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华师版九年级数学(上)教案(全册)

华师版九年级数学(上)教案(全册)
华师版九年级数学(上)教案(全册)

第22章二次根式

22.1 二次根式

教学目标

1、了解二次根式的概念、

2、掌握二次根式的基本性质、

教学过程

一、提出问题

上一节我们学习了平方根和算术平方根的意义,引进了一个新的记号 a ,现在请同学们思考并回答下面两个问题:

1、 a 表示什么?

2、a需要满足什么条件?为什么?

二、合作交流,解决问题

让学生合作交流,然后回答问题(可以补充),归纳为;

1、当a是正数时, a 表示a的算术平方根,即正数a的两个平方根中的一个正数;

2、当a是零时, a 表示零,也叫零的算术平方根;

3、a≥0,因为任何一个有理数的平方都大于或等于零、

三、归纳特点,引入二次根式概念

1、基本性质、

问题1 你能用一句话概括以上3个结论吗?

让一个学生回答、其他学生补充,概括为: a (a≥0)表示非负数a的算术平方根,也就是说, a (a≥0)是一个非负数,即 a ≥0(a≥0)。

问题2 ( a )2(a≥0)等于什么?说说你的理由并举例验证。

让学生小组讨论或自主探索得出结论:( a )2=a(a≥0),如( 4 )2=4,( 2 )2=2等、以上两个问题的结论就是基本性质,特别是( a )2=a(a≥0)可以当公式使用,直接应用于计算。反过来,把( a )2=a(a≥0)写成a=( a )2(a≥0)的形式,这说明:任何一个非负数a 都可以写成一个数的平方的形式、例如:3=( 3 )2,0.3= (0.3 )2

提问:

(1)0=(0 )2对不对?

(2)-5=(-5 )2对不对?如果不对,错在哪里?

2、二次根式概念

形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式、

说明:二次根式必须具备以下特点;

(1)有二次根号;

(2)被开方数不能小于0。

让学生举出二次根式的几个例子,并判断-5 , a (a<0)、3

a 、-a (a

二次根式。

四、范例

例1、要使式子x-1 有意义,字母x的取值必须满足什么条件?

提问:

若将式子x-1 改为1-x ,则字母x的取值必须满足什么条件?

五、课堂练习

Pl0页练习1、2、

六、思考提高

我们已经研究了( a )2(a≥0)等于a,现在研究a2等于什么、

提问:

1、对于抽象问题的研究,常常采用什么策略?

2、在a2中,a的取值有没有限制?

3、取一些数值来验证。通过验证,你能发现什么规律?

因此,今后我们遇到a2时,可先改写成a的绝对值|a|,再按照a取正数值,0还是负数值来取值、例如当x<0时,16x2=|4x|=-4x

4、( a )2与a2是一样的吗?说说你的理由,并与同学交流。

七、小结

1、什么叫做二次根式?你们能举出几个例子吗?

2、二次根式有哪两个形式上的特点?

3、二次根式有哪些性质?

八、作业

习题22.1第1、2、3、4题、

教学后记:

22.2 二次根式的乘除法

第一课时二次根式的乘除法

教学目标

1、使学生掌握二次根式的乘法运算法则,会用它进行简单的二次根式的乘法运算。

2、使学生掌握积的算术平方根的性质、会根据这一性质熟练地化简二次根式、

3、培养学生合情推理能力。

教学过程

一、复习提问

1、什么叫做二次根式?下列式子哪些是二次根式,哪些不是二次根式?

160 -130 3

27 a

2、二次根式有哪些性质?计算下列各题:

(0.5)2144 (7 )2(-5)2

二、提出问题,导入新知

1、试一试

计算:(1) 4 325 =( )=( )

4325 =( )=( )

(2) 16 ×9 =( )=( )

1639 =( )=( )

提问:观察以上计算结果,你能发现什么?

2、思考

2 3

3 与233 是否相等?

提问:(1)你将用什么方法计算?

(2)通过计算,你发现了什么?是否与前面试一试的结果一样?

3、概括

让学生观察以上计算结果、归纳得出结论: a ×b =a3b (a≥0,b≥0) 注意,a,b必须都是非负数,上式才能成立。

三、举例应用

例1、计算。

7 ×6 1

2×32

说明:二次根式运算的结果,应该尽量化简、如(2)结果不要写成16 ,而应化简成4。

等式 a ×b =a3b (a≥0,b≥0),也可以写成ab = a ×b (a≥0,b≥0)

利用它可以进行二次根式的化简,例如:a4b =a4×b =(a2)2 b =a2 b

例2、化简

12 4a3

说明:(1)如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方,可以利用积的算术平方根的性质,将这些因式(或因数)开出来,从而将二次根式化简;(2)在化简时,一般先将被开方数进行因式分解或因数分解,然后就将能开得尽方的因式(偶次方因式)或因数用它们的算术平方根代替,移到根号外,也就是开出方来。

四、课堂练习

1、计算下列各式,将所得结果化简:

3 ×6 3a ×15a

2、P12页练习1(1)、(2)、2

五、想一想

1、 a ×b ×c 与a2b2c 是否相等?a、b、c有什么限制?请举一个例子加以说明。

2、a2b2c 等于 a ×b ×c 吗?

3、化简:4a4bc4

六、小结

这节课我们学习了以下知识:

1、二次根式的乘法运算法则,即 a 3 b =a2b (a≥0,b≥0)

2、积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积,即a2b = a 3 b (a≥0,b≥0)……)

要特别注意,以上(1)、(2)中,a、b必须都是非负数,如果a、b中出现了负数,等式就不成立、想一想,(-4)3(-9) =-4 ×-9 成立吗?为什么?

3、应用(1)、(2)进行计算和化简,在计算和化简中,复习了性质a2=a(a≥0),加深了对非负数a的算术平方根的性质的认识、

七、作业

习题22.2第2、(1),(2)题,第3、(1)、(2)题、第4题

教学后记:

第二课时 二次根式的乘除法

教学目标

1、使学生掌握二次根式的除法运算法则,会用它进行简单的二次根式的除法运算。

2、使学生了解两个二次根式的商仍然是一个二次根式或有理式。

3、使学生会将分母中含有一个二次根式的式子进行分母有理化、

4。经历探索二次根式的除法运算法则过程,培养学生的探究精神和合作交流的习惯。

教学过程

一、创设问题情境

问题l 上一节课,我们采取什么方法来研究二次根式的乘法法则? 问题2 是否也有二次根式的除法法则呢?

问题2 两个二次根式相除,怎样进行呢? 二、加强合作,探索规律

让抽象的问题具体化,这是我们研究抽象问题的一个重要方法、请同学们参考二次根式的乘法法则的研究,分组讨论两个二次根式相除,会有什么结论,并提出你的见解,然后其他小组同学补充,归纳为:

b

a =

b

a 提问:

1、a 和b 有没有限制?如果有限制,其取值范围是什么?

2、

b a =b

a (a ≥0,b>0)成立吗?为什么?请举例。 三、范例 例1、计算。

3

15

3

24

教学要求:(1)对于(1)可由教师解答示范;(2)对于(2)可由学生自己计算。

提问:

1、除了课本中的解答外,是否还有其他解法?如果有,请给出另外解法。

2、哪种方法更简便?

