第7节 抛物线
最新考纲 1.了解抛物线的实际背景,了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质
.
知 识 梳 理
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ?l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式:{M ||MF |=d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质
[常用结论与微点提醒]
1.通径:过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p ,通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y 2
=2px (p >0)上一点P (x 0,y 0)到焦点F ? ??
??p 2,0的距离|PF |=x 0+p
2,也称为抛物线
的焦半径.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )
(2)方程y =ax 2
(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是? ??
??a
4,0,准线
方程是x =-a
4
.( )
(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.( )
(4)AB 为抛物线y 2
=2px (p >0)的过焦点F ? ??
??p 2,0的弦,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2=p 2
4,y 1y 2=-p 2,弦长|AB |=x 1+x 2+p .( )
解析 (1)当定点在定直线上时,轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线,而非抛物线. (2)方程y =ax 2
(a ≠0)可化为x 2
=1a y ,是焦点在y 轴上的抛物线,且其焦点坐标是? ??
??0,14a ,
准线方程是y =-1
4a
.
(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.以x =1为准线的抛物线的标准方程为( ) A.y 2
=2x
B.y 2
=-2x
C.y 2
=4x
D.y 2
=-4x
解析 由准线x =1知,抛物线方程为:
y 2=-2px (p >0)且p
2
=1,p =2,
∴抛物线的方程为y 2
=-4x . 答案 D
3.(2018·黄冈联考)已知方程y 2
=4x 表示抛物线,且该抛物线的焦点到直线x =m 的距离为4,则m 的值为( ) A.5 B.-3或5 C.-2或6
D.6
解析 抛物线y 2
=4x 的焦点为F (1,0),它与直线x =m 的距离为d =|m -1|=4,∴m =-3或5,故选B. 答案 B
4.(教材练习改编)已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P (-2,-4),
则该抛物线的标准方程为________.
解析 很明显点P 在第三象限,所以抛物线的焦点可能在x 轴负半轴上或y 轴负半轴上. 当焦点在x 轴负半轴上时,设方程为y 2
=-2px (p >0),把点P (-2,-4)的坐标代入得(-4)2
=-2p ×(-2),
解得p =4,此时抛物线的标准方程为y 2
=-8x ;
当焦点在y 轴负半轴上时,设方程为x 2=-2py (p >0),把点P (-2,-4)的坐标代入得(-2)2=-2p ×(-4),解得p =12,此时抛物线的标准方程为x 2
=-y .
综上可知,抛物线的标准方程为y 2
=-8x 或x 2
=-y . 答案 y 2
=-8x 或x 2
=-y
5.已知抛物线方程为y 2
=8x ,若过点Q (-2,0)的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是________.
解析 设直线l 的方程为y =k (x +2),代入抛物线方程,消去y 整理得k 2x 2
+(4k 2
-8)x +4k 2
=0,当k =0时,显然满足题意;当k ≠0时,Δ=(4k 2
-8)2
-4k 2
·4k 2
=64(1-k 2
)≥0,解得-1≤k <0或0<k ≤1,因此k 的取值范围是[-1,1]. 答案 [-1,1]
考点一 抛物线的定义及应用
【例1】 (1)已知F 是抛物线y 2
=x 的焦点,A ,B 是该抛物线上的两点,|AF |+|BF |=3,则线段AB 的中点D 到y 轴的距离为( ) A.34
B.1
C.54
D.74
(2)若抛物线y 2
=2x 的焦点是F ,点P 是抛物线上的动点,又有点A (3,2),则|PA |+|PF |取最小值时点P 的坐标为________.
解析 (1)因为抛物线y 2
=x 的准线方程为x =-1
4
.
如图所示,过点A ,B ,D 分别作直线x =-1
4
的垂线,垂足分别为G ,
E ,M ,因为|A
F |+|BF |=3,根据抛物线的定义,|A
G |=|AF |,|BE |
=|BF |,所以|AG |+|BE |=3,所以|MD |=|BE |+|AG |2=3
2,即线段AB 的中点D 到y 轴的距
离为32-14=5
4
.
(2)将x =3代入抛物线方程
y 2=2x ,得y =± 6.
∵6>2,∴A 在抛物线内部,如图.
设抛物线上点P 到准线l :x =-1
2
的距离为d ,由定义知|PA |+|PF |=
|PA |+d ,当PA ⊥l 时,|PA |+d 最小,最小值为72
,此时P 点纵坐标为2,代入y 2
=2x ,得
x =2,∴点P 的坐标为(2,2).
