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高二数学选修2-1复习测试题(含答案)

高二数学选修2－1复习测试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1. 顶点在原点，且过点(4,4)-的抛物线的标准方程是（）

A.24y x =-

B.24x y =

C.24y x =-或24x y =

D. 24y x =或24x y =- 2. 以下四组向量中，互相平行的有（）组.

(1) (1,2,1)a = ,(1,2,3)b =- ； (2) (8,4,6)a =-

,(4,2,3)b =- ；

（3）(0,1,1)a =- ,(0,3,3)b =- ；（4）(3,2,0)a =-

,(4,3,3)b =-

A. (1)

B. (2)

C. （3）

D. （4）

3. 若平面α的法向量为1(3,2,1)n = ，平面β的法向量为2(2,0,1)n =-

，则平面α与β夹角的余弦是

C. 14

D. 10

4.“5,12

k k Z αππ=+∈”是“1sin 22

α=”的

A.充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C.充要条件

D. 既不充分又不必要条件 5.在正方体1111ABC D A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，则1A B 与1D E 所成的余弦值为（）

A ．10

B ．

C ．

D ．

6. 已知两定点1(5,0)F ，2(5,0)F -，曲线上的点P 到1F 、2F 的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为（）

= B.

116

= C.

12536x

= D.

12536

7. 已知直线l 过点P(1,0,－1)，平行于向量(2,1,1)a =

，平面α过直线l 与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可

能是( )

A. (1,－4,2)

B.1

(,1,)4

- C. 11(,1,)42

D. (0,－1,1)

8 . 已知椭圆

1102

m m +=--，若其长轴在y 轴上.焦距为4，则m 等于( )

A.4.

B.5.

C. 7.

D.8. 9．以下有四种说法，其中正确说法的个数为：( ) （1）“m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件；

(2) “a b >”是“22

a b >”的充要条件；

(3) “3x =”是“2

230x x --=”的必要不充分条件；

（4）“A B B =

”是“A φ=”的必要不充分条件. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 10．双曲线

222

a b

=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30

的直线交双曲线

右支于M 点，若2M F 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（）

B C D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 11．已知点M （1，－1，2），直线AB 过原点O, 且平行于向量（0，2，1），则点M 到直线AB 的距离为__________. 12．已知点P 到点(3,0)F 的距离比它到直线2x =-的距离大1，则点P 满足的方程为 . 13．命题“至少有一个偶数是素数”的否定为 .

14. 已知椭圆22416x y +=，直线AB 过点 P （2，－1），且与椭圆交于A 、B 两点，若直线AB 的斜率是1

，

则AB 的值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分12分）已知命题p ：“直线1+=kx y 与椭圆

恒有公共点” 命题q ：只有一个实

数x 满足不等式2220x ax a ++≤. 若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．

16.（本小题满分12分）已知椭圆与双曲线2

4413y

x -=有公共的焦点，且椭圆过点3,12P ?? ???

. (1) 求椭圆方程；

(2) 直线过点M ()1,1-交椭圆于A 、B 两点，且2A B M B

，求直线的方程．

如图，在四棱锥O A B C D -中，底面A B C D 是边长为1的菱形，4

A B C π

∠=

, O A A B C D ⊥底面, 2O A =,M

为O A 的中点，N 为B C 的中点，以A 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：（Ⅰ）证明：直线M N OCD

平面‖；

（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离.

18. （本小题满分14分）如图所示，F 1、F 2分别为椭圆C ：

)0(12

2>>=+

b a b

y a

x 的左、右两个焦点，A 、B 为两个顶

点，已知椭圆C 上的点)2

3,1(到F 1、F 2两点的距离之和为4.

（1）求椭圆C 的方程和焦点坐标；

（2）过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点，求△F 1PQ 的面积.

如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD= AA 1=1，AB=2. E 是CC 1的中点

（Ⅰ）求二面角D-B 1E-B 的余弦值

（Ⅱ）试判断AC 与面DB 1E 的位置关系，并说明理由。（Ⅲ）设M 是棱AB 上一点，若M 到面DB 1E

的距离为

，试确定点M 的位置。

20．（本小题满分14分）

已知1212(2,0),(2,0),||||2F F P P F P F --=点满足，记点P 的轨迹为E . （1）求轨迹E 的方程；

（2）若直线l 过点F 2且与轨迹E 交于P 、Q 两点.

（i ）无论直线l 绕点F 2怎样转动，在x 轴上总存在定点)0,(m M ，使M P ⊥MQ 恒成立，求实数m 的值. （ii ）过P 、Q 作直线2

x 的垂线P A 、QB ，垂足分别为A 、B ，记|

|||||AB QB PA +=λ，求λ的取值范围.

A 1

B 1

C 1

高二数学选修2－1复习测试题答案

一、选择题：本答题共10小题，每小题5分，共50分。

1. C.

2. B

3. A

4. B.

5. B

6. A

7. D 8 . D 9. A 10 .C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

.11． 8 12． 212y x = 13．没有一个偶数是素数 14. 错误！未找到引用源。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. a<0或0

222

1y x a

=（a >b>0）

． ……………………1分 ∴椭圆焦点坐标分别为()0,1和()0,1- ∴ c=1，即2

1a b -=………① ……………2分

又椭圆过点3

,12P ??

???

