高中物理10大难点强行突破之五功与能

难点之五 功与能
一、难点形成原因：
　1、对功的概念及计算方法掌握不到位
高中学生刚接触矢量与标量，对功有正负但又是标量不能理解，而在计算的时候，又不能准确应用公式，误以为计算功套上该公式就万事大吉，岂不知该公式一般仅仅适用于恒力做功。
　2、不能灵活运用动能定理
动能定理是高中物理中应用非常广泛的一个定理，应用动能定理有很多优点，但是同学对该定理理解不深，或者不能正确的分析初、末状态，或者不能正确的求出合外力的功，或者不能正确的表示动能变化量，导致对该规律的应用错误百出。
　3、对守恒思想理解不够深刻
在高中物理学习过程中，既要学习到普遍适用的守恒定律--能量守恒定律，又要学习到条件限制下的守恒定律--机械能守恒定律。学生掌握守恒定律的困难在于：对于能量守恒定律，分析不清楚哪些能量发生了相互转化，即哪几种能量之和守恒；而对于机械能守恒定律，又不能正确的分析何时守恒，何时不守恒。
　4、对功和能混淆不清
在整个高中物理学习过程中，很多同学一直错误的认为功与能是一回事，甚至可以互相代换，其实功是功，能是能，功和能是两个不同的概念，对二者的关系应把握为：功是能量转化的量度。
二、难点突破：
1、加深对功概念的理解、掌握功的常用计算方法
功是力对位移的积累，其作用效果是改变物体的动能，力做功有两个不可缺少的因素：力和物体在力的方向上的位移，这两个因素同时存在，力才对物体做功。尤其要明确，功虽有正负，但功是标量，功的正负不表示方向，仅仅是表示力做正功还是克服力做功。
功的常用计算方法有以下几种：
（1）功的公式：，其中是力的作用点沿力的方向上的位移，该公式主要用于求恒力做功和F随做线性变化的变力功（此时F须取平均值）
（2）公式，适用于求恒力做功，也适用于求以恒定功率做功的变力功。
（3）由动能定理求恒力做功，也可以求变力做功。
（4）根据F-s图象的物理意义计算力对物体做的功，如图5-1所示，图中阴影部分面积的数值等于功的大小，但要注意，横轴上方的面积表示做正功，横轴下方的面积表示做负功。
（5）功是能量转化的量度，由此，对于大小、方向都随时变化的变力F所做的功，可以通过对物理过程的分析，从能量转化多少的角度来求解。


