2018年全国统一高考数学试卷理科新课标Ⅰ

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）

参考答案

一、选择题：

1.C

2.B

3.A

4.B

5.D

6.A

7.B

8.D

9.C

10.A

11.B

12.A

二、填空题：

13.6

14.-63

15.16

16.

三、解答题：

17.【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．

∴由正弦定理得：=，即=，

∴sin∠ADB==，

∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，

∴cos∠ADB==．

（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，

∵DC=2，

∴BC=

==5．

18.

【解答】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，则，，

由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC．

由于PF⊥BF，EF∩PF=F，则BF⊥平面PEF．

又因为BF?平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD．（2）在平面DEF中，过P作PH⊥EF于点H，连接DH，

由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF，

则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．

在三棱锥P﹣DEF中，可以利用等体积法求PH，

因为DE∥BF且PF⊥BF，

所以PF⊥DE，

又因为△PDF≌△CDF，

所以∠FPD=∠FCD=90°，

所以PF⊥PD，

由于DE∩PD=D，则PF⊥平面PDE，

=，

故V F

﹣PDE

因为BF∥DA且BF⊥面PEF，

所以DA⊥面PEF，

所以DE⊥EP．

设正方形边长为2a，则PD=2a，DE=a

在△PDE中，，

所以，

=，

故V F

﹣PDE

又因为，

所以PH==，

所以在△PHD中，sin∠PDH==，

即∠PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为：．

19.

【解答】解：（1）c==1，

∴F（1，0），

∵l与x轴垂直，

∴x=1，

由，解得或，

∴A（1.），或（1，﹣），

∴直线AM的方程为y=﹣x+，y=x﹣，

证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB，

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x﹣1），k≠0，

A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＜，x2＜，

直线MA，MB的斜率之和为k MA，k MB之和为k MA+k MB=+，

由y1=kx1﹣k，y2=kx2﹣k得k MA+k MB=，

将y=k（x﹣1）代入+y2=1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，

∴x1+x2=，x1x2=，

∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k=（4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k）=0

从而k MA+k MB=0，

故MA，MB的倾斜角互补，

∴∠OMA=∠OMB，

综上∠OMA=∠OMB．

20.

【解答】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），

则f（p）=，

∴=，

令f′（p）=0，得p=0.1，

当p∈（0，0.1）时，f′（p）＞0，

当p∈（0.1，1）时，f′（p）＜0，

∴f （p）的最大值点p0=0.1．

（2）（i）由（1）知p=0.1，

令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），X=20×2+25Y，即X=40+25Y，

∴E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+25×180×0.1=490．

（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，∵E（X）=490＞400，

∴应该对余下的产品进行检验．

21.

【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），

函数的导数f′（x）=﹣﹣1+=﹣，

设g（x）=x2﹣ax+1，

当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，

当a＞0时，判别式△=a2﹣4，

①当0＜a≤2时，△≤0，即g（x）＞0，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）

在（0，+∞）上是减函数，

②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：

x（0，

）

（

，

）

（

，+∞）

f′（x）﹣0+0﹣

f（x）递减递增递减

综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，

当a＞2时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，

则（，）上是增函数．

（2）由（1）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2=1，

则f（x1）﹣f（x2）=（x2﹣x1）（1+）+a（lnx1﹣lnx2）=2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），

则=﹣2+，

则问题转为证明＜1即可，

即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，

则lnx1﹣ln＞x1﹣，

即lnx1+lnx1＞x1﹣，

即证2lnx1＞x1﹣在（0，1）上恒成立，

设h（x）=2lnx﹣x+，（0＜x＜1），其中h（1）=0，

求导得h′（x）=﹣1﹣=﹣=﹣＜0，

则h（x）在（0，1）上单调递减，

∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+＞0，

故2lnx＞x﹣，

则＜a﹣2成立．

（2）另解：注意到f（）=x﹣﹣alnx=﹣f（x），

即f（x）+f（）=0，

由韦达定理得x1x2=1，x1+x2=a＞2，得0＜x1＜1＜x2，x1=，

可得f（x2）+f（）=0，即f（x1）+f（x2）=0，

要证＜a﹣2，只要证＜a﹣2，

即证2alnx2﹣ax2+＜0，（x2＞1），

构造函数h（x）=2alnx﹣ax+，（x＞1），h′（x）=≤0，

∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，

∴h（x）＜h（1）=0，

∴2alnx﹣ax+＜0成立，即2alnx2﹣ax2+＜0，（x2＞1）成立．

即＜a﹣2成立．

选考题：

22.

【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．

转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，

转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．

（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．

由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．

所以：必有一直线相切，一直线相交．

则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．

故：，或

解得：k=或0，（0舍去）或k=或0

经检验，直线与曲线C2没有公共点．

故C1的方程为：．

23．

【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|=，

由f（x）＞1，

∴或，

解得x＞，

故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞），

（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，

∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，

即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，

即|ax﹣1|＜1，

∴﹣1＜ax﹣1＜1，

∴0＜ax＜2，

∵x∈（0，1），

∴a＞0，

∴0＜x＜，

∴a＜

∵＞2，

∴0＜a≤2，

故a的取值范围为（0，2]．

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