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《高等数学》(一)(2)补充例题及练习题

第八章 空间解析几何与向量代数(6学时)

§8.1 向 量 及 其 线 性 运 算

一、补充例题

例1 已知向量)1,5,3(-=a ,)3,2,2(=b ,)3,1,4(--c

,求c b a 432+-。

例2 在yOz 面上,求与三点)2,1,3(A 、)2,2,4(--B 和)1,5,0(C 等距离的点。 例3 已知两点)1,3,2(-A 和)0,2,1(-B ,求与方向相同的单位向量e

。 例4 已知两点)2,1,1(-A 和)3,1,0(B ,计算向量的模、方向余弦和方向角。

例5 一向量的终点在点)7,1,2(-B ,它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4,4-和7。求这向量的起点A 的坐标。

二、练习

1312-p 习题8-1 4,5,15,17

§8.2 向量的数量积与向量积

一、补充例题

例1 已知j i a += ,k i b += ,求b a ?,∧),(cos b a 及a j b

Pr 。 例2 已知四点)1,2,2(A 、)2,1,0(B 、)1,1,1(C 、)2,3,3(D ,求AB j CD

Pr ,∧

),(cos 。

例3 记)0,1,3(-=a

,)1,2,1(-=b

,求b a

?。

例4 已知ABC ?的三个顶点为)2,0,3(A ,)1,3,5(B ,)3,1,0(-C ,(1)求垂直于这个三角形所在平面的单位向量;(2)求ABC ?的面积。

解 (1)因为a ?= 垂直于向量与,所以a

是一个垂直于三角形ABC 所在平面的向量。而)1,3,2(-=,)1,1,3(--=,所以

k j i k

j i a

721

13132++=---=?=。

63712222=++=a ,)7,1,2(6

31=a e

所以垂直于三角形ABC 所在平面的单位向量为)7,1,2(6

31±

(2)因为ABC ?的面积S 是以AB ,AC 为邻边的平行四边形面积的一半,所以

62

37122121222=++===

《高等数学》(一)(2)补充例题及练习题

a S 。 二、练习

22p 习题8-2 1,3,6,10

§8.3 曲面及其方程

一、补充例题

例 1 将xOz 坐标面上的双曲线122

22=-c

z a x 分别绕z 轴和x 轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方

程。

二、练习

31p 习题8-3 5,6,7

§8.4 空间曲线及其方程

一、补充例题

例1 下列方程组各表示怎样的曲线?

(1)???=+=+;,632122z x y x (2)???==;,142z y x (3)?????--=+=;,22224y x z y x z (4)?????+==++.

33362

222

22y x z z y x ,

答案:(1)平行于y 轴的平面与母线平行于z 轴的圆柱面的交线(图 8-44);(2)1=z 平面上的抛物线; (3)2=z 平面上的圆; (4)33±=z 平面上的两个圆。

例2 求由曲面1S :0222=-+z y x 与曲面2S :0222=-+x y x 以及xOy 平面所围成的立体Ω在

xOy 面上的投影。

解 曲面1S 是旋转抛物面,曲面2S 是母线平行于z 轴方向的圆柱面,它们的交线C 的方程为

?????=-+=-+0

20

22

22

2x y x z y x 。 曲线C 在xOy 面上的投影曲线是一个圆,其方程为

?

?

?==-+00

222z x y x , 立体Ω在xOy 面上的投影就是曲线C 在xOy 面上的投影曲线所围平面区域,用不等式表示为

0222≤-+x y x ,即1)1(22≤+-y x 。

二、练习

37p 习题8-4 3,4

§8.5 平 面 及 其 方 程

一、补充例题

例1 一平面过点)1,2,3(0-M 且与0M 到)4,1,2(1-M 的连线垂直,求其方程。 例2 求过三点)3,1,0(1-M ,)2,1,1(2-M ,)2,2,1(3--M 的平面方程。 例3 求通过y 轴和点)1,2,1(-的平面的方程。 分析:平面方程为0=+Cz Ax 。

例4 求过点)2,0,1(1-M 和)2,2,1(2M ,且与以向量)1,1,1(=→

a 为法向量的平面垂直的平面方程。 例5 求平面24=-+z y x 和022=+-z y x 的夹角。

例6 求过点)1,2,1(1-M 、)1,3,2(2M 且和平面01=++-z y x 垂直的平面方程。 二、练习

4342-p 习题8-5 1,6,8

§8.6 空间直线及其方程

一、补充例题

例1 用对称式方程和参数方程表示直线: ?