例2、化简

2

1:(要求分母不带根号)

说明:二次根式的化简要求满足以下两条:

(1)被开方数的因数是整数,因式是整式,也就是说“被开方数不含分母”。 (2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式,也就是说“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”。

把一个二次根式化简的具体方法是:化去根号下的分母;并把被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面。

四、做一做

化简:

5

1

20

8

教学要点:(1)叫两位同学板演,其他同学做完练习进行评价、(2)可用提问的方式引导学生探索其他解法。

五、课堂练习

P12 练习1、(3)、(4) 六、小结 本节课,我们学习了二次根式的除法法则,即

b

a =

b

a

(a ≥0,b>0),并利用它进行计算和化简。化简要做到“被开方数不含分母”和“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”。具体办法是:化去根号下的分母;并把被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面、化简的具体方法可用于计算。 七、作业

P14页习题22.2 2(3)、3(3)

教学后记:

22.3二次根式的加减法

教学目标

1、使学生知道什么是同类二次根式,会辨别两个根式是否同类二次根式.

2、使学生会通过合并同类二次根式,进行二次根式的加法与减法运算.

3、使学生通过二次根式的加减,进一步了解归类的思想方法.

教学过程

一、创设问题情境

1、化简:

18 27 12 8

2.试一试计算:

3 3 -2 3 3 a +2 a

二、做一做

1.观察以上两道计算题,你联想到什么?

让学生类比、联想,讨论、交流,然后举手回答,老师归纳,评价.

2.你能试着解决它吗?

让学生动手计算,鼓励学生加强合作,同桌,上下桌同学可以互相交流,并请两位同学上台板演,教师进行讲评.

上面两个例子表明.遇到两个二次根式相加(或加减)时,我们希望利用分配律.这里利用分配律的实质是要求这两个二次根式的被开方数相同.这种类似的情况我们过去也遇到过:将两个单项式相加,如果想利用分配律的话,那就应当要求两个单项式除了系数以外,其余部分完全相同.这就启发我们,类似在整式的加减中依靠“同类项”那样,能不能在二次根式的加减中,也依靠一种“同类二次根式”呢?

3.同类二次根式

像33和-23,3a和2a这样的两个二次根式,称为同类二次根式.

说明:(1)被开方数相同.问:325与315是不是同类二次根式?

(2)二次根式不能再化简.

(3)与二次根式的系数无关.

(4)你还能说出几个与33同类的二次根式吗?

三、举例与应用

二次根式的加减,与整式的加减相类似,只需对同类二次根式进行合并.例1:计算32+3-22-3 3

例2.计算8+18+12

提问:

1.这里三个加项中有同类二次根式吗?

2.能否将它们化简?

化简情况详见上面,可以发现,有些二次根式是同类二次根式,而有些不是,将同类二次根式合并,就可以得到最后的结果。

小结:先化简,再合并同类二次根式。

例3.计算:

(1)50+32(2)27-23+45

让学生试试看,完成例3的计算.

四、课堂练习

P14页练习1、2;思考:P14页打开计算黑盒。

五、小结

这节课,我们学习了同类二次根式概念,同类二次根式必须满足两个条件:(1)它们都是最简二次根式,(2)它们被开方数必须完全相同.同时,我们还学习了二次根式的加法与减法运算。通过运算我们知道,二次根式相加减的实质就是合并同类二次根式。为了确认哪些二次根式是同类二次根式,我们先要把被确认的二次根式都化成最简二次根式,再按它们的被开方数是否完全相同去判断.

六、作业

习题22.3 3(4)(5)

教学后记:

第23章 一元二次方程

23.1 一元二次方程

教学目标:

1、知道一元二次方程的定义,能熟练地把一元二次方程整理成一般形式

02=++c bx ax (a ≠0)

2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具,增加对一元二次方程的感性认识。

3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。

重点难点:

1.一元二次方程的意义及一般形式,会正确识别一般式中的“项”及“系数”。 2. 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。

教学过程:

一 做一做:

1.问题一 绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900平方米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少? 分 析:设长方形绿地的宽为x 米,不难列出方程 x(x +10)=900

整理可得 x 2+10x -900=0. (1)

2.问题2

学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.

解:设这两年的年平均增长率为x ,我们知道,去年年底的图书数是5万册,则今年年底的图书数是5(1+x )万册;同样,明年年底的图书数又是今年年底的(1+x )倍,即5(1+x )(1+x)=5(1+x)2万册.可列得方程 5(1+x )2=7.2,

整理可得 5x 2+10x -2.2=0. (2)

3.思考、讨论

这样,问题1和问题2分别归结为解方程(1)和(2).显然,这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里?它们有什么共同特点呢? ( 学生分组讨论,然后各组交流 )共同特点: (1) 都是整式方程 (2) 只含有一个未知数

(3) 未知数的最高次数是2

二、 一元二次方程的概念

上述两个整式方程中都只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的方程叫做一元二次方程).通常可写成如下的一般形式:

ax 2+bx +c =0(a 、b 、c 是已知数,a ≠0)。 其中2

ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数,c 叫做常数项。. 三、 例题讲解与练习巩固

1.例1下列方程中哪些是一元二次方程?试说明理由。

(1)3523-=+x x (2)42

=x (3)2

112x x x =-+- (4)22)2(4+=-x x

2.例2 将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项:

1)y y =26 2)(x-2)(x+3)=8 3)2

)2()43)(3(+=-+x x x

说明: 一元二次方程的一般形式02

=++c bx ax (a ≠0)具有两个特征:一是方程的右边为0;二是左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。

3.例3 方程(2a —4)x 2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程?在什么条件下此方程为一元一次方程?

本题先由同学讨论,再由教师归纳。

解:当a ≠2时是一元二次方程;当a =2,b ≠0时是一元一次方程;

4.例4 已知关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+3x-5m+4=0有一根为2,求m 。 分析:一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程。

5.练习一 将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项

x x 3222

-= 2x(x-1)=3(x-5)-4 ()()()()231122

2-+=+--y y y y

练习二 关于x 的方程

0)3(2

=++-m nx x m ,在什么条件下是一元二次方程?在什么条件下是一元一次方程?

本课小结:

1、只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式为02

=++c bx ax (a ≠0),一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的,这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。

3、在实际问题转化为数学模型( 一元二次方程 ) 的过程中,体会学习一元二次方程的必

要性和重要性。

布置作业:课本习题23.1 1、2、3 教学后记:

23.2一元二次方程的解法

第一课时一元二次方程的解法教学目标:

1、会用直接开平方法解形如

b

k

x

a=

-2)

((a≠0,ab≥0)的方程;

2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。

3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用,渗透换远方法。

重点难点:

合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程,理解一元二次方程无实根的解题过程。

教学过程:

问:怎样解方程()21256

x+=

的?

让学生说出作业中的解法,教师板书。

解:1、直接开平方,得x+1=±16

所以原方程的解是x1=15,x2=-17

2、原方程可变形为

()212560

x+-=

方程左边分解因式,得

(x+1+16)(x+1-16)=0

即可(x+17)(x-15)=0

所以x+17=0,x-15=0

原方程的蟹x1=15,x2=-17

二、例题讲解与练习巩固

1、例1 解下列方程

(1)(x+1)2-4=0;(2)12(2-x)2-9=0.

分析两个方程都可以转化为

b

k

x

a=

-2)

((a≠0,ab≥0)

的形式,从而用直接开平方法求解.

解(1)原方程可以变形为

(x+1)2=4,

直接开平方,得

x+1=±2.

