5积分中值定理的证明与应用

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文化与教育技术

积分中值定理的证明与应用

王晶岩

（黑龙江工商职业技术学院，黑龙江哈尔滨150000）

1积分中值定理的内容：

积分第一中值定理若f(x)在[a,b]上连续，则在上至少存在一点ξ使得

（1）对于上述定理，是否可以将条件闭区间[a,b]减弱到开区间(a,b)，是否对间断函数也有上述的积分中值定理？我们将证明这个定理中的ξ一定可以取到开区间(a,b)上，并把这个定理推广到间断函数上去。

定理1若f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得

成立.

证明：利用微分中值定理来证明

令

因f(x)在[a,b]上连续，所以φ(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且应用拉格朗日微分中值可得：在(a,b)内至少存在一点ξ，使

即

亦即

定理2若f(x)在(a,b)上连续,而在x=a及x=b 为第一类间断点，或只有一个第一类间断点而另一端点是连续点，则在(a,b)上至少有一点ξ，使成立.

证明设

因为f(x)在x=a及x=b为第一类间断点，所以F(x)是在[a,b]上的连续函数。对F(x)用积分中值定理并结合定理1有

由于在(a,b)上

以及ξ∈(a,b)所以有

故上式即为

注：定理2说明了当端点为第一类间断点时积分中值定理依旧成立，若x=a或x=b为第二类间断点，则因为a与b是区间端点，故f(x)在x=a 的右极限或在x=b的左极限不存在，所以对于重新定义F(x)使得F(x)在[a,b]上连续不能实现，故对于端点为第二类间断点不加以讨论，但若

端点为无穷型断点，且广义积分

收敛时，则f(x)在(a,b)上的积分中值定理是否还

是成立？

定理3若f(x)在(a,b)上连续，x=a是连续点

或第一类间断点，x=b为瑕点.且广义积分

收敛，则在(a,b)上仍有ξ使

成立.

证明由广义积分定义知

所以

由题意等式左边存在,所以等式右边也应存

在.

记

所以有

注：定理3的条件若设为x=a为无穷型断

点，x=b是连续点或第一类间断点，而其它不变，

则定理3的结论仍成立.

推广的积分第一中值定理若f(x)，g(x)在闭

区间[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则在[a,

b]至少存在一点ξ，使得

（2）

证明：

不妨设在[a,b]上g(x)叟0则在[a,b]有

其中m,M分别为f(x)在[a,b]上的最小值与最

大值，则有：

若，则由上式知，

从而对[a,b]上任何一点ξ，定理都成立。

若则由上式得：

则在[a,b]上至少有一点ξ，使得

即：

显然，当g(x)≡1时，（2）式即为（1）式

2积分中值定理的应用

由于该定理可以使积分号去掉，从而使问

题简化，对于证明包含函数积分和某个函数值

之间关系的等式或不等式，常可以考虑使用积

分中值定理。

在应用积分中值定理时应注意以下几点：

2．1在应用中要注意被积函数在区间上连

续这一条件，否则，结论不一定成立。

例如：显然f(x)在x=0

处间断。

由于

但在上，f(x)≠0，所以，对任何

都不能使.

2．2定理中的g(x)在[a,b]上不变号这个条件

也不能去掉.

例如：令：

所以，不存在，使

2．3定理中所指出的ξ并不一定是唯一的，

也不一定必须是[a,b]的内点。

例如：令f(x)=1，，则对

都有：

这也说明了ξ未必是区间[a,b]的内点。

下面给出几道例题：

例1假设f(x)为[0，1]上的连续、非负、严格

单调减函数，证明

.

证明：由定理1可以得到

由以上两个不等式可以得到

摘要：本文在分析教材中第一积分中值定理的条件下，证明了介值点ξ必可在开区间(a,b)内取得，进一步将这个结论推广到被积函数f以

区间端点a和b为第一类间断点或瑕点以及在(a,b)内有间断点的情形，并且给出了一些应用。

关键词：微分中值定理；积分中值定理；应用

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英语定语从句翻译方法的研究

赵园

（黑龙江电力职工大学，黑龙江哈尔滨150030）

1举例：

（1）A man who doen’t try to learn from others cannot hope to achieve much.