?

?=+-+=++-04230

22z y x z y x (1)

解 先找出这直线上的一点),,(000z y x 。例如,可以取10-=x ,代入方程组(1),得

??

?-=--=+-1

21

2z y z y 解之得10=y ,10=z ,即)1,1,1(-是这直线上的一点。

下面再找出这直线的方向向量→

s 。由于两平面的交线与这两平面的法线向量)1,2,1(1-=→

n ,

)2,1,3(2-=→

n 都垂直,所以可取 k j i k

j i n n s 7532

1312121++=--=?=→→

→,

因此,所给直线的对称式方程为

7

1

5131-=-=+z y x , 令上式为t ,又得已知直线的参数方程为 ??

?

??+=+=-=171513t z t y t x 。

例2 一直线过点)2,0,5(-M 且与直线?

??=+-+=+-01320

24z y x z y x 平行,求该直线的方程。

例3 已知直线过一点)0,2,1(0-M ,且与平面0132=++-z y x 垂直,求此直线的对称式方程和参数方程。

解 所求直线与已知平面垂直,平面的法向量可以取为直线的方向向量)3,1,2(-=→

s ,由对称式方程(2),得所求直线的对称式为

3

1221z

y x =-+=-。 令 t z y x ==-+=-31221,得所给直线的参数方程为 ??

?

??=--=+=t

z t y t

x 3221。 补充:平面束的方程。 设直线L 由方程组 ??

?=+++=+++0

22221111D z C y B x A D z C y B x A ②①

所确定,其中系数111C B A 、、与222C B A 、、不成比例。下面建立三元一次方程:

0)(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ, ③

其中λ为任意常数。因为111C B A 、、与222C B A 、、不成比例,所以对于任何一个λ值,方程③的系数:

212121C C B B A A λλλ+++、、不全为零,从而方程③表示一个平面,若一点在直线L 上,则点的坐标

必同时满足方程①和②,因而也满足方程③,故方程③表示通过直线L 的平面,且对应于不同的λ值,方程③表示通过直线L 的不同的平面。反之,通过直线L 的任何平面(除平面②外)都包含在方程③所表示的一族平面内。通过定直线的所有平面的全体称为平面束,而方程③就作为通过直线L 的平面束的方程(实际上,方程③表示缺少平面②的平面束)。

指出:若要使平面束包含已知的两个平面,可以取平面束方程为

0)()(2222211111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λλ。

例4 求直线L :?

??=+-+=-+-010

12z y x z y x 在平面∏:02=-+z y x 上的投影直线的方程。

分析 写出直线L 的平面束方程,由这平面与已知平面∏垂直?4

1

=

λ ?投影平面为013=-+-z y x ?投影直线为?

?

?=-+=-+-020

13z y x z y x 。

例5 求过直线?

?

?=+--=--+,01223,022 1z y x z y x L :且与直线33

2132 2-=-=-z y x L :平行的平面方程。 分析:由过直线1L 的平面束与直线2L 平行,可求出平面束方程中的参数5=λ,代入平面束方程,即可得所求平面方程为0311917=+--z y x 。

二、练习

5049-p 习题8-6 1,2,4,7,11,15

第九章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用(10学时)

§9.1 多元函数的基本概念

一、补充例题

例1 求下列函数的定义域: (1)3

arcsin 2arcsin

y

x z +=; (2)1

142

2

22-++--=y x y x z 。

答案:(1)}33,22),{(≤≤-≤≤-y x y x ;(2)}41),{(2

2≤+

例2 求下列极限:(1)x xy y x tan lim )2,0(),(→;(2)22)0,1(),()ln(lim y

x e x y y x ++→;(3)xy xy y x 11lim )0,0(),(-+→。

解 (1)

221lim tan lim tan lim tan lim 20)2,0(),()2,0(),(=?=?=???????=→→→→y xy xy

y xy xy x xy y xy y x y x ; (2)

2ln 1

2

ln lim

)

ln(lim )ln(lim

2

2)

0,1(),()

0,1(),(2

2)

0,1(),(==

++=

++→→→y x e x y x e x y x y

y x y

y x ; (3)xy xy y x 11lim

)

0,0(),(-+→)11(1

1lim

)0,0(),(++-+=→xy xy xy y x 2

1=。 二、练习

63p 习题9-1 5,6(1)

