1997-2002考研数学二历年真题
2002年全国硕士研究生入学统一考试
数学(二)试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)
1．设函数0
0)(2arcsin 12tan ≤
3．02='+''y y y 满足初始条件1
)0(,1)0(='=y y 的特解是
（ ）．
4
．1lim 1cos n n →∞++=（ ）．
5．矩阵????
? ??-----222222220的非零特征值是（ ）．
二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)
１．函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=?x 时，相应的函
数增量y ?的线性主部为０．１，则)1(f '＝
（Ａ）－１； （Ｂ）０．１；
（Ｃ）１； （Ｄ）０．５．
２．函数)(x f 连续，则下列函数中，必为偶函数的是
(A)
?x dt t f 02)(； (B) ?x dt t f 02)(； (C) ?--x dt t f t f t 0)]()([； (D) ?-+x
dt t f t f t 0)]()([．
３．设)(x f y =是二阶常系数微分方程x e qy y p y 3=+'+''满足初始条件0
)0()0(='=y y
的
特解，则极限)
()1ln(lim 20x y x x +→ (A)不存在； （Ｂ）等于１； (C)等于２； (D) 等于３．
４．设函数)(x f 在+
R 上有界且可导，则
(A)当0)(lim =+∞→x f x 时，必有0)(lim ='+∞→x f x ； （Ｂ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有0)(lim ='+∞
→x f x ； (C) 当0)(lim 0=+→x f x 时，必有0)(lim 0='+
→x f x ； (D) 当)(lim 0x f x '+→存在时，必有0)(lim 0='+
→x f x ． 5．设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k 必有
（Ａ）21321,,,ββααα+k 线性无关；(B)
21321,,,ββααα+k 线性相关； （Ｃ）21321,,,ββαααk +线性无关；
(D) 21321,,,ββαααk +线性相关．
三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为θcos 1-=r ，求该曲线对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程．
四、（本题满分７分）设函数10012)(2)1(223≤≤<≤-?????+==+x x x
x x f y x x e xe ，
求函数?-=x
dt t f x F 1)()(的表达式．
五、（本题满分７分）已知函数)(x f 在+R 上可导，0)(>x f ，1)(lim =+∞→x f x ，且满足
e x
f hx x f h 11))
()((lim 0=+→，求)(x f ． 六、（本题满分７分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线
)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积最小．
七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l
为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段
ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与
承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分
的高h 应为多少？
八、（本题满分８分）
设30< 证明：数列｛n x ｝的极限存在，并求此极限． 九、（本题满分８分）设0>>a b ，证明不等式ab a b a b b a a 1ln ln 222<--<+． 十、（本题满分8分）设函数)(x f 在x ＝０的某邻域具有二阶连续导数，且 0)0()0()0(≠'''f f f ．证明：存在惟一的一组实数c b a ,,，使得当0→h 时， )()0()3()2()(2h o f h cf h bf h af =-++． 十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为三阶方阵，且满足E B B A 421 -=-． ⑴证明：矩阵E A 2-可逆； ⑵若???? ? ??-=200021 021B ，求矩阵Ａ． 十二、（本题满分６分）已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ， 4321,,,αααα均为四维列向量，其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=．若4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解． 2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1、2 13lim 21-++--→x x x x x =（ ）． 2、曲线1)cos(2-=-+e xy e y x 在点（0，1）处 的切线方程为 ：（ ）． 3、xdx x x 223cos )sin (2 2?-+π π=（ ）． 4、微分方程11arcsin 2=-+'x y x y 满足) (21y =0的特解为：（ ）． 5、方程组???? ? ??-=????? ??????? ??211111111321x x x a a a 有无穷多解，则a =（ ）． 二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．) 1、1101 )(>≤???=x x x f 则)]}([{x f f f = （ A ） 0；（B ）1；（C ）110 1 >≤???x x ； （D ）1110>≤???x x ． 2、0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而n x x sin 是比 12 -x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于 （ A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4． 3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为 （ A ）０；（B ）１；（C ）２；（D ）３． 4、函数)(x f 在区间（1-δ，1+δ）内二阶可导，)(x f ' 严格单调减小，且 )1(f =)1(f '=1，则 （A ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x <； （B ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x >； （C ）在（1-δ，1）内有)(x f x <，在（1，1+δ）内有)(x f x >； （D ）在（1-δ，1）内有)(x f x >，在（1，1+δ）内有)(x f x <． 5、（同数学一的二1） 三、（本题满分6分）求?++221)12(x x dx ． 四、（本题满分7分）求函数)(x f =sin sin sin lim()sin x t x t x t x -→的表达式，并指出函数)(x f 的间断点及其类型． 五、（本题满分7分）设)(x ρρ=是抛物线x y =上任意一点M （y x ,） （1≥x ）处的曲率半径，)(x s s =是该抛物线上介于点A （1，1）与M 之间的弧长，计算22 2)(3ds d ds d ρρρ-的值（曲率K ＝23 )1(2y y '+' '）． 六、（本题满分7分）)(x f 在[0，+∞）可导，)0(f =0，且其反函数为)(x g ． 若x x f e x dt t g 2) (0)(=?，求)(x f ． 七、（本题满分7分）设函数)(x f ，)(x g 满足)(x f '=)(x g ， )(x g '=2x e －)(x f 且)0(f =0，(0)g =2，求dx x x f x x g ?+-+π 02 ])1()(1)([ 八、（本题满分9分）设L 为一平面曲线，其上任意点P （y x ,）（0>x ）到原点的距离，恒等于该点处 的切线在y 轴上的截距，且L 过点（0.5，0）． 1、 求L 的方程 2、 求L 的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围成的图形的 面积最小． 九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S 成正比 比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为 r 0 的雪堆 在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？ 十、（本题满分8分）)(x f 在[-a ，a]上具有二阶连续导数，且)0(f =0 1、 写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； 2、 证明在[-a ，a]上至少存在一点η，使?-=''a a dx x f f a )(3)(3η 十一、（本题满分6分）已知???? ? ??=????? ??=011101110,111011001B A 且满足 AXA+BXB=AXB+BXA+E ，求X ． 十二、（本题满分6分）设4321,,,αααα为线性方程组AX=O 的一个基础解系， 144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=，其中t 为实常数 试问t 满足什么条件时4321,,,ββββ也为AX=O 的一个基础解系．