如果翻译成“一个人不努力地向别人学习”就不如翻译成“一个不向别人学习的人”那样明确与简炼。同时也是将主句与定语从句合译成一个单句。译成“一个不向别人学习的人是不能指望有多少成就的。”这种定语从句的翻译是将原来的复合句翻译成汉语的简单句。

（2）There have been good results in the experi－ment that have given him great encouragement.

如果把这句话分成两部分翻译“在实验中有好的结果，这给了他巨大的鼓舞”，就不如“实验中的良好结果给了他莫大的鼓舞。”那样明确与简洁。这是将主句与定语从句捏合成了一句话，并且将定语从句译作谓语。

（3）I need someone who can instrut me in my English study.

如果翻译成“我需要能指导我英语学习的人”，就显得很牵强，不那么主动，而译成兼语式的句子，“我需要一个人来指导我学英语。”就生动而且富有色彩。这也是将主句与定语从句译成一个单句的译法。

（4）He took a bottle of wine out of his pocket, which he began to drink slowly.

如果将原句翻译成“他从衣袋里取出一个酒瓶子，慢慢地喝了起来。”就不如译成一句话构成连动式的句子，“他从衣兜里掏出一瓶酒慢慢地喝起来。”那样简洁明了而且还生动形象。还是要将定语从句译成一句话，一个单句。

结论：

（1）这一些定语从句的翻译都是将主句和定语从句合译成一个单句的译法。

（2）这种合译成一个单句的译法叫做合并译法。

（3）具体做法是把一些定语从句译成定语、谓语部分、兼语式的一部分、连动式的一部分。

2举例：

（1）At dinner,I found myself placed between Mrs

Brown and a shy girl,who seemed younger than the

others.

如果翻译成“吃饭时，我发现我位于布朗太太

与一个看上去比别人都年轻的女孩之间。”捏合成

一句话，就不如“席间，我发现自己的座位在布朗夫

人和一位腼腆的姑娘之间，这位姑娘看起来比其他

人都年轻。”拆分成两个句子，那样合情合理与符合

汉语表达的习惯。这是将一句话拆分成了两句话的

处理。

（2）I planted these apple trees three years ago,

which have not borne any fruit.

如果将这句话翻译成“三年前，我种的这些苹

果树，那时，还没有任何结果。”就不如译成“这些苹

果树是我三年前栽的，还没有结过果实。”那样明确

与简洁。这个定语从句表面上看是非限定性的，但

在意义上已与主句融为一体，在翻译时可以将引导

定语从句的关系代词或关系副词，略而不译，连贯

叙述。

结论：

（1）这些定语从句的翻译都是将定语从句与主

句分开，单独成句，或译成复句中的一个分句。

（2）这种译法就是所谓的拆分译法。

（3）适于这种译法的主要为较长的非限制性定

语从句。这种定语从句，从意思上看，与先行词的关

系并不紧密，只起着补充说明、叙述或描写的作用。

定语从句的存在与否，并不直接影响主句意思的完

整性，翻译时与主句分开，使其单独成句，就可避免

出现冗长、累赘的汉语句式。

3举例：

（1）I once met with Dr.Li in the street,who(=

when he)came back to see his parents in1995.

如果翻译成“我曾经在大街上遇到过李博士，他在

1995年回来看望他的父母。”就不如将定语从句译

为时间状语从句“李博士1995年回来看望父母时，

我曾在大街上遇到过他。”那样流利，明确，而且符

合汉语的表达习惯。这就是使用了转换译法。将定

语转换成了状语，时间状语。

（2）The old couple were proud of their grandson,

who(=because he)won three gold medals,two silver

medals and one bronze medals at the23rd Olympic

Games.

如果翻译成“老两口为他们的孙子感到骄傲，

他们的孙子在第二十三届奥林匹克运动会上得到

了三枚金牌，两枚银牌和一枚铜牌。”就不如将定语

从句翻译成原因状语从句“老两口为他们的孙子感

到骄傲，因为他在第二十三届奥运会上获得了三枚

金牌、两枚银牌和一枚铜牌。”那样智慧与高超，更

加明确地阐明主句。这就是使用了转换译法。将定

语从句译成状语，原因状语。

结论：

（1）这些定语从句从形式上看是定语，但在深

层意义上却含有状语的意思，它起着状语的作用，

用以说明时间、原因、目的、条件、让步、结果等关

系。

（2）翻译这类定语从句时应体会其深层含义，

采用相应的译法，也就是将其转换成状语来译。这

就是转换译法。

总结论：

（1）定语从句的翻译，归纳起来大致有以下三

种：①合并译法；②拆分译法；③转换译法。

（2）当然，定语从句的翻译还有更深的译法与

技巧有待于进一步探讨，我们要不受束缚，解放思

想，运作每一句话的翻译，灵活运用汉语中表达同

类意思的句式，在忠实于原文的基础上，寻求更新、

更灵活的翻译表达。

参考文献

[1]孙萍.2001《实用英汉翻译新法》.长春：吉林大学

出版社.