(2)(3)(4)(5) §9.2 偏 导 数

一、补充例题

例1 设y

x e

xy x z 2)sin(++=,求

x z ??,y z ??和0

1==??y x x z

例2 设y

x z =(0>x ,1≠x ),求

x z ??,y

z ??。 例3 设x y z arctan

=,求x z ??和y

z

??。

例4 求函数y x xy z sin 2+=的所有二阶偏导数。

例5 设z

xy u )(=,试求z

y x u

????3。

二、练习

69p 习题9-2 1(1)

(2)(3)(5)(6)(7),4,6,8 §9.3 全 微 分

一、补充例题 例1 设42ln

y x z -=,求dz 。

例2 求函数z

y

x

z y x f u )(),,(==在点)2,1,2(-的全微分。

例3 求函数y

z

y x u arctan 2sin 2

++=的全微分。 二、练习

7675-p 习题9-3 1,2,3

§9.4 多元复合函数的求导法则

一、补充例题

例1 设)ln(22y x z +=,t t x 1+=,)1(-=t t y ,求dt

dz

。 解 设22y x u +=,则

)12(21

)11(2122222-++-+=??+??=t y y x t x y x dt dy y u du dz dt dx x u du dz dt dz )12)((2)()1

(1

)11)(1(2)()1

(1

22

2222

22---+++

-+-++=

t t t t t t t t

t t t t t

t 。

例2 设v e z u

cos =,xy u =,y x v -=2,求

x z ??,y

z ??。 例3 设v x e x v x f z v cos ),(3

2++==,而2

2

y x v +=,求x

z ??。 解

x v e x x xe x

v

v f x f x z v v 2)sin (3222-++=????+??=??)s i n (2)1(23222222y x x e x x x y x +-++=+。 例4 设)sin ,2,(x y y x x y f z +=,求x z ??,y

z ??。 二、练习

8382-p 习题9-4 1,2,3,4,5,8

§9.5 隐函数的求导公式

一、补充例题

例1 求由方程x y y x =(y x ≠)所确定的隐函数的导数

dx

dy 。 例2 设z e y x z

=-2

,求x z ??,y z ??和y

x z

???2。

解 先求

x z ??和y

z ??。 (方法一)公式法。令z e y x z y x F z --=2),,(,则xy F x 2=',2x F y =',1--='z z e F ,

所以 12+=''-=??z z x e xy F F x z ,1

2

+=

''-=??z z y e x F F y z 。 (方法二)直接法。直接对方程z e y x z

=-2

的两端分别对x 和y 求导,得

x z x z e xy z ??=???

-2,y

z y z e x z ??=???-2,

解得 12+=??z e xy x z ,1

2

+=

??z e x y z 。 注意对方程两端求导时,要把z 看作x 和y 的函数。

(方法三)微分法。对方程z e y x z

=-2

的两端求微分,有

dz dz e dy x xydx z =-+22,

整理,得 dy e x dx e xy dz z z

1122

+++=, 所以 12+=??z e xy x z ,1

2+=

??z e x y z 。 最后,计算二阶混合偏导数。由

1

2+=??z e xy x z 对y 求偏导数,得 3

322

2)1(2)1(2)1(2)1(2+-+=+??-+=???z z z z z

z e ye x e x e y

z xye e x y

x z

例3 设622

2

2

=+-z xy x ,求x z ??,y

x z

???2。

解 令=),,(z y x F 622

2

2

-+-z xy x ,因为

24y x F x -=,xy F y 2-=,z F z 2=,

所以 z

x y z y x x z 242422-=--=??, z xy

z xy y z =

--=??22, 2

22

42

)4(22z y

z x y z y y

x z

???--?=???3

2

322

22422)4(2z y x xy yz z z xy

x y yz +-=?--=

例4 设函数)(x y y =,)(x z z =由方程组???=++=++1

02

22z y x z y x 所确定,求dx dy 和dx dz

。 解 (方法一)直接法。注意到y 和z 都是x 的一元函数,方程组两端对自变量x 求导,得

??????

?=++=++022201dx dz z dx dy y x dx dz dx dy ,即???????-=+-=+x dx dz z dx

dy y dx

dz

dx dy 1, ① 这样通过求解关于

dx dy ,dx dz 的线性方程组①,可求得dx dy 和dx

dz 的表达式。 因为系数行列式01

1≠-==

y z z

y J ,由克拉默法则,得 y z z x z y z x dx

dy --=--=111

1,y z x

y z

y x y dx dz

--=

--=

111

1。 也可以用消元法求解线性方程组①,得出

dx dy 和dx

dz 的表达式。 (方法二)微分法。方程两端微分,得

??