例1：如图5-2所示，质量为m的小物体相对静止在楔形物体的倾角为θ的光滑斜面上，楔形物体在水平推力F作用下向左移动了距离s，在此过程中，楔形物体对小物体做

的功等于( ).
A．0 B．mgscosθ C．Fs D．mgstanθ
　【审题】在审查该题时，一定要注意到两点：一是小物体与楔形物体相对静止，二是接触面光滑。
　【解析】因为接触面光滑，所以小物体只受重力和斜面的支持力，又小物体随楔形物体一起向左移动，故二力合力方向水平向左，即重力和支持力的竖直分力平衡，小物体所受的合外力就是楔形物体对小物体支持力的水平分力，该力大小为mgtanθ，又物体向左移动了距离s，所以做功为mgstanθ，答案应选D。
　【总结】利用楔形物体对小物体的支持力的竖直方向的分力与重力平衡条件，可求出支持力的大小，从而求出支持力的水平分力大小。
例2：一辆汽车在平直公路上从速度v0开始加速行驶，经时间t后，前进了距离s,此时恰好达到其最大速度vmax,设此过程中发动机始终以额定功率P工作，汽车所受阻力恒为F,则在这段时间里，发动机所做的功为( ).
A．Fs B．Pt
C．mv2max+Fs-mv02 D．F··t
　【审题】审题中要注意到，此过程中发动机始终以额定功率工作，这样牵引力大小是变化的，求牵引力的功就不能用公式，而要另想他法。
　【解析】因为发动机额定功率为P，工作时间为t,故发动机所做的功可表示为Pt，B正确；还要注意到求发动机的功还可以用动能定理，即W- Fs = mv2max-mv02，所以W= mv2max+Fs-mv02 ，C正确，所以本题答案应选BC。
　【总结】本题易错之处就在于容易把牵引力分析成恒力，而应用W=Fs求解。
例3：用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比.在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1 cm.问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次做功相等）
　【审题】可根据阻力与深度成正比这一特点，将变力求功转化为求平均阻力的功，进行等效替代，也可进行类比迁移，采用类似根据匀变速直线速度-时间图象求位移的方式，根据F-x图象求功.
　【解析】解法一：（平均力法）
铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F=f=kx,可用平均阻力来代替.
如图5-3所示，第一次击入深度为x1,平均阻力=kx1,做功为W1=x1=kx12.
第二次击入深度为x1到x2,平均阻力=k（x2+x1）,位移为x2-x1,做功为W2=（x2-x1）= k（x22-x12）.
两次做功相等：W1=W2.
解后有：x2=x1=1.41 cm,
Δx=x2-x1=0.41 cm.
解法二：（图象法）
因为阻力F=kx,以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F-x图象（如图5-4所示），曲线上面积的值等于F对铁钉做的功。
由于两次做功相等，故有：
S1=S2（面积），即

：
kx12=k（x2+x1）（x2-x1）,
所以Δx=x2-x1=0.41 cm
　【总结】利用平均力求力做的功，或者利用F-x图象求面积得到力做的功，这两种方法应用不多，但在探究问题时应用较大，比如探究弹簧弹力做功的特点就可以用这两种方法。
2、深刻理解动能定理，充分利用其优越性
动能定理不涉及物体运动过程中的细节，因此用它处理某些问题一般要比应用牛顿第二定律和运动学公式更为方便，同时它还可以解决中学阶段用牛顿运动定律无法求解的一些变力问题和曲线运动问题，因此能用动能定理解决的问题（尤其是不涉及加速度和时间的问题）应尽量用动能定理解决。
应用动能定理解决问题时，要注意以下几点：
（1）．对物体进行正确的受力分析，一定要做到不漏力，不多力。
（2）．分析每个力的做功情况，弄清每个力做不做功，是做正功还是负功，总功是多少。
（3）．有的力不是存在于物体运动的全过程，导致物体的运动状态和受力情况都发生了变化，物体的运动被分成了几个不同的过程，因此在考虑外力做功时，必须看清该力在哪个过程做功，不能一概认为是全过程做功。
（4）．当物体的运动由几个物理过程组成时，若不需要研究全过程的中间状态时，可以把这几个物理过程看成一个整体过程，从而避免分析每个运动过程的具体细节，这时运用动能定理具有过程简明、方法巧妙、计算简单等优点。
例4：一列火车由机车牵引沿水平轨道行使，经过时间t，其速度由0增大到v。已知列车总质量为M，机车功率P保持不变，列车所受阻力f为恒力。求：这段时间内列车通过的路程。
　【审题】以列车为研究对象，水平方向受牵引力F和阻力f，但要注意机车功率保持不变，就说明牵引力大小是变化的，而在中学阶段用功的定义式求功要求F是恒力。
　【解析】以列车为研究对象，列车水平方向受牵引力和阻力,设列车通过路程为s。根据动能定理：



　【总结】发动机的输出功率P恒定时，据P = F·V可知v变化，F就会发生变化，牵引力F变化，a变化。应对上述物理量随时间变化的规律有个定性的认识，下面通过图象给出定性规律。（如图5-5所示）
例5：某地强风的风速是20m/s，空气的密度是=1.3kg/m3。一风力发电机的有效受风面积为S=20m2，如果风通过风力发电机后风速减为12m/s，且该风力发电机的效率为=80%，则该风力发电机的电功率多大？
　【审题】风通过风力发电机后速度减小说明风的动能转化为电能，但要注意到减少的动能并没有全部转化为电能，还有一个效率问题。
　【解析】风力发电是