摘要：本文讲述了定语从句翻译的三种方法：合并译法；拆分译法；转换译法。关键词:合并；拆分；转换

两边乘以得

因为所以，又由于f(x)为[0，1]上的连续，非负函数

所以

所以

例2求证

证明:

其中,于是由即可获证.

例3、估计的值

解：由推广的积分第一中值定理：

，其中

即：

例4求证：

对等式右边第一个积分用中值定理，对第二个

积分的被积函数用不等式则得:

当n>N时便有

所以

使用积分中值定理对某些问题处理较为方便。

参考文献

[1]《数学分析》刘玉琏,傅沛仁编，高等教育出版

社，上海1988年出版。

[2]《高等数学解题方法指导》，马玲主编，大连理

工大学出版社，大连1996年出版。

[3]《积分中值定理证明的一点注记》,阎政平主

编,安徽师范大学学报.1996（4）

[4]《高等数学题库精编》，薛嘉庆主编，东北大学

出版社，沈阳2000年3月出版。

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中值定理证明

中值定理 首先我们来瞧瞧几大定理: 1、 介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及 f(b)=B,那么对于A 与B 之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

积分中值定理的推广与应用

积分中值定理的推广与应用 系别数学系 专业数学与应用数学姓名韩凤 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月

国内图书分类号： 吕梁学院本科毕业论文（设计） 积分中值定理的推广与应用 姓名韩凤 系别数学系 专业数学与应用数学 申请学位学士学位 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月

摘要 在微积分学中积分中值定理与微分中值定理一样有着重要的地位.微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用.它是《数学分析》、《高等数学》课程中定积分部分的基本定理之一.众所周知积分中值定理包括积分第一中值定理与积分第二中值定理,而在数学分析课本上已有过这两个定理的详细证明,但这两个定理的推广与应用尚未提及.因此,在教学过程中,学在运用这一知识点解决有关的数学问题比较困难,常常不知如何下手,本文主要讲述的是积分第一中值定理的各种形式的推广以及通过以下几方面的列举例题,加以归纳总结,并充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用. 关键词：积分中值定理；推广；应用

ABSTRACT The integral median value theorem and differential median value theorem has the same important position in the questions and the proof of the inequality are all based on the integral theorem,the integral median theorem has played an important role in solving the problems about is one of the basic theorems in the definite integral part of“the mathematical analysis”and“the higher mathematics”.Well-known that the integral median theorem include the first median theorem for integrals and the second median theorem for integrals and the textbooks of the mathematical analysis have the detailed proof about the two theorems,but the popularization and application of the two theorems have not been addressed .Therefore,it is difficult when students use this knowledge to solve the related problems during the process of article mainly introduce various popularization of the first median theorem for integrals and giving some example through the following aspects,and giving some summary,strive to reflect the application of integral median value theorem in studying the way which can slove the ploblems. Keywords：Integral median value theorem; Promotion; Applications.

谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)

谈谈拉格朗日中值定理的证明 引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔()Rolle 中值定理 如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；（3）()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1， 注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理

若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()a b a f b f f --= ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ? AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2， 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理 3.1 教材证法 证明 作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a -=-- 显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，而且 ()()F a F b =．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使 ()()()()0''=--- =a b a f b f f F ζζ.即()()()a b a f b f f --=ζ'. 3.2 用作差法引入辅助函数法 证明 作辅助函数 ()()()()()()?? ???? ---+-=a x a b a f b f a f x f x ? 显然，函数()x ?在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，()()0==b a ??，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得 ()()()()0''=---=a b a f b f f ζζ?，即 ()()()a b a f b f f --=ζ' 推广1 如图3过原点O 作OT ∥AB ，由()x f 与直线OT 对应的函数之差构成辅助函数()x ?，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有：

