高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战62314

第五章 平面向量第三节 平面向量的数量积

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。）

1.【广西梧州、崇左两市联考高三（上）摸底】设向量，满足|+|=，||=1，||=2，则?等于

（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

2.【“五个一名校联盟” 高三教学质量监测（一）6】b a ,是两个向量，2,1==b a 且a b a ⊥+)(，则a 与

b 的夹角为（ ）

A.

30 B.

60 C.

120 D.

150

3. 【重庆高考理第4题】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ）

9

.2A -

.0B .C 3 D.152

4.【·长春调研】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(b ＋λa)⊥c ，则λ的值为( )

A ．－311

B ．－113

C.12

D.35

5.【高考辽宁卷文第5题】设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ?=，0b c ?=，则0a c ?=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．()()p q ?∧? D ．()p q ∨?

6.【·北京东城质量检测】已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b)b ，则|c|＝________. A.2 B.22 C.28 D.216

7. 【黄冈市高三5月适应性考试】非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ???

且12AB AC AB AC ?=，则⊿ABC 为( )

A.三边均不等的三角形

B.直角三角形

C.等边三角形

D.等腰非等边三角形

8.【全国普通高等学校招生统一考试理科数学（江西卷）】已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且

1

cos 3

α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β等于（ ）

A.

23 B. 22 C. 223 D. 423

9. 【高考浙江卷文第9题】设θ为两个非零向量a 、b 的夹角，已知对任意实数t ，||t a b +的最小值为1（ ）

A.若θ确定，则 ||a 唯一确定

B.若θ确定，则 ||b 唯一确定

C.若||a 确定，则 θ唯一确定

D.若||b 确定，则 θ唯一确定

10.【高二暑假作业】设O 为坐标原点，()1,1A ，若点()221,

,01,01,x y B x y x OA OB y ?+≥??

≤≤???≤≤??

满足则取得最小值

时，点B 的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.无数个 11.【高考重庆，理6】若非零向量a ，b 满足|a|=22

3

|b|，且（ab ）⊥（3a+2b ），则a 与b 的夹角为 （ ） A 、

4π B 、2π C 、34

π D 、π 12.【原创题】对于非零向量,a b ，下列命题中正确的是（ ）. A.a ∥b ?a 在b 上的投影为a B.0a b ?=0a ?=或0b = C.a ⊥b ?()2

a b a b ?=?

D.a c b c ?=??a b =

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）

13.【黄石二中、鄂南高中、鄂州高中三校高三上学期期中联考文科数学试题】已知向量,a b 的夹角为

3

π

，

||2,||1a b ==，则||||a b a b +-的值是_____;

14.【高考天津，文13】在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21

,,36

BE BC DF DC =

=则AE AF ?的值为． 15.【高三六校联考（一）数学（文）】在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=?，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则=?+?CA CP CB CP

16.【淮安市高三上学期第一次摸底考试数学试题】如图，已知ABC ?中，4AB AC ==，90BAC ∠=，

D 是BC 的中点，若向量1

4

AM AB m AC =

+?，且AM 的终点M 在ACD ?的内部（不含边界），则AM BM ?的取值范围是．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.【高考名师推荐】设向量

（1）若，求x 的值

（2）设函数

，求f(x)的最大值

18.【威海市高三3月模拟】已知向量(cos ,sin )a αα=，(1+cos ,sin )b ββ=-. （1）若3

π

α=

，(0,)βπ∈，且a b ⊥，求β；

（2）若=βα，求a b ?的取值范围.

19.【重点中学盟校高三第一次联考】已知向量)7,1(1-=a ，)1,1(=d ，对任意*

N n ∈都有a a n n +=+1. （1）求||n a 的最小值； （2）求正整数,m n ,使m n a a ⊥

(第13题图)

D

C

A

20. 【石家庄市高中毕业班第一次模拟】已知O 为锐角△ABC 的外心，AB=6，AC=10，

AO xAB yAC =+,且2x+10y=5，求边BC 的长.

21.【南昌市高三第二次模拟】如图已知ABC △中，1,2,120AB AC BAC ==∠=?，点M 是边BC 上的动点，动点N 满足30MAN ∠=?（点,,A M N 按逆时针方向排列）．

（1）若2AN AC =，求BN 的长；

（2）若3AM AN ?=，求△ABN 面积的最大值． 22. 【鹰潭市高三第二次模拟考试】如图：()(

)

3,,3,A m m B

n n -两点分别在射线,OS OT 上移动，且

1

2

OA OB ?=-,O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+

（1）求点P 的轨迹C 的方程;

（2）设01,2Q x ?? ???