将风的动能转化为电能，讨论时间t内的这种转化，这段时间内通过风力发电机的空气是一个以S为底、v0t为高的横放的空气柱，其质量为m=Sv0t，它通过风力发电机所减少的动能用以发电，设电功率为P，则

代入数据解得 P=53kW
　【总结】解决该类问题，要注意研究对象的选取，可以选择t时间内通过风力发电机的空气为研究对象，也可以选择单位时间内通过风力发电机的空气为研究对象，还可以选择单位长度的空气为研究对象。
例6：如图5-6所示，斜面倾角为θ，滑块质量为m，滑块与斜面的动摩擦因数为μ，从距挡板为s0的位置以v0的速度沿斜面向上滑行.设重力沿斜面的分力大于滑动摩擦力，且每次与P碰撞前后的速度大小保持不变，斜面足够长.求滑块从开始运动到最后停止滑行的总路程s.

　【审题】该题中滑块初速度沿斜面向上，而且是一个多次碰撞问题，所以不可能用运动学公式解决，而每次碰撞没有能量损失就暗示了可以考虑应用动能定理。
　【解析】选取滑块为研究对象，因为重力沿斜面的分力大于滑动摩擦力，所以滑块最终一定停在挡板上，在此过程中，只有重力和摩擦力对滑块做功，故由动能定理可得：

所以：s=
　【总结】取全过程进行分析，应用动能定理解决该问题，可使该问题大大简化，但一定注意分析力做功的特点，此题中，重力做正功且与路径无关，摩擦力总做负功，与路程成正比。
3、紧扣守恒条件，抓住初末状态，体现守恒法优越性
在物理变化的过程中，常存在着某些不变的关系或不变的量，在讨论一个物理变化过程时，对其中的各个量或量的变化关系进行分析，寻找到整个过程中或过程发生前后存在着的不变关系或不变的量，则成为研究这一变化的过程的中心和关键。这就是物理学中最常用到的一种思维方法--守恒法。高中阶段涉及到的守恒量主要有普遍意义的"能量"和条件限制下的"机械能"，这里主要阐述一下机械能守恒定律的应用。
首先是机械能是否守恒的判断，这是能否应用机械能守恒定律的前提。机械能守恒的条件是：只有重力或弹力做功。这句话本身很笼统，事实上可以这样理解，要分析一个物体机械能是否守恒，可先对该物体进行受力分析，若该物体只受重力或弹力作用，则该物体机械能一定守恒，若受到其他的力，则看其他力是否做功，若其他力不做功，则机械能也守恒，若其他力也做功，再看这些力做功的代数和是否为零，若做功的代数和为零，则机械能同样守恒。有时对系统来讲，力做功的情况不好判断，还可从能量转化角度来判断，若系