?=++=++02220zdz ydy xdx dz dy dx ,即?

??-=+-=+xdx zdz ydy dx

dz dy , 解得dx y z z x dy --=

,dx y

z x

y dz --=。于是 y z z x dx dy --=,y

z x

y dx dz --=。 (方法三)公式法。设z y x z y x F ++=),,(,1),,(2

22-++=z y x z y x G ,则

1===z y x F F F ,x G x 2=,y G y 2=,z G z 2=。

由公式(4),得

y z z

x z

y z x G G F F G G F F dx

dy

z

y

z y z x

z x

--=

-

=-=2211221

1, y z x

y z y x y G G F F G G F F dx

dz z

y

z y x

y x y --=

-=-

=2211221

1。 二、练习

89p 习题9-5 1,2,3,4,10(1)

(4) §9.6 多元函数微分学的几何应用

一、补充例题

例1 求螺旋线t x cos 2=,t y sin 2=,t z 2=上对应于4

π

=

t 的点处的切线与法平面方程。

解 当4

π

=

t 时,24

cos

2==π

x ,24

sin

2==π

y ,π4

2

=

z ,因为 t x sin 2-=',t y cos 2=',2='z ,

所以 24

-='

=

π

t x ,24

='

=

π

t y ,24

='

=

π

t z 。

于是,可得螺旋线在对应于4

π

=

t 的点处的切线方程为

2

42

2

222

π

-=

-=

--z y x ,即1

421212π

-=-=--z y x , 螺旋线在该点处的法平面方程为 0)4

2

(2)2(2)2(2=-+-+--πz y x , 即 02444=+--πz y x 。

例2 求曲线Γ:?????==2

2

1216x

z x

y 上对应于21=x 的点处的切线与法平面方程。 解 因为42

1

==

x y

,32

1==

x z

,162

1='

=

x y ,122

1='

=

x z ,所以曲线Γ在对应于2

1

=

x 的点处的切线方程为

12

3164121

-=-=-

z y x ,

曲线Γ在对应于21=

x 的点处的法平面方程为 0)3(12)4(162

1

=-+-+-z y x , 即 020124322=-++z y x 。

例3 求曲线???=-+-=-++0

45320

3222z y x x z y x 在点)1,1,1(处的切线及法平面方程。

解 (方法一)公式法:直接利用公式(9)及(10)来解。 (方法二)直接法:依照推导公式的方法来做。

将所给方程的两边对x 求导并移项,得 ???

????=--=+,,25 3 2322dx dz dx dy x dx

dz z dx dy

y

由此得 z

y z x z y z

x dx

dy

61041015532252223---+-=

---=

, 16

9)

1,1,1(=

dx dy

, z

y x

y z y x y dx dz 6106945

32223232--+-=

--=, 16

1)

1,1,1(-

=dx dz , 从而)16

1

,169,

1(-=T ,故所求切线方程为 16

11169111--=-=-z y x ,

1191161--=-=-z y x , 法平面方程为 0)1(16

1

)1(169)1(=---?+-z y x , 即 024916=--+z y x 。

例4 求椭球面

1271232

22=++z y x 在点)3,2,1(0M 处的切平面及法线方程。 解 设127

123),,(2

22-++=

z y x z y x F ,则 )27

2,61,32(),,(z y x F F F n z y x == ,)9

2,31,32()

3,2,1(=n

, 所以在点)3,2,1(0M 处椭球面的切平面方程为

0)3(9

2

)2(31)1(32=-+-+-z y x ,即 018236=-++z y x , 法线方程为

9/233/123/21-=-=-z y x ,即 2

3

3261-=-=-z y x 。 例5 求抛物面221y x z --=在点)1,1,1(0-M 处的切平面及法线方程。 解 设221),(y x y x f z --==,则)1,2,2()1,,(---=-=y x f f n y x ,)1,2,2()

1,1,1(---=-n

所以在点)1,1,1(0-M 处的切平面方程为

0)1()1(2)1(2=+-----z y x ,即 0322=-++z y x ,

法线方程为

112121-+=--=--z y x ,即 1

1

2121+=-=-z y x 。 二、练习

100p 习题9-6 3,5,6,7,8

§9.7 方 向 导 数 与 梯 度

一、补充例题

例1 求函数22y x z +=在点)2,1(P 处沿从点)2,1(P 到点)32,2(+Q 方向的方向导数。(108p 1) 解 )3,1(=?→

?PQ , )2

3

,

21(=→

P O e 。因为

22)

2,1()

2,1(==??x

x z ,

42)

2,1()

2,1(==??y

y

z

3212

34212)

2,1(+=?+?