，过Q 作（1）中曲线C 的两条切线，切点分别为,M N ，①求证:直线MN 过定点; ②若7OM ON ?=-,求0x 的值。 高

考

模

拟

复

习

试

卷

试

题

模

拟

卷

A

B

C

N

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）

注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

一、 选择题（每小题5分，共85分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填

涂在答题卡上）

1.若集合A ={x ∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素,则a=

（ ）

A ．0

B ．4

C ．0或4

D ． 2

2. 设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 3.设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ?∈∈,则:p x A x B ??∈∈（ ） A ．:,2p x A x B ??∈∈B ．:,2p x A x B ???∈ C ．:,2p x A x B ??∈?D ．:,2p x A x B ????

4．设}3,2

1,1,1{-∈a ，则使函数a

x y =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值为( ) A.1,3 B.1,1- C.3,1- D.3,1,1-

5.设f(x) 是定义在R 上的函数,则下列叙述一定正确的是（ ） A.()()f x f x -是奇函数 B.()()f x f x -是奇函数 C.()()f x f x --是偶函数 D.()()f x f x +-是偶函数

6．如图，面积为8的平行四边形OABC ，对角线AC ⊥CO,AC 与BO 交于点E,

某指数函数x

a y =0(>a 且)1≠a 经过点E,B,则=a （ ）

A ．2 B.3 C.2 D.3 7.设3

.02

=a ，2

.03

=b ，1

.07

=c ，则c b a ,,的大小关系为( )

A.b c a <<

B.b a c <<

C.c b a <<

D.a b c <<

8．关于函数31

)2

1

2()(x x f x x

?-=和实数n m ,的下列结论中正确的是（ ）

A ．若n m <≤-3，则)()(n f m f < B. 若0≤

2

n m < D. 若)()(n f m f <则3

3

n m <

9.在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线()y f x =，另一种平均价格曲线()y g x =，如(2)3f =表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；(2)3g =表示2小时内的平均价格为3元.下面给出了四个图像，实线表示()y f x =，虚线表示()y g x =，其中可能正确的是（ ）

A ．

B ．

C ． D.

10.在数列{an}中，a1＝2，an ＋1＝an ＋ln(1＋1

n )，则an ＝()

A ．2＋ln n

B ．2＋(n －1)ln n

C ．2＋nln n

D ．1＋n ＋ln n

11.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，'()f x 为其导函数．当0>x 时，0)(')(>?+x f x x f ，且0)1(=f ，则不等式0)(>?x f x 的解集为（ ） A ．)1,0()0,1(?-B ．),1()0,1(+∞?- C ．),1()1,(+∞?--∞D ．)1,0()1,(?--∞

12.已知等差数列前n 项的和为Sn ，若S13＜0，S12＞0，则在数列中绝对值最小的项为( ) A ．第5项 B ．第6项C ．第7项 D ．第8项 13. 已知

是定义在 R 上的偶函数，对任意

都有

且

等于 ( )

A ．1

B ． 2

C ．3

D ．4

14. 已知

且

，函数

满足对任意实数

，都有

成立，则 的取值范围是 （ ）

A ．

B ．

C ． （

D ．

15.设

，则下列不等式成立的是（ ）

A ．若 ，则

B ．若 ，则

C ．若 ，则

D ．若

，则

16. 已知直线y ＝mx 与函数

的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范

围是（ ） A ．( ，4) B ．( ，＋∞) C ．(

，5)

D ．( ， )

17. 对于函数)(x f ，若任意R c b a ∈,,，)(),(),(c f b f a f 为某一三角形的三边长，则称)(x f 为

“可构造三角形函数”，已知函数

1

)(++=x

x e t e x f 是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（ ）

A.),0[+∞

B.]1,0[

C.]2,1[

D.]2,21[

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、 填空题（每题5分，共30分。把答案填在答题纸的横线上）

18.若“x m <”是“2

340x x -->”的充分不必要条件，则m 的最大值为_________． 19.已知函数：123)(2--=mx x x f ,4

7

)(-=x x g ．若对任意的)2,1(-∈x ,)()(x g x f ≥，则m 的取值范围是.

20设定义域为R 的函数

若函数

有7个

零点，则实数 的值为.

