ． （1）如图1，若弦BE ∥OD ，求证：OD=BE ； （2）如图2，点F 在边BC 上，BF ＝BO ，若OD ＝2 2 ，OF ＝3，求⊙O 的直径． 6.（2015?武汉中考）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT=45°，AT=AB ． （1）求证：AT 是⊙O 的切线； （2）连接OT 交⊙O 于点C ，连接AC ，求tan ∠TAC ． 7.（2016?武汉四月调考） 已知⊙O 为△ABC 的外接圆，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交⊙O 于点D ． (1)如图1，求证：BD= ED ； (2)如图2,AO 为⊙O 的直径，若BC= 6,sin ∠BAC=5 3 ，求OE 的长． E D O A B C F D O A B C

最新九年级数学知识点：圆的认识知识点

多阅读和积累,可以使学生增长知识，使学生在学习中做到举一反三。在此本站初中频道为您提供圆的认识知识点，希望给您学习带来帮助，使您学习更上一层楼! 圆的定义： 圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。 在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 相关定义: 1 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。 2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。 3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。直径所在的直线是圆的对称轴。 4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。 5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。 6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。 7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。 8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。 9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用π表示，π=3.14159265……在实际应用中，一般取π≈3.14。 11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。 12 圆是一个正n边形(n为无限大的正整数)，边长无限接近0但不等于0。 圆的集合定义： 圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。 ? 圆的字母表示： 以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作O”。 圆—⊙ ; 半径—r或R(在环形圆中外环半径表示的字母); 弧—⌒ ; 直径—d ; 扇形弧长—L ; 周长—C ; 面积—S。 圆的性质: (1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。 圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。 逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。 (2)有关圆周角和圆心角的性质和定理 ①在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有

沪科版数学 九年级下册 -圆 讲义

圆 考点1：圆以及与圆有关的概念 考点2：圆的性质定理垂径定理 圆周角定理 切线长定理 三角形的内切圆和外接圆 圆的内接多边形定理 圆 相离 考点3：与圆有关的位置关系外切 相交 内切 内含 考点4：与圆有关的计算弧长，扇形面积的计算 圆柱，圆锥相关计算 考点一：圆以及与圆有关的概念 【笔记】知识点一圆的定义

（1）在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段叫做半径； （2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 知识点二与圆有关的概念 （1）半径：圆心到圆周的距离；直径：经过圆心的弦叫做直径。直径是半径的2倍。（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。弦心距：从圆心到弦的距离叫圆心距。 （3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧。 优弧：大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧．都叫做半圆。 等弧 ．．：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。 （4）圆周角：顶点在圆周上，两条边都与圆相交的角。 （5）圆心角：顶点在圆心上，以半径为两条边的角。 （6）切线：直线和圆有唯一公共点时，这条直线是圆的切线。在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 （7）弓形：由弦及其所对的弧 ．．．．．．组成的图形叫做弓形。（一弦对两弧） （8）同心圆：圆心相同，半径不相等 ．．．．．的两个圆叫做同心圆。 【例1】下列判断中正确的是( ) A. 长度相等的弧是等弧 B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 【答案】C 【例2】下列说法中：(1)圆心角相等，所对的弦相等。(2)过圆心的线段是直径。(3)长度相等的弧是等弧。(4)弧是半圆。(5)三点确定一个圆。(6)平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。(7)弦的垂直平分线必经过圆心正确的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【例3】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心， CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数为() A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°

九年级数学证明圆的切线专题

证明圆的切线专题 证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路： 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径： 2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直. 1不常用,一般常用2. 1. 如图，在Rt ABC ?中， 90C ?∠=，点D 是AC 的中点，且90A CDB ?∠+∠=,过点,A D 作O ，使圆心O 在AB 上，O 与AB 交于点E ． （1）求证：直线BD 与O 相切； （2）若:4:5,6AD AE BC ==,求O 的直径． 2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90o，O 、D 分别为AB 、BC 上的点，经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ，且D 为EF 的中点。 （1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切 （2）（4分）当，∠CAD=30o时，求AD 的长。 3. 如图，已知CD 是ΘO 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ． (1)求证：直线AB 是OO 的切线； (2)如果AC =1，BE =2，求tan ∠OAC 的值．

4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果BC =8，AB =5，求CE 的长。 5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交AB 于点O ，以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点D ． （1）求证：⊙O 与BC 相切； （2）当AC=3，BC=6时，求⊙O 的半径 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠A DC ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AD=4，BC=9，求⊙O 的半径R ． 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是?AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ． （1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证： AP AC 3=； （2）如图②，若2524sin = ∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．

九年级数学圆知识点归纳

:从网络收集整理.word版本可编辑. 圆知识点归纳 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 （1）劣弧：小于半圆周的弧。 （2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3 ）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 （1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 （2）推论： ?平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ?平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。（1）同弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距 五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O的半径为r，OP=d。 7、（1 （2 （直角三角形的外心就是斜边的中点。） 8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切；直线与圆没有交点，直线与圆相离。 2 9A（x1，y1）、B（x2，y2）。 d= r 直线与圆相切。 d< r（r > d直线与圆相交。 d > r（r d点P在⊙O内 d > r（r

2020年九年级数学中考专题复习：隐形圆求最值问题(含答案)