答案 (1)C (2)(2,2)
规律方法 应用抛物线定义的两个关键点
(1)由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.
(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x 0,y 0)到焦点F 的距离|PF |=|x 0|+p 2或|PF |=|y 0|+p
2.
【训练1】 (1)动圆过点(1,0),且与直线x =-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为__________.
(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知F 是抛物线C :y 2
=8x 的焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点,则|FN |=________.
解析 (1)设动圆的圆心坐标为(x ,y ),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x =-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2
=4x .
(2)如图,不妨设点M 位于第一象限内,抛物线C 的准线交x 轴于点A ,过点M 作准线的垂线,垂足为点B ,交y 轴于点P ,∴PM ∥OF . 由题意知,F (2,0),|FO |=|AO |=2. ∵点M 为FN 的中点,PM ∥OF , ∴|MP |=1
2|FO |=1.
又|BP |=|AO |=2, ∴|MB |=|MP |+|BP |=3.
由抛物线的定义知|MF |=|MB |=3,故|FN |=2|MF |=6. 答案 (1)y 2
=4x (2)6
考点二 抛物线的标准方程及其性质
【例2】 (1)已知双曲线C 1:x 2a 2-y 2b
2=1(a >0,b >0)的离心率为2.若抛物线C 2:x 2
=2py (p >0)
的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2,则抛物线C 2的方程为( ) A.x 2
=833y B.x 2=1633y
C.x 2
=8y D.x 2
=16y
(2)(2016·全国Ⅰ卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知|AB |=42,|DE |=25,则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8
解析 (1)∵x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2,
∴c a =2,即c 2a 2=a 2+b 2a 2=4,∴b
a
= 3. x 2
=2py (p >0)的焦点坐标为? ????0,p 2,x 2a 2-y
2
b
2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =
±b a
x ,即y =±3x .由题意得
p
21+(3)
2
=2,解得p =8.故C 2的方程为x 2
=16y . (2)不妨设抛物线C :y 2
=2px (p >0),圆的方程为x 2
+y 2
=r 2
(r >0), ∵|AB |=42,|DE |=25, 抛物线的准线方程为x =-p
2
,
∴不妨设A ? ????4p ,22,D ? ??
??-p 2,5, ∵点A ? ????4p ,22,D ? ??
??-p 2,5在圆x 2+y 2=r 2
上,
∴16p 2+8=p
2
4+5,解得p =4(负值舍去), 故C 的焦点到准线的距离为4. 答案 (1)D (2)B
规律方法 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p ,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
2.在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
【训练2】
(1)如图,过抛物线y 2
=2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线
于点A ,B ,交其准线l 于点C ,若|BC |=2|BF |,且|AF |=3,则此抛物线的方程为________. (2)过抛物线y 2
=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,O 为坐标原点.若|AF |=3,则△AOB 的面积为________.
(1)解析 设A ,B 在准线上的射影分别为A 1,B 1, 由于|BC |=2|BF |=2|BB 1|,则直线的斜率为3, 故|AC |=2|AA 1|=6,从而|BF |=1,|AB |=4, 故
p |AA 1|=|CF ||AC |=12,即p =32
,从而抛物线的方程为y 2
=3x .
(2)如图,由题意知,抛物线的焦点F 的坐标为(1,0),又|AF |=3,由抛物线定义知,点A 到准线x =-1的距离为3,所以点A 的横坐标为2,将
x =2代入y 2=4x 得y 2=8,由图知点A 的纵坐标为y =22,所以A (2,
22),所以直线AF 的方程为y =22(x -1), 联立直线与抛物线的方程??
?y =22(x -1),
y 2
=4x ,
解得?????x =12,y =-2或???x =2,y =22,由图知B ? ????12,-2,
所以S △AOB =12×1×|y A -y B |=32
2.
答案 (1)y 2
=3x (2)322
考点三 直线与抛物线的位置关系(多维探究) 命题角度1 直线与抛物线的公共点(交点)问题
【例3-1】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C :y 2
=2px (p >0)于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |
;
(2)除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点?说明理由.
解 (1)如图,由已知得M (0,t ),P ? ????t 2
2p ,t , 又N 为M 关于点P 的对称点,故N ? ??
??t 2
p ,t ,
故直线ON 的方程为y =p
t
x ,
将其代入y 2
=2px 整理得px 2
-2t 2
x =0, 解得x 1=0,x 2=2t 2
p
,因此H ? ??