推广的积分中值定理及其应用

推广的积分中值定理及其应用 摘要:定积分是微积分的重要组成部分,而积分中值定理是定积分的重要性质之一,所以积分中值定理在微积分中占了很重要的地位,本文系统的叙述了推广的积分中值定理包括:ξ必可以在开区间中取得,导函数的积分中值定理等多个方面,我们所学知识中积分中值定理与微分中值定理的中间点的存在区间是不统一的,但推广后的积分中值定理能够与微分中值定理的存在区间从形式上统一起来,使与其相关的理论得以联系和应用.同时,在本篇论文中以实例的形式列举了推广的积分中值定理在确定零点分布、证明积分不等式、求极限等方面的应用,显然,推广的积分中值定理的优点就在于此,它可以解决原积分中值定理无法解决的问题,这表明了积分中值定理在推广后更具有应用性. 关键词:积分中值定理;导函数;微分中值定理 Promotion of Integral Mean Value Theorem and Its Application Abstract:Definite integral is an important component of calculus, the mean value theorem is one of the important properties of the definite integral, so integral mean value theorem in calculus plays a very important position .This paper describes the system to promote the integral mean value theorem, including: ξwill be achieved in the open interval ,of the derivatives and other integral mean value theorem, we have the knowledge of the differential mean value theorem and the Intermediate Value Theorem Existence interval is not uniform, but after the promotion of integral mean value theorem and the Mean Value Theorem to the presence of range from the formal unity, so that contact can be associated with the theory and application. Meanwhile, in this paper an example to cite a form of integral mean value theorem in determining the zeros to prove inequality, such as the application of limit, obviously, to promote the advantages of integral mean value theorem in this, it Can solve the original integral mean value theorem can not solve the problem, suggesting that the integral mean value theorem in the promotion of a more applied after. Keywords: Integral mean value theorem, derivative, mean value theorem

关于高等数学常见中值定理证明及应用

中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

高等数学-中值定理证明

第三章中值定理证明

1.闭区间上连续函数定理① ② ③ ④ 2.微分中值定理 ① ② ③ ④ 3.积分中值定理 ① ② 不等式证明思路 ①构造函数（利用极值） ②拉格朗日中值定理 ③函数凹凸性定义

1.若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0 f f ξλξ'+=2.设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)() b a ae be e a b ξξ-=--3.设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得：()0 F ξ''=4.设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+.

5.若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

(完整版)中值定理的应用方法与技巧

中值定理的应用方法与技巧 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f b a -=?ξ。积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得??=b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。 一、 微分中值定理的应用方法与技巧 三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。 例一．设)(x ?在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==??。证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+') ()(η?ξ?成立。 证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(??ξ?。 任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ?==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=') 0()1(0)(??η?。 两式相加得：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得 b a b a +='+') ()(η?ξ? 成立。 证法2：任意给定正整数b a ,，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对

拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。 怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去。 罗尔定理：函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈)==o (如图1)。 拉格朗日定理：若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ∈，使(如图2). 比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为: 1.首先分析要证明的等式：我们令 (1) 则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈ t就可以了。 由有，f(b)-tb=f(a)-ta (2) 分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b) 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F。(∈)=O。也就是f(∈)-t=O，也即f(∈ )=t，代人(1 )得结论 2.考虑函数

我们知道其导数为 且有 F(a)=F(b)=0. 作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且f F 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F’ 从而有结论成立.

拉格朗日中值定理证明中辅助函数构造及应用

分类号 编号 本科生毕业论文（设计） 题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用 作者姓名常正军 专业数学与应用数学 学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2 研究类型数学应用方向 指导教师李明图 提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5

论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：年月日

摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。 关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用 Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example. Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application