隐形圆问题 一、确定动点轨迹是圆 【例题 1】如图，已知圆 C 的半径为 3，圆外一定点 O 满足OC=5，点 P 为圆C 上一动点， 经过点 O 的直线 l 上有两点 A ，且 OA=OB ，∠APB=90°，l 不过点 C ，则 AB 的最小值为 【举一反三】 1、如图，在边长为 2的菱形 ABCD 中，∠ A=60°， M 是 AD 边的中点， N 是 AB 边上的一动 点，将△ AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△ A'MN,连接 A'C ，则 A'C 长度的最小值是 3、如图，已知等边 △ABC 的边长为 8，点 P 是 AB 边上的一个动点 （与点 A 、B 不重合 ）.直线 l 是经过点 P 的一条直线， 把△ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点 B'.当PB=6时，在直 线 l 变化过程中，则 △ ACB '面积的最大值是 . 4、如图，矩形 ABCD 中，AB ＝4，BC=8，P 、Q 分別是直线 BC 、AB 上的两个动点， AE ＝2， △AEQ 沿 EQ 翻折形成△ FEQ ，连接 PF 、PD ，则 PF+PD 的最小值是 2、如图，在 Rt △ABC 中， ∠C=90°，AC ＝6， 为边 BC 上的动点，将 △ CEF 沿直线 EF 翻折， 小值是 BC=8，点 F 在边 AC 上，并且 CF ＝ 2，点 E 点 C 落在点 P 处，则点 P 到 边 AB 距离的最 第 2

二、定边对直角 知识回顾 :直径所对的圆周角是直角 构造思路 :一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧 图形释义 : 【例题 1】已知正方形 ABCD 边长为 2，E 、F 分别是 BC 、CD 上的动点，且满足 BE ＝ CF ， 连接 AE 、 BF ，交点为 P 点，则 PC 的最小值为 【举一反三】 1、如图， E 、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足 AE ＝DF ，连接 CF 交 BD 于 点 G ，连接 BE 交 AG 于点 H ，若正方形边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是 2、如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点， 且满足 ∠PAB ＝∠ PBC ，则线段 CP 长的最小值是 若 AB 是一条定线段，且 ∠APB-90 °， 则 P 点轨迹是以 AB 为直径的圆

精品 九年级数学上册 圆的基本性质讲义+同步练习题

圆的基本性质 知识点 圆的定义 几何定义：线段OA，绕O点旋转一周得到的图形，叫做圆。其中，O为圆心，OA为半径。 集合定义：到定点等于定长的所有点的集合。其中，定点为圆心，定长为半径。 圆的书写格式： 圆的对称性 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3）圆是旋转对称图形。 与圆有关的线段 半径：圆上一点与圆心的连线段。确定一个圆的要素是圆心和半径。 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。 弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 劣弧：小于半圆周的圆弧叫做劣弧。表示方法： 优弧：大于半圆周的圆弧叫做优弧。表示方法： 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 注意：同弧或等弧对应的弦相等。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 注意:定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，深圳可以是过圆心的直线或线段；该定理也可以理解为：若一条直线具有两条性质：①过圆心；②垂直于一条弦，则此直线具有另外三条性质：①平分此弦；②平分此弦所对的优弧；③平分此弦所对的劣弧. 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 在下列五个条件中:①CD是直径;②CD⊥AB;③AM=BM;④AC=BC;⑤AD=BD.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. 注意：(1)在圆中，与已知弦（非直径）相等的弦共有条；共端点且相等的弦共有条。 （2）在圆中，与已知弦（非直径）平行的弦共有条；平行且相等的弦共有条。 例1.如图：OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD=BC.

中考初三数学专题隐形圆

中考初三数学专题 隐形圆 辅助圆 模型一：“隐形圆”解点的存在性 模型分析“定边、定角”圆上找.具体来说：当边长一定，其所对角度也一定时，该角顶点 在两段弧上. 1. 如图，已知线段AB. （1）请你在图①中画出使∠APB＝90°的所有满足条件的点P； （2）请你在图②中画出使∠APB＝60°的所有满足条件的点P； （3）请你在图③中画出使∠APB＝45°的所有满足条件的点P. 2. （1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5.请你在图①中矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的点P； （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝.请你在图②中矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝60°的点P；（3）如图③，在正方形ABCD中，AB＝2，BC＝ .请你在图③正方形ABCD的边上画出使∠BPC＝45°的点P. 3. 如图，线段AB和动点C构成△ABC，AB＝2，∠ACB＝120°，则△ABC周长的最大值为___________. . 模型二：“隐形圆”解角的最值 模型分析同弧所对的圆周角相等，其所对的“圆外角”小于圆周角，“圆内角”大于圆周角. 如图①，∠ B＝∠D＝∠E；如图②，∠F＞∠B＞∠G.

4. 如图，线段AB是球门的宽，球员（前锋）在距球门前一定距离的直线b上，在直线b上是否存在一点P，使得球员在P点射门更易进球？若存在这样的点，请找出；若不存在，请说明理由. 5. 如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点. （1）使∠APB＝30°的点P有________个； （2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标； （3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，请说明理由. 模型三：“隐形圆”解线段的最值 模型分析平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值. 具体分以下三种情况讨论（规定OD＝d，⊙O半径为r）： 第一种：当点D在⊙O外时，d>r，如图①、②：当D，E，O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为（d＋r），DE的最小值为（d－r）； 第二种：当点D在圆上时，d＝r，如图③：当D，E，O三点共线时，线段DE出现最值， DE的最大值为d＋r＝2r（即为⊙O的直径），DE的最小值为d－r＝0（点D，E重合）； 第三种：当点D在⊙O内时，d