=??→

PQ

z 。 例 2 求函数)l n (),,(2

2

z y x z y x f ++=在点)2,1,0(0M 处沿向量)1,1,2(--=→

l 的方向导数

)

2,1,0(l

f

??。

解 )6

1,6

1,6

2(

-

-

=→

l e ,因为5

11)2,1,0()

2,1,0(2

2=

++=

z y x f x , 522)2,1,0()

2,1,0(2

2=

++=

z y x y f y ,5

4

2)2,1,0()

2,1,0(22=

++=z y x z f z , 故方向导数为

156

26

15461526251)

2,1,0(-

=-?+-?+?=??)()(l

f 。 例3 求函数zx yz xy z y x f ++=),,(在点)2,0,1(沿方向l 的方向导数,其中l 的方向角分别为

3

π

、4π和6

π。

解 )2

3

,22,

21()6

c o s ,4c o s ,3(c o s ==→

π

ππl e ,因为 2)

()2,0,1()

2,0,1(=+=z y f x ,3)

()2,0,1()

2,0,1(=+=z x f y ,1)

()2,0,1()

2,0,1(=+=x y f z ,

故方向导数为

2

3

2231231223212)

2,0,1(+

+=?+?+?=??l

f 。 练习:函数)l n (

22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处沿A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数为

________。

(答案:21

=???→?AB

u ) 例4 求grad y

x 。

例5 求2

2

y xy x u +-=在点)1,1(-沿方向)1,2(5

1=→

e 的方向导数及梯度,并指出u 在该点沿哪个

方向减少最快?

解 grad )3,3()2,2(),(

)1,1()1,1()1,1(-=--=????=---x y y x y u

x u u , 5

3)36(5

1)1,1(grad )

1,1(-=

+-=

?-=??→

-→

e u e

u ,

方向导数取最大值的方向,即梯度方向,为

)1,1(2

1-,方向导数的最大值即23)1,1(grad =-u ,

而u 沿梯度的负方向,即

)1,1(2

1-的方向减少最快。

二、练习

108p 习题9-7 4,5,6,8

§9.8 多 元 函 数 极 值 及 其 求 法

一、补充例题

例1 求函数124),(2

2

3

+-+-=y xy x x y x f 的极值。

例2 要制造一容积为4立方米的长方体无盖水箱,这水箱的长、宽、高为多少时,所费材料最省? 解 设水箱底面边长为x 和y ,高为z ,于是问题就是求表面积

yz xz xy A 22++=

在约束条件 4==xyz V (0>x ,0>y ,0>z )

限制下的最小值。作拉格朗日函数 )4(22),,(-+++=xyz yz xz xy z y x L λ,

求),,(z y x L 的偏导数,令其为零并与约束条件联立得方程组

???

???

?==++==++==++=40220202xyz xy y x L xz z x L yz z y L z y

x λλλ, 解之,得2=x ,2=y ,1=z 。

根据问题的实际意义,最小值一定存在,而现在只求得唯一的一组可能取极值的解,所以此解就是所要求的。即当水箱的长为2m 、宽为2m 、高为1m 时,用料12平方米为最省。

例3 在两曲面z y x =+22、1=++z y x 的交线上,求到原点的最长和最短的距离。(11 119p )

解 设两曲面的交线Γ:?

??=++=+122z y x z y x 上任一点为),,(z y x M ,则点M 到原点的距离为

222),,(z y x z y x ++=ρ,

问题归结为求2ρ在条件z y x =+22及1=++z y x 下的极值点。

构造函数 )1()(),,,,(22222-+++-++++=z y x z y x z y x z y x L μλμλ,

解方程组 ?????

????=-++=-+=+-='=++='=++='0

100202202222z y x z y x z L y y L x x L z y x

μλμλμλ, 得 23

111+-=

=y x ,321-=z , 2

3

122--=

=y x ,322+=z 。 代入函数222),,(z y x z y x ++=

ρ中,得

359),,(111-=z y x ρ,

359),,(222+=z y x ρ。

由于此问题确实存在最大值和最小值,所以所求的最短距离为359-,最长距离为359+。 二、练习 119118-p 习题9-8 2,3,5,11