所以原方程的解是x1=1,x2=-3.

原方程可以变形为

________________________,

有________________________.

所以原方程的解是x1=________,x2=_________.

2、说明:(1)这时,只要把

)1

(+

x看作一个整体,就可以转化为b

x=

2

(b≥0)型的方

法去解决,这里体现了整体思想。 3、练习一 解下列方程: (1)(x +2)2-16=0; (2)(x -1)2-18=0;

(3)(1-3x)2=1; (4)(2x +3)2-25=0.

三、读一读

四、讨论、探索:解下列方程

(1)(x+2)2=3(x+2) (2)2y(y-3)=9-3y (3)( x-2)2 — x+2 =0

(4)(2x+1)2=(x-1)2 (5)49122

=+-x x 。 本课小结:

1、对于形如

b k x a =-2

)((a ≠0,a b ≥0)的方程,只要把)(k x -看作一个整体,就可转化为n x =2

(n ≥0)的形式用直接开平方法解。

2、当方程出现相同因式(单项式或多项式)时,切不可约去相同因式,而应用因式分解法

解。

布置作业:课本第37页习题1(5、6)、P38页习题2(1、2)

教学后记:

第二课时 一元二次方程的解法

教学目标:

1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程.

2、使学生掌握配方法的推导过程,熟练地用配方法解一元二次方程。 3.在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想,掌握一些转化的技能。

重点难点:

使学生掌握配方法,解一元二次方程。 把一元二次方程转化为q p x =+2

)(

教学过程:

一、复习提问

解下列方程,并说明解法的依据: (1)2

321x

-= (2)()

2

160

x +-= (3)

()2

210

x --=

通过复习提问,指出这三个方程都可以转化为以下两个类型:

()()()

2

200x b b x a b b =≥-=≥和

根据平方根的意义,均可用“直接开平方法”来解,如果b < 0,方程就没有实数解。

()2

12

x -=-

请说出完全平方公式。

()()2

22

2

2222x a x ax a x a x ax a +=++-=-+。

二、引入新课

我们知道,形如02

=-A x 的方程,可变形为)0(2≥=A A x ,再根据平方根的意义,用直接开平方法求解.那么,我们能否将形如2

0x bx c ++=的一类方程,化为上述形式求

解呢?这正是我们这节课要解决的问题.

三、探索:

1、例1、解下列方程:

2x +2x =5; (2)2x -4x +3=0.

思 考

能否经过适当变形,将它们转化为

(

)

2

= a 的形式,应用直接开方法求解?

解(1)原方程化为2

x +2x +1=6, (方程两边同时加上1) _____________________, _____________________, _____________________.

(2)原方程化为2

x -4x +4=-3+4 (方程两边同时加上4) _____________________, _____________________, _____________________.

三、归 纳 上面,我们把方程2x

-4x +3=0变形为

()2

2x -=1,它的左边是一个含有未知数的完全平

方式,右边是一个非负常数.这样,就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的

方法叫做配方法.

注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后,左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。

那么,在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢?

四、试一试:对下列各式进行配方:

22_____)(_____8+=+x x x ; 2210_____(_____)x x x -=+ 22_____)(______5-=+-x x x ; 229______(_____)x x x -+=-

22_____)(_____23

-=+-

x x x ;22

______(_____)x bx x ++=+

通过练习,使学生认识到;配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半

的平方。

五、例题讲解与练习巩固

1、例

2、 用配方法解下列方程:

(1)2

x -6x -7=0; (2)2

x +3x +1=0. 2、练习: ①.填空: (1)

()()

2

26x x ++= (2)2x -8x +( )=(x- )2

(3)2x +x +( )=(x + )2; (4)42

x -6x +( )=4(x - )2 ② 用配方法解方程:

(1)2

x +8x -2=0 (2)2

x -5 x -6=0. (3)2

76x x +=-

六、试一试

用配方法解方程x 2+px +q =0(p2-4q ≥0). 先由学生讨论探索,教师再板书讲解。

解:移项,得 x 2+px =-q ,

配方,得 x 2+22x 22p +(2p )2=(2p

)2-q, 即 (x +2p ) 2=442q

p -.

因为 p2-4q ≥0时,直接开平方,得

x +2p

=±242q p -. 所以 x =-2p

±242q p -, 即 x =242q p p -±-.

思 考:这里为什么要规定p2-4q ≥0?

七、讨 论

1、如何用配方法解下列方程? 4x 2-12x -1=0;

请你和同学讨论一下:当二次项系数不为1时,如何应用配方法?

2、关键是把当二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程。 先由学生讨论探索,再教师板书讲解。

解:(1)将方程两边同时除以4,得 x 2-3x -

4

1

=0 移项,得 x 2-3x =

41 配方,得 x 2-3x+(23)2=41+(2

3

)2

即 (x —23) 2=2

5

直接开平方,得 x —

23=±210 所以 x =

23±2

10 所以x 1=

2103+,x 2=210

3-

3,练习:用配方法解方程:

(1)02722

=--x x (2)3x 2+2x -3=0. (3)05422=+-x x (原方程无实数解)

本课小结:

让学生反思本节课的解题过程,归纳小结出配方法解一元二次方程的步骤:1、把常数项移到方程右边,用二次项系数除方程的两边使新方程的二次项系数为1;2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方,使左边成为完全平方;

如果方程的右边整理后是非负数,用直接开平方法解之,如果右边是个负数,则指出原方程无实根。

布置作业:

P38页习题2 .(3)、(4)、(5)、(6),3,4 .(1)、(2)

教学后记:

第三课时 一元二次方程的解法

教学目标:

1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。

2、使学生经历探索求根公式的过程,培养学生抽象思维能力。

3、在探索和应用求根公式中,使学生进一步认识特殊与一般的关系,渗透辩证唯物广义观点。

重点难点:

1、难点:掌握一元二次方程的求根公式,并应用它熟练地解一元二次方程;

2、重点:对文字系数二次三项式进行配方;求根公式的结构比较复杂,不易记忆;系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。 教学过程:

一、复习旧知,提出问题 1、用配方法解下列方程:

(1)x x 10152

=+ (2)

2131203x x -+

=

2、用配方解一元二次方程的步骤是什么?

3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程,计算比较麻烦,能否研究出一种更好的方法,迅速求得一元二次方程的实数根呢? 二、探索同底数幂除法法则

问题1:能否用配方法把一般形式的一元二次方程

20(0)ax bx c a ++=≠转化为2224()4b b ac

x a a -+=

呢?

教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程,让学生分组讨论交流,达成共识:

因为0a ≠,方程两边都除以a ,得

20b c x x a a +

+= 移项,得

2b c x x a a +

=-

配方,得

2222()()222b b b c

x x a a a a ++=-

2224()24b b ac x a a -+=

问题2:当240b ac -≥,且0a ≠时,22

44b ac

a -大于等于零吗?

让学生思考、分析,发表意见,得出结论:当2

40b ac -≥时,因为0a ≠,所以

240a >,从而2240

4b ac

a -≥。

问题3:在研究问题1和问题2中,你能得出什么结论?