??2t 2
p ,2t .
所以N 为OH 的中点,即|OH |
|ON |
=2.
(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点,理由如下:
直线MH 的方程为y -t =p 2t x ,即x =2t
p
(y -t ).
代入y 2
=2px 得y 2
-4ty +4t 2
=0, 解得y 1=y 2=2t ,
即直线MH 与C 只有一个公共点,
所以除H 以外,直线MH 与C 没有其它公共点. 命题角度2 与抛物线弦长(中点)有关的问题
【例3-2】 (2017·北京卷)已知抛物线C :y 2
=2px 过点P (1,1),过点? ??
??0,12作直线l 与
抛物线C 交于不同的两点M ,N ,过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ,ON 交于点A ,B ,其中
O 为原点.
(1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证:A 为线段BM 的中点.
(1)解 把P (1,1)代入y 2
=2px ,得p =12,
所以抛物线C 的方程为y 2
=x ,
焦点坐标为? ??
??14,0,准线方程为x =-14. (2)证明 当直线MN 斜率不存在或斜率为零时,显然与抛物线只有一个交点不满足题意,所以直线MN (也就是直线l )斜率存在且不为零.
由题意,设直线l 的方程为y =kx +1
2(k ≠0),l 与抛物线C 的交点为M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).
由???
??y =kx +12,
y 2=x ,
消去y 得4k 2x 2+(4k -4)x +1=0. 考虑Δ=(4k -4)2
-4×4k 2=16(1-2k ),
由题可知有两交点,所以判别式大于零,所以k <12
.
则x 1+x 2=1-k k 2,x 1x 2=1
4k
2.
因为点P 的坐标为(1,1),所以直线OP 的方程为y =x ,点A 的坐标为(x 1,x 1). 直线ON 的方程为y =y 2
x 2
x ,点B 的坐标为?
??
??
x 1,y 2x 1x 2. 因为y 1+
y 2x 1x 2-2x 1=y 1x 2+y 2x 1-2x 1x 2
x 2
=
? ????kx 1+12x 2+?
????kx 2+12x 1-2x 1x
2
x 2
=(2k -2)x 1x 2+1
2
(x 2+x 1)
x 2
=(2k -2)×14k 2+1-k 2k
2
x 2
=0.
所以y 1+
y 2x 1
x 2
=2x 1. 故A 为线段BM 的中点.
规律方法 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.
2.有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB |=x 1+x 2+p ,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.
提醒:涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
【训练3】 (2017·全国Ⅰ卷)已知F 为抛物线C :y 2
=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A ,B 两点,直线l 2与C 交于D ,E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为( ) A.16
B.14
C.12
D.10
解析 抛物线C :y 2
=4x 的焦点为F (1,0),由题意可知l 1,l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ,则l 2直线的斜率为-1
k
,故l 1:y =k (x -1),l 2:y =
-1
k
(x -1).
由?????y 2
=4x ,y =k (x -1),消去y 得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0.
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∴x 1+x 2=2k 2
+4k 2=2+4
k
2,
由抛物线定义可知,|AB |=x 1+x 2+2=4+4
k
2.
同理得|DE |=4+4k 2
,
∴|AB |+|DE |=8+4k 2
+4k
2≥8+216=16.
当且仅当1k
2=k 2
,即k =±1时取等号.
故|AB |+|DE |的最小值为16. 答案 A
基础巩固题组 (建议用时:40分钟)
一、选择题
1.(2018·济南月考)若抛物线y =ax 2
的焦点坐标是(0,1),则a 等于( ) A.1
B.12
C.2
D.14
解析 因为抛物线的标准方程为x 2
=1a
y ,
所以其焦点坐标为? ????0,14a , 则有14a =1,解得a =14.
答案 D
2.(2016·全国Ⅱ卷)设F 为抛物线C :y 2
=4x 的焦点,曲线y =k x
(k >0)与C 交于点P ,PF ⊥x 轴,则k =( ) A.12 B.1 C.32
D.2
解析 由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0),由PF ⊥x 轴知,|PF |=2,所以P 点的坐标为(1,2),代入曲线y =k x
(k >0)得k =2. 答案 D
3.(2018·张掖诊断)过抛物线y 2
=4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,
如果x 1+x 2=6,则|PQ |=( ) A.9 B.8 C.7
D.6
解析 抛物线y 2
=4x 的焦点为F (1,0),准线方程为x =-1.根据题意可得,|PQ |=|PF |+|QF |=x 1+1+x 2+1=x 1+x 2+2=8. 答案 B
4.(2018·铁岭质检)设抛物线C :y 2
=3x 的焦点为F ,点A 为C 上一点,若|FA |=3,则直线
FA 的倾斜角为( )
A.π3
B.π
4 C.π3或2π3
D.π4或3π4
解析 如图,作AH ⊥l 于H ,则|AH |=|FA |=3,作FE ⊥AH 于E ,则|AE |=3-32=32,在Rt △AEF 中,cos ∠EAF =|AE ||AF |=1
2
,
∴∠EAF =π3,即直线FA 的倾斜角为π
3,同理点A 在x 轴下方时,直
线FA 的倾斜角为2π
3.