，22

1914a b ∴+=………② ……………3分由① ②得24a =，2

3b =，…………5分 ∴所求椭圆方程为

y x

=．………6分

(2) 若直线的斜率k 不存在，即l x ⊥轴，由椭圆的对称性知，则不满足2A B M B

．…………7分当直线的斜率k 存在时，设直线的方程为1(1)y k x -=+．

设A 1,122(),(,),x y B x y 则2

113412y x +=---------① 2

223412y x +=--------------②…………9分由2A B M B =

知M 为AB 的中点12

2x x ∴+=-， 122y y += …………10分 ①－②得 12121212

3()()4()()0y y y y x x x x +-++-=∴1212

y y k x x -==

-，

.∴直线的方程为：41(1)3

y x -=

+即4370

x y -+=．……………12分

17. 解：

作A P C D ⊥

于点P ,如图,分别以

AB,AP ,AO 所在直线为,,x

y z 轴建立坐标系

(0,0,0),(1,0,0),0),(0),(0,0,2),(0,0,1),(1

0)2

224

A B P D O

M N -

（3分）

(1)(1,,1),(0,2),(2)44222

M N O P O D =--=-=-- （5设平面OCD 的法向量为(,,)n x y z =

,则0,0n O P

n O D ==

即 20220y z x y z ?-=????-+-=

取z =

解得(0,n =

（7分）

(11)(0,044

M N n =-

∵

M N OCD ∴平面‖ （9分）

(2)设A B 与M D 所成的角为θ

,(1,0,0),(1)22

AB M D ==-

∵

1c o s ,23AB M D AB M D

θθ==

=? ∴∴ , A B 与M D 所成角的大小为3π （12分） (3)设点B 到平面OCD 的距离为d ,则d 为OB

在向量(0,n =

上的投影的绝对值,

由 (1,0,2)O B =- , 得23O B n d n ?== .所以点B 到平面OCD 的距离为2

（14分） 18. 解：（1）由题设知：2a = 4，即a = 2，将点)2

,1(代入椭圆方程得

1)(2

232

，解得b 2 = 3

∴c 2 = a 2－b 2

= 4－3 = 1 ，故椭圆方程为

，

……………………………5分

焦点F 1、F 2的坐标分别为（-1，0）和（1，0） ……………………………6分（2）由（Ⅰ）知)3,0(),0,2(B A -，2

=∴AB PQ k k ， ∴PQ 所在直线方程为)

1(2

3-=

x y ，

由???????=+-=134

)1(23

y x x y 得 093482=-+y y

设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则8

9,2

32121-

=?-

=+y y y y ， ……………………………9分

218

944

34)(212

2121=

-+=

-∴y y y y y y

212

2122

121211=

-?=

∴?y y F F S PQ F ……………………………12分

19、解：以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图，则D （0，0，0），A （1，0，0）， C （0，2，0），B （1，2，0） A 1（1，0，1），D 1（0，0，1），

C 1（0，2，1），有中点坐标公式，102

E （，2，）

（Ⅰ）1(1,2,1)DB = ，1

(0,2,)2

D E = ，

设面DB 1E 的法向量n x =

（，y ，z ），

z x

由1220

{{1

200

x y z n D B y z n D E ++=?=?+=?= 令1y =得(2,1,4)n =- ………………4分而(0,2,0)D C = 为面BB 1E 的法向量。设二面角D-B 1E-B 为θ，(0,)2

πθ∈

cos |cos ,|21

n D C θ=<>=

………………………………… 6分

（Ⅱ）(1,2,0)A C =-

，

从而0AC n AC n ?=∴⊥

又AC ? 面1D B E ………8分 //AC ∴

面1D B E ………………………………………10分

（Ⅲ）设点M (1,,0)(02)a a ≤≤，M 到面DB 1E 的距离为d ,

且(1,,0)D M a =

则||177||D M n d a n ?==?=?=

…………13分

即M (1,1,0)，M 为AB 的中点… …………………………………………………14分

20 解：（1）由||2||||2121F F PF PF <=-知，点P 的轨迹E 是以F 1、F 2为焦点的双曲线右支，由

3,22,22

=∴==b

a c ，故轨迹E 的方程为).1(13

≥=-

x y

（2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为),(),,(),2(2211y x Q y x P x k y -=，与双曲线方程联立消y 得

0344)3(2

222

=++--k

x k x k

，

???

??>-+=?>-=+>?≠-∴033

40340

2212

2212k k x x k k x x k 解得k 2 >3

（i ）2121))((y y m x m x MQ MP +--=?

1212

12122

22222

()()(2)(2)(1)(2)()4(1)(43)4(2)433

3(45).

x m x m k x x k x x k m x x m k

k k k k m m k k k m k

m k =--+--=+-+++++++=-++---+=

+- 0,=?∴⊥MQ MP MQ MP ，

故得0)54()1(32

=--+-m m k m 对任意的

32>k 恒成立，

.1,

540

122

-=?????=--=-∴m m m m 解得

∴当m =－1时，MP ⊥MQ .

当直线l 的斜率不存在时，由)0,1()3,2(),3,2(--M Q P 及知结论也成立，综上，当m =－1时，MP ⊥MQ . （ii ）2

1,2,1=∴==x c a 直线是双曲线的右准线，

由双曲线定义得：||2

1|||,|2

1||1||222QF QB PF PF e

PA =

，

方法一：||2|

|1|

|2||12122

y y x x k

AB PQ --+=

=∴λ

.112

|21|

)(|2|

|12

12122

k k x x k x x k

--+=

321,3

110,32

∴>λ故k

，

注意到直线的斜率不存在时，2

1|,|||=

=λ此时AB PQ ，

综上，.33,

???

???∈λ 方法二：设直线PQ 的倾斜角为θ，由于直线PQ 与双曲线右支有二个交点，

θπ<<∴，过Q 作QC ⊥PA ，垂足为C ，则

.s i n 21)

c o s (21|

|2|||

|2|||,2

θπ

λθπ

∴-=∠CQ PQ AB PQ PQC

由,1sin 23

≤<<

<θπθπ

得

故：.33,

21???

???∈λ