让学生讨论、交流,从中得出结论,当2

40b ac -≥时,一般形式的一元二次方程

20(0)ax bx c a ++=≠

的根为22b x a a +=±

,即2b x a -=

由以上研究的结果,得到了一元二次方程

2

0(0)ax bx c a ++=≠的求根公式

:2b x a -±= (2

40b ac -≥)

这个公式说明方程的根是由方程的系数a 、b 、c 所确定的,利用这个公式,我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值,直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。

思考:当2

40b ac -≥时,方程有实数根吗? 三、例题

例1、解下列方程:

1、2260x x +-=;

2、242x x +=;

3、254120x x --=;

4、2

441018x x x ++=-

教学要点:(1)对于方程(2)和(4),首先要把方程化为一般形式; (2)强调确定a 、b 、c 值时,不要把它们的符号弄错;

(3)先计算2

4b ac -的值,再代入公式。

例2、(补充)解方程2

10x x -+= 解:这里1a =,1b =-,1c =,

224(1)41130b ac -=--??=-< 因为负数不能开平方,所以原方程无实数根。

让学生反思以上解题过程,归纳得出:

当2

40b ac ->时,方程有两个不相等的实数根; 当240b ac -=时,方程有两个相等的实数根; 当240b ac -<时,方程没有实数根。

四、课堂练习 1、P35练习。

2、阅读P39“阅读材料”。 小结:

根据你学习的体会,小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法?通常你是如何选择的?和同学交流一下。 作业:

P38习题4.(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8),5。

教学后记:

最新人教版九年级数学下册教案全册

最新人教版九年级数学下册教案全册 正弦和余弦(一) 一、素质教育目标 (一)知识教学点 使学生知道当直角三角形的锐角固定时,它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实. (二)能力训练点 逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力. (三)德育渗透点 引导学生探索、发现,以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯. 二、教学重点、难点 1.重点:使学生知道当锐角固定时,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实. 2.难点:学生很难想到对任意锐角,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实,关键在于教师引导学生比较、分析,得出结论. 三、教学步骤 (一)明确目标 1.如图6-1,长5米的梯子架在高为3米的墙上,则A、B间距离为多少米? 2.长5米的梯子以倾斜角∠CAB为30°靠在墙上,则A、B间的距离为多少? 3.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上,则A、B间距离为多少?

4.若长5米的梯子靠在墙上,使A、B间距为2米,则倾斜角∠CAB为多少度? 前两个问题学生很容易回答.这两个问题的设计主要是引起学生的回忆,并使学生意识到,本章要用到这些知识.但后两个问题的设计却使学生感到疑惑,这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说,起到激起学生的学习兴趣的作用.同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解,有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的,解决这类问题,关键在于找到一种新方法,求出一条边或一个未知锐角,只要做到这一点,有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来. 通过四个例子引出课题. (二)整体感知 1.请每一位同学拿出自己的三角板,分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值. 学生很快便会回答结果:无论三角尺大小如何,其比值是一个固定的值.程度较好的学生还会想到,以后在这些特殊直角三角形中,只要知道其中一边长,就可求出其他未知边的长. 2.请同学画一个含40°角的直角三角形,并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值,学生又高兴地发现,不论三角形大小如何,所求的比值是固定的.大部分学生可能会想到,当锐角取其他固定值时,其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗? 这样做,在培养学生动手能力的同时,也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知,唤起学生的求知欲,大胆地探索新知. (三)重点、难点的学习与目标完成过程 1.通过动手实验,学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值,它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”.但是怎样证明这个命题呢?学生这时的思维很活跃.对于这个问题,部分学生可能能解决它.因此教师此时应让学生展开讨论,独立完成. 2.学生经过研究,也许能解决这个问题.若不能解决,教师可适当引导:

最新人教版九年级数学全册教案(全册 共58页)

最新人教版九年级数学全册教案(全册共58页) 目录 第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程 21.2.1配方法(第1课时) 21.2.1配方法(第2课时) 21.2.2公式法 21.2.3因式分解法 21.2.4 一元二次方程的根与系数关系 21.3 实际问题与一元二次方程(第1课时) 21.3 实际问题与一元二次方程(第2课时) 小结 第二十二章二次函数 22.1.1 二次函数(第1课时) 22.1.2二次函的图象和性质(第1课时) 22.1.3.1二次函的图象和性质(第1课时) 22.1.3.2二次函的图象和性质(第2课时) 22.1.3.3二次函的图象和性质(第3课时) 22.1.4 .1二次函的图象和性质(第1课时) 22.1.4.2用待定系数法求二次函数解析式(第1课时) 22.2 用函数观点看一元二次方程(第1课时) 22.3.1 实际问题与二次函数(第1课时) 22.3.2 实际问题与二次函数(第2课时) 小结(3课时) 第二十三章旋转 23.1 图形的旋转(1) 23.1 图形的旋转(2) 23.1 图形的旋转(3) 23.2.1中心对称(1) 23.2.1中心对称(2) 23.2.1中心对称(3) 22.2 中心对称图形,关于原点对称的点的坐标 23.3 课题学习图案设计 小结 第二十四章圆 24.1.1 圆 24.1.2 垂直于弦的直径24.1.3 弧、弦、圆心角 24.1.4 圆周角 24.2.1 点和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系 24.2.3 圆和圆的位置关系 24.3 正多边形和圆 24.4圆锥的侧面积和全面积 小结 第二十五章概率 25.1.1随机事件(第一课时) 25.1.1 随机事件(第二课时) 25.1.2 概率的意义 25.2 用列举法求概率(第一课时)25.2 用列举法求概率(第二课时25.2 用列举法求概率(第三课时) 25.3.1利用频率估计概率 25.3.2利用频率估计概率 25.4课题学习键盘上字母的排列规律 小结

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《人教版九年级上册全书教案》 第二十一章二次根式 教材内容 1.本单元教学的主要内容: 二次根式的概念;二次根式的加减;二次根式的乘除;最简二次根式. 2.本单元在教材中的地位和作用: 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的,它也是今后学习其他数学知识的基础.教学目标 1.知识与技能 (1)理解二次根式的概念. (2a≥02=a(a≥0(a≥0). (3(a≥0,b≥0; a≥0,b>0a≥0,b>0). (4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减. 2.过程与方法 (1)先提出问题,让学生探讨、分析问题,师生共同归纳,得出概念.?再对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.(2)用具体数据探究规律,用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定,?并运用规定进行计算. (3)利用逆向思维,?得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.(4)通过分析前面的计算和化简结果,抓住它们的共同特点,?给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念,来对相同的二次根式进行合并,达到对二次根式进行计算和化简的目的. 3.情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生:利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,经过探索二次根式的重要结论,二次根式的乘除规定,发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重点 1a≥0a≥0)2=a(a≥0); (a≥0)?及其运用. 2.二次根式乘除法的规定及其运用. 3.最简二次根式的概念. 4.二次根式的加减运算. 教学难点 1a≥0)2=a(a≥0(a≥0)

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2019年春最新人教九年级下册全册教案 第二十六章反比例函数 26.1.1 反比例函数 1.理解反比例函数的概念;(难点)2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求解析式;(重点)3.能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型.(重点) 一、情境导入二、合作探究 三、板书设计 1.反比例函数的定义: 形如y= k x(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数.其中x是自变量,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.2.反比例函数的形式: (1)y= k x(k为常数,k≠0);(2)xy=k(k为常数,k≠0);(3)y=kx -1(k为常数,k≠0). 3.确定反比例函数的解析式:待定系数法.4.建立反比例函数模型. 让学生从生活实际中发现数学问题,从而引入学习内容,这不仅激发了学生学习数学的兴趣,还激起了学生自主参与的积极性和主动性,为自主探究新知创造了现实背景.因为反比例函数这一部分内容与正比例函数相似,在教学过程中,以学生学习的正比例函数为基础,在学生之间创设相互交流、相互合作、相互帮助的关系,让学生通过充分讨论交流后得出它们的相同点,在此基础上来揭示反比例函数的意义. 26.1.2 反比例函数的图象和性质 第1课时反比例函数的图象和性质