21.设A 是整数集的一个非空子集，对于A k ∈，如果

A k ?-1且A k ?+1，那么k 是A 的一个“孤立

元”，给定A={1,2,3,4,5}，则A 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有个。

22.已知函数 f ( x )＝ ax 2 －(3－ a ) x ＋1， g ( x )＝ x ，若对于任一实数 x ， f ( x )与 g ( x )至少有一个为正数，则实数 a 的取值范围是. 23. 对于非空实数集

，定义

．设非空实数集

．现给出以

下命题：

（1）对于任意给定符合题设条件的集合 必有

（2）对于任意给定符合题设条件的集合 必有 ； （3）对于任意给定符合题设条件的集合

必有

；

（4）对于任意给定符合题设条件的集合 必存在常数 ，使得对任意的 ，恒有

．

以上命题正确的是

三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）

24．（本小题满分11分）

已知数列{an}各项均为正数，其前n 项和为Sn ，且满足4Sn ＝(an ＋1)2. (1)求{an}的通项公式；

(2)设bn ＝1

an ·an ＋1，数列{bn}的前n 项和为Tn ，求Tn 的范围．

25. （本小题满分12分）

26.（本小题满分12分）

设函数1

()ln f x x m x x

=-

-． （Ⅰ）若函数()f x 在定义域上为增函数，求实数m 的取值范围；(4分)

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数1

()ln h x x x e

=--，12,[1,]x x e ?∈使得12()()f x h x ≥成立，求实数

m 的取值范围．(8分)

度小学期一调考试高三数学答案

（理科）

一、选择题 BACAD ABCDA BCBCB BD

二、填空题 18.1- 19.[]1,1x ∈- 20.2 21.13 22.［0,9) 23.

三、解答题

24..解：(1)因为(an ＋1)2＝4Sn ，所以Sn ＝

an ＋1

2

4，Sn ＋1＝

an ＋1＋1

24

.

所以Sn ＋1－Sn ＝an ＋1＝

an ＋1＋1

2－an ＋1

24

，

即4an ＋1＝a2n ＋1－a2n ＋2an ＋1－2an ，∴2(an ＋1＋an)＝(an ＋1＋an)(an ＋1－an)．(4分) 因为an ＋1＋an ≠0，所以an ＋1－an ＝2，

即{an}为公差等于2的等差数列．由(a1＋1)2＝4a1，解得a1＝1，所以an ＝2n －1.(6分) (2)由(1)知bn ＝

1

2n －1

2n ＋1

＝12? ??

??1

2n －1－12n ＋1，

∴Tn ＝b1＋b2＋…＋bn ＝12? ????1－13＋13－1

5＋…＋12n －1－12n ＋1＝12? ????1－12n ＋1 ＝1

2－12

2n ＋1

.(8分)

∵Tn ＋1－Tn ＝1

2－

122n ＋3－????

??12－12

2n ＋1

＝122n ＋1

－

12

2n ＋3

＝

1

2n ＋1

2n ＋3

＞0，

∴Tn ＋1＞Tn.∴数列{Tn}为递增数列，(10分)∴Tn 的最小值为T1＝12－16＝1

3.

所以2

1

31<≤n T (12分) 25.

26.解：函数的定义域为(0,)+∞．21()1m

f x x x

'=+

-． 1分 （Ⅰ）∵()f x 在其定义域内为增函数，即()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，∴2110m

x x

+

-≥恒成立，故有1

m x x ≤+

．2分 ∵11

22x x x x

+≥?=（当且仅当1x =时取等号）．

故m 的取值范围为(,2]-∞．4分

（Ⅱ）由12,[1,]x x e ?∈使得12()()f x h x ≥成立，

可知[1,]x e ∈时，max min ()()f x h x ≥．6分

1

()1h x x

'=-

，所以当[1,]x e ∈时，()0h x '≥，()h x 在[1,]e 上单调递增， 所以()h x 在[1,]e 上的最小值为11

(1)1ln11h e e

=--=-．8分

由（Ⅰ）知，2m ≤且22

1()x mx f x x

-+'=，22

()4114m m ?=--??=-， 当[2,2]m ∈-时，0?≤，故()0f x '≥恒成立，()f x ∴在[1,]e 上单调递增，

故()f x 在[1,]e 上的最大值为1

()f e e m e

=--．

即11

1e m e e

--≥-，1m e ∴≤-．

又[2,2]m ∈-，所以[2,1]m e ∈--． 10分 ②当2m <-时，0?>，()0f x '=的两根为2142

m m x -=，224

2m m x -=．

此时10x <，20x <，故()f x 在[1,]e 上单调递增，由①知，1m e ≤-，又2m <-， 故2m <-．

综上所述，m 的取值范围为[2,1](,2)(,1]e e ---∞-=-∞-． 12分