答案 C
5.(2018·衡水调研)已知抛物线y 2
=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1,y 1),B (x 2,
y 2)两点,则y 21+y 22的最小值为( )
A.12
B.24
C.16
D.32
解析 当直线的斜率不存在时,其方程为x =4,由?
??
?
?x =4,y 2
=4x ,得y 1=-4,y 2=4,∴y 21+y 2
2=
32.当直线的斜率存在时,设其方程为y =k (x -4),由?
????y 2
=4x ,y =k (x -4),得ky 2
-4y -16k =0,
∴y 1+y 2=4k ,y 1y 2=-16,∴y 21+y 22=(y 1+y 2)2-2y 1y 2=16k
2+32>32,综上可知,y 21+y 2
2≥32.
∴y 21+y 2
2的最小值为32. 答案 D 二、填空题
6.(2018·广东省际名校联考)圆(x +1)2
+y 2
=1的圆心是抛物线y 2
=px (p <0)的焦点,则p
=________.
解析 由题意知圆心为(-1,0),则p
4=-1,解得p =-4.
答案 -4
7.(2018·黄山模拟)已知抛物线C :y 2
=8x ,焦点为F ,点P (0,4),点A 在抛物线上,当点
A 到抛物线准线l 的距离与点A 到点P 的距离之和最小时,延长AF 交抛物线于点
B ,则△AOB
的面积为________.
解析 F (2,0),设A 在抛物线准线上的投影为A ′, 由抛物线的定义知,|AA ′|=|AF |,
则点A 到点P (0,4)的距离与A 到该抛物线准线的距离之和d =|AP |+|AF |≥|PF |=25,当F ,A ,P 三点共线时d 取得最小值,
此时直线AB 的斜率为-2,方程为y =-2(x -2),即x =-y
2+2,
代入抛物线C :y 2
=8x ,可得y 2
+4y -16=0, 解得y =-2-25或-2+2 5.
∴△AOB 的面积为1
2×2×|(-2-25)-(-2+25)|=4 5.
答案 4 5
8.如图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽________米.
解析 建立如图平面直角坐标系,设抛物方程为x 2
=-2py (p >0). 由题意将点A (2,-2)代入x 2
=-2py ,得p =1,故x 2=-2y .设B (x ,-3),代入x 2
=-2y 中,得x =6,故水面宽为26米. 答案 2 6 三、解答题
9.已知抛物线C :y 2
=2px (p >0)的焦点为F ,抛物线C 与直线l 1:y =-x 的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线C 的方程;
(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直,且与抛物线交于不同的两点A ,B ,若线段AB 的中点为P ,且|OP |=|PB |,求△FAB 的面积.
解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8,-8), ∴(-8)2
=2p ×8,∴2p =8,∴抛物线方程为y 2
=8x .
(2)直线l 2与l 1垂直,故可设直线l 2:x =y +m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),且直线l 2与x 轴的交点为M .
由?
????y 2
=8x ,x =y +m ,得y 2-8y -8m =0, Δ=64+32m >0,∴m >-2.
y 1+y 2=8,y 1y 2=-8m ,
∴x 1x 2=
y 21y 2
2
64
=m 2
.
由题意可知OA ⊥OB ,即x 1x 2+y 1y 2=m 2
-8m =0, ∴m =8或m =0(舍),∴直线l 2:x =y +8,M (8,0). 故S △FAB =S △FMB +S △FMA =1
2·|FM |·|y 1-y 2|
=3(y 1+y 2)2
-4y 1y 2=24 5.
10.(2017·全国Ⅰ卷)设A ,B 为曲线C :y =x 2
4上两点,A 与B 的横坐标之和为4.