1.会用描点的方法画反比例函数的图象;(重点) 2.理解反比例函数图象的性质.(重点,难点) 一、情境导入 已知某面粉厂加工出了4000吨面粉,厂方决定把这些面粉全部运往B市.则所需要的时间t(天)和每天运出的面粉总重量m(吨)之间有怎样的函数关系?你能在平面直角坐标系中画出这个图形吗? 二、合作探究 三、板书设计 1.反比例函数的图象:双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形. 2.反比例函数的性质: (1)当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、三象限,在每个象限内y值随x值的增大而减小; (2)当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、四象限,在每个象限内y值随x值的增大而增大. 通过引导学生自主探索反比例函数的性质,全班学生都能主动地观察与讨论,实现了在学习中让学生自己动手、主动探索、合作交流的目的.同时通过练习让学生理解“在每个象限内”这句话的必要性,体会数学的严谨性. 第2课时反比例函数的图象和性质的综合运用 1.使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质;(重点) 2.深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系,体会数形结合及转化的思想方法;(重点) 3.探索反比例函数和一次函数、几何图形以及图形面积的综合应用.(难点)

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义务教育课程标准人教版数学教案 九年级下册

第二十六章 反比例函数 26.1.1反比例函数的意义(1课时) 一、教学目标 1.使学生理解并掌握反比例函数的概念 2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求解析式 3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数解析式,体会函数的模型思想 二、重点难点 重点:理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式 难点:理解反比例函数的概念 三、教学过程 (一)、创设情境、导入新课 问题:电流I 、电阻R 、电压U 之间满足关系式U=IR ,当U =220V 时, (1)你能用含有R 的代数式表示I 吗? (2)利用写出的关系式完成下表: 当R 越来越大时,I 怎样变化?当R 越来越小呢? (3)变量I 是R 的函数吗?为什么? 概念:如果两个变量x,y 之间的关系可以表示成)0(≠=k k x k y 为常数,的形式,那么y 是x 的反比例函数,反比例函数的自变量x 不能为零。 (二)、联系生活、丰富联想 1.一个矩形的面积为202cm ,相邻的两条边长分别为x cm 和y cm 。那么变

量y 是变量x 的函数吗?为什么? 2.某村有耕地346.2公顷,人数数量n 逐年发生变化,那么该村人均占有耕地面积m (公顷/人)是全村人口数n 的函数吗?为什么? (三)、举例应用、创新提高: 例1.(补充)下列等式中,哪些是反比例函数? (1)3 x y = (2)x y 2- = (3)xy =21 (4)25+=x y (5)31+=x y 例2.(补充)当m 取什么值时,函数2 3)2(m x m y --=是反比例函数? (四)、随堂练习 1.苹果每千克x 元,花10元钱可买y 千克的苹果,则y 与x 之间的函数关 系式为 2.若函数2 8)3(m x m y -+=是反比例函数,则m 的取值是 (五)、小结:谈谈你的收获 (六)、布置作业 (七)、板书设计 四、教学反思:

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第二十一章一元二次方程 21. 1一元二次方程 教学目标 知识技能 1.通过类比一元一次方程,了解一元二次方程的概念及一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念. 2.了解一元二次方程的解的概念,会检验一个数是不是一元二次方程的解. 数学思考与问题解决 通过丰富的实例,列出一元二次方程,让学生体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型,培养学生初步形成“模型思想”,增强学生应用数学知识解决实际问题的意识. 情感态度 使学生经历类比一元一次方程得到一元二次方程概念的过程,减少学生对新知识的陌生感,提高学生学习数学的兴趣. 重点难点 重点:通过类比一元一次方程,了解一元二次方程的概念及一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)和一元二次方程的解等概念,并能用这些概念解决简单问题. 难点:一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项系数的识别. 教学设计 活动一:创设情境 1.什么是方程?什么是一元一次方程? 2.指出下面哪些方程是已学过的方程?分别是什么方程? (1)3x+4=1;(2)6x-5y=7;(3)4 3x- 5 y=0;(4) 1 5y=5;(5)x 2-70x+825=0;(6)7+ 3 y-2=4;(7)x(x+5)=150;(8) 4x 5- y 3=0. 3.什么是“元”?什么是“次”? 活动二:一元二次方程及其相关概念的学习 自学教材第2~3页,思考教师所提下列问题:

1.问题1中列方程的等量关系是________,所列方程为________,化简后为________. 2.问题2中列方程的等量关系是________,为什么要乘1 2?所列方程为________,化简后为________. 3.观察上面化简后的方程,会发现:等号两边都是________,只含有________个未知数,并且未知数的最高次数是________的方程,叫做一元二次方程. 4.任何一个方程都要化成它的一般形式,一元二次方程的一般形式为________(a ≠________).为什么? 5.说出一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项,在确定各个系数时要注意什么? 设计意图:通过设问的方式来加深学生对一元二次方程的理解,排除学生对一元二次方程及其相关概念理解的障碍,让学生体会到一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型,同时,通过设问也给学生学习探究搭建了交流平台. 活动三:尝试练习 1.判断下列方程是否为一元二次方程. (1)3x +2=5y -3;(2)x 2=4;(3)3x 2-5 x =0;(4)x 2-4=(x +2)2;(5)ax 2+bx +c =0. 2.方程2x 2=3(x -6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为( ) A .2,3,-6 B .2,-3,18 C .2,-3,6 D .2,3,6 (答案:1.略;2.B.) 活动四:知识拓展 例 关于x 的方程(m +1)x |m|+1+3x =6,当m =________时,该方程是一元二次方程. 分析:要使(m +1)x |m|+1+3x =6为一元二次方程,除了考虑未知数的最高次数为2,还要想到m +1≠0.解题过程略. 活动五:课堂小结和作业布置 课堂小结: 1.一元二次方程的概念是什么?一个一元二次方程必须同时满足三个要素:(1)整式;(2)方程整理后含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是二次. 2.一元二次方程的一般形式是什么?二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、

九年级数学上册全册教案(最新人教版)

九年级数学上册全册教案(最新人教版) 义务教育课程标准人教版 数学教案 九年级上册 XX—XX学年度学期 学校: 班级:九班 教师: XX—XX学年度学期九年级数学教学进度表 周序日期教学工作内容及课时安排 24—8.3021.1一元二次方程2 1.2降次——解一元二次方程2 31—9.621.2降次——解一元二次方程5 7—9.1321.3实际问题与一元二次方程及数学活动2 《一元二次方程》单元小结与练习3 14—9.2021.1二次函数的图像与性质5 21—9.2721.2二次函数与一元二次方程2 1.3实际问题与二次函数2 《二次函数》单元小结与练习1 28—10.423.1图形的旋转2 3.2中心对称3