积分中值定理的证明与应用

积分中值定理的证明与应用 作者：王晶岩 作者单位：黑龙江工商职业技术学院,黑龙江,哈尔滨,150000 刊名： 中国新技术新产品 英文刊名：CHINA NEW TECHNOLOGIES AND PRODUCTS 年，卷(期)：2009，""(5) 被引用次数：0次 参考文献(4条) 1.刘玉琏.傅沛仁教学分析 1988 2.马玲高等数学解题方法指导 1996 3.阎政平积分中值定理证明的一点注记 1996(04) 4.薛嘉庆高等数学题库精编 2000 相似文献(10条) 1.期刊论文余桂东.YU Gui-dong积分中值定理的逆-安庆师范学院学报（自然科学版）2001,7(1) 从积分中值定理的几何意义出发,探讨出有关积分中值定理的逆,并进一步推出微分中值定理的逆. 2.期刊论文郝玉芹.时立文.欧阳占瑞.HAO Yu-qin.SHI Li-wen.OUYANG Zhan-rui对积分中值定理结论的一点改动-河北能源职业技术学院学报2007,7(3) 本文对积分中值定理中取值区间进行讨论,证明在开区间上该定理仍然成立.这样可使积分中值定理与微分中值定理中的取值区间得以统一,从而更能体现积分中值定理的中值性以及两个中值定理之间的联系. 3.期刊论文张武关于积分中值定理的正确应用与理解-太原教育学院学报2002,20(4) 积分中值定理是微积分学中最基本的定理之一,但是在实际教学与应用中常常会有误解,对它的理解也不够全面和深刻.因此,有必要对一般情况下积分中值定理进行推广和证明,并阐述它与微分中值定理的关系. 4.期刊论文唐伟国.唐仁献微分中值定理的级数表达式-湖南科技学院学报2008,29(8) 本文探寻得到了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理的级数表达式,并作为其应用,方便地得到了第一积分中值定理的两种新的形式. 5.期刊论文唐仁献微分中值定理的级数表达式-零陵学院学报2004,25(6) 探寻得到了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理的级数表达式,并作为其应用,方便地得到了第一积分中值定理的两种新的形式. 6.期刊论文潘新对积分中值定理的推广与应用-考试周刊2008,""(26) 文章对积分中值定理进行了讨论与推广.得到了四个推论,并且对给出的积分中值定理进行了一些应用. 7.期刊论文孙翠芳.程智微积分中值定理间点的关系-高等数学研究2009,12(6) 根据微分中值定理和积分中值定理定义微分点与积分点.证明严格单调函数与凸(凹)函数中微分点与积分点间的一些关系式,指出在函数对称的情况下微分点与积分点之间也存在着对称关系,并给出一类向量函数以及多项式函数中微分点与积分点间的关系式. 8.期刊论文宁存法.陈丫丫关于积分中值定理的注记-太原大学教育学院学报2007,25(z1) 在分析教材中第一积分中值定理的条件下,证明了介值点ξ必可在开区间(a,b)内取得,进一步将这个结论推广到被积函数f以区间端点a和b为第一类间断点或瑕点以及在(a,b)内有间断点的情形,并且给出以上结果的一些应用. 9.期刊论文哈申浅谈微分中值定理与牛顿-莱布尼兹公式-内蒙古科技与经济2007,""(21) 本文介绍微分中值定理与牛顿-莱布尼兹公式的简单应用,找出微分中值定理与牛顿-莱布尼兹公式的辩证关系,从而使我们深入理解和运用微积分学的基本定理. 10.期刊论文薛国民关于一道数学竞赛题的解法探讨-考试周刊2008,""(26) 本文对江苏省普通高等学校第六届高等数学竞赛中一道试题的解法进行了探讨,分析了原有解法的不足,并且给出了另一种解法. 本文链接：https://www.wendangku.net/doc/7c2921683.html,/Periodical_zgxjsxcpjx200905194.aspx 授权使用：台州科技职业学院(tzkjzy)，授权号：1d0d7b6a-acd1-4f5e-850e-9e170098c7d5 下载时间：2010年10月22日

微分与积分中值定理及其应用

第二讲 微分与积分中值定理及其应用 1 微积分中值定理 0 微分中值定理 .......................................................................................... 0 积分中值定理 .......................................................................................... 2 2 微积分中值定理的应用 . (3) 证明方程根（零点）的存在性 ............................................................... 3 进行估值运算 .......................................................................................... 7 证明函数的单调性................................................................................... 7 求极限 ...................................................................................................... 8 证明不等式 . (9) 引言 Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。微分中 值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。 1 微积分中值定理 微分中值定理 罗尔(Rolle)定理: 若函数f 满足如下条件 (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =, 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 0)(='ξf ． 朗格朗日(Lagrange)中值定理: 设函数f 满足如下条件： (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）上可导； 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ．