统内只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，则系统的机械能守恒。
判断清楚机械能守恒后，就可以根据机械能守恒的表达式列方程解决问题了，机械能守恒的表达式主要有以下几种：
（1） 即机械能守恒的过程中，任意两个状态的机械能总量相等。
（2） 即机械能守恒时，系统增加（或减少）的动能等于系统减少（或增加）的势能。
（3） 即由两部分A、B组成的系统机械能守恒时，A部分增加（或减少）的机械能等于B部分减少（或增加）的机械能。
以上各式均为标量式，后两个表达式研究的是变化量，无需选择零势能面，有些问题利用它们解决显得非常方便，但一定要分清哪种能量增加，哪种能量减少，或哪个物体机械能增加，哪个物体机械能减少。
而对于能量守恒定律可从以下两个角度理解：
（1）某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
（2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
例7：如图5-7所示，一根长为l的轻绳，一端固定在O点，另一端拴一个质量为m的小球．用外力把小球提到图示位置，使绳伸直，并在过O点的水平面上方，与水平面成30°角．从静止释放小球，求小球通过O点正下方时绳的拉力大小。
　【审题】对本题要进行层层深入的分析方式，不要忽视了悬绳从伸直到对小球有拉力为止的短暂过程中，机械能的损失，不能直接对小球从初位置到末位置列机械能守恒的方程求最低点速度。
　【解析】选小球为研究对象，其运动过程可分为三个阶段如图5-8所示：
　（1）从A到B的自由落体运动．
据机械能守恒定律得：mgl=mvB2
(2)在B位置有短暂的绳子对小球做功的过程，小球的速度由竖直向下的vB变为切向的vB′,动能减小．
则有：vB′=vBcos30°
(3)小球由B点到C点的曲线运动，机械能守恒
则有：mvB/2+mgl(1-cos60°)= mvC2
在C点由牛顿第二定律得
T-mg=m
联立以上方程可解得： T=mg
　【总结】在分析该题时一定要注意绳在绷紧瞬间，有机械能损失，也就是说整个过程机械能并不守恒，不能由全过程机械能守恒定律解决该问题，但是在该瞬间之前和之后的两个过程机械能都是守恒的，可分别由机械能守恒定律求解。

例8：如图5-9所示，有一根轻杆AB，可绕O点在竖直平面内自由转动，在AB端各固定一质量为m的小球，OA和OB的长度分别为2a和a，开始时

，AB静止在水平位置，释放后，AB杆转到竖直位置，A、B两端小球的速度各是多少？
　【审题】因为两小球固定在轻杆的两端，随杆一起转动时，它们具有相同的角速度，则转动过程中，两小球的线速度与半径成正比。同时要注意到两小球在转动过程中，杆对它们都做功，即对每个小球来说，机械能并不守恒。
　【解析】两小球组成的系统与外界没有能量转化，该系统机械能是守恒的，故对该系统从水平到竖直的过程中可由机械能守恒定律得：

又：
所以可解得：
　【总结】该题的关键之处在于，对每个小球来讲机械能并不守恒，但对两小球组成的系统来讲机械能是守恒的。
例9：如图5-10所示，皮带的速度为3m/s，两圆心距离s=4.5m，现将m=1kg的小物体轻放在左轮正上方的皮带上，物体与皮带间的动摩擦因数为μ=0.15，电动机带动皮带将物体从左轮正上方运送到右轮正上方时，电动机消耗的电能是多少？
　【审题】在审题过程中要分析清楚小物体何时速度达到与传送带相同，二者速度相同之后，小物体就做匀速直线运动。即小物体在从左上方运动右上方的过程中可能一直做匀加速直线运动，也可能先做匀加速直线运动，后做匀速直线运动。
　【解析】物体在相对滑动过程中，在摩擦力作用下做匀加速直线运动，
则，
相对滑动时间
物体对地面的位移
摩擦力对物体做的功
物体与皮带间的相对位移
发热部分的能量
从而，由能量守恒可得电动机消耗的电能为
　【总结】在该题中，根据能量守恒可知，电动机消耗的电能最终转化为物体的动能和系统产生的热能，只要求出物体增加的动能和系统增加的热能就不难求出电动机消耗的电能。
4、理解功能关系，牢记"功是能量转化的量度"
能是物体做功的本领，功是能量转化的量度；能属于物体，功属于系统；功是过程量，能是状态量。做功的过程，是不同形式能量转化的过程：可以是不同形式的能量在一个物体转化，也可以是不同形式的能量在不同物体间转化。力学中，功和能量转化的关系主要有以下几种：
（1）．重力对物体做功，物体的重力势能一定变化，重力势能的变化只跟重力做的功有关：，另外弹簧弹力对物体做功与弹簧弹性势能的变化也有类似关系：。
（2）．合外力对物体做的功等于物体动能的变化量：--动能定理。
（3）．除系统内的重力和弹簧弹力外，其他力做的总功等于系统机械能的变化量：--功能原理。