10.5—10.1123.3课题学习图案设计2 《旋转》单元考及讲评3 10.12—10.1824.1圆5 10.19—10.2524.2点、直线、圆和圆的位置关系5 010.26—11.1期中考复习 111.2—11.8期中考试与试卷分析 11.9—11.1524.3正多边形和圆2 4弧长和扇形面积2 311.16—11.2124.4弧长和扇形面积2 《圆》单元考及讲评3 11.23—11.2925.1随机事件与概率4 11.30—12.625.2用列举法求概率3 3用频率估计概率1 12.7—12.1325.4课题学习及数学活动2 《概率初步》单元考及讲评2 12.14—12.20九年级数学下册内容 12.21—12.27九年级数学下册内容 12.28—1.3九年级数学下册内容 01.4—1.10期末考复习 11.11—1.17期末考复习及考试 教学时间课题21.1一元二次方程课型新授 教学媒体多媒体

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第二十六章反比例函数 26.1 反比例函数 26.1.1 反比例函数 1.理解反比例函数的概念;(难点) 2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求解析式;(重点) 3.能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型.(重点) 一、情境导入

1.京广高铁全程为2298km ,某次列车的平均速度v (单位:km/h)与此次列车的全程运行时间t (单位:h)有什么样的等量关系? 2.冷冻一个物体,使它的温度从20℃下降到零下100℃,每分钟平均变化的温度T (单位:℃)与冷冻时间t (单位:min)有什么样的等量关系? 问题:这些关系式有什么共同点? 二、合作探究 探究点一:反比例函数的定义 【类型一】 反比例函数的识别 下列函数中:①y = 3 2x ;②3xy =1;③y =1-2x ;④y =x 2 .反比例函数有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 解析:①y = 32x 是反比例函数,正确;②3xy =1可化为y =1 3x ,是反比例函数,正确;③y =1-2x 是反比例函数,正确;④y =x 2 是正比例函数,错误.故选C.

方法总结:判断一个函数是否是反比例函数,首先要看两个变量是否具有反比例关系,然后根据反比例函数的定义去判断,其形式为y =k x (k 为常数,k ≠0),y =kx -1(k 为常数,k ≠ 0)或xy =k (k 为常数,k ≠0). 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】 根据反比例函数的定义确定字母的值 已知函数y =(2m 2+m -1)x 2m 2+3m - 3是反比例函数,求m 的值. 解析:由反比例函数的定义可得 2m 2+3m -3=-1,2m 2+m -1≠0,然后求解即可. 解:∵y =(2m 2+m -1)x 2m 2+3m -3是反比例函数,∴? ????2m 2+3m -3=-1, 2m 2+m -1≠0,解得m =- 2. 方法总结:反比例函数也可以写成y =kx -1(k ≠0)的形式,注意x 的次数为-1,系数不等于0. 变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题 探究点二:用待定系数法确定反比例函数解析式 【类型一】 确定反比例函数解析式

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第二十一章二次根式 教材内容 1.本单元教学的主要内容: 二次根式的概念;二次根式的加减;二次根式的乘除;最简二次根式. 2.本单元在教材中的地位和作用: 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的,它也是今后学习其他数学知识的基础. 教学目标 1.知识与技能 (1)理解二次根式的概念. (2a≥0)是一个非负数,2=a(a≥0)(a≥0). (3a≥0,b≥0); a≥0,b>0)(a≥0,b>0). 2.过程与方法 (1)先提出问题,让学生探讨、分析问题,师生共同归纳,得出概念.?再对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简. (2)用具体数据探究规律,用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定,?并运用规定进行计算. (3)利用逆向思维,?得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简. (4)通过分析前面的计算和化简结果,抓住它们的共同特点,?给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念,来对相同的二次根式进行合并,达到对二次根式进行计算和化简的目的. 3.情感、态度与价值观

通过本单元的学习培养学生:利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,经过探索二次根式的重要结论,二次根式的乘除规定,发展学生观察、分析、发现问题的能力. 教学重点 1a≥0a≥0)是一个非负数; 2=a(a≥0)(a≥0)?及其运用. 2.二次根式乘除法的规定及其运用. 3.最简二次根式的概念. 4.二次根式的加减运算. 教学难点 1.a≥0)是一个非负数的理解;对等式2=a(a≥0) (a≥0)的理解及应用. 2.二次根式的乘法、除法的条件限制. 3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式. 教学关键 1.潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力,突出重点,突破难点.2.培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力,?培养学生一丝不苟的科学精神. 单元课时划分 本单元教学时间约需11课时,具体分配如下: 21.1 二次根式3课时 21.2 二次根式的乘法3课时 21.3 二次根式的加减3课时 21.1 二次根式

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(此文档为word格式,下载后您可任意编辑修改!) 数学教案(七年级上册) 第1章有理数 第2章整式的加减 第3章一元一次方程 第4章图形认识初步 第一章有理数 1.1正数和负数 教学目标: 1、了解正数与负数是从实际需要中产生的。 2、能正确判断一个数是正数还是负数,明确0既不是正数也 不是负数。 3、会用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量。 重点:正、负数的概念 重点:负数的概念、正确区分两种不同意义的量。 2、正数和负数 教师:如何来表示具有相反意义的量呢?我们现在来解决问题4提出的问题。 结论:零下5℃用-5℃来表示,零上5℃用5℃来表示。 为了用数表示具有相反意义的量,我们把其中一种意义的量。如零上、向东、收入和高于等规定为正的,而把与它相反的量规定为负的。正的用小学学过的数(0除外)表示,负的用小学学过的数(0除外)在前面加上“-”(读作负)号来表示。根据需要,有时在正数前面也加上“+”(读作正)号。 注意:①数0既不是正数,也不是负数。0不仅仅表示没有,也可以表示一个确定的量,如温度计中的0℃不是没有表示没有温度,它通常表示水结成冰时的温度。②正数、负数的“+”“-”的符号是表示量的性质相反,这种符号叫做性质符号。

三、巩固知识 1、课本P3 练习 2、课本P4例 义。 四、总结 ①什么是具有相反意义的量?②什么是正数,什么是负数?③引入负数后,0的意义是什么? 五、布置作业 课本P5习题1.1第1、2题。 1.2.1有理数 教学目标: 1、正确理解有理数的概念及分类,能够准确区分正整数、0、负整数、正分数、负分数。 2、掌握有理数的分类方法,会对有理数进行分类,体验分类是数学上常用的处理问题的方法。 重点:正确理解有理数的概念 重点:有理数的分类 教学过程: 一、知识回顾,导入新课 什么是正数,什么是负数? 问题1:学习了负数之后,我们对数的认识范围扩大了,你能写出三个不同类型的数吗?(请三位同学上黑板上写出,其他同学在自己的练习本上写出,如果有出现不同类型的数,同学们可上黑板补充。)问题2:观察黑板上的这么数,并给它们分类。 先让学生独立思考,接着讨论和交流分类的情况,得出数的类型有5类:正整数、0、负整数、正分数、负分数。 二、讲授新课 1、有理数的定义 引导学生对前面的数进行概括,得出:正整数、零、负整数统称为整数;正分数和负分数统称分数。整数可以看作分母为1的分数,正整数、零、负整数、正分数和负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数,即整数和分数统称有理数。 2、有理数的分类 让学生在总结出5类数基础上,进行概括,尝试进行分类,通过交流和讨论,再加上老师适当的指导,逐步得出下面的两种分类方式。 (1)按定义分类:(2)按性质分类:

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备课本人教版九年级下册 数学 全册教案 班级______ 教师______ 日期______