对积分中值定理的一点思考

对于积分中值定理的一点思考 摘要 积分中值定理是高等数学中重要的一部分，中值定理是人们认识高等数学世界、解决数 学问题的重要武器，本文在数学分析教材中第一积分中值定理的条件下，证明了介值点ξ必可在开区间 ),(b a 内取得，并且给出几分中值定理及其推广的一些应用. 关键词 积分中值定理 积分中值定理应用 积分中值定理的推广 第一积分中值定理 极限 一 引言 推广的积分第一中值定理： 若函数f(x)与g(x)在闭区间[a, b]上连续，且g(x)在[a, b]上不变号，则在[a, b]上至少存在一点ξ使得 ??=b a b a x d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ （1） 推广的积分中值定理可改进如下： 定理1：若函数f(x)与g(x)在闭区间[a, b]上连续，且g(x)在[a, b]上不变号，则在) ,(b a 上至少存在一点ξ使得??=b a b a x d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ。 对其证明如下： 因为)(x f 在],[b a 上连续，故)(x f 在],[b a 上存在最大值和最小值，不妨分别设为M 和m,即M x f m ≤≤)(，则必存在x x x x b a 2 1 2 1 ],,[,<∈，使m f x =)(1 ，M f x =)(2 ， 又因为 )(x g 在],[b a 上不变号，不妨设0)(≥x g ,则?≥b a dx x g 0)(， 且有)()()()(x Mg x g x f x mg ≤≤，又)(x f 和)(x g 都在],[b a 可积，则)()(x g x f 在] ,[b a 也可积，从而有 ???≤≤ b a b a b a dx x g M dx x g x f dx x g m )()()()( （2）

微分中值定理的证明题[1](1)

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。 证：构造函数()()x F x f x e λ=，则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导， 且()()0F a F b ==，由罗尔中值定理知：,)a b ξ?∈ （，使()0F ξ'= 即：[()()]0f f e λξξλξ'+=，而0e λξ≠，故()()0f f ξλξ'+=。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。 证：将上等式变形得：1111 111111 (1)()b a e e e b a b a ξξ-=-- 作辅助函数1 ()x f x xe =，则()f x 在11[,]b a 上连续，在11 (,)b a 内可导， 由拉格朗日定理得： 11()()1()11f f b a f b a ξ-'=- 1ξ11(,)b a ∈ ， 即 1111(1)11b a e e b a e b a ξξ-=-- 1ξ11(,)b a ∈ ， 即： )()1(b a e be ae a b --=-ξξ (,)a b ξ∈。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。 证：显然()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，又(0)(1)0F F ==，故由罗尔定理知：0(0,1)x ?∈，使得0()0F x '= 又2()2()()F x xf x x f x ''=+，故(0)0F '=， 于是()F x '在0[0]x ，上满足罗尔定理条件，故存在0(0,)x ξ∈， 使得：()0F ξ''=，而0(0,)x ξ∈?(0,1)，即证

柯西中值定理的证明及应用

柯西中值定理的证明及应用 马玉莲 （西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃，兰州，730070） 摘要：本文多角度介绍了柯西中值定理的证明方法和应用, 其中证明方法有: 构造辅助函数利用罗尔定理证明，利用反函数及拉格朗日中值定理证明, 利用闭区间套定理证明, 利用达布定理证明, 利用坐标变换证明. 其应用方面有：求极限、证明不等式、证明等式、证明单调性、证明函数有界、证明一致连续性、研究定点问题、作为函数与导数的关系、推导中值公式. 关键词：柯西中值定理; 证明; 应用

1.引言 微分中值定理是微分学中的重要定理，它包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理，而柯西中值定理较前两者更具有一般性、代表性，其叙述如下： 柯西中值定理：设函数f(x),g(x)满足 (1) 在[,]a b 上都连续; (2) 在(,)a b 内都可导; (3) '()f x 和'()g x 不同时为零; (4) ()()g a g b ≠, 则存在(,)a b ξ∈，使得 ()()() ()()() f f b f a g g b g a ξξ''-=- . （1） 本文从不同思路出发，展现了该定理的多种证明方法及若干应用，以便其更好的被认识、运用. 2.柯西中值定理的证明 2.1构造辅助函数利用罗尔定理证明柯西中值定理 罗尔定理 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 上可导，且 ()()f a f b =则至少存在一点,(,)a b ξ∈ , 使得 因为()0g ξ'≠（若()g ξ'为0则()f ξ'同时为0, 不符条件）故可将（2）式改写为(1)式. 便得所证.