例10：一质量均匀不可伸长的绳索，重为G，A、B两端固定在天花板上，如

图5-11所示，今在最低点C施加一竖直向下的力将绳拉至D点，在此过程中，绳索AB的重心位置（ ）
　A．逐渐升高 B．逐渐降低
　C．先降低后升高 D．始终不变
　【审题】在C点施加竖直向下的力将绳拉至D点，则外力对绳做正功。
　【解析】在C点施加竖直向下的力做了多少功就有多少能量转化为绳的机械能，又绳的动能不增加，所以绳的重力势能增加了，即绳的重心位置升高了，所以本题正确答案为A。　
　* 【总结】功是能量转化的量度，对绳做了功，绳的能量一定增加，此能量表现为重力势能增加。

例11：如图5-12所示，质量为m的小铁块A以水平速度v0冲上质量为M、长为、置于光滑水平面C上的木板B，正好不从木板上掉下，已知A、B间的动摩擦因数为μ，此时木板对地位移为s，求这一过程中：
（1） 木板增加的动能；
（2） 小铁块减少的动能；
（3） 系统机械能的减少量；
（4） 系统产生的热量。
　【审题】在此过程中摩擦力做功的情况是：A和B所受摩擦力分别为F1、F2，且F1=F2=μmg，A在F1的作用下匀减速，B在F2的作用下匀加速；当A滑动到B的右端时，A、B达到一样的速度v，就正好不掉下。
　【解析】（1）对B根据动能定理得：
从上式可知：
（2）滑动摩擦力对小铁块A做负功，根据功能关系可知：
即小铁块减少的动能为
（3）系统机械能的减少量：
（4）m、M相对位移为，根据能量守恒得：
　【总结】通过本题可以看出摩擦力做功可从以下两个方面理解：
（1）相互作用的一对静摩擦力，如果一个力做正功，另一个力一定做负功，并且量值相等，即一对静摩擦力做功不会产生热量。
（2）相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和一定为负值，即一对滑动摩擦力做功的结果总是使系统的机械能减少，减少的机械能转化为内能：，其中必须是滑动摩擦力，必须是两个接触面相对滑动的距离（或相对路程）。
例12：如图5-13所示，两个相同质量m=0.2kg的小球用长L=0.22m的细绳连接，放在倾角为30°的光滑斜面上，初始时刻，细绳拉直，且绳与斜面底边平行，在绳的中点作用一个垂直于绳且沿斜面向上的恒力F=2.2N。在力F的作用下两球向上运动，小球沿F方向的位移随时间变化的关系式为s=kt2（k为恒量），经过一段时间两球第一次碰撞，又经过一段时间再一次发生碰撞...由于两球之间的有粘性，当力F作用了2s时，两球发生最后一次碰撞，且不再分开，取g=10m/s2。求：
（1）最后一次碰撞后，小球的加速度；
（2）最后一次碰撞完成时，小球的速度；
（3）整个碰撞过程中，系统损失的机械能。

　【审题】本题过程比较麻烦，审题时要看到小球沿F方向运动的特点是初速为零的匀加速直线运动，则两小球发生最后一次碰撞时，其速度和位移都就不难求解了。
【解析】（1）对两小球整体运用牛顿第二定律，得：

（2）因为小球沿F方向的位移随时间变化的关系式为s=kt2（k为恒量），所以是匀加速直线运动，则vt=at=1m/s。
（3）根据功能原理，有：
其中，代入数据，解得⊿E=0.242J。
　【总结】本题貌似很难，但只要抓住其中的关键，如分析清楚小球沿F方向的运动情况、分析清楚全过程的能量转化关系，明确力F做功消耗的能量转化为两小球的重力势能和动能以及两小球碰撞产生的热量，然后由能量守恒就不难解决本题。




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