第二十六章 反比例函数 26.1.1反比例函数的意义(1课时) 一、教学目标 1.使学生理解并掌握反比例函数的概念 2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求解析式 3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数解析式,体会函数的模型思想 二、重点难点 重点:理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式 难点:理解反比例函数的概念 三、教学过程 (一)、创设情境、导入新课 问题:电流I 、电阻R 、电压U 之间满足关系式U=IR ,当U =220V 时, (1)你能用含有R 的代数式表示I 吗? (2)利用写出的关系式完成下表: 当R 越来越大时,I 怎样变化?当R 越来越小呢? (3)变量I 是R 的函数吗?为什么? 概念:如果两个变量x,y 之间的关系可以表示成)0(≠=k k x k y 为常数,的形式,那么y 是x 的反比例函数,反比例函数的自变量x 不能为零。 (二)、联系生活、丰富联想 1.一个矩形的面积为202cm ,相邻的两条边长分别为x cm 和y cm 。那么变

量y 是变量x 的函数吗?为什么? 2.某村有耕地346.2公顷,人数数量n 逐年发生变化,那么该村人均占有耕地面积m (公顷/人)是全村人口数n 的函数吗?为什么? (三)、举例应用、创新提高: 例1.(补充)下列等式中,哪些是反比例函数? (1)3 x y = (2)x y 2 - = (3)xy =21 (4)25+=x y (5)31+=x y 例2.(补充)当m 取什么值时,函数2 3)2(m x m y --=是反比例函数? (四)、随堂练习 1.苹果每千克x 元,花10元钱可买y 千克的苹果,则y 与x 之间的函数关 系式为 2.若函数2 8)3(m x m y -+=是反比例函数,则m 的取值是 (五)、小结:谈谈你的收获 (六)、布置作业 (七)、板书设计 四、教学反思:

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人教版数学 正弦和余弦(一) 一、素质教育目标 (一)知识教学点 使学生知道当直角三角形的锐角固定时,它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实. (二)能力训练点 逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力. (三)德育渗透点 引导学生探索、发现,以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯. 二、教学重点、难点 1.重点:使学生知道当锐角固定时,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实. 2.难点:学生很难想到对任意锐角,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实,关键在于教师引导学生比较、分析,得出结论. 三、教学步骤 (一)明确目标 1.如图6-1,长5米的梯子架在高为3米的墙上,则A、B间距离为多少米?

2.长5米的梯子以倾斜角∠CAB为30°靠在墙上,则A、B间的距离为多少? 3.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上,则A、B间距离为多少? 4.若长5米的梯子靠在墙上,使A、B间距为2米,则倾斜角∠CAB为多少度? 前两个问题学生很容易回答.这两个问题的设计主要是引起学生的回忆,并使学生意识到,本章要用到这些知识.但后两个问题的设计却使学生感到疑惑,这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说,起到激起学生的学习兴趣的作用.同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解,有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的,解决这类问题,关键在于找到一种新方法,求出一条边或一个未知锐角,只要做到这一点,有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来. 通过四个例子引出课题. (二)整体感知 1.请每一位同学拿出自己的三角板,分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值. 学生很快便会回答结果:无论三角尺大小如何,其比值是一个固定的值.程度较好的学生还会想到,以后在这些特殊直角三角形中,只要知道其中一边长,就可求出其他未知边的长. 2.请同学画一个含40°角的直角三角形,并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值,学生又高兴地发现,不论三角形大小如何,所求的比值是固定的.大部分学生可能会想到,当锐角取其他固定值时,其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗? 这样做,在培养学生动手能力的同时,也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知,唤起学生的求知欲,大胆地探索新知. (三)重点、难点的学习与目标完成过程 1.通过动手实验,学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值,它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”.但是怎样证明这个命题呢?学生这时的思维很活跃.对于这个问题,部分学生可能能解决它.因此教师此时应让学生展开讨论,独立完成. 2.学生经过研究,也许能解决这个问题.若不能解决,教师可适当引导:

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正弦和余弦(一) 一、素质教育目标 (一)知识教学点 使学生知道当直角三角形的锐角固定时,它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实. (二)能力训练点 逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力. (三)德育渗透点 引导学生探索、发现,以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯. 二、教学重点、难点 1.重点:使学生知道当锐角固定时,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实. 2.难点:学生很难想到对任意锐角,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实,关键在于教师引导学生比较、分析,得出结论. 三、教学步骤 (一)明确目标 1.如图6-1,长5米的梯子架在高为3米的墙上,则A、B间距离为多少米? 2.长5米的梯子以倾斜角∠CAB为30°靠在墙上,则A、B间的距离为多少?

3.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上,则A、B间距离为多少? 4.若长5米的梯子靠在墙上,使A、B间距为2米,则倾斜角∠CAB为多少度? 前两个问题学生很容易回答.这两个问题的设计主要是引起学生的回忆,并使学生意识到,本章要用到这些知识.但后两个问题的设计却使学生感到疑惑,这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说,起到激起学生的学习兴趣的作用.同时使学生对本章所要学习的容的特点有一个初步的了解,有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的,解决这类问题,关键在于找到一种新方法,求出一条边或一个未知锐角,只要做到这一点,有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来. 通过四个例子引出课题. (二)整体感知 1.请每一位同学拿出自己的三角板,分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值. 学生很快便会回答结果:无论三角尺大小如何,其比值是一个固定的值.程度较好的学生还会想到,以后在这些特殊直角三角形中,只要知道其中一边长,就可求出其他未知边的长. 2.请同学画一个含40°角的直角三角形,并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值,学生又高兴地发现,不论三角形大小如何,所求的比值是固定的.大部分学生可能会想到,当锐角取其他固定值时,其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗? 这样做,在培养学生动手能力的同时,也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知,唤起学生的求知欲,大胆地探索新知. (三)重点、难点的学习与目标完成过程 1.通过动手实验,学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值,它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”.但是怎样证明这个命题呢?学生这时的思维很活跃.对于这个问题,部分学生可能能解决它.因此教师此时应让学生展开讨论,独立完成. 2.学生经过研究,也许能解决这个问题.若不能解决,教师可适当引导:

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九年级数学上册教学计划 二十一章一元二次方程 第1课时 21.1 一元二次方程 教学内容 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念. 教学目标 了解一元二次方程的概念;一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念;?应用一元二次方程概念解决一些简单题目. 1.通过设置问题,建立数学模型,?模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义. 2.一元二次方程的一般形式及其有关概念. 3.解决一些概念性的题目. 4.通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情. 重难点关键 1.?重点:一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题. 2.难点关键:通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念. 教学过程 一、复习引入 学生活动:列方程. 问题(1)古算趣题:“执竿进屋” 笨人执竿要进屋,无奈门框拦住竹,横多四尺竖多二,没法急得放声哭。 有个邻居聪明者,教他斜竿对两角,笨伯依言试一试,不多不少刚抵足。 借问竿长多少数,谁人算出我佩服。 如果假设门的高为x?尺,?那么,?这个门的宽为_______?尺,长为_______?尺, ?根据题意,?得________. 整理、化简,得:__________. 二、探索新知 学生活动:请口答下面问题. (1)上面三个方程整理后含有几个未知数? (2)按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是几次? (3)有等号吗?还是与多项式一样只有式子? 老师点评:(1)都只含一个未知数x;(2)它们的最高次数都是2次的;(3)?都有等号,是方程.因此,像这样的方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程. 一般地,任何一个关于x的一元二次方程,?经过整理,?都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式. 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项. 例1.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项. 分析:一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).因此,方程3x(x-1)=5(x+2)必须运用整式运算进行整理,包括去括号、移项等. 解:略 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 例2.(学生活动:请二至三位同学上台演练)将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=?1化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项、二次项系数;一次项、一次项系数;常数项. 分析:通过完全平方公式和平方差公式把(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式.解:略 三、巩固练习 教材练习1、2