积分中值定理的推广与应用

积分中值定理的推广与应用

系别数学系 专业数学与应用数学姓名韩凤 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月

国内图书分类号：O172.2 吕梁学院本科毕业论文（设计） 积分中值定理的推广与应用 姓名韩凤 系别数学系 专业数学与应用数学

申请学位学士学位指导教师张润玲职称副教授日期2011年6月

摘要 在微积分学中积分中值定理与微分中值定理一样有着重要的地位.微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用.它是《数学分析》、《高等数学》课程中定积分部分的基本定理之一.众所周知积分中值定理包括积分第一中值定理与积分第二中值定理,而在数学分析课本上已有过这两个定理的详细证明,但这两个定理的推广与应用尚未提及.因此,在教学过程中,学在运用这一知识点解决有关的数学问题比较困难,常常不知如何下手,本文主要讲述的是积分第一中值定理的各种形式的推广以及通过以下几方面的列举例题,加以归纳总结,并充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用. 关键词：积分中值定理；推广；应用

ABSTRACT The integral median value theorem and differential median value theorem has the same important position in the calculus.Many questions and the proof of the inequality are all based on the integral theorem,the integral median theorem has played an important role in solving the problems about median.It is one of the basic theorems in the definite integral part of“the mathematical analysis”and“the higher mathematics”.Well-known that the integral median theorem include the first median theorem for integrals and the second median theorem for integrals and the textbooks of the mathematical analysis have the detailed proof about the two theorems,but the popularization and application of the two theorems have not been addressed .Therefore,it is difficult when students use this knowledge to solve the related problems during the process of teaching.This article mainly introduce various popularization of the first median theorem for integrals and giving some example through the following aspects,and giving some summary,strive to reflect the application of integral median value theorem in studying the way which can slove the ploblems. Keywords：Integral median value theorem; Promotion; Applications.

中值定理的证明题

第五讲 中值定理的证明技巧 一、 考试要求 1、 理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定 理），并会应用这些性质。 2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理(泰勒定理），了解并会用柯西中 值定理。掌握这三个定理的简单应用（经济）。 3、 了解定积分中值定理。 二、 内容提要 1、 介值定理（根的存在性定理） （1）介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值m 之间的任何值. （2）零点定理 设f(x)在[a 、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c ∈(a 、b)，使得f(c)=0 2、 罗尔定理 若函数)(x f 满足： （1）)(x f 在[]b a ,上连续 （2）)(x f 在),(b a 内可导 （3）)()(b f a f = 则一定存在),(b a ∈ξ使得0)('=ξf 3、 拉格朗日中值定理 若函数)(x f 满足： （1）)(x f 在[]b a ,上连续 （2）)(x f 在),(b a 内可导 则一定存在),(b a ∈ξ，使得))((')()(a b f a f b f -=-ξ 4、 柯西中值定理 若函数)(),(x g x f 满足: （1）在[]b a ,上连续 （2）在),(b a 内可导 （3）0)('≠x g 则至少有一点),(b a ∈ξ使得)(')(') ()()()(ξξg f a g b g a f b f =--

5、 泰勒公式 如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间),(b a 内具有直到1+n 阶导数, 则当x 在 ),(b a 内时, )(x f 可以表示为0x x -的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之和，即 )())((!1 ))((!21))(()()(00)(200000x R x x x f n x x x f x x x f x f x f n n n +-+???+-''+-'+= 其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ (ξ介于0x 与x 之间). 在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点： 1．展开的基点； 2．展开的阶数； 3．余项的形式． 其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公 式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式． 而基点和阶数，要根据具体的问题来确定． 6、 积分中值定理 若f(x)在[a 、b]上连续，则至少存在一点c ∈[a 、b]，使得 b a ?f(x)dx=f(c)(b-a) 三、 典型题型与例题 题型一 、与连续函数相关的问题（证明存在ξ使0)(=ξf 或方程f(x)=0有根） 方法：大多用介值定理 f(x)满足：在[a,b]上连续；f(a)f(b)<0. 思路：1）直接法 2）间接法或辅助函数法 例1、设)(x f 在[a,b]上连续，),,2,1(0,21n i c b x x x a i n =><<<<<，证明存在],[b a ∈ξ ，使得 n n n c c c x f c x f c x f c f ++++++= 212211)()()()(ξ