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哈工程微积分自主考试试卷(有答案)

线

第3页 共4页 第4页 共 4页

3解答:令n n x t u -=,则0

1()()()x n

n

n

F x f x t d t n

=-?

00

1

1

()()()()n

x n

n

n

n

x

f x t d x t f u d u n

n

=---==-

??

1

()()n

x

f u d u n

=

?, ...........................................4分

所以

1

2221

1

()()()1()1()lim

lim lim

lim

22n

x n n n

n

n

n n

x x x x f u d u F x f x nx f x n

x

x

n

nx

n

x

--→→→→?==

=

?

1()01lim

(0)20

2n

n

x f x f n

x n

→-'=

=

-。

...........................................4分

4、解答:

?

??=+=32

22

2

1

y x x

y ,得1,2,2=-=y x ,

x dx

dy =,

...........................................4分

弧长=)32ln(61220

2

+

+=

+?

dx x

...........................................4分

五、应用题(共7分)

解答:椭圆弧上任意一点),(y x 处的切线斜率为y

x 49-,),(Y X 为切线上任一点,

切线方程为:)(49x X y

x y Y --

=-

...........................................2分

由椭圆方程,切线在坐标轴上截距为:x

X 8=

,y

Y 18=

...........................................2分

面积π372-=

xy S 由2

82

3x

y -=

得π3848

2

--=

x

x S )220(<'x S ,由驻点的唯一性,

当2=x ,3=y 时,)(x S 最小。

...........................................3分

六、证明题(共10分): 1、解答:令)()(x f e x F x =,在],[b a 上应用拉格朗日定理,再设x e x =)(φ在],[b a 上应用拉格朗日定理。

...........................................4分

2、证明:()f u 在13

u =

处的二阶泰勒公式为

2

111

()1()()()()()

333

2!

3f f u f f u u ξ'''=+-+

-

,ξ在1

3

与u 之间,因为

()0,[0,1]f u u ''<∈,所以 111

()()()()

333

f u f f u '≤+-,

...........................................3分

由于[0,1]u ∈,故可令2[0,1]u x =∈,所以

22

111()()()()333

f x f f x '≤+-,从而

1112

2000111()()()()33

3f x dx f dx f x dx '≤+-???31011111()()[]|()33333

f f x x f '=+-=。 ...........................................3分