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.第二十六章 二次函数 [本章知识重点] 1. 探索具体问题中的数量关系和变化规律. 2. 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念. 3. 会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质. 4. 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴. 5. 会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解. 6. 会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决 简单的实际问题. 26.1 二次函数 [本课知识重点] 通过具体问题引入二次函数的概念,在解决问题的过程中体会二次函数的意义. [MM 及创新思维] (1)正方形边长为a (cm ),它的面积s (cm 2)是多少? (2)矩形的长是4厘米,宽是3厘米,如果将其长与宽都增加x 厘米,则面积增加y 平方厘米,试写出y 与x 的关系式. 请观察上面列出的两个式子,它们是不是函数?为什么?如果是函数,请你结合学习一次函数概念的经验,给它下个定义. [实践与探索] 例1. m 取哪些值时,函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数? 分析 若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是二次函数,须满足的条件是: 02≠-m m . 解 若函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数,则 02 ≠-m m . 解得 0≠m ,且1≠m . 因此,当0≠m ,且1≠m 时,函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数. 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2 的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数. 探索 若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数,则m 取哪些值? 例2.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数.

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一元二次方程(教案) 教学内容 本节课主要学习一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念. 教学目标 知识技能 探索一元二次方程及其相关概念,能够辨别各项系数;能够从实际问题中抽象出方 程知识。 数学思考 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型,体会方程与实际生活的联系。 解决问题 培养学生良好的研究问题的习惯,使学生逐步提高自己的数学素养。 情感态度 通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学生学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 重难点、关键 重点:一元二次方程的定义、各项系数的辨别,根的作用. 难点:根的作用的理解. 关键:通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念 教学准备 教师准备:制作课件,精选习题 学生准备:复习有关知识,预习本节课内容 教学过程 一、 情境引入 【问题情境】 问题1 如图,有一块矩形铁皮,长100 cm ,宽50 cm .在它的四个角分别切去一个正 方形,然后将四周突出的部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的 底面积是3 600 cm 2 ,那么铁皮各角应切去多大的正方形? 分析:设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为 ,宽为 .根据方盒的底面积为3600cm2,得方程为 _______________ ,, 整理, 得 问题 2 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应该邀请多少个队参赛? 分析:全部比赛共4×7=28场 设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他 _____ 个队各赛1场,由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共 ______________场. 得方程____________________________ 整理, 得 【活动方略】 0350752 =+-x x 0350752=+-x x 56 2=-x x 56 2=-x x

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22.1一元二次方程(教案) 教学内容 本节课主要学习一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念. 教学目标 知识技能 探索一元二次方程及其相关概念,能够辨别各项系数;能够从实际问题中抽象出方 程知识。 数学思考 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型,体会方程与实际生活的联系。 解决问题 培养学生良好的研究问题的习惯,使学生逐步提高自己的数学素养。 情感态度 通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学生学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 重难点、关键 重点:一元二次方程的定义、各项系数的辨别,根的作用. 难点:根的作用的理解. 关键:通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念 教学准备 教师准备:制作课件,精选习题 学生准备:复习有关知识,预习本节课内容 教学过程 一、 情境引入 【问题情境】 问题1 如图,有一块矩形铁皮,长100 cm ,宽50 cm .在它的四个角分别切去一个正 方形,然后将四周突出的部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm 2,那么铁皮各角应切去多大的正方形? 分析:设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为 ,宽为 .根据方盒的底面积为3600cm2,得方程为 _______________ ,, 整理, 得 问题 2 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应该邀请多少个队参赛? 分析:全部比赛共4×7=28场 设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他 _____ 个队各赛1场,由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共 ______________场. 得方程____________________________ 0350752 =+-x x 0350752=+-x x 56 2=-x x 56 2=-x x

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2019年春最新人教九年级下册全册教案 第二十六章 反比例函数 26.1 反比例函数 26.1.1 反比例函数 1.理解反比例函数的概念;(难点) 2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求解析式;(重点) 3.能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型.(重点) 一、情境导入 1.京广高铁全程为2298km ,某次列车的平均速度v (单位:km/h)与此次列车的全程运行时间t (单位:h)有什么样的等量关系? 2.冷冻一个物体,使它的温度从20℃下降到零下100℃,每分钟平均变化的温度T (单位:℃)与冷冻时间t (单位:min)有什么样的等量关系? 问题:这些关系式有什么共同点? 二、合作探究 探究点一:反比例函数的定义 【类型一】 反比例函数的识别 下列函数中:①y = 3 2x ;②3xy =1;③y =1-2x ;④y =x 2 .反比例函数有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 解析:①y = 32x 是反比例函数,正确;②3xy =1可化为y =1 3x ,是反比例函数,正确;③y =1-2x 是反比例函数,正确;④y =x 2 是正比例函数,错误.故选C. 方法总结:判断一个函数是否是反比例函数,首先要看两个变量是否具有反比例关系,然后根据反比例函数的定义去判断,其形式为y =k x (k 为常数,k ≠0),y =kx -1(k 为常数,k ≠

0)或xy =k (k 为常数,k ≠0). 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】 根据反比例函数的定义确定字母的值 已知函数y =(2m +m -1)x 2m +3m -3是反比例函数,求m 的值. 解析:由反比例函数的定义可得 2m 2+3m -3=-1,2m 2+m -1≠0,然后求解即可. 解:∵y =(2m 2+m -1)x 2m 2 +3m -3是反比例函数,∴? ????2m 2+3m -3=-1,2m 2+m -1≠0,解得m =- 2. 方法总结:反比例函数也可以写成y =kx -1(k ≠0)的形式,注意x 的次数为-1,系数不等于0. 变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题 探究点二:用待定系数法确定反比例函数解析式 【类型一】 确定反比例函数解析式 已知变量y 与x 成反比例,且当x =2时,y =-6.求: (1)y 与x 之间的函数解析式; (2)当y =2时,x 的值. 解析:(1)由题意中变量y 与x 成反比例,设出函数的解析式,利用待定系数法进行求解.(2)代入求得的函数解析式,解得x 的值即可. 解:(1)∵变量y 与x 成反比例,∴设y =k x (k ≠0),∵当x =2时,y =-6,∴k =2×(- 6)=-12,∴y 与x 之间的函数解析式是y =-12 x ; (2)当y =2时,y =-12 x =2,解得x =-6. 方法总结:用待定系数法求反比例函数解析式时要注意:①设出含有待定系数的反比例函数解析式,形如y =k x (k 为常数,k ≠0);②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式, 得到关于待定系数的方程;③解方程,求出待定系数;④写出解析式. 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型二】 解决与正比例函数和反比例函数有关的问题 已知y =y 1+y 2,y 1与(x -1)成正比例,y 2与(x +1)成反比例,当x =0时,y =-3; 当x =1时,y =-1.求: (1)y 关于x 的关系式; (2)当x =-1 2 时,y 的值.

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