(1)求直线AB 的斜率;
(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM ,求直线AB 的方程. 解 (1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1≠x 2,y 1=x 214,y 2=x 22
4,x 1+x 2=4.
于是直线AB 的斜率k =
y 1-y 2x 1-x 2=x 1+x 2
4
=1. (2)由y =x 24,得y ′=x
2
.
设M (x 3,y 3),由题设知x 3
2=1,解得x 3=2,于是M (2,1).
设直线AB 的方程为y =x +m ,
故线段AB 的中点为N (2,2+m ),|MN |=|m +1|. 将y =x +m 代入y =x 2
4
得x 2
-4x -4m =0.
当Δ=16(m +1)>0,即m >-1时,x 1,2=2±2m +1.
从而|AB |=2|x 1-x 2|=42(m +1).
由题设知|AB |=2|MN |,即42(m +1)=2(m +1), 解得m =7.
所以直线AB 的方程为x -y +7=0.
能力提升题组 (建议用时:20分钟)
11.(2018·南昌模拟)已知抛物线C 1:y =12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2:x 2
3-y 2
=1的右焦点
的连线交C 1于点M (M 在第一象限),若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线,则p =( ) A.3
16
B.38
C.233
D.43
3
解析 由抛物线C 1:y =12p x 2(p >0)得x 2
=2py (p >0),
所以抛物线的焦点坐标为? ?
???
0,p 2.
由x 2
3-y 2
=1得a =3,b =1,c =2. 所以双曲线的右焦点为(2,0).
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为
y -0p 2-0
=x -2
0-2
.即px +4y -2p =0.①
设M ?
????x 0,x 2
02p (x 0>0),则C 1在点M 处的切线的斜率为x 0p .
由题意可知x 0
p =33,解得x 0=3
3
p , 所以M ?
????33
p ,p 6, 把M 点的坐标代入①得3p 2
3+2
3p -2p =0.
解得p =43
3.
答案 D
12.已知抛物线方程为y 2
=-4x ,直线l 的方程为2x +y -4=0,在抛物线上有一动点A ,点
A到y轴的距离为m,到直线l的距离为n,则m+n的最小值为________.
解析如图,过A作AH⊥l,AN垂直于抛物线的准线,则|AH|+|AN|=m+n+1,连接AF,则|AF|+|AH|=m+n+1,由平面几何知识,知当A,F,H三点共线时,|AF|+|AH|=m+n
+1取得最小值,最小值为F到直线l的距离,即6
5
=
65
5
,即m+n的最小值为
65
5
-1. 答案
65
5
-1
13.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是过F的直线与抛物线的两个交点,求证:
(1)y1y2=-p2,x1x2=
p2
4
;
(2)
1
|AF|
+
1
|BF|
为定值;
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为
?
?
??
?
p
2
,0.
由题意可设直线方程为x=my+
p
2
,代入y2=2px,
得y2=2p?
?
??
?
my+
p
2
,即y2-2pmy-p2=0.(*)
则y1,y2是方程(*)的两个实数根,
所以y1y2=-p2.
因为y21=2px1,y22=2px2,所以y21y22=4p2x1x2,
所以x1x2=
y21y22
4p2
=
p4
4p2
=
p2
4
.
(2)
1
|AF|
+
1
|BF|
=
1
x1+
p
2
+
1
x2+
p
2
=
x1+x2+p
x1x2+
p
2
(x1+x2)+
p2
4
.
因为x1x2=
p2
4
,x1+x2=|AB|-p,代入上式,
得
1
|AF |+1|BF |=|AB |p 24+p 2(|AB |-p )+p 24=2p
(定值). (3)设AB 的中点为M (x 0,y 0),分别过A ,B 作准线的垂线,垂足为C ,D ,过M 作准线的垂线,垂足为N , 则|MN |=1
2(|AC |+|BD |)=
12(|AF |+|BF |)=1
2
|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切
.
目录 目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练(一)--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练(二)--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练(三)--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11
抛物线大题专练(一) 1.已知抛物线C的方程为x2=2py,设点M(x0,1)(x0>0)在抛物线C上,且它到抛物线C的准线距离为; (1)求抛物线C的方程; (2)过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(M、A、B三点互不相同), 求当∠MAB为钝角时,点A的纵坐标y1的取值范围. 2.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=﹣,过点M(0,﹣2)作抛物线的切 线MA,切点为A(异于点O).直线l过点M与抛物线交于两点B,C,与直线OA交于点N. (1)求抛物线的方程; (2)试问:的值